Drobne upravy od autoru.

diff --git a/2-rozdel/2-rozdel.tex b/2-rozdel/2-rozdel.tex
index 57dcb6083c5c0e4cced1a99078076dc503118856..a01abbf6736a952ecd2b99f083af4c8912cbdc99 100644 (file)
--- a/2-rozdel/2-rozdel.tex
+++ b/2-rozdel/2-rozdel.tex
@@ -42,7 +42,7 @@ $$
 A zde vidíme, ¾e $(c+d)$ se schová do $\O$. Naprosto stejnì se uká¾e obdobný vztah pro násobení:
 
 $$
-\O(f).\O(g)=\O(f.g)
+\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)
 $$
 
 \noindent
@@ -82,33 +82,33 @@ $\Theta$ notace tedy vyjad
 \s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich chování od nejlep¹ích k nejhor¹ím)
 
 \itemize\ibull
-\: $\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
-\: $\Theta(\log{( \log{n} )})$
-\: $\Theta(\log{n}) \ldots$logaritmická
-\: $\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1) \ldots$ sublineární
-\: $\Theta(n) \ldots$ lineární
-\: $\Theta(n^{2}) \ldots$ kvadratická
+\:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
+\:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
+\:$\Theta(\log{n}) \ldots$logaritmická
+\:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1) \ldots$ sublineární
+\:$\Theta(n) \ldots$ lineární
+\:$\Theta(n^{2}) \ldots$ kvadratická
 
 $\vdots$
 
-\: $\Theta(n^{k}), k \in {\bb N} \ldots$ polynomiální
+\:$\Theta(n^{k}), k \in {\bb N} \ldots$ polynomiální
 
 $\vdots$
 
-\: $\Theta(2^{n}) \ldots$ exponenciální pøi základu $2$
-\: $\Theta(3^{n}) \ldots$ exponenciální pøi základu $3$
+\:$\Theta(2^{n}) \ldots$ exponenciální pøi základu $2$
+\:$\Theta(3^{n}) \ldots$ exponenciální pøi základu $3$
 
 $\vdots$
 
-\: $\Theta(k^{n}), k \in \bb{R}^{+},$ $k > 1 \ldots$  exponenciální pøi základu $k$
+\:$\Theta(k^{n}), k \in \bb{R}^{+},$ $k > 1 \ldots$  exponenciální pøi základu $k$
 
 $\vdots$
 
-\: $\Theta(n!) \ldots$ faktoriálová
+\:$\Theta(n!) \ldots$ faktoriálová
 
 $\vdots$
 
-\: $\Theta(n^{n})$
+\:$\Theta(n^{n})$
 
 $\vdots$
 \endlist
@@ -207,8 +207,8 @@ k & $4^{k}$ & ${n}/{2^{k}}$\cr}}
 Naskýtá se otázka, jestli bychom nemohli, èasovou slo¾itost zlep¹it. Existuje nìkolik mo¾ností:
 
 \itemize\ibull
-\: zlep¹it èlen $c \cdot n$, to znamená zlep¹it èas spojování podúloh. Toto v¹ak rychleji nejde (pokud ètenáø nevìøí, mù¾e si to dokázat).
-\: sní¾it poèet vìtvení. Nech» se tedy algoritmus nevìtví na $4$ vìtve, ale na ménì. To, ale jak dále uvidíme u¾ mo¾né je. 
+\:zlep¹it èlen $c \cdot n$, to znamená zlep¹it èas spojování podúloh. Toto v¹ak rychleji nejde (pokud ètenáø nevìøí, mù¾e si to dokázat).
+\:sní¾it poèet vìtvení. Nech» se tedy algoritmus nevìtví na $4$ vìtve, ale na ménì. To, ale jak dále uvidíme, u¾ mo¾né je.
 \endlist
 
