Existuje toti¾ bijekce mezi párováním a~celoèíselnými toky pøi~zachování velikosti. Z ka¾dého toku na~vý¹e zmínìném grafu (viz obrázek) lze sestrojit párování o~stejné velikosti (velikost toku zde odpovídá poètu hran bipartitního grafu, po~kterých poteèe 1) a~naopak. Dùle¾ité je si uvìdomit, ¾e~definice toku (omezení toku kapacitou a~Kirchhoffovy zákony) nám zaruèují, ¾e~hrany s~nenulovým tokem (tedy jednièkovým) budou tvoøit párování (nestane se, ¾e~by dvì hrany zaèínaly nebo konèily ve~stejném vrcholu, nebo» by se~nutnì poru¹ila jedna ze~dvou podmínek definice toku). Potom i~maximální tok bude odpovídat maximálnímu párování a~naopak.
-V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$. Forùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$ (za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová slo¾tost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
+V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$. Fordùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$ (za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová slo¾tost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
\bye
zpùsobit, ¾e $\chi$ je exponenciálnì velká vùèi $\psi$.
Pozdìji uká¾eme, ¾e lze podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v~CNF, která sice není
ekvivalentní s $\psi$ (pøibydou nám promìnné, a ne ka¾dý roz¹íøený model
-$\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ --- co¾ nám
-pøesnì staèí --- a je lineárnì velká vùèi $\psi$.
+$\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ -- co¾ nám
+pøesnì staèí -- a je lineárnì velká vùèi $\psi$.
\h{2. problém: 3-SAT}
\s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály.
indikovat, zda se $i$-tý vrchol vyskytuje v~nezávislé mno¾inì (tedy pøíslu¹né ohodnocení
promìnných bude vlastnì charakteristická funkce nezávislé mno¾iny).
\:Pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$. Tyto klauzule
- nám ohlídají, ¾e vybraná mno¾ina je vskutku nezávislá..
+ nám ohlídají, ¾e vybraná mno¾ina je vskutku nezávislá.
\:Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e je mno¾ina dostateènì velká, tak¾e si její prvky
oèíslujeme èísly od~1 do~$k$. Oèíslování popí¹eme maticí promìnných $x_{ij}$, pøièem¾
$x_{ij}$ bude pravdivá právì tehdy, kdy¾ v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$v_j$
(jen dodejme, ¾e $a\Rightarrow b$ je definované jako $\neg a\vee b$).
\:Je¹tì potøebujeme zajistit, aby byla v~ka¾dém øádku i sloupci nejvý¹e jedna jednièka:
$\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{i^{'}j}$ a
- $\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{ij^{'}}$..
+ $\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{ij^{'}}$.
\:A~nakonec si ohlídáme, aby v~ka¾dém øádku byla alespoò jedna jednièka, klauzulí $\forall i :
x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$.
\endlist
\s{Poznámka:}
Pro dùkaz následující vìty si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy NP.
-Budeme chtít, aby nápovìda byla
+Budeme chtít, aby nápovìda
mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert
= g(\vert x \vert)$ namísto $\vert y \vert \le g(\vert x \vert)$). Proè je taková
úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit,
\h{Co dìlat, kdy¾ potkáme NP-úplný problém}
\algo
-\:Nepanikaøit
-\:Spokojit se s~málem
+\:Nepanikaøit.
+\:Spokojit se s~málem.
\:Rozmyslet, jestli opravdu potøebujeme obecný algoritmus. Mnohdy potøebujeme pouze
speciálnìj¹í pøípady, které mohou být øe¹itelné v~polynomiálním èase.
\:Spokojit se s~pøibli¾ným øe¹ením, (pou¾ít aproximaèní algoritmus).
\s{Problém: Obchodní cestující}
-\>{\I Vstup:} neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
+\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R }^+_0$.
\>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (obsahující v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
-jako minimální kostra $T$. Tedy optimální Hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
+jako minimální kostra $T$. Tedy optimální hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
\: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
\endlist
\>Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
-je ka¾dá hrana z nalezené Hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
+je ka¾dá hrana z nalezené hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou $c$, která vy¾ene
souèet poznatelnì vysoko). Pokuï existuje hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
z~hran, které byly
}
$$
\>Kdyby takový algoritmus existoval, máme polynomiální algoritmus
-na~Hamiltonovsku kru¾nici.
+na~hamiltonovskou kru¾nici.
