-\input slidemac.tex
+\documentclass{beamer}
+\usepackage[latin2]{inputenc}
+\usepackage{palatino}
+\usepackage{amssymb}
+\usetheme{Warsaw}
+\title{Opakování komplexních èísel}
+\author{Martin Mare¹}
+\date{2011}
+\begin{document}
+\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
-\language=\czech
-\chyph
+\def\e{{\rm e}}
+\def\I{\,{\bf i}}
+\def\bb{\mathbb}
+\def\sk{\medskip}
-\def\i{{\rm i}}
-\def\bb{\fam\bbfam}
-\advance\parskip by 10pt
+\begin{frame}{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar}
-\slide{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar}
+{\bf Definice:} ${\bb C} = \{ a+b\I \mid a,b\in {\bb R} \}$.
-Definice: ${\bb C} = \{ a+b\i \mid a,b\in {\bb R} \}$.
+\sk
-Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$.
+{\bf Sèítání:} $(a+b\I)\pm(p+q\I) = (a\pm p) + (b\pm q)\I$.
-Násobení: $(a+b\i)\cdot(p+q\i) = ap + (aq+bp)\i + bq\i^2 = (ap-bq)+(aq+bp)\i$.
+\sk
-\noindent\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.
+{\bf Násobení:} $(a+b\I)\cdot(p+q\I) = ap + (aq+bp)\I + bq\I^2 =$
-Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$.
+$ =(ap-bq)+(aq+bp)\I$.
-\noindent\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.
+\sk
-Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
+\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$: $\alpha(a+b\I) = \alpha a + \alpha b\I$.
-\noindent\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
+\sk
-Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
+{\bf Komplexní sdru¾ení:} $\overline{a+b\I} = a-b\I$.
-\endslide
+\sk
-\slide{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}
+\qquad Vlastnosti: $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y}
+= \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot
+\overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.
-Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.
+\sk
-$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
+{\bf Absolutní hodnota:} $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\I \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
-$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\sit komplexní jednotky\/}).
+\sk
-\noindent\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.
+\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}: \vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
-Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \i\sin\varphi(x))$.
+\sk
-\noindent\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\sit argument\/} èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.
+{\bf Dìlení:} $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}
+
+{\bf Geometrický pohled na $\bb C$:}
+
+\begin{itemize}
+\item Èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\I \leftrightarrow (a,b)$.
+\item $\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
+\item $\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici \\
+ ({\it komplexní jednotky\/}).
+\end{itemize}
+
+{\bf Goniometrický tvar:}
+
+\begin{itemize}
+\item Pro komplexní jednotky: $x=\cos\varphi + \I\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.
+\item Obecnì: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \I\sin\varphi(x))$.
+\end{itemize}
+
+\sk
+
+Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\it argument\/} èísla~$x$ (znaèí se $\mathop{\rm arg} x$).
+
+\sk
Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
-\endslide
+\end{frame}
-\slide{Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
+\begin{frame}{Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
-Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.
+{\bf Eulerova formule:} $\e^{i\varphi} = \cos\varphi + \I\sin\varphi$.
-Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}$.
+\sk
-Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) =
-\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
+Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}$.
-\noindent\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)
+\sk
-Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$.
+{\bf Násobení:} $xy = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(y)}\right) =
+\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot \e^{\I\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
-Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot \varphi(x)/n}$.
+\smallskip
-\noindent\qquad \dots\ pozor, odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
+{\it (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)}
-\endslide
+\sk
-\slide{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
+{\bf Umocòování:} $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot \e^{\I \alpha \varphi(x)}$.
-Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
+\sk
+
+{\bf Odmocòování:} $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\cdot \varphi(x)/n}$.
+
+\smallskip
-\noindent\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
+Odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\I^4=(-\I)^4=1$.
-\noindent\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾ $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
+
+Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
-Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$
+\begin{itemize}
+\item $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=\e^{\I\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
+\item $\e^{\I\varphi n} = \cos{\varphi n} + \I\sin\varphi n = 1$, \\ co¾ nastane, kdykoliv $\varphi n = 2k\pi$ pro $k\in{\bb Z}$.
+\item Dostáváme $n$ rùzných $n$-tých odmocnin: \\ $2k\pi/n$ pro $k=0,\ldots,n-1$.
+\end{itemize}
-\noindent\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).
