Drobne preklepy.

diff --git a/3-goldberg/3-goldberg.tex b/3-goldberg/3-goldberg.tex
index 92cc877b54d514d69b562b31c6ca303209353602..6e528c93665f8a05e5a4da4441f3508a29fbec1f 100644 (file)
--- a/3-goldberg/3-goldberg.tex
+++ b/3-goldberg/3-goldberg.tex
@@ -114,7 +114,6 @@ Uka
 Proè je druhá svorka nezáporná, je zøejmé, nebo» tok na~hranì je v¾dy nezáporný a~souèet nezáporných èísel je nezáporné èíslo.
 
 Proto $\sum_{u \in A}{f^\Delta(u) \le 0}$. Zároveò v¹ak v~$A$ je aspoò jeden vrchol s~kladným pøebytkem, toti¾~$v$, proto v~$A$ musí být také vrchol se~záporným pøebytkem -- a~jediný takový je zdroj. Tím je dokázáno, ¾e $z \in A$, tedy ¾e vede nenasycená cesta z~vrcholu~$v$ do~zdroje.
-
 \qed
 
 \s{Invariant V (Vý¹ka):} $\forall v \in V$ platí $h(v)\leq 2N$.
@@ -175,29 +174,34 @@ D
 \s{Rozbor èasové slo¾itosti algoritmu:}
 
 \numlist\ndotted
-\:Inicializace vý¹ek \dots $\O(1)$.
-\:Inicializace vlny~$f$ \dots $\O(M)$.
-\:Výbìr vrcholu~$u$ s~kladným pøebytkem -- vezmeme první vrchol v~$P$ \dots $\O(1)$.
-\:Výbìr vrcholu~$v$, do~kterého vede z~$u$ hrana s~kladnou rezervou a~který je ní¾e ne¾~$u$ -- vezmeme první hranu z~$L(u)$ \dots $\O(1)$.
+\:Inicializace vý¹ek \dots\ $\O(1)$.
+\:Inicializace vlny~$f$ \dots\ $\O(M)$.
+\:Výbìr vrcholu~$u$ s~kladným pøebytkem -- vezmeme první vrchol v~$P$ \dots\ $\O(1)$.
+\:Výbìr vrcholu~$v$, do~kterého vede z~$u$ hrana s~kladnou rezervou a~který je ní¾e ne¾~$u$ -- vezmeme první hranu z~$L(u)$ \dots\ $\O(1)$.
        
-       Pøevedení pøebytku: \dots $\O(1)$.
+       Pøevedení pøebytku: \dots\ $\O(1)$.
                \itemize\idot
-               \:Nasycené pøevedení \dots $\O(1)$.
+               \:Nasycené pøevedení \dots\ $\O(1)$.
                        \itemize\idot
-                       \:Rezerva hrany~$uv$ klesne na~nulu $\Rightarrow$ hrana~$uv$ vypadne z~$L(u)$ \dots $\O(1)$.
-                       \:Pøebytek vrcholu~$v$ se~zvý¹í $\Rightarrow$ pokud je¹tì nebyl v~seznamu~$P$, tak se~tam pøidá \dots $\O(1)$.
-                       \:Pøebytek vrcholu~$u$ mo¾ná také klesne na~nulu $\Rightarrow$ pak by vrchol~$u$ vypadnul z~$P$ \dots $\O(1)$.
+                       \:Rezerva hrany~$uv$ klesne na~nulu $\Rightarrow$ hrana~$uv$ vypadne z~$L(u)$ \dots\ $\O(1)$.
+                       \:Pøebytek vrcholu~$v$ se~zvý¹í $\Rightarrow$ pokud je¹tì nebyl v~seznamu~$P$, tak se~tam pøidá \dots\ $\O(1)$.
+                       \:Pøebytek vrcholu~$u$ mo¾ná také klesne na~nulu $\Rightarrow$ pak by vrchol~$u$ vypadnul z~$P$ \dots\ $\O(1)$.
                        \endlist
-               \:Nenasycené pøevedení \dots $\O(1)$.
+               \:Nenasycené pøevedení \dots\ $\O(1)$.
                        \itemize\idot
-                       \:Rezerva hrany~$uv$ zùstane nezáporná $\Rightarrow$ hrana~$uv$ zùstane v~$L(u)$ \dots $\O(1)$.
+                       \:Rezerva hrany~$uv$ zùstane nezáporná $\Rightarrow$ hrana~$uv$ zùstane v~$L(u)$ \dots\ $\O(1)$.
                        \:Vynuluje se~pøebytek vrcholu~$u$~$\Rightarrow$ vrchol $u$ vypadne z~$P$ \dots~$\O(1)$.
-                       \:Pøebytek vrcholu~$v$ se~zvý¹í~$\Rightarrow$ pokud je¹tì nebyl v~seznamu~$P$, tak se~tam pøidá \dots $\O(1)$.
+                       \:Pøebytek vrcholu~$v$ se~zvý¹í~$\Rightarrow$ pokud je¹tì nebyl v~seznamu~$P$, tak se~tam pøidá \dots\ $\O(1)$.
                        \endlist
                \endlist
 \:Zvednutí vrcholu~$u$ \dots $\O(N)$.
 
