Doladeno povidani o scalingu a prehled variant Dinicova algoritmu.

Tim by az na obrazky mely byt kapitoly o tocich hotove.

diff --git a/2-dinic/2-dinic.tex b/2-dinic/2-dinic.tex
index 1d3cb38c548dfed33b6dc35fe528acb02e7326bf..6512e0013f99dff11c01f09531653314d872352e 100644 (file)
--- a/2-dinic/2-dinic.tex
+++ b/2-dinic/2-dinic.tex
@@ -214,25 +214,27 @@ $\O(Cn^2 + nm)$.
 
 \h{Scaling kapacit}
 
-Základní my¹lenka je podobná, jako u algoritmu pro tøídìní dlouhých èísel postupnì po øádech pomocí
-radix-sortu. Pro jistotu si ho pøipomeòme. Algoritmus nejprve setøídí èísla podle poslední
+Pokud jsou kapacity hran vìt¹í celá èísla omezená nìjakou konstantou~$C$, mù¾eme si pomoci následujícím algoritmem.
+Jeho základní my¹lenka je podobná, jako u~tøídìní èísel postupnì po øádech pomocí
+radix-sortu neboli pøíhrádkového tøídìní. Pro jistotu si ho pøipomeòme. Algoritmus nejprve setøídí èísla podle poslední
 (nejménì významné) cifry, poté podle pøedposlední, pøedpøedposlední a tak dále.
 
 \figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného tøídìní podle øádù}{0.4\hsize}
 
-V na¹em pøípadì budeme postupnì budovat sítì a v nich poèítat toky, a¾ nakonec získáme tok pro celou sí».
+V na¹em pøípadì budeme postupnì budovat sítì èím dál podobnìj¹í zadané
+síti a v~nich poèítat toky, a¾ nakonec získáme tok pro ni.
 
-Pøedpokládejme celoèíselné kapacity. Maximální tok v síti $G$ budeme hledat tak, ¾e hranám postupnì
-budeme zvìt¹ovat kapacity bit po bitu v binárním zápisu a¾ k jejich skuteèné kapacitì.
-Pøitom po~ka¾dém posunu zavoláme Dinicùv algoritmus. Pomocí pøedchozího odhadu uká¾eme, ¾e jedno
-volání Dinice nebude pøíli¹ drahé.
+Pøesnìji: Maximální tok v síti $G$ budeme hledat tak, ¾e hranám postupnì
+budeme zvìt¹ovat kapacity bit po bitu v~binárním zápisu a¾ k~jejich skuteèné kapacitì.
+Pøitom po~ka¾dém posunu zavoláme Dinicùv algoritmus, aby dopoèítal maximální tok.
+Pomocí pøedchozího odhadu uká¾eme, ¾e jeden takový krok nebude pøíli¹ drahý.
 
 \figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.4\hsize}
 
-Oznaème $k$ poèet bitù v zápisu nejvìt¹í kapacity z celé sítì. $k = \lfloor \log_2C \rfloor$.
+Oznaème $k$ index nejvy¹¹ího bitu v~zápisu kapacit v~zadané síti ($k = \lfloor \log_2C \rfloor$).
 Postupnì budeme budovat sítì $G_i$ s~kapacitami $c_i(e) = \lfloor {c(e) / 2^{k-i}} \rfloor$.
 $G_0$ je nejoøezanìj¹í sí», kde ka¾dá hrana má kapacitu rovnou nejvy¹¹ímu bitu v~binárním zápisu
-její skuteèné kapacity. $G_k$ je pùvodní sí» $G$.
+její skuteèné kapacity, a¾ $G_k$ je pùvodní sí» $G$.
 
 $$ c_{i+1}(e) = \left\{
 \eqalign{
@@ -246,29 +248,31 @@ $$
 Na spoètení maximálního toku $f_i$ v síti $G_i$ zavoláme Dinicùv algoritmus,
 ov¹em do zaèátku nepou¾ijeme nulový tok, nýbr¾ tok $2f_{i-1}$. Rozdíl toku z inicializace
 a výsledného bude malý, toti¾:
-$$ \vert f_i\vert - \vert 2f_{i-1}\vert \leq m.$$
+
+\s{Lemma:} $\vert f_i\vert - \vert 2f_{i-1}\vert \leq m.$
 
 \proof
-Vezmeme minimální øez $R$ v $G_{i-1}$. Platí $\vert f_{i-1}\vert = \vert R\vert$\foot{F-F vìta.}.
-Øez $R$ obsahuje $\leq m$ hran. V $G_{i}$ má øez $R$ kapacitu maximálnì $2\vert R\vert+m$.
-Maximální tok je omezen ka¾dým øezem. Tedy i øezem $R$. Proto tok vzroste o $\leq m$.
+Vezmeme minimální øez $R$ v~$G_{i-1}$. Podle F-F vìty víme, ¾e $\vert f_{i-1}\vert = \vert R\vert$.
+Øez $R$ obsahuje $\leq m$ hran, a~tedy v~$G_{i}$ má tentý¾ øez kapacitu maximálnì $2\vert R\vert+m$.
+Maximální tok je omezen ka¾dým øezem, tedy i øezem $R$, a~proto tok vzroste nejvý¹e o~$m$.
 \qed
 
-Proto podle pøedchozího odhadu výpoèet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$. Takový tok se bude poèítat $k$-krát,
-tak¾e celková slo¾itost vyjde $\O(mn\log C)$.
+Podle pøedchozího odhadu pro celoèíselné kapacity výpoèet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$.
+Takový tok se bude poèítat $k$-krát, proèe¾ celková slo¾itost vyjde $\O(mn\log C)$.
 
 \h{Pøehled variant Dinicova algoritmu}
 
-$$\vbox{\halign{# \hfil \quad &# \hfil \cr
+\medskip
+
+\centerline{\vbox{\halign{# \hfil \quad &# \hfil \cr
 \it verze &\it èas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
 standardní                              &$\O(n^2m)$      \cr
-jednotkové kapacity                     &$\O(nm)$        \cr
-jednotkové kapacity podruhé             &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$   \cr
+jednotkové kapacity                    &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$   \cr
 jednotkové kapacity, 1 stupeò $\leq 1$  &$\O(\sqrt{n}\cdot m)$   \cr
-jednotkové kapacity potøetí             &$\O(n^{2/3}m)$    \cr
+jednotkové kapacity, prostý graf        &$\O(n^{2/3}m)$    \cr
 celoèíselné kapacity                    &$\O(\vert f\vert\cdot n + nm)$     \cr
 celoèíselné kapacity $ \leq C$          &$\O(Cn^2 + mn)$   \cr
-celoèíselné kapacity $ \leq C$          &$\O(mn\log C)$    \cr
-}}$$
+celoèíselné kapacity $ \leq C$ (scaling)&$\O(mn\log C)$    \cr
+}}}
 
 \bye