a místo $L(x)=\hbox{\sc ano}$ psát prostì $x\in L$.]
Vstupy mìjme zakódované jen pomocí nul a jednièek (obecnì je jedno, jaký základ pro soustavu
-kódování zvolíme, pøevody mezi poyladickými soustavami jsou co do velikosti polynomiální). Rozhodovací problém
-zadefinujeme jako $f:\ \{0,1\}^{\ast} \to \{0,1\}$, to jest funkci z mno¾iny v¹ech øetìzcù jednièek a nul
+kódování zvolíme, pøevody mezi soustavami o nìjakém základu $\neq$ 1 jsou co do velikosti
+zápisu polynomiální). Rozhodovací problém je tedy
+$f:\ \{0,1\}^{\ast} \to \{0,1\}$, to jest funkce z mno¾iny v¹ech øetìzcù jednièek a nul
do mno¾iny $\{1,0\}$, kde 1 na výstupu znamená {\sc ano}, 0 {\sc ne}.
\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$
mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.
A~jak ná¹ rozhodovací problém øe¹it? Nejsnáze tak, ¾e ho pøevedeme
-na~{jiný\footnote{${}^{\dag}$}{vìrni matfyzáckým vtipùm}}, který
+na~{jiný,\footnote{${}^{\dag}$}{vìrni matfyzáckým vtipùm}} který
u¾ vyøe¹it umíme. Tento postup jsme (právì u~hledání párování) u¾ pou¾ili
v~kapitole o~Dinicovì algoritmu. Vytvoøili jsme vhodnou sí», pro kterou
platilo, ¾e v~ní existuje tok velikosti~$k$ právì tehdy, kdy¾
Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat obecnì:
\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
-redukovat} (neboli pøevést) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) $\equiv$
-existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall
+redukovat} (neboli {\it pøevést}) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
+kdy¾ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall
x: A(x) = B(f(x))$. V¹imnìme si, ¾e $f$ pracující v polynomiálním èase vstup
zvìt¹í nejvíce polynomiálnì.
lze tak øe¹it i~$A$): Nech» problém~$B$ umíme øe¹it v~èase $\O(b^k)$, kde
$b$ je délka jeho vstupu. Nech» dále funkce $f$ pøevádìjící $A$ na $B$ pracuje
v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Spustíme-li tedy $B(f(x))$ na~nìjaký
-vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, tak¾e $B(f(x))$
-pobì¾í v~èase $\O(a^\ell + (a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je polynomiální
-v~délce vstupu~$a$.
+vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, kde $a=|q|$; tak¾e
+$B(f(x))$ pobì¾í v~èase $\O(a^\ell + (a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je
+polynomiální v~délce vstupu~$a$.
\s{Pozorování:} Pøevoditelnost je
$A\rightarrow B$ a $B\rightarrow A$. Omezíme-li se v¹ak na tøídy navzájem pøevoditelných
problémù, dostáváme ji¾ (èásteèné) uspoøádání. Existují i navzájem nepøevoditelné problémy --
napøíklad problém v¾dy odpovídající 1 a problém v¾dy odpovídající 0.
-Podívejme se nyní na~pøevody mezi dal¹ími zajímavými problémy:
+Nyní se ji¾ podíváme na nìjaké zajímavé problémy. Obecnì to budou problémy, na které
+polynomiální algoritmus není znám, a vzájemnými pøevody zjistíme ¾e jsou stejnì tì¾ké.
\h{1. problém: SAT}
\>Splnitelnost (satisfiability) logických formulí, tj. dosazení 1 èi
\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
\endlist
-formule mají tedy tvar:
+\>Formule mají tedy tvar:
$$\psi = (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$
\>{\I Vstup:} Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.
-\>Pøevod nìjaké obecné formule $\psi$ na jí ekvivalentní $\chi$ v CNF mù¾e
+\>Pøevod nìjaké obecné formule $\psi$ na jí ekvivalentní $\chi$ v~CNF mù¾e
zpùsobit, ¾e $\chi$ je exponenciálnì velká vùèi $\psi$.
-Lze ov¹em podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v CNF, která sice není
-ekvivalentní s $\psi$ (tedy ne ka¾dý model
+Pozdìji uká¾eme, ¾e lze podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v~CNF, která sice není
+ekvivalentní s $\psi$ (pøibydou nám promìnné, a ne ka¾dý roz¹íøený model
$\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ --- co¾ nám
pøesnì staèí --- a je lineárnì velká vùèi $\psi$.
$$(\alpha \lor \beta) \hbox{, t¾. } \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4
,\ \vert\alpha\vert \geq 2,\ \vert\beta\vert\geq 2$$
pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \land (\beta \lor \lnot x),$$
-kde $x$ je nová promìnná, kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule.
-
-\>Platí-li:
-\itemize\ibull
-\:$\alpha \Rightarrow x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule),
-\:$\beta \Rightarrow x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule),
-\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow x = 0/1$ (je nám to jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní).
-\endlist
+kde $x$ je nová promìnná (pøi ka¾dém dìlení klauzule {\it jiná}
+nová promìnná).
+%kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule.