-       Musíme obejít v¹echny hrany do~$u$ a~z~$u$, kterých je nejvý¹e~$2N-2$, porovnat vý¹ky a~pøípadnì tyto hrany~$uv$ odebrat ze~seznamu~$L(u)$ resp. pøidat do~$L(v)$. Abychom pro~odebrání hrany~$uv$ ze~seznamu~$L(u)$ nemuseli procházet celý seznam, budeme si~$\forall v \in V$ pamatovat je¹tì $L^{-1}(v) := $ seznam ukazatelù na~hrany~$uv$ v~seznamech~$L(u)$.
+Musíme obejít v¹echny hrany do~$u$ a~z~$u$, kterých je nejvý¹e~$2N-2$, porovnat
+vý¹ky a~pøípadnì tyto hrany~$uv$ odebrat ze~seznamu~$L(v)$ resp. pøidat
+do~$L(u)$. Abychom pro~odebrání hrany~$uv$ ze~seznamu~$L(v)$ nemuseli procházet
+celý seznam, budeme si~$\forall u \in V$ pamatovat je¹tì $L^{-1}(u) := $ seznam
+ukazatelù na~hrany~$uv$ v~seznamech~$L(v)$.
+
 \endlist
 
 Vidíme, ¾e ka¾dé zvednutí je sice drahé, ale je jich zase pomìrnì málo. Naopak pøevádìní pøebytkù je èastá operace, tak¾e je výhodné, ¾e trvá konstantní èas.
@@ -205,9 +209,9 @@ Vid
 \s{Shrnutí:}
 
 \itemize\ibull
-\:V¹ech zvednutí je $\O(N^2)$ (viz lemma Z), ka¾dé trvá $\O(N) \dots \O(N^3).$
-\:V¹ech nasycených pøevedení je $\O(NM)$ (viz lemma S), ka¾dé trvá $\O(1) \dots \O(NM).$
-\:V¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2M)$ (viz lemma N), ka¾dé trvá $\O(1) \dots \O(N^2M).$
+\:V¹ech zvednutí je $\O(N^2)$ (viz lemma Z), ka¾dé trvá $\O(N)$ \dots\ $\O(N^3).$
+\:V¹ech nasycených pøevedení je $\O(NM)$ (viz lemma S), ka¾dé trvá $\O(1)$ \dots\ $\O(NM).$
+\:V¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2M)$ (viz lemma N), ka¾dé trvá $\O(1)$ \dots\ $\O(N^2M).$
 \endlist
 
 Dohromady má tedy Goldbergùv algoritmus èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$. Vidíme, ¾e u¾ v~tomto obecném pøípadì to není hor¹í ne¾ Dinicùv algoritmus. Pøí¹tì si~uká¾eme, ¾e mù¾e mít i~mnohem lep¹í. Nejdøíve ale zformulujme v¹echna dokázaná tvrzení do~následující vìty: