\h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}
-\>Ukkonenùv algoritmus \cite{ukkonen95line} konstruuje suffixový strom bez dolarù inkrementálnì: zaène se stromem
-pro prázdné slovo (ten má jediný vrchol, a to koøen) a postupnì pøidává dal¹í znaky na~konec
-slova. To zvládne v~èase $\O(1)$ amortizovanì na~pøidání jednoho znaku.
+\>Ukkonen popsal algoritmus \cite{ukkonen95line} pro konstrukci suffixového stromu bez dolarù,
+pracující inkrementálnì: Zaène se stromem pro prázdné slovo a postupnì na konec slova pøidává
+dal¹í znaky a pøepoèítává strom. Ka¾dý znak pøitom pøidá v~amortizovanì konstantním èase.
Pro slovo~$\sigma$ tedy doká¾e sestrojit ST v~èase $\O(\vert\sigma\vert)$.
Budeme pøedpokládat, ¾e hrany vedoucí z~jednoho vrcholu je mo¾né indexovat jejich
prvními písmeny -- to bezpeènì platí, pokud je abeceda pevná; není-li, mù¾eme
-si pomoci hashováním.
+si pomoci he¹ováním.
\s{Pozorování:} Kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme na~$\sigma a$, ST se zmìní následovnì:
\numlist\ndotted
-\:Pokud $\beta$ byl nevnoøený suffix slova~$\sigma$, je i $\beta a$ nevnoøený suffix~$\sigma a$. Z~toho víme, ¾e listy
-zùstanou listy, pouze jim potøebujeme prodlou¾it nálepky. Pomù¾eme si snadno: zavedeme
-{\I otevøené hrany,} jejich¾ nálepka je \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak
-o~sebe postarají samy.
+\:V¹echny stávající vrcholy stromu (vèetnì skrytých) odpovídají podslovùm slova~$\sigma$.
+ Ta jsou i podslovy $\sigma a$, tak¾e se budou nacházet i v~novém stromu.
\:Pokud $\beta$ bylo vìtvící slovo, zùstane nadále vìtvící -- tedy vnitøní vrcholy ve~stromu zùstanou.
-\:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol), pak se $\beta a$ buïto
-vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova a strom není nutné
-upravovat, nebo se v~$\sigma$ nevyskytuje a tehdy pro nìj musíme zalo¾it novou odboèku
-a nový list s~otevøenou hranou.
+\:Ka¾dý nový suffix~$\beta a$ vznikne prodlou¾ením nìjakého pùvodního suffixu~$\beta$. Pøitom:
+ \itemize\ibull
+ \:Pokud byl~$\beta$ nevnoøený suffix (èili byl reprezentovaný listem), ani $\beta a$
+ nebude vnoøený. Z~toho víme, ¾e listy zùstanou listy, pouze jim potøebujeme prodlou¾it
+ nálepky. Aby to netrvalo pøíli¹ dlouho, zavedeme {\I otevøené hrany,} jejich¾ nálepka
+ øíká \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak o~sebe postarají samy.
+ \:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol):
+ \itemize\ibull
+ \:Buï se $\beta a$ vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova
+ a strom není nutné upravovat;
+ \:nebo se $\beta$ v~$\sigma$ nevyskytuje -- tehdy pro nìj musíme zalo¾it nový list
+ s~otevøenou hranou a pøípadnì i nový vnitøní vrchol, pod ním¾ bude tento list pøipojen.
+ \endlist
+ \endlist
\endlist
-Víme tedy, co v¹echno musí algoritmus ve~stromu pøí roz¹íøení slova upravit, zbývá
-vyøe¹it, jak to udìlat efektivnì. K~tomu se hodí pár definic a lemmat:
+Víme tedy, co v¹echno je pøi roz¹íøení slova potøeba ve~stromu upravit.
+Zbývá vyøe¹it, jak to udìlat efektivnì.
-\s{Definice:} {\I Aktivní suffix} $\alpha(\sigma)$ øíkáme nejdel¹ímu vnoøenému suffixu slova~$\sigma$.
+\s{Vnoøené suffixy:}
+Pøedev¹ím potøebujeme umìt rozpoznat, které suffixy jsou vnoøené a které nikoliv.