\qed
\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
$$\leq f(e) + \left[ c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e}) \right] - f(\overleftarrow{e}) = c(e).$$
Vyu¾ili jsme, ¾e~$g$ je tok v~síti rezerv, tedy $g(e) \leq c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$.
- Pro tok $f'(\overleftarrow{e})$ platí, ¾e $\varepsilon \leq f(\overleftarrow{e})$. Proto $f'(\overleftarrow{e}) = f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon \geq 0$. Zároveò $f'(\overleftarrow{e}) \leq f'(\overleftarrow{e}) \leq c(\overleftarrow{e})$.
+ Pro tok $f'(\overleftarrow{e})$ platí, ¾e $\varepsilon \leq f(\overleftarrow{e})$. Proto $f'(\overleftarrow{e}) = f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon \geq 0$. Zároveò $f'(\overleftarrow{e}) \leq f(\overleftarrow{e}) \leq c(\overleftarrow{e})$.
Tím jsme dokázali, ¾e~$f'(e)$ i~$f'(\overleftarrow{e})$ dodr¾ují kapacity.
\:Skok na~2. krok \dots $\O(1)$.
\endlist
-Zbývá nám jen urèit, kolikrát projdeme vnìj¹ím cyklem (fází). Doká¾eme si~lemma, ¾e hodnota~$l$ vzroste mezi prùchody vnìj¹ím cyklem (fázemi) alespoò o~1. Z~toho plyne, ¾e vnjì¹ím cyklem mù¾eme projít nejvý¹e $n$-krát, nebo» cesta v síti na~$n$ vrcholech mù¾e být dlouhá nejvý¹e $n$.
+Zbývá nám jen urèit, kolikrát projdeme vnìj¹ím cyklem (fází). Doká¾eme si~lemma, ¾e hodnota~$l$ vzroste mezi prùchody vnìj¹ím cyklem (fázemi) alespoò o~1. Z~toho plyne, ¾e vnìj¹ím cyklem mù¾eme projít nejvý¹e $n$-krát, nebo» cesta v síti na~$n$ vrcholech mù¾e být dlouhá nejvý¹e $n$.
Uvìdomme si, ¾e uvnitø vnìj¹ího cyklu pøevládá èlen $\O(m \cdot n)$, tak¾e celková èasová slo¾itost bude $\O(n^2 \cdot m)$.
\:$\forall e \in E: f(e)\leftarrow 0$ (po~hranách nejdøíve nenecháme protékat nic) a~$\forall zu \in E : f(zu)\leftarrow c(zu)$ (ze~zdroje pustíme maximální mo¾nou vlnu).
\:Dokud $\exists u \in V \setminus \{z,s\}: f^{\Delta}(u)>0$:
\::Pokud $\exists v \in V: uv \in E,~r(uv)>0$ a~$h(u)>h(v)$, pak pøevedeme pøebytek po~hranì z~$u$ do~$v$.
-\::V~opaèném pøípadì zvedneme $u$:~$h(u) \leftarrow h(u) + 1$..
+\::V~opaèném pøípadì zvedneme $u$:~$h(u) \leftarrow h(u) + 1$.
\:Vrátíme tok~$f$ jako výsledek.
\endalgo
\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(N^2M)$.
-\s{Pozorování:} Pokud bychom volili v¾dy nejvy¹¹í z~vrcholù s~pøebytkem, tak by se~mohl algoritmus chovat lépe. Podívejme se~na~to pozornìji a~vylep¹ený Goldebrgùv algoritmus oznaème G'..
+\s{Pozorování:} Pokud bychom volili v¾dy nejvy¹¹í z~vrcholù s~pøebytkem, tak by se~mohl algoritmus chovat lépe. Podívejme se~na~to pozornìji a~vylep¹ený Goldebrgùv algoritmus oznaème G'.
\s{Algoritmus (Vylep¹ený Goldbergùv algoritmus)}
V¹imìme si, ¾e~ka¾dá krabièka závisí na~výstupu té pøedcházející. Jednotlivé
krabièky tedy musí urèitì le¾et na~rùzných hladinách. Celkovì bychom museli pou¾ít
-$\Theta{(n)}$ hladin a~jeliko¾ je ka¾dá krabièka konsantnì velká, také $\Theta{(n)}$ hradel. To dává
+$\Theta{(n)}$ hladin a~jeliko¾ je ka¾dá krabièka konstantnì velká, také $\Theta{(n)}$ hradel. To dává
lineární èasovou i~prostorovou slo¾itost, èili oproti sekvenènímu algoritmu jsme si nepomohli.