\>Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba -- formuli délky $k+l$
roztrhneme na formule délky $k+1$ a $l+1$. Pokud klauzule pùlíme, dostaneme
polynomiální èas (strom rekurze má logaritmicky pater -- formule délky alespoò 6
se nám pøi rozdìlení zmen¹í na dvì instance velikosti maximálnì $2/3$ pùvodní, krat¹í
formule nás netrápí; na ka¾dém patøe se vykoná tolik co na pøedchozím + $2^{hloubka}$
-za pøidané formule). Velikost výsledné formule je polynomiální vùèi pùvodní:
-¾ádný literál (výskyt promìnné) pùvodní klauzule neduplikujeme, a v nejhor¹ím
-pøípadì zùstane ka¾dý pùvodní literál v klauzuli sám s nìjakými dvìma pøidanými
-(klauzule o tøech pøidaných mù¾eme vypustit) -- tedy poèet literálu se
-maximálnì ztrojnásobí.
+za pøidané formule). Velikost výsledné formule je tím pádem polynomiální vùèi pùvodní:
+v ka¾dém kroku se pøidají jen dva literály, tedy celkem {\it èas na pøevod}$\cdot
+2$ nových.
+
+\>Platí-li:
+\itemize\ibull
+\:$\alpha \Rightarrow$ zvolíme $x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule),
+\:$\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule),
+\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 0/1$ (je nám to
+ jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní).
+\endlist
Nabízí se otázka, proè mù¾eme pøidanou promìnnou $x$ nastavovat, jak se nám zlíbí.
Vysvìtlení je prosté -- promìnná $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e
\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{1in}
-\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in {\bb N}$.
+\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf $G$, $k \in {\bb N}$.
\>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$: $\forall u,v \in A \Rightarrow uv \not\in E(G)$?
\>Uká¾eme, jak na~tento probém pøevést 3-SAT.
-\s{Pøevod 3-SAT na NzMna:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x$ a $\lnot x$.
+\s{Pøevod 3-SAT na NzMna:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v~rùzných
+klauzulích nevybírali konfliktnì, tj.~$x$ a~$\lnot x$.
\s{Pøíklad:}
$(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $.
vybere právì jeden vrchol, a pøitom ¾ádné dva vrcholy nebudou odpovídat literálu a
jeho negaci -- tedy dostaneme ohodnocení promìnných splòujících alespoò $k$ klauzulí.
Na druhou stranu, existuje-li ohodnocení $k$ klauzulí, pak pøímo odpovídá nezávislé
-mno¾inì velikosti $k$. Ptáme-li se tedy na nezávislou mno¾inu velikosti odpovídající
+mno¾inì velikosti $k$ (v ka¾dém trojúhelníku zvolíme právì jednu z ohodnocených
+promìnných, nemù¾e se stát ¾e zvolíme vrcholy konfliktní hrany). Ptáme-li se tedy
+na nezávislou mno¾inu velikosti odpovídající
poètu klauzulí, dostaneme odpovìï {\sc ano} právì tehdy, kdy¾ je formule splnitelná.
Jsou-li ve formuli i klauzule krat¹í ne¾ 3, mù¾eme je buïto prodlou¾it metodou vý¹e
\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu}{3in}
\s{Pøevod NzMna na SAT:}
-Máme promìnné $v_1, \ldots , v_n$ pro vrcholy.
-
-\>Nyní uká¾eme, jak pøevést problém hledání nezávislé mno¾iny, na SAT.
\itemize\ibull
\:Poøídíme si promìnné $v_1, \ldots, v_n$ odpovídající vrcholùm grafu. Promìnná $v_i$ bude
\:A~nakonec si ohlídáme, aby v~ka¾dém øádku byla alespoò jedna jednièka, klauzulí $\forall i :
x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$.
\endlist
-Takovýto pøevod je zøejmì polynomiální.
+Tímto vynutíme NezMnu $\geq k$, co¾ jsme pøesnì chtìli. Takovýto pøevod je zøejmì polynomiální.
\s{Pøíklad matice:} Jako pøíklad pou¾ijeme nezávislou mno¾inu z ukázky nezávislé mno¾iny.
-Nech» jsou vrcholy grafu oèíslované zleva a ze zhora. Hledáme nezávislou mno¾inu velikosti $2$.
+Nech» jsou vrcholy grafu oèíslované zleva a zezhora. Hledáme nezávislou mno¾inu velikosti $2$.
Matice pak bude vypadat následovnì:
$$ \pmatrix{1&0&0&0&0 \cr 0&0&0&1&0}$$
\s{Vysvìtlení:} Jako první vrchol mno¾iny bude vybrán vrchol $v_1$, proto v prvním
-øádku a v prvním sloupci bude $1$. Jako druhý ($k$-tý) vrchol mno¾iny bude vybrán
-vrchol $v_4$, proto na druhém ($k$-tém) øádku a ve ètvrtém sloupci bude $1$. Na ostatních místech bude $0$.
+øádku a v prvním sloupci bude $1$. Jako druhý vrchol mno¾iny bude vybrán
+vrchol $v_4$, proto na druhém øádku a ve ètvrtém sloupci bude $1$. Na ostatních místech bude $0$.
\h{4. problém: Klika}
\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou).
-\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic - tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$.
+\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$.
-\>Uká¾eme, jak tento problém pøevést na 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce).
+\>Uká¾eme, jak na tento problém pøevést 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce).
\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování}{3in}
projects / ads2.git / commitdiff