\input ../lecnotes.tex
-\prednaska{3}{Prohledání do~¹íøky a do~hloubky}{}
+\prednaska{3}{Prohledání grafù}{}
\h{Prohledání do~¹íøky {\I Breadth-First Search -- BFS} }
\:strom nejkrat¹ích cest z~$v_0$
\endlist
-\>Prohledávání do~¹íøky ale není jediný algoritmus, který nìjak systematicky prochází graf. Jak u¾ název kapitoly napovídá, budeme se zabývat je¹tì druhým algoritmem, prohledáváním do~hloubky. Podívejme se, jak bude vypadat \dots
+\>Prohledávání do~¹íøky ale není jediný algoritmus, který nìjak systematicky
+prochází graf. Jak u¾ název kapitoly napovídá, budeme se zabývat je¹tì druhým
+algoritmem, prohledáváním do~hloubky. Podívejme se, jak bude vypadat \dots
\h{Prohledávání do~hloubky {\I Depth-First Search -- DFS }}
-Tento algoritmus neprochází graf ve~vlnì jako BFS, nýbr¾ ho prochází
-rekurzivnì. V¾dy se zanoøí co nejhloubìji a¾ do~listu a pak se o~kus vrátí
-a opìt se sna¾í zanoøit. Vrcholy, ve kterých u¾ byl, ignoruje.
+Tento algoritmus neprochází graf ve~vlnì jako BFS, nýbr¾ rekurzivnì. V¾dy se
+zanoøí co nejhloubìji a¾ do~listu a pak se o~kus vrátí a opìt se sna¾í zanoøit.
+Vrcholy, ve kterých u¾ byl, ignoruje.
Opìt uva¾me nejdøíve graf orientovaný. Následnì si uká¾eme, ¾e v~neorientovaném grafu budou pouze malé zmìny.
-Budeme pou¾ívat podobné znaèení jako u~BFS. V~poli $Z$ si budeme pamatovat, zda jsme vrchol ji¾ nav¹tívili (hodnota 1), nebo ne (hodnota 0). Navíc promìnná~$T$ bude znaèit dobu bìhu algoritmu - tedy jakési \uv{hodiny}. Pøi ka¾dém nalezení nového vrcholu èi jeho opu¹tìní tuto promìnnou zvý¹íme o~1. Do~polí $\<in>$ a $\<out>$ si budeme ukládat èas (prvního) nalezení a opu¹tìní vrcholu.
+Budeme pou¾ívat podobné znaèení jako u~BFS. V~poli $Z$ si budeme pamatovat, zda
+jsme vrchol ji¾ nav¹tívili (hodnota 1), nebo ne (hodnota 0). Aby se nám algoritmus
+lépe analyzoval, zavedeme promìnnou~$T$, která bude fungovat jako hodiny -- v~ka¾dém
+kroku algoritmu se zvìt¹í o~jednièku. Do~polí $\<in>$ a $\<out>$ si budeme ukládat èas
+prvního a posledního prùchodu vrcholem.
\s{Algoritmus:}
\algo
-\: inicializace: $Z[*] \leftarrow 0, T \leftarrow 1, \<in>[*] \leftarrow ?, \<out>[*] \leftarrow ?$
-\: $DFS(v): Z[v] \leftarrow 1, \<in>[v] \leftarrow T|++|$
-\:: Pro $w$: $vw \in E(G)$:
-\::: Pokud $Z[w]=0 \Rightarrow DFS(w)$
-\:: $out[v] \leftarrow T|++|$
+\:Inicializace: $Z[*] \leftarrow 0, T \leftarrow 1, \<in>[*] \leftarrow ?, \<out>[*] \leftarrow ?$
+\:$\<DFS>(v)$:
+\::$Z[v] \leftarrow 1$, $\<in>[v] \leftarrow T$, $T\leftarrow T+1$
+\::Pro $w$: $vw \in E(G)$:
+\:::Pokud $Z[w]=0$, zavoláme $\<DFS>(w)$
+\::$out[v] \leftarrow T$, $T\leftarrow T+1$
\endalgo
\s {Vìta:} DFS($v_0$) v~èase $\Theta(m+n)$ oznaèí právì v¹echny vrcholy dosa¾itelné z~$v_0$.
\proof
-Nejdøíve je potøeba dokázat, ¾e pokud je vrchol $v$ dosa¾itelný z~vrcholu $v_0$, tak jej DFS oznaèí. Dùkaz bude podobný jako u~BFS.
+Korektnost doká¾eme stejným argumentem, jako u~BFS.
-V analýze èasové slo¾itosti si pak opìt uvìdomíme, ¾e algoritmus vezme ka¾dý vrchol i hranu do~ruky právì jednou, tak¾e èasová slo¾itost bude $\Theta(n + m)$.