Zamysleme se nad tím, jak by se proces sèítání mohl zrychlit.
popisovat pouze nìkolika bity?
Evidentnì nám k tomuto binárnímu zakódování tøí stavù budou staèit bity dva.
-Oznaème si je jako $p$ a $q$. Tato dvojice mù¾e nábývat hned ètyø mo¾ných hodnot,
+Oznaème si je jako $p$ a $q$. Tato dvojice mù¾e nabývat hned ètyø mo¾ných hodnot,
kterým pøiøadíme tøi mo¾ná chování bloku. Toto kódování mù¾eme zvolit zcela
-libovolnì, ale pokud si ho zvolíme ¹ikovnì, u¹etøime si dále práci pøi kompozici.
+libovolnì, ale pokud si ho zvolíme ¹ikovnì, u¹etøíme si dále práci pøi kompozici.
Zvolme si tedy kódování takto:
\itemize\ibull
Formálnì zapsáno musí platit, ¾e:
$$x_0\leq x_1\leq \dots \leq x_k \geq x_{k+1}\geq\dots \geq x_{n-1}.$$
-\s{Definice:} Posloupnost $x_0 \dots x_{n-1}$je {\I bitonická}, právì kdy¾ $\exists~j\in \{0,\dots ,n-1\}$, pro
+\s{Definice:} Posloupnost $x_0 \dots x_{n-1}$ je {\I bitonická}, právì kdy¾ $\exists~j\in \{0,\dots ,n-1\}$, pro
které je rotace pùvodní posloupnosti o $j$ prvkù, tedy posloupnost
$$x_j,x_{(j+1) \bmod n},\dots, x_{(j+n-1) \bmod n},$$ èistì bitonická.
\s{Invariant:} Pokud algoritmus pøeète nìjaký vstup, nachází se ve~stavu, který je nejdel¹ím suffixem pøeèteného vstupu, který je nìjakým stavem.
$\alpha(\tau) =$ nejdel¹í stav (nejdel¹í prefix jehly), který je suffixem $\tau$ (pøeèteného vstupu).
-Pojïme si rozmyslet, ¾e z~tohoto invariantu ihnet plyne, ¾e algoritmus najde to, co má. Kdykoli toti¾ ohlásí nìjaký výskyt, tak tam tento výskyt opravdu je. Kdykoli pak má nìjaký výskyt ohlásit, tak se v~této situaci jako suffix toho právì pøeèteného textu vyskytuje hledané slovo, pøièem¾ hledané slovo je urèitì stav a~zároveò nejdel¹í ze v¹ech existujících stavù. Tak¾e invariant opravdu øíká, ¾e jsme právì v~koncovém stavu a~algoritmus nám tedy ohlásí výskyt.
+Pojïme si rozmyslet, ¾e z~tohoto invariantu ihned plyne, ¾e algoritmus najde to, co má. Kdykoli toti¾ ohlásí nìjaký výskyt, tak tam tento výskyt opravdu je. Kdykoli pak má nìjaký výskyt ohlásit, tak se v~této situaci jako suffix toho právì pøeèteného textu vyskytuje hledané slovo, pøièem¾ hledané slovo je urèitì stav a~zároveò nejdel¹í ze v¹ech existujících stavù. Tak¾e invariant opravdu øíká, ¾e jsme právì v~koncovém stavu a~algoritmus nám tedy ohlásí výskyt.
\proof {\I (invariantu)}
Indukcí podle kroku algoritmu. Na~zaèátku pro prázdný naètený vstup invariant triviálnì platí, tedy prázdný suffix $\tau$ je prefixem $\iota$. V~kroku $n$ máme naètený vstup $\tau$ a~k~nìmu pøipojíme znak $x$. Invariant nám øíká, ¾e nejdel¹í stav, který je suffixem, je nejdel¹í suffix, který je stavem. Nyní se ptáme, jaký je nejdel¹í stav, který se dá \uv{napasovat} na~konec øetìzce $\tau x$. Kdykoli v¹ak takovýto suffix máme, tak z~nìj mù¾eme $x$ na~konci odebrat, èím¾ dostaneme suffix slova $\tau$.