+\sk
-Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi(x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.
+Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\varphi(x)/n} \cdot \root n\of 1$.
-\endslide
+\end{frame}
-\end
+\end{document}
+++ /dev/null
-\hsize=230mm
-\vsize=157mm
-\voffset=10mm
-\hoffset=10mm
-\nopagenumbers
-
-\font\srm=csss12 scaled \magstep3
-\font\stit=csb12 scaled \magstep3
-\font\sem=csssbx12 scaled \magstep3
-\font\sit=csssi12 scaled \magstep3
-\font\stt=cstt12 scaled \magstep3
-\font\stitle=cscsc12 scaled \magstep4
-
-\baselineskip=25pt
-\lineskip=2.1pt
-\parindent=0pt
-\parskip=4pt
-\abovedisplayskip=24pt plus 6pt minus 18pt
-\abovedisplayshortskip=0pt plus 6pt
-\belowdisplayskip=24pt plus 6pt minus 18pt
-\belowdisplayshortskip=14pt plus 6pt minus 8pt
-
-\def\em#1{{\sem #1}}
-\srm
-
-\newfam\bbfam
-\font\rmfont=cmr10 scaled \magstep4
-\font\ttfont=cmtt10 scaled \magstep4
-\font\ifont=cmmi10 scaled \magstep4
-\font\symfont=cmsy10 scaled \magstep4
-\font\exfont=cmex10 scaled \magstep4
-\font\rmfonts=cmr7 scaled \magstep4
-\font\ifonts=cmmi7 scaled \magstep4
-\font\symfonts=cmsy7 scaled \magstep4
-\font\exfonts=cmex7 scaled \magstep4
-\font\rmfontss=cmr5 scaled \magstep4
-\font\ifontss=cmmi5 scaled \magstep4
-\font\symfontss=cmsy5 scaled \magstep4
-\font\exfontss=cmex5 scaled \magstep4
-\font\bbfont=bbold10 scaled \magstep4
-\textfont0=\rmfont
-\textfont1=\ifont
-\textfont2=\symfont
-\textfont3=\exfont
-\textfont\bbfam=\bbfont
-\scriptfont0=\rmfonts
-\scriptfont1=\ifonts
-\scriptfont2=\symfonts
-\scriptfont3=\exfonts
-\scriptscriptfont0=\rmfontss
-\scriptscriptfont1=\ifontss
-\scriptscriptfont2=\symfontss
-\scriptscriptfont3=\exfontss
-
-\def\slide#1{\begingroup
-\ifx:#1:\else
-\line{\vrule width 0pt height 25pt depth 4pt \stit #1\hfill}
-\medskip
-\hrule height 2pt
-\bigskip
-\bigskip
-\fi
-}
-\def\endslide{\vfill\eject\endgroup}
-
-\def\\{\hfil\break}
-\def\itemize#1{\par{\advance\leftskip by 35pt{\parskip=5pt #1}\par}}
-\def\:{\par\leavevmode\llap{$\bullet$\hskip 7pt}}
-\def\>{\par\leavevmode\llap{$\circ$\hskip 7pt}}
-\def\<#1>{\hbox{\sit #1\/}}
-\def\bbold{\bbfont\fam\bbfam}
-\def\O{{\cal O}}
-
-\newcount\itemcount
-\def\interlistskip{\medskip}
-\def\algo{
-\begingroup
-\let\:=\algoitem
-\let\*=\algohang
-\parskip=1pt plus 1pt minus 0.3pt
-\rightskip=2em
-\itemcount=0
-\interlistskip
-}
-\def\endalgo{\interlistskip\endgroup}
-\def\algoitem{\par
-\parindent=2em
-\hangindent=4em
-\hangafter=1
-\advance\itemcount by 1
-\leavevmode\hbox to 2em{\hss \the\itemcount. }%
-\futurelet\next\algoitemh}
-\def\algoitemh{\ifx\next:\let\next=\algohang\else\let\next=\relax\fi\next}
-\def\algohang:{\advance\hangindent by 2em \hskip 2em\futurelet\next\algoitemh}
-
-\def\popcolor{\special{color pop}}
-\def\pushcolor#1{\special{color push #1}}
-\def\color#1{\pushcolor{#1}\aftergroup\popcolor}
projects / ads2.git / commitdiff