 \noindent
@@ -243,12 +243,12 @@ $$
 =\O \left( n\cdot {{3^{\log_2{n}}}\over{2^{\log_2{n}}}} \right)=\O \left( n\cdot {{3^{\log_2{n}}}\over{n}} \right)=\O \left( 3^{\log_2{n}} \right)=\O \left( (2^{\log_2{3}})^{\log_2{n}} \right)=
 $$
 $$
-=\O \left( 2^{\log_2{n}.\log_2{3}} \right)=\O \left( (2^{\log_2{n}})^{\log_2{3}} \right)=\O \left( n^{\log_2{3}} \right) =\O \left( n^{1{,}585} \right)
+=\O \left( 2^{(\log_2{n}) \cdot \log_2{3}} \right)=\O \left( (2^{\log_2{n}})^{\log_2{3}} \right)=\O \left( n^{\log_2{3}} \right) =\O \left( n^{1{,}585} \right)
 $$
 Z toho vyplývá, ¾e jsme na¹li algoritmus s èasovou slo¾itostí men¹í ne¾ $\O(n^{2})$. \uv{Rozumné} implementace tohoto algoritmu jsou v¹ak trochu modifikované. A to tak, ¾e rekuzivnì ne¹tìpí èinitele a¾ na jednociferná èísla, ale konèí asi na 50 ciferných, a ty se u¾ vynásobí standardním zpùsobem, nebo» re¾ie rekurzivního algoritmu není nulová a~takto se dosahuje nejlep¹ích výsledkù.
 
 \noindent
-Pro násobení èísel existuje je¹tì efektívnìj¹í algoritmus, který má èasovou slo¾itost $\O(n.\log{n})$, av¹ak tento u¾ vyu¾ívá rùzné pokroèilé techniky jako diskrétní Fourierova transformace a podobnì, tak¾e jej zde nebudeme rozebírat.
+Pro násobení èísel existuje je¹tì efektívnìj¹í algoritmus, který má èasovou slo¾itost $\O(n \cdot \log{n})$, av¹ak tento u¾ vyu¾ívá rùzné pokroèilé techniky jako diskrétní Fourierova transformace a podobnì, tak¾e jej zde nebudeme rozebírat.
 
 Na¹e pozorování se nyní pokusíme shrnout ve vìtì Master Theorem, èesky tì¾ nazývané (ne náhodou) \uv{Kuchaøková vìta}:
 
@@ -274,18 +274,18 @@ Jak vid
 poèet vìtvení & velikost podúlohy & èas potøebný na vyøe¹ení v¹ech podúloh\cr
 \noalign{\medskip\hrule\bigskip}
 $1$ & $n$ & $\O(n^d)$\cr
-$a$ & ${n}\over{b^1}$ & $\O(({{n}\over{b^1}})^d).a^1$\cr
-$a^2$ & ${n}\over{b^2}$ & $\O(({{n}\over{b^2}})^d).a^2$\cr
-$a^3$ & ${n}\over{b^3}$ & $\O(({{n}\over{b^3}})^d).a^3$\cr
+$a$ & ${n}\over{b^1}$ & ${\O(({{n}\over{b^1}})^d) \cdot a^1}$\cr
+$a^2$ & ${n}\over{b^2}$ & ${\O(({{n}\over{b^2}})^d) \cdot a^2}$\cr
+$a^3$ & ${n}\over{b^3}$ & ${\O(({{n}\over{b^3}})^d) \cdot a^3}$\cr
 \vdots & \vdots & \vdots\cr
-$a^k$ & ${n}\over{b^k}$ & $\O(({{n}\over{b^k}})^d).a^k$\cr}}
+$a^k$ & ${n}\over{b^k}$ & ${\O(({{n}\over{b^k}})^d) \cdot a^k}$\cr}}
 