\s{Vìta:} Algoritmus KMP najde v¹echny výskyty v~èase $O(J+S)$.
\proof
-Linéární èas s~délkou jehly potøebujeme na~postavení automatu, lineární èas s~délkou sena pak potøebujeme na~samotné vyhledání.
+Lineární èas s~délkou jehly potøebujeme na~postavení automatu, lineární èas s~délkou sena pak potøebujeme na~samotné vyhledání.
\h{Rabinùv-Karpùv algoritmus}
Pøedtím, ne¾ se pustíme do~vlastního vyhledávacího algoritmu, mo¾ná bychom si mìli ujasnit, co vlastnì bude jeho výstupem. U problému hledání jedné jehly to bylo jasné -- byla to nìjaká mno¾ina pozic v~senì, na~kterých zaèínaly výskyty jehly. Jak tomu ale bude zde? Sice bychom také mohly vrátit pouze mno¾inu pozic, ale my budeme chtít malièko víc. Budeme toti¾ chtít vìdìt i~to, která jehla se na~které pozici vyskytuje. Výstup tedy bude vypadat následovnì: $V = \{(i,j)~\vert~\sigma[i:i+J_j]= \iota_j \}$.
-Zde se v¹ak skrývá jedna drobná zrada. Budeme se asi muset vzdát nadìje, ¾e najdeme algoritmus, jeho¾ slo¾itost je lineární v~celkové délce v¹ech jehel a~sena. Výstup toti¾ mù¾e být del¹í ne¾ lineární. Mù¾e se nám klidnì stát, ¾e na~jedné pozici v~senì se bude vyskytovat více rùzných jehel -- pokud bude jedna jehla prefixem jiné (co¾ jsme nikde nezakázali), tak máme povinost ohlásit oba výskyty. Vzhledem k~tomu budeme hledat takový algoritmus, který bude lineární v~délce vstupu plus délce výstupu, co¾ je evidentnì to nejlep¹í, èeho mù¾eme dosáhnout.
+Zde se v¹ak skrývá jedna drobná zrada. Budeme se asi muset vzdát nadìje, ¾e najdeme algoritmus, jeho¾ slo¾itost je lineární v~celkové délce v¹ech jehel a~sena. Výstup toti¾ mù¾e být del¹í ne¾ lineární. Mù¾e se nám klidnì stát, ¾e na~jedné pozici v~senì se bude vyskytovat více rùzných jehel -- pokud bude jedna jehla prefixem jiné (co¾ jsme nikde nezakázali), tak máme povinnost ohlásit oba výskyty. Vzhledem k~tomu budeme hledat takový algoritmus, který bude lineární v~délce vstupu plus délce výstupu, co¾ je evidentnì to nejlep¹í, èeho mù¾eme dosáhnout.
Algoritmus, který si nyní uká¾eme, vymysleli nìkdy v~roce 1975 pan Aho a~paní Corasicková. Bude to takové zobecnìní Knuthova-Morrisova-Prattova algoritmu.
\::Dokud $\beta \neq \emptyset$:
\:::Je-li $\<slovo>(\beta) \neq \emptyset$:
\::::Ohlásíme $\<slovo>(\beta)$.
-\::::$\beta \leftarrow \<out>(\beta)$.
+\:::$\beta \leftarrow \<out>(\beta)$.
\endalgo
Algoritmus hledání vlastnì není nic jiného, ne¾ prosté projití po~zelených zkratkových hranách ze stavu $\alpha$, ve~kterém právì jsme, a~ohlá¹ení v¹eho, co po~cestì najdeme.
-V ka¾dém okam¾iku se automat nachází ve~stavu, který odpovídá nejmen¹ímu mo¾nému suffixu toho, co jsme u¾ pøeèetli. Dùkaz tohoto invariantu je stejný jako u verze automatu pro hledání pouze jedné jehly, nebo» vychází pouze z~definice zpìtných hran. Podobnì nahlédneme, ¾e èasová slo¾itost vyhledávací procedury je lineární v~délce sena plus to, co spotøebujeme na~hlá¹ení výskytù. Nejprve na~chvíli zapomeneme, ¾e nìjaké výskyty hlásíme a~spoèítáme jenom kroky. Ty mohou vést dopøedu a~zpátky. Krok dopøedu prodlu¾uje jméno stavu o~jedna, krok dozadu zkracuje aspoò o~jedna. Tudí¾ krokù dozadu je maximálnì tolik, co krokù dopøedu a~krokù dopøedu je maximálnì tolik, kolik je délka sena. V¹echny kroky dohromady tedy trvají $\O(S)$. Hlá¹ení výskytù pak trvá $\O(S~+ \vert V \vert)$. Velé hledání tedy trvá lineárnì v~délce vstupu a~výstupu.
