\s{Analýza:} Operace s~mikrostromy, spojovacími hranami a cestami jsou, jak u¾ víme,
amortizovanì konstantní. Operace s~makrostromy také, jeliko¾ trvají $\O(\log n)$,
ale provede se jich pouze $\O(n/\log n)$. Ka¾dou operaci \<Union> nebo \<Find>
-rozlo¾íme $\O(1)$ tìchto dílèích operací, tak¾e bude také trvat $\O(1)$ amortizovanì.
+rozlo¾íme na~$\O(1)$ tìchto dílèích operací, tak¾e bude také trvat $\O(1)$ amortizovanì.
\h{Fredericksonova clusterizace}
\::Sestroj sí» rezerv.
\::Najdi nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèi.
\::Proèisti sí», tj. nech v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
-\::Najdi blokující tok $f_B$:
+\::Najdi v~proèi¹tìné síti blokující tok $f_B$:
\:::$f_B \leftarrow \<prázdný tok>$
\:::Postupnì pøidáváme $st$-cesty: {\I (vnitøní cyklus)}
\::::Najdi $st$-cestu. Napø. hladovì metodou rovnou za nosem.
}$$
\qed
-Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez $v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální øez v $G'$. Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
+Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran
+kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez
+$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální
+øez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez
+kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme
+rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$ a prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.
\:$t\not\in X$.\par
Doká¾eme dvì nerovnosti. Nerovnost $$\eqalignno{c(U \cup X) &\ge c(U)&(1)}$$
platí proto, ¾e $U \cup X$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez. Dal¹í
-$$\eqalignno{\d(U \cap X) + c(U \cup X) &\le c(U) + c(X)&(2)}$$
+$$\eqalignno{c(U \cap X) + c(U \cup X) &\le c(U) + c(X)&(2)}$$
doká¾eme \uv{rozborem pøípadù}.
}
\s{Dùkaz:}
Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
-Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e]\setminus T'$, musí
+Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e']\setminus T'$, musí
$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bli¾¹í k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
jeliko¾ $e'$ nemù¾e být lehká vzhledem k~$T$, tak¾e speciálnì $w(e')\ge w(e)$.
\::$(v,w,w(vw))=\<DeleteMin>(H)$
\::$T:=T\cup\{vw\}$
\::Pro v¹echny sousedy $u\in E\backslash T$ vrcholu $v$ upravím haldu:
-\:::Pokud je $u$ v~$H$ nový, pøidáme jej spolu s~nejlevnìj¹í hranou vedoucí z~$u$ do~$T$.
+\:::Pokud je $u$ v~$H$ nový, pøidáme jej spolu s~hranou $uv$
\:::Pokud u¾ $u$ v~$H$ je a $uv$ je levnìj¹í ne¾ pùvodní nejlevnìj¹í hrana z~$u$
do~$T$, nahradím jeho záznam v~$H$ za~$(u,v,w(uv))$ a provedu $\<DecreaseKey>(u,w(uv))$.
\global\algcnt=\itemcount
\>Správnost algoritmu pøímo plyne ze~správnosti Jarníkova algoritmu.
\s{Èasová slo¾itost:}
-Slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, nebo» vnitøní cyklus se provede
+Slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, nebo» vnìj¹í cyklus se provede
nanejvý¹ $n$-krát, za~\<DeleteMin> v~nìm tedy zaplatíme celkem $\O(n\log n)$, za~pøidávání
vrcholù do~$H$ a~nalezání nejlevnìj¹ích hran zaplatíme celkem $\O(m)$ (na~ka¾dou hranu takto
sáhneme nanejvý¹ dvakrát), za~sni¾ování vah vrcholù v~haldì rovnì¾ pouze $\O(m)$
\endalgo
Slo¾itosti operací jsou pìkné, ale nesmíme zapomenout, ¾e strukturu
-je na~poèátku nutné inicializovat, co¾ trvá $\Omega(\sqrt U)$.
+je na~poèátku nutné inicializovat, co¾ trvá $\Omega(\sqrt U)$.\foot{Svádí
+to k~nápadu ponechat pøihrádky neinicializované a nejdøíve se v¾dy zeptat
+sumárního stromu, ale tím bychom si pokazili èasovou slo¾itost.}
Z~následujících úvah ov¹em vyplyne, ¾e si inicializaci mù¾eme
odpustit.
\>Rozcvièka: {\I nejpravìj¹í jednièka} ve~dvojkovém èísle (hodnota, nikoliv pozice):
\alik{
x&=\0\1\9\9\9\0\1\1\0\0\0\0\0\0 \cr
- x - 1&=\0\1\9\9\9\0\1\0\1\1\0\0\0\1 \cr
+ x - 1&=\0\1\9\9\9\0\1\0\1\1\1\1\1\1 \cr
x \land (x - 1)&=\0\1\9\9\9\0\1\0\0\0\0\0\0\0 \cr
x \oplus (x \land (x - 1))&=\0\0\9\9\9\0\0\1\0\0\0\0\0\0 \cr}
\:$\#1(\alpha)$ -- spoèítá jednièkové bity v~zadaném èísle.
-Staèí provést \<Unpack> (výsledek se dokonce vejde do~$b\log b$ bitù)
-a následnì \<Sum>.
+Staèí provést \<Unpack> a následnì \<Sum>.
\:$\<Permute>_\pi(\alpha)$ -- pøehází bity podle zadané fixní permutace.
projects / ga.git / commitdiff