FFT: Cviceni

diff --git a/7-fft/7-fft.tex b/7-fft/7-fft.tex
index dc8d99ee6e88eb4ec4a7c0d0fadad1ee5da6560a..8037681e2877150873b66a9226536ae9e805ff2a 100644 (file)
--- a/7-fft/7-fft.tex
+++ b/7-fft/7-fft.tex
@@ -463,4 +463,44 @@ V
 nejsou zatí¾eny zaokrouhlovacími chybami (komplexní odmocniny z~jednièky mají obì slo¾ky
 iracionální). To se hodí napøíklad ve~zmiòovaných algoritmech na násobení velkých èísel.
 
+\h{Cvièení}
+
+\itemize\ibull
+\:O~jakých vlastnostech vektoru vypovídá nultý a $(n/2)$-tý koeficient jeho
+  Fourierova obrazu (výsledku Fourierovy transformace)?
+\:Spoèítejte Fourierovy obrazy následujících vektorù z~${\bb C}^n$:
+    \itemize\ibull
+    \:$(x,\ldots,x)$
+    \:$(1,-1,1,-1,\ldots,1,-1)$
+    \:$(\omega^0,\omega^1,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1})$
+    \:$(\omega^0,\omega^2,\omega^4,\ldots,\omega^{2n-2})$
+    \endlist
+\:Roz¹íøením výsledkù z~pøedchozího cvièení najdìte pro ka¾dé~$j$ vektor, jeho¾
+  Fourierova transformace má na $j$-tém místì jednièku a v¹ude jinde nuly. Z~toho lze pøímo
+  sestrojit inverzní transformaci.
+\:Uka¾te, ¾e je-li $\bf x$ reálný vektor z~${\bb R}^n$, je jeho Fourierova transformace ${\bf y}={\cal F}({\bf x})$
+  {\I antisymetrická:} ${\bf y}_j = \overline{{\bf y}_{n-j}}$ pro v¹echna~$j$.
+\:Podobnì uka¾te, ¾e Fourierova transformace ka¾dého antisymetrického vektoru je reálná.
+\:Uva¾ujme reálnou funkci~$f$ definovanou na intervalu $[0,2\pi)$. Pokud její
+  hodnoty {\I navzorkujeme} v~$n$ pravidelnì rozmístìných bodech, získáme vektor
+  ${\bf f}\in {\bb R}^n$ o~slo¾kách ${\bf f}_j = f(2\pi j/n)$. Jak vypadá Fourierova
+  transformace tohoto vektoru pro následující funkce?
+    \itemize\ibull
+    \:$\e^{\im kx}$ pro $k\in{\bb N}$
+    \:$\cos kx$
+    \:$\sin kx$
+    \endlist
+  Nápovìda: sinus a cosinus mù¾ete zapsat jako lineární kombinaci dvou komplexních exponenciál.
+\:Pomocí pøedchozího cvièení doka¾te, ¾e libovolnou reálnou funkci na $[0,2\pi)$
+  existuje lineární kombinace funkcí $\sin kx$ a $\cos kx$, která pøi vzorkování
+  v~$n$ bodech není od zadané funkce rozli¹itelná.
+
+  Pøesnìji øeèeno, pro ka¾dý vektor~${\bf f}\in {\bb R}^n$ existují vektory ${\bf a},{\bf b}\in {\bb R}^n$
+  takové, ¾e platí:
+  $$
+  {\bf f}_j = \sum_{k=0}^{n-1} {\bf a}_k \sin {2jk\pi \over n} + {\bf b}_k \cos {2jk\pi \over n}.
+  $$
+  Koeficienty $a_k$ a $b_k$ lze pøítom snadno získat z~Fourierova obrazu vektoru~${\bf f}$.
+\endlist
+
 \bye