+V~analýze èasové slo¾itosti si pak opìt uvìdomíme, ¾e algoritmus zavoláme
+na~ka¾dý vrchol nejvý¹e jednou (pak u¾ je oznaèený) a zpracováním vrcholu
+strávíme èas lineární v~poètu hran, které z~nìj vedou. Celkem tedy prozkoumáme
+ka¾dou hranu nejvý¹e jednou a strávíme tím konstantní èas.
\qed
-\figure{img5_dfso.eps}{Graf a znázornìní prùbìhu DFS s~jednotlivými hranami:}{\epsfxsize}
+Vyzkou¹ejme si DFS na grafu z~následujícího obrázku:
-Mù¾eme si v¹imnout, ¾e jak DFS prochází graf, rozdìluje hrany do~4 skupin: hrany {\I stromové, zpìtné, dopøedné a pøíèné}.
+\figure{dfs.eps}{Znázornìní prùbìhu DFS a typù hran}{\epsfxsize}
-Jedinì {\I stromové} hrany jsou takové, ¾e se po~nich DFS opravdu vydá. Vedou toti¾ do~vrcholu, který nebyl dosud objeven. V~ukázkovém grafu to jsou hrany: $\{(A \rightarrow B), (B \rightarrow C), (B \rightarrow D)\}$.
+Graf je reprezentován tak, ¾e v~ka¾dém vrcholu jsou hrany uspoøádány zleva doprava.
+Èísla u~vrcholù ukazují jejich \<in> a \<out>.
-Pokud algoritmus objeví z~vrcholu $v$ hranu do~ji¾ døíve nav¹tíveného vrcholu $w$ a zároveò platí, ¾e $w$ je ve~stejném podstromu jako $v$, tak nazveme hranu $vw$ {\I zpìtnou}. Pro rozpoznání je dùle¾ité, ¾e vrchol $w$ byl ji¾ objeven, ale je¹tì ne opu¹tìn. V~ukázkovém grafu se jedná o hranu: $(C \rightarrow A)$.
+Mù¾eme si v¹imnout, ¾e k~rùzným hranám se DFS chová rùznì. Po~nìkterých projde,
+jiné vedou do u¾ prozkoumaných vrcholù, ale nìkdy do~takových, ze~kterých jsme
+se je¹tì nevrátili, jindy do u¾ zpracovaných. Za chvíli uvidíme, ¾e mohou nastat
+ètyøi rùzné situace. Nejsnáze se poznávají podle hodnot \<in> a \<out>.
-Kdy¾ pøi prohledávání sousedù vrcholu $v$ narazíme na~vrchol $w$, který jsme ji¾ nav¹tívili, a to v~podstromì vrcholu $v$, tak nazveme hranu $vw$ {\I dopøednou}, nebo» vede z~$v$ do~jeho potomka. Platí tedy, ¾e jsme nejdøíve objevili vrchol $v$, potom vrchol $w$, pak jsme vrchol $w$ opustili a nyní jsme na~nìj znovu narazili po~dopøedné hranì. V~ukázkovém grafu hrana: $(A \rightarrow D)$.
+\s{Pozorování:} Chod algoritmu mù¾eme popsat posloupností závorek: $(_v$ bude
+znaèit \uv{vstoupili jsme do~vrcholu~$v$} (a nastavili $\<in>(v)$), $)_v$ budi¾
+opu¹tìní vrcholu (nastavení $\<out>(v)$). Tato posloupnost bude správnì uzávorkovaná,
+èili páry závorek se nebudou køí¾it.
-Posledním typem hran je {\I pøíèná} hrana. Ta vede do~vrcholu v~sousedním podstromì zprava doleva. V~tomto pøípadì jsme tedy nejdøíve objevili vrchol $w$, ten jsme následnì opustili a a¾ pak jsme objevili vrchol $v$. V~ukázkovém grafu to je hrana: $(D \rightarrow C)$.
-
-\s{K zamy¹lení:} Proè nemohou vést pøíèné hrany také zleva doprava?
-
-K~rozpoznávání typù hran se nám tedy velmi hodí pole $\<in>$ a $\<out>$, ve~kterých si pamatujeme èasy objevení a opu¹tìní vrcholu. Podle toho, jak se intervaly objevení a opu¹tìní obou vrcholù pøekrývají, mù¾eme jednoznaènì rozhodnout, o jaký typ hrany se jedná:
-
-U~zpìtných hran je poøadí: $\<in>(w)$, $\<in>(v)$, $\<out>(v)$, $\<out>(w)$. Intervaly do~sebe budou zanoøené takto: $<<>_v>_w$.
-
-U~dopøedných hran je poøadí: $\<in>(v)$, $\<in>(w)$, $\<out>(w)$, $\<out>(v)$. Intervaly do~sebe budou zanoøené takto: $<<>_w>_v$.
-
-U~pøíèných hran je poøadí: $\<in>(w)$, $\<out>(w)$, $\<in>(v)$, $\<out>(v)$. Intervaly do~sebe budou zanoøené takto: $<>_w<>_v$.
-
-Pozn: Pou¾íváme zde toto znaèení: $<>_v = <in(v), out(v)>$. Jedná se o interval objevení a opu¹tìní vrcholu $v$.
-
-\s{Typy hran ($v \rightarrow w$):}
+\s{Klasifikace hran:} DFS dìlí hrany na následující ètyøi druhy. Hrana $uv$ je:
\itemize\ibull
-\:Stromové hrany \dots po nich DFS pro¹lo. $\{(A \rightarrow B), (B \rightarrow C), (B \rightarrow D)\}$
-\:Zpìtné hrany $<<>_v>_w$\dots vedou do~pøedchùdce $v$ ve~stromu. $\{(C \rightarrow A)\}$
-\:Dopøedné hrany $<<>_w>_v$\dots vedou do~potomka. $v$ $\{(A \rightarrow D)\}$
-\:Pøíèné hrany $<>_w<>_v$\dots vedou do~vrcholu $v$ v~sousedním podstromì, v¾dy zprava doleva. $\{(D \rightarrow A)\}$
+\:{\I Stromová} (na na¹em obrázku plná) pokud po ní DFS pro¹lo do neoznaèeného vrcholu. V¹imnìte si,
+ ¾e stromové hrany spoleènì tvoøí strom orientovaný od koøene~$v_0$. (Je to
+ strom, jeliko¾ vzniká postupným pøidáváním listù.) Tomuto stromu se øíká DFS strom.
+\:{\I Zpìtná} (teèkovaná) -- taková hrana vede do~vrcholu, do kterého jsme
+ vstoupili, ale je¹tì jsme ho neopustili (to je vrchol, který máme pøi rekurzi na zásobníku).
+ Odpovídá uzávorkování $(_v \dots (_u \dots )_u \dots )_v$.
+\:{\I Dopøedná} (èárkovaná) -- vede do vrcholu, který jsme u¾ opustili, ale který je
+ potomkem aktuálního vrcholu: $(_u \dots (_v \dots )_v \dots )_u$.
+\:{\I Pøíèná} (èerchovaná) -- vede do vrcholu, který jsme u¾ opustili, ale který ve~stromu
+ nele¾í pod aktuálním vrcholem. Musí tedy vést do vrcholù \uv{nalevo} od stromové cesty
+ z~$v_0$ do~$u$. Napravo toti¾ le¾í vrcholy, které v~okam¾iku opou¹tìní~$u$ je¹tì nebyly
+ prozkoumané, tak¾e hrana $uv$ by se stala stromovou. Pøíèné hrany poznáme podle
+ uzávorkování $(_v \dots )_v \dots (_u \dots )_u$.
+\:Jiné druhy hran nemohou existovat, probrali jsme toti¾ v¹echny mo¾nosti, v~jakém
+ vztahu mohou být páry závorek $(_u )_u$ a $(_v )_v$.
\endlist
-
-\s{Pozorování:} Hrany, po~kterých DFS pro¹lo, tvoøí DFS strom.
-
-\s{Pozorování:} Intervaly ($\<in>(v)$, $\<out>(v)$) $\forall v \in V(G) $ tvoøí dobré uzávorkování. (Intervaly synù disjunktnì vyplòují otce $\Rightarrow$ intervaly se nemohou køí¾it).
-
-Nakonec si je¹tì uvìdomme, jak bude vypadat prohledávání do~hloubky na~neorientovaném grafu. Algortimus bude úplnì stejný, jenom se nám zredukuje poèet typù hran na~dvì: {\I stromové} a~{\I zpìtné}. Ani {\I dopøedné} ani {\I pøíèné} nebudou existovat, nebo» se z~{\I pøíèných} stanou {\I stromové} a z~{\I dopøedných zpìtné}.
+Kterého typu hrana je, mù¾eme tedy poznat podle znaèky $Z[v]$ a podle hodnot \<in> a \<out>
+vrcholù $u$ a~$v$.
+
+\s{Neorientované grafy:} V~neorientovaných grafech (ka¾dou hranu vidíme jako dvì orientované
+hrany) je situace daleko jednodu¹¹í. Buïto hranu objevíme jako stromovou (a v~opaèném smìru
+ji vidíme jako zpìtnou), nebo ji objevíme jako zpìtnou (a~v~opaèném smìru se jeví dopøednou).
+Pøíèné hrany nemohou existovat, proto¾e k~nim opaèná hrana by byla pøíèná vedoucí zleva
+doprava, co¾ víme, ¾e nenastane.
\bye
projects / ads1.git / commitdiff