 \medskip
 
 \noindent
 Zkoumejme èas potøebný na vyøe¹ení v¹ech podúloh na jedné hladinì: 
 $$
-\O \left(  \left( {{n}\over{b^k}} \right) ^d \right) \cdot a^k=\O \left( a^k\cdot n^d \left( {{1}\over{b^k}} \right) ^d \right)=\O \left( a^k.n^d \left( {{1}\over{b^d}} \right) ^k \right)=\O \left( n^d \left( {{a}\over{b^d}} \right) ^k \right)
+\O \left(  \left( {{n}\over{b^k}} \right) ^d \right) \cdot a^k=\O \left( a^k\cdot n^d \left( {{1}\over{b^k}} \right) ^d \right)=\O \left( a^k \cdot n^d \left( {{1}\over{b^d}} \right) ^k \right)=\O \left( n^d \left( {{a}\over{b^d}} \right) ^k \right)
 $$
 Celkem je tedy èas potøebný na vyøe¹ení v¹ech podúloh na v¹ech hladinách (to znamená celé úlohy):
 $$
@@ -297,16 +297,16 @@ V
 
 \>{\I 2.} ${{a}\over{b^d}}=1$ --- práce na jednotlivých hladinách je stejnì, to znamená, ¾e ¾e souèet sumy je právì $\log_b(n)$ a tedy: $T(n) \in \O(n^d \cdot \log_b(n))$.
 
-\>{\I 3.} ${{a}\over{b^d}}>1$ --- to znamená, ¾e práce na jednotlivých hladinách pøibývá, a potom musíme psát: $T(n) \in \O(n^d.({{a}\over{b^d}})^{\log_b{n}})$.
+\>{\I 3.} ${{a}\over{b^d}}>1$ --- to znamená, ¾e práce na jednotlivých hladinách pøibývá, a potom musíme psát: $T(n) \in \O(n^d \cdot ({{a}\over{b^d}})^{\log_b{n}})$.
 
 \noindent
 To sice vypadá jako slo¾itý výraz, ale mù¾eme jej dále upravit:
 
 $$
-\O\left(n^d.\left({{a}\over{b^d}}\right)^{\log_b{n}}\right)=\O\left(n^d.a^{\log_b{n}}\left({{1}\over{b^d}}\right)^{\log_b{n}}\right)=\O\left(\left(b^{\log_b{a}}\right)^{\log_b{n}}.n^d.{{1}\over{\left(b^d\right)^{\log_b{n}}}}\right)=
+\O\left(n^d \cdot \left({{a}\over{b^d}}\right)^{\log_b{n}}\right)=\O\left(n^d \cdot a^{\log_b{n}} \cdot \left({{1}\over{b^d}}\right)^{\log_b{n}}\right)=\O\left(\left(b^{\log_b{a}}\right)^{\log_b{n}} \cdot n^d \cdot {{1}\over{\left(b^d\right)^{\log_b{n}}}}\right)=
 $$
 $$
-=\O\left(\left(b^{\log_b{n}}\right)^{\log_b{a}}.n^d.{{1}\over{\left(b^{\log_b{n}}\right)^d}}\right)=\O\left(n^{\log_b{a}}.n^d.{{1}\over{n^d}}\right)=\O\left(n^{\log_b{a}}\right)
+=\O\left(\left(b^{\log_b{n}}\right)^{\log_b{a}} \cdot n^d \cdot {{1}\over{\left(b^{\log_b{n}}\right)^d}}\right)=\O\left(n^{\log_b{a}} \cdot n^d \cdot {{1}\over{n^d}}\right)=\O\left(n^{\log_b{a}}\right)
 $$
 
 \noindent
@@ -323,7 +323,7 @@ Porovnejme si n
 \vbox{\halign{# \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & #\cr
 algoritmus & $a$ & $b$ & $d$ & èasová slo¾itost\cr
 \noalign{\medskip\hrule\bigskip}
-Mergesort & 2 & 2 & 1 & $\O(n\log{n})$\cr
+Mergesort & 2 & 2 & 1 & $\O({n \cdot \log{n}})$\cr
 Násobení I. & 4 & 2 & 1 & $\O(n^2)$\cr
 Násobení II. & 3 & 2 & 1 & $\O(n^{\log_2{3}})$\cr
 Binární vyhledávání & 1 & 2 & 0 & $\O(\log{n})$\cr}}