vyhodnocovat -- zvolí-li se obecná $x_j$, tak se to rychle neumí, pro speciální
$x_j$ ale uká¾eme, ¾e to rychle jde.
-\ss{ Vyhodnocení polynomu metodou Rozdìl a~panuj (algoritmus FFT):}
+\ss{Vyhodnocení polynomu metodou Rozdìl a~panuj (algoritmus FFT):}
Mìjme polynom $P$ stupnì $\leq d$ a~chtìjme jej vyhodnotit v~$n$ bodech.
Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1},
\ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé
být záporná a~tím pádem u¾ v~druhé úrovni rekurze body spárované nebudou.
Z~tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti
mohou.
+
% komplex
-\medskip
-\>{\bf Komplexní intermezzo}
+\h{Komplexní intermezzo}
+\def\i{{\rm i}}
+\def\\{\hfil\break}
+
+\s{Základní operace}
+
\itemize\ibull
-\def\i{i} % ???; taky: ? sit, -> it
-{\parskip12pt
-\hfill{\bf Základní operace}
\:Definice: ${\bb C} = \{a + b\i \mid a,b \in {\bb R}\}$
-\:Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$.
-\vglue-8pt
-\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.
+\:Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$. \\
+Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.
-\:Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$.
-\vglue-8pt
-\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm
+\:Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$. \\
+$\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm
\overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x
\cdot \overline x \in {\bb R}$.
\:Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert
-a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
-
-\vglue-8pt
-\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
+a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$. \\
+Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
\:Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
+\endlist
-\hfill{\bf Gau{\scharfs}ova rovina a goniometrický tvar}
+\s{Gau{\scharfs}ova rovina a goniometrický tvar}
+\itemize\ibull
\:Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.
\:$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
-\:$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\it komplexní
-jednotky\/}).
-
-\vglue-8pt
-\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[
+\:$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\I komplexní jednotky}). \\
+Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[
0,2\pi \right)$.
\:Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) +
-\i\sin\varphi(x))$.
-
-\vglue-8pt
-\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\it argument\/}
+\i\sin\varphi(x))$. \\
+Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\I argument}
èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.
\:Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
+\endlist
-\hfill{\bf Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
+\s{Exponenciální tvar}
+\itemize\ibull
\:Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.
\:Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot
\:Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot
\left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) = \vert x\vert
- \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
-
-\vglue-8pt
-\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)
+ \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$. \\
+(absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)
\:Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^
\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$.
\:Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot
-\varphi(x)/n}$.
-
-\vglue-8pt
-\qquad pozor -- odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
+\varphi(x)/n}$. \\
+Pozor -- odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
+\endlist
-\hfill{\bf Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
+\s{Odmocniny z~jednièky}
+\itemize\ibull
\:Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
-\vglue-8pt
-\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
-\vglue-8pt
-\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾
-$\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.
+$\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$.
+Proto $x^n = e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$.
+Platí tedy $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.
-\:Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$
-\vglue-8pt
-\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).
+\:Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$ \\
+(pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).
\:Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi
(x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.
\:Je-li $x$ odmocninou z 1, pak $\overline{x} = x^{-1}$ -- je toti¾ $1 = \vert
-x\cdot
- \overline{x}\vert = x\cdot \overline{x}$.
-
-\vglue0pt minus4pt % hazel underfull vboxy
-\: $x$ je $k$-tá {\it primitivní} odmocnina z 1 $\equiv (\forall j<k)x^j
-\neq 1$, a $x^k = 1$
-
-\hfill{\bf Komplexní èísla: Primitivní odmocniny}
-
-\:Buï $\omega=e^{2\pi \i / k},\ k$ je sudé. Pak:
-\vglue-8pt
-\leftskip4em \parindent-1em
-$\star$ $\omega$ je $k$-tá primitivní odmocnina z 1 -- $j\cdot 2\pi \i / k = 1
- \Leftrightarrow j=k$.
-\vglue-8pt
-$\star$ pro $0\leq j<l<k$ je $\omega^j \neq \omega^l$, nebo» $\omega^l /
-\omega^j = \omega^{l-j} \neq 1$, proto¾e $l-j < k$ a $\omega$ je $k$-tá
-primitivní.
-\vglue-8pt
-$\star$ $\omega^{k/2} = -1$, proto¾e $(\omega^{k/2})^2 = 1$, a tedy
-$\omega^{k/2}$ je druhá odmocnina z 1 -- samotná 1 to ale být nemù¾e, $\omega$
- je primitivní.
-\vglue-8pt
-$\star$ $\omega^j = - \omega^{k/2 + j}$ -- pøímý dùsledek pøedchozího bodu, pro
-nás ale velice zajímavý; $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{k-1}$ jsou po dvou
-spárované.
-\vglue-8pt
-$\star$ $\omega^2$ je $k/2$-tá primitivní odmocnina z 1 -- dosazením.
-\vglue-8pt
+x\cdot \overline{x}\vert = x\cdot \overline{x}$.
+\endlist
+
+\s{Primitivní odmocniny}
+
+\s{Definice:} $x$ je {\I primitivní} $k$-tá odmocnina z 1 $\equiv x^k=1 \land \forall j: 0<j<k \Rightarrow x^j \neq 1$.
+
+\>Tuto definici splòují napøíklad èísla $\omega = e^{2\pi \i / k}$ a $\overline\omega = e^{-2\pi\i/k}$.
+Platí toti¾, ¾e $\omega^j = e^{2\pi\i j/k}$, co¾ je rovno~1 právì tehdy,
+je-li $j$ násobkem~$k$ (jednotlivé mocniny èísla~$\omega$ postupnì obíhají
+jednotkovou kru¾nici). Analogicky pro~$\overline\omega$.
-}
+\>Uka¾me si nìkolik pozorování fungujících pro libovolné èíslo~$\omega$,
+které je primitivní $k$-tou odmocninou z~jednièky (nìkdy budeme potøebovat,
+aby navíc $k$ bylo sudé):
+
+\itemize\ibull
+\:Pro $0\leq j<l<k$ je $\omega^j \neq \omega^l$, nebo» $\omega^l /
+\omega^j = \omega^{l-j} \neq 1$, proto¾e $l-j < k$ a $\omega$ je primitivní.
+\:$\omega^{k/2} = -1$, proto¾e $(\omega^{k/2})^2 = 1$, a tedy
+$\omega^{k/2}$ je druhá odmocnina z~1. Takové odmocniny jsou dvì:
+1 a $-1$, ov¹em 1 to být nemù¾e, proto¾e $\omega$ je primitivní.
+\:$\omega^j = - \omega^{k/2 + j}$ -- pøímý dùsledek pøedchozího bodu, pro
+nás ale velice zajímavý: $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{k-1}$ jsou po dvou
+spárované.
+\:$\omega^2$ je $k/2$-tá primitivní odmocnina z 1 -- dosazením.
\endlist
-\medskip
-\>{\bf Konec intermezza}
+
+\h{Konec intermezza}
% end komplex
+
\bigskip
+
Vra»me se nyní k algoritmu. Z poslední èásti komplexního intermezza se zdá,
¾e by nemusel být ¹patný nápad zkusit vyhodnocovat polynom v mocninách
$n$-té primitivní odmocniny z~jedné (tedy za $x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}$
projects / ads2.git / commitdiff