+K~tomu se hodí v¹imnout si, ¾e vnoøené suffixy tvoøí souvislý úsek:
-\s{Lemma:} Suffix $\beta$ slova $\sigma$ je vnoøený $\Leftrightarrow$ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert.$
+{\narrower
+\s{Lemma:} Je-li $\alpha$ vnoøený suffix slova~$\sigma$ a $\beta$ je suffix slova~$\alpha$,
+pak $\beta$ je v~$\sigma$ také vìtvící.
-\proof Ka¾dý suffix vnoøeného suffixu je opìt vnoøený. \qed
+\proof
+Ve~slovì sigma se vyskytuje $\alpha x$ a $\alpha y$ pro nìjaké dva rùzné znaky $x$ a~$y$.
+Ka¾dý z~tìchto výskytù pøitom konèí výskytem slova~$\beta$, jednou následovaným~$x$,
+podruhé~$y$.
+\qed
+
+}
+
+\>Staèí si tedy zapamatovat nejdel¹í vnoøený suffix slova~$\sigma$. Tomu budeme øíkat
+{\I aktivní suffix} a budeme ho znaèit $\alpha(\sigma)$. Libovolný suffix~$\beta\subseteq\sigma$
+pak bude vnoøený právì tehdy, kdy¾ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$.
+Aktivní suffix tedy tvoøí hranici mezi nevnoøenými a vnoøenými suffixy. Jak se tato
+hranice posune, kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme? Na to je odpovìï snadná:
+
+{\narrower
\s{Lemma:} Pro ka¾dé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$
-\proof $\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
+\proof
+$\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoøeným suffixem v~$\sigma$, tak¾e
$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
\qed
-\s{Definice:} Suffix $\beta a$ je {\I zralý} $\equiv$ $\beta$ je vnoøený suffix~$\sigma$, ale $\beta a$ není podslovem~$\sigma$
-(tedy musíme pro~nìj pøi pøidávání znaku~$a$ k~aktuálnímu slovu~$\sigma$ zakládat nový vrchol).
+}
-\s{Lemma:} Suffix $\beta$ je zralý $\Leftrightarrow$ $\vert\alpha(\sigma)a\vert \ge \vert\beta a\vert > \vert\alpha(\sigma a)\vert$.
+\>Hranice se tedy mù¾e posouvat pouze doprava, pøípadnì zùstat na místì.
+Toho lze snadno vyu¾ít.
-\proof Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
-musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, a~tomu odpovídá druhá nerovnost.
-\qed
+\s{Idea algoritmu:} Udr¾ujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontrolujeme,
+zda $\alpha a$ je stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidáme nový list
+a pøípadnì také vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátíme zleva o~znak a testujeme dál.
-\s{Idea algoritmu:} Udr¾ujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontrolujeme, zda $\alpha a$ je
-stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidáme vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátíme
-zleva o~znak a testujeme dál.
+\s{Analýza:} Po~pøidání jednoho znaku na konec slova~$\sigma$ provedeme amortizovanì
+konstantní poèet úprav stromu (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí, po v¹ech úpravách
+pøidáme k~$\alpha$ jediný znak). Tudí¾ staèí ukázat, jak provést ka¾dou úpravu
+v~(amortizovanì) konstantním èase. K~tomu potøebujeme ¹ikovnou reprezentaci slova~$\alpha$,
+která bude umìt efektivnì prodlu¾ovat zprava, zkracovat zleva a testovat existenci
+vrcholu ve~stromu.
-\s{Analýza:} Úprav stromu provedeme $\O(1)$ amortizovanì (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí,
-ka¾dé pøidání znaku ho~prodlou¾í o~znak, tak¾e v¹ech zkrácení je $\O(\vert\sigma\vert)$). Staèí
-tedy ukázat, jak provést úpravu v~(amortizovanì) konstantním èase, k~èemu¾ potøebujeme
-$\alpha$ reprezentovat ¹ikovnì a také si udr¾ovat pomocné informace (zpìtné hrany),
-abychom umìli rychle zkracovat.
+\s{Definice:} {\I Referenèní pár} pro slovo $\alpha\subseteq\sigma$ je dvojice
+$(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol stromu, $\tau$ libovolné slovo a $\pi\tau=\alpha$.
+Navíc víme, ¾e $\tau\subseteq\sigma$, tak¾e si~$\tau$ staèí pamatovat jako dvojici
+indexù ve~slovì~$\sigma$.