+V ka¾dém okam¾iku se automat nachází ve~stavu, který odpovídá nejmen¹ímu mo¾nému suffixu toho, co jsme u¾ pøeèetli. Dùkaz tohoto invariantu je stejný jako u verze automatu pro hledání pouze jedné jehly, nebo» vychází pouze z~definice zpìtných hran. Podobnì nahlédneme, ¾e èasová slo¾itost vyhledávací procedury je lineární v~délce sena plus to, co spotøebujeme na~hlá¹ení výskytù. Nejprve na~chvíli zapomeneme, ¾e nìjaké výskyty hlásíme a~spoèítáme jenom kroky. Ty mohou vést dopøedu a~zpátky. Krok dopøedu prodlu¾uje jméno stavu o~jedna, krok dozadu zkracuje aspoò o~jedna. Tudí¾ krokù dozadu je maximálnì tolik, co krokù dopøedu a~krokù dopøedu je maximálnì tolik, kolik je délka sena. V¹echny kroky dohromady tedy trvají $\O(S)$. Hlá¹ení výskytù pak trvá $\O(S~+ \vert V \vert)$. Celé hledání tedy trvá lineárnì v~délce vstupu a~výstupu.
Zbývá nám u¾ jen konstrukce automatu. Opìt vyu¾ijeme faktu, ¾e zpìtná hrana ze stavu $\beta$ vede tam, kam by se dostal automat pøi hledání $\beta$ bez prvního písmenka. Tak¾e zase chceme nìco, jako simulovat výpoèet toho automatu na~slovech bez prvního písmenka a~doufat v~to, ¾e si vystaèíme s~tou èástí automatu, kterou jsme u¾ postavili. Tentokrát to v¹ak nemù¾eme dìlat jedno slovo po~druhém, proto¾e zpìtné hrany mohou vést køí¾em mezi jednotlivými vìtvemi automatu. Mohlo by se nám tedy stát, ¾e pøi hledání nìjakého slova potøebujeme zpìtnou hranu, která vede do~jiného slova, které jsme je¹tì nezkonstruovali. Tak¾e tento postup sel¾e. Mù¾eme v¹ak vyu¾ít toho, ¾e ka¾dá zpìtná hrana vede ve~stromu alespoò o~jednu hladinu vý¹. Mù¾eme tak strom konstruovat po~hladinách. Lze si to tedy pøedstavit tak, ¾e paralelnì spustíme vyhledávání v¹ech slov bez prvních písmenek a~v¾dycky udìláme jeden podkrok ka¾dého z~tìch hledání, co¾ nám dá zpìtné hrany z~dal¹ího patra stromu.
\:::$z(v) \leftarrow q$.
\:::Pokud $slovo(q) \neq \emptyset$, pak $out(v) \leftarrow q$.
\::::Jinak $out(v) \leftarrow out(q)$.
+\:::Vlo¾íme $v$ do~fronty $F$.
\endalgo
-To, ¾e tento algoritmus zkonstruuje zpìtné hrany jak má, vyplývá z~toho, ¾e nedìláme nic jiného, ne¾ ¾e spou¹tíme výpoèty po~hladinách na~v¹echna hledaná slova bez prvního písmenka. Stejnì tak to, ¾e dobìhne v~lineárním èase je takté¾ dùsledkem toho, ¾e efektivnì spou¹tíme v¹echny tyto výpoèty. Jen nìkdy udìláme najednou krok dvou èi více výpoètù (napøíklad |araba| a~|arbara| se poèítají na~zaèátku, dokud jsou stejné, jen jednou). Èasová slo¾itost této konstrukce je tedy men¹í nebo rovna souètu èasových slo¾itostí výpoètù nad v¹emi tìmi slovy. To u¾ ale víme, ¾e je lineární v~celkové délce tìchto slov. Konstrukce automatu tedy trvá nejvý¹e tolik, co hledání v¹ech $\iota_i$, co¾ je $\O(\sum_{i} \iota_i)$.