-\s{Definice:} {\I Referenèní pár} je dvojice $(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol
-stromu a $\tau$ libovolné slovo. Tento pár popisuje slovo $\pi\tau$. Referenèní
-pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu $\pi$ s~nálepkou,
-která by byla prefixem slova~$\tau$. Navíc $\tau\subseteq\sigma$, tak¾e si~$\tau$
-staèí pamatovat jako dvojici indexù v~$\sigma$.
+Referenèní pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu~$\pi$ s~nálepkou,
+která by byla prefixem slova~$\tau$. (V¹imnìte si, ¾e taková hrana se pozná podle toho,
+¾e první znak nálepky se shoduje s~prvním znakem slova~$\tau$ a nálepka není del¹í ne¾
+slovo~$\tau$. Shodu ostatních znakù není nutné kontrolovat.)
-\s{Pozorování:} Ke~ka¾dému slovu existuje právì jeden kanonický referenèní pár,
-který ho popisuje. V¹imnìte si, ¾e je to ze~v¹ech referenèních párù pro toto slovo
+\s{Pozorování:} Ke~ka¾dému slovu $\alpha\subseteq\sigma$ existuje právì jeden kanonický
+referenèní pár, který ho popisuje. To je ze~v¹ech referenèních párù pro toto slovo
ten s~nejdel¹ím~$\pi$ (nejhlub¹ím vrcholem).
-\s{Definice:} Zpìtná hrana $\<back>[\pi]$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
-který je ze~v¹ech vrcholù nejdel¹ím vlastním suffixem slova~$\pi$.
+\s{Definice:} Zpìtná hrana $\<back>(\pi)$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
+který je zkrácením slova~$\pi$ o~jeden znak zleva. (Nahlédneme, ¾e takový
+vrchol musí existovat: pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, pak je slovo~$\pi$
+vìtvící, tak¾e ka¾dý jeho suffix musí také být vìtvící, a~tím pádem také
+odpovídat nìjakého vrcholu.)
+
+\s{Operace s~referenèními páry:}
+S~referenèním párem $(\pi,\tau)$ popisujícím slovo~$\alpha$ potøebujeme provádìt
+následujicí operace:
+
+\itemize\ibull
+\:{\I Pøidání znaku~$a$ na konec:} Pøipí¹eme~$a$ na konec slova~$\tau$.
+ To je jistì referenèní pár pro $\alpha a$, ale nemusí být kanonický.
+ Pøitom mù¾eme snadno ovìøit, zda se $\alpha a$ ve~stromu nachází,
+ a pøípadnì operaci odmítnout.
+\:{\I Odebrání znaku ze~zaèátku:} Pokud $\pi$ není koøen stromu, polo¾íme
+ $\pi\leftarrow\<back>(\pi)$ a zachováme~$\tau$. Pokud naopak je~$\pi$
+ prázdný øetìzec, odebereme z~$\tau$ jeho první znak (to lze udìlat
+ v~konstantním èase, proto¾e~$\tau$ je reprezentované dvojicí indexù do~$\sigma$).
+\:{\I Pøevedení na kanonický tvar:} Obì pøedchozí operace mohou vytvoøit referenèní
+ pár, který není kanonický. Poka¾dé proto kanonicitu zkontrolujeme a pøípadnì
+ pár upravíme. Ovìøíme, zda hrana z~$\pi$ indexovaná písmenem~$a$ není
+ dost krátká na to, aby byla prefixem slova~$\tau$. Pokud je, tak se
+ po~této hranì pøesuneme dolù, èím¾~$\pi$ prodlou¾íme a~$\tau$ zkrátíme,
+ a proces opakujeme. Jeliko¾ tím poka¾dé $\tau$~zkrátíme a kdykoliv jindy
+ se $\tau$ prodlou¾í nejvý¹e o~1, mají v¹echny pøevody na kanonický tvar
+ amortizovanì konstantní slo¾itost.
+\endlist
-\s{Pozorování:} Zpìtné hrany jsme sice zavedli stejnì obecnì, jako se to dìlá
-pøi konstrukci vyhledávacích automatù podle Aha a Corasickové \cite{ahomcc}, ale v~na¹em
-pøípadì se \<back> pro vnitøní vrcholy chová daleko jednodu¹eji (a~na ¾ádné
-jiné ho potøebovat nebudeme): pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, musí to být
-vìtvící podslovo, a~tím pádem ka¾dé jeho zkrácení zleva musí být také vìtvící
-podslovo. Tedy $\<back>(\pi)$ dá~$\pi$ bez prvního znaku, a~to se nám
-bude hodit pøi zkracování suffixù.
+\>Nyní ji¾ mù¾eme doplnit detaily, získat celý algoritmus a nahlédnout,
+¾e pracuje v~amortizovanì konstantním èase.
-\s{Algoritmus podrobnìji:} (Doplnili jsme detaily do~pøedchozího algoritmu.)
+\s{Algoritmus podrobnìji:}
\algo
-\:Vstup: $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ a jeho funkce \<back>, nový znak~$a$.
+\:{\I Vstup:} $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ spolu s~hranami \<back>, nový znak~$a$.
\:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je pøítomen ve~stromu, a pøípadnì ho zalo¾íme:
\::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitøní vrchol)
\:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou zaèínající znakem $a$, pak je pøítomen.
\:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ pøítomen.
\:::Pokud nenásleduje, tak nebyl pøítomen, èili tuto hranu rozdìlíme: pøidáme na~ni nový vnitøní vrchol,
do~nìj¾ povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~nìj zbytek pùvodní hrany a otevøená hrana do~nového listu.
-\:Pokud $\alpha a$ nebyl pøítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a test opakujeme:
-\::Je-li $\pi\ne\varepsilon$, nastavíme $\pi := \<back>(\pi)$. V~opaèném pøípadì (jsme v~koøeni) zkrátíme $\tau$ o~znak zleva.
-\::Pár $(\pi,\tau)$ u¾ popisuje zkrácené slovo, ale nemusí být kanonický, tak¾e to je¹tì napravíme:
-\:::Dokud existuje hrana vedoucí z~$\pi$, její¾ popiska je prefixem slova $\tau$, tak se
- po~této hranì posuneme, èili prodlou¾íme $\pi$ o~tuto popisku a zkrátíme o~ni~$\tau$.
-\::Zpìt na~krok 2.
-\:Pokud $\alpha a$ ji¾ byl pøítomen, zbývá pøidat $a$ k~$\alpha$ a zastavit se:
-\::$\tau := \tau a$.
-\::Kanonikalizace stejnì jako v~bodech 12--13.\foot{Dokonce jednodu¹¹í, proto¾e projdeme nejvý¹e jednu hranu.}
+\:Pokud $\alpha a$ nebyl pøítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a vrátíme se na~krok~2.
+\:Nyní víme, ¾e $\alpha a$ ji¾ byl pøítomen, tak¾e upravíme referenèní pár, aby popisoval $\alpha a$.
\:Dopoèítáme zpìtné hrany (viz ní¾e).
-\:Výstup: $\alpha=\alpha(\sigma a)$ coby kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
- a jeho funkce \<back>.
+\:{\I Výstup:} $\alpha=\alpha(\sigma a)$ jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
+ a jeho zpìtné hrany \<back>.
\endalgo
-\goodbreak
-
-\s{Èasová slo¾itost:}
-
-Kanonikalizace pracuje v~amortizovanì konstantním èase, proto¾e ka¾dá její iterace
-zkrátí~$\tau$ a za~ka¾dé spu¹tìní algoritmu se~$\tau$ prodlou¾í jen jednou, a~to o~jeden znak.
-
-Prùchodù hlavním cyklem je, jak u¾ víme, amortizovanì konstantní poèet a ka¾dý prùchod
-zvládneme v~konstantním èase.
-
-Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholùm jejich \<back>. To potøebujeme
-jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje)
-a v¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
+\s{Zpìtné hrany:}
+Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholùm jejich zpìtné hrany. To potøebujeme
+jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje).
+V¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
a zpìtná hrana z~nìj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, co¾ je
pøesnì vrchol, který zalo¾íme (nebo zjistíme, ¾e u¾ existuje) v~pøí¹tí iteraci
-hlavního cyklu. V~dal¹í iteraci urèitì je¹tì nebudeme tuto hranu potøebovat,
+hlavního cyklu. V~dal¹í iteraci je¹tì urèitì nebudeme tuto hranu potøebovat,
proto¾e $\pi$ v¾dy jen zkracujeme, a~tak mù¾eme vznik zpìtné hrany o~iteraci
-zpozdit a zvládnout to tak také v~èase $\O(1)$.
-
-Celkovì je tedy èasová slo¾itost inkrementálního udr¾ování suffixového
-stromu amortizovanì konstantní.
-\qed
+zpozdit. Výroba zpìtné hrany tedy bude také trvat jen konstantnì dlouho.
\references
\bye
projects / ga.git / commitdiff