+To, ¾e tento algoritmus zkonstruuje zpìtné hrany jak má, vyplývá z~toho, ¾e nedìláme nic jiného, ne¾ ¾e spou¹tíme výpoèty po~hladinách na~v¹echna hledaná slova bez prvního písmenka. Stejnì tak to, ¾e dobìhne v~lineárním èase, je takté¾ dùsledkem toho, ¾e efektivnì spou¹tíme v¹echny tyto výpoèty. Jen nìkdy udìláme najednou krok dvou èi více výpoètù (napøíklad |araba| a~|arbara| se poèítají na~zaèátku, dokud jsou stejné, jen jednou). Èasová slo¾itost této konstrukce je tedy men¹í nebo rovna souètu èasových slo¾itostí výpoètù nad v¹emi tìmi slovy. To u¾ ale víme, ¾e je lineární v~celkové délce tìchto slov. Konstrukce automatu tedy trvá nejvý¹e tolik, co hledání v¹ech $\iota_i$, co¾ je $\O(\sum_{i} \iota_i)$.
\s{Vìta:} Algoritmus Aho-Corasicková najde v¹echny výskyty v~èase
$$\O\left(\sum_i~\iota_i~+~S~+~\sharp\<výskytù>\right).$$
do konvexního obalu patøí. Po $h$ krocích dostaneme zpìt k nejlevìj¹ímu bodu a výpoèet ukonèíme. V ka¾dém kroku potøebujeme projít v¹echny body a
vybrat následníka, co¾ doká¾eme v èase $\O(n)$. Celková slo¾itost algoritmu je tedy $\O(n \cdot h)$.
-\twofigures{7-geom6_provazkovy_algoritmus.eps}{Provázkový algoritmus.}{1.25in}{7-geom7_naslednik_pres_konvexni_obal.eps}{Hledání kandidáta v pøedpoèítaném obalu}{2.5in}
+\twofigures{7-geom6_provazkovy_algoritmus.eps}{Provázkový algoritmus.}{1.25in}{7-geom7_naslednik_pres_konvexni_obal.eps}{Hledání kandidáta v pøedpoèítaném obalu.}{2.5in}
Provázkový algoritmus funguje, ale má jednu obrovskou nevýhodu -- je toti¾ ukrutnì pomalý. Ký¾eného zrychlení dosáhneme, pokud pou¾ijeme pøedpoèítané
konvexní obaly. Ty umo¾ní rychleji hledat následníka. Pro ka¾dou z mno¾in $Q_i$ najdeme zvlá¹» kandidáta a poté z nich vybereme toho nejlep¹ího.
mnoho vrcholù, hran a stìn -- pro $v$ vrcholù, $e$ hran a $f$ stìn je $e \le 3v-6$ a navíc $v+f = e+2$. Tedy slo¾itost diagramu je lineární vzhledem k
poètu zadaných bodù $n=f$, $\O(n)$. Navíc Voroného diagram lze zkonstruovat v èase $\O(n \log n)$, napøíklad pomocí zametání roviny nebo metodou
rozdìl a panuj. Tím se v¹ak zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno: Detaily naleznete v zápiscích z pøedloòského
-ADSka.} místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychlé hledat nejbli¾¹í body.
+ADSka.} místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychle hledat nejbli¾¹í body.
\h{Lokalizace bodu uvnitø mnohoúhelníkové sítì}
\algo
\:Pokud $n = 1$, vrátíme $p_{0}$ a~skonèíme.
-\:Jinak rozdìlíme $P$ èleny se sudými a lichými exponenty (jako v pùvodní
+\:Jinak rozdìlíme $P$ na èleny se sudými a lichými exponenty (jako v pùvodní
my¹lence) a~rekurzivnì zavoláme FFT($P_s$, $\omega^{2}$) a~FFT($P_l$,
$\omega^{2}$) -- $P_l$ i~$P_s$ jsou stupnì max. $n/2-1$, $\omega^2$ je
$n/2$-tá primitivní odmocnina, a mocniny $\omega^2$ jsou stále po dvou
\:Zpracování signálu -- rozklad na~siny a~cosiny o~rùzných frekvencích
$\Rightarrow$ spektrální rozklad.
-\:komprese dat -- napøíklad formát JPEG.
+\:Komprese dat -- napøíklad formát JPEG.
\:Násobení dlouhých èísel v~èase $\Theta(n \log n)$.
\endlist
projects / ads2.git / commitdiff