\prednaska{6}{Tøídìní v lineárním èase}{(zapsal M.~Kupec, J.~Volec, J.~Ivánek)}
-\h{Lineární èas}
-Na minulých pøed¹kách jsme si ukázali tøídìní v èase $ \O(N\log{N}) $, a taky dokázali, ¾e líp to nejde. Jak je tedy mo¾né tøídit v lineárním èase ?
+Na minulých pøedna¹kách jsme si ukázali tøídìní v èase $ \O(N\log{N}) $ a také dokázali, ¾e líp to v obecném pøípadì nejde. Jak je tedy mo¾né tøídit v lineárním èase?
-V¹echny dosud pøedvedené alrogitmy tøídily pouze pomocí porovnávní hodnot na vstupu. Ale co kdy¾ o vstupu víme víc, tøeba rozsah hodnot na vstup, nedá se toho vy¾ít ?
+V¹echny dosud pøedvedené alrogitmy tøídily pouze pomocí porovnávní hodnot na vstupu. Ale co kdy¾ o vstupu víme víc, tøeba rozsah hodnot na vstup, nedá se toho vyu¾ít?
-Následující algoritmy vyu¾ívají znalosti rozsahu hodnot na vstupu, a toho, ¾e tento rozsah je malý.
+Následující algoritmy vyu¾ívají znalosti rozsahu hodnot na vstupu a toho, ¾e tento rozsah je malý.
\h{Counting sort}
-Counting sort je algoritmus pro tøídìní $ 1 \dots R $ èísel. Tøídí v èase $ \O(N + R) $ s pamì»ovou nároèností $ O(R) $.
+Counting sort je algoritmus pro tøídìní $N$ celých èísel s maximálním rozsahem hodnot $R$. Tøídí v èase $ \O(N + R) $ s~pamì»ovou nároèností $ \O(R) $.
-\s{Algoritmus:} (tøídìní mno¾iny $X$ o velikosti $N$ pomocí {\sc Counting sort}u)
+Algoritmus postupnì prochází vstup a poèítá si ke ka¾dému prvku z~rozsahu kolikrát jej vidìl. Poté a¾ projde celý vstup, projde poèítadla a indexy u~tech, kde nìco napoèítal vydá jako výstup.
+
+\s{Algoritmus:} (tøídìní posloupnosti $ \left ( x_i \right )_0^N $ pomocí {\sc Counting sort}u)
\algo
\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $R$ opakuj:
-\::$ P[i] \leftarrow 0 $
+\::$ p_i \leftarrow 0 $
\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $N$ opakuj:
-\::$ P[X[i]] \leftarrow P[X[i] + 1 $
+\::$ p_{x_i} \leftarrow p_{x_i} + 1 $
+\:$ j \leftarrow 1 $
+\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $R$ opakuj:
+\::Pokud $ p_i \neq 0 $
+\:::$ v_j \leftarrow i $
+\:::$ j \leftarrow j + 1 $
+\:Vra» $v$
\endalgo
\h{Pøihrádkové tøídìní}
-Counting sort nám moc nepomù¾e pokud chceme tøídit neco jiného ne¾ èísla, ale i to se dá øe¹it. Pøihrádkové, popøípadì kbelíkové tøídìní, nebo-li Bucket sort umí tøídit mno¾inu prvkù oèíslovaných èísly $ 1 \ldots R $.
+Counting sort nám moc nepomù¾e, pokud chceme tøídit neco jiného ne¾ celá èísla, ale i to se dá øe¹it. Pøihrádkové, popøípadì kbelíkové tøídìní, neboli bucket-sort umí tøídit mno¾inu prvkù oèíslovaných èísly $ 1 \ldots R $.
\>Potøebuje k tomu èas $ \O(N + R) $ a pamì» $ \O(N + R) $.
-Bucket sort ma je¹tì jednu pøíjemnou vlastnost, jedná se o stabilní tøídìní.
+Bucket sort ma je¹tì jednu pøíjemnou vlastnost: jedná se o stabilní tøídìní.
-\s{Definice:} {\sc Stabilní tøídìní} je takové, ¾e ka¾dé 2 prvky vstupu se stejnou hodnotou klíèe jsou na výstupu ve stejnìm poøadí jako na vstupu.
+\s{Definice:} {\it Stabilní tøídìní} je takové, ¾e ka¾dé 2 prvky vstupu se stejnou hodnotou klíèe jsou na výstupu ve stejnìm poøadí jako na vstupu.
-\s{Algoritmus:} (tøídìní mno¾iny $X$ o velikosti $N$ pomocí {\sc Bucket sort}u)
+\s{Algoritmus:} (tøídìní mno¾iny $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ oèíslované $ c_1,c_2,\ldots,c_n $ pomocí {\sc bucket-sort}u)
\algo
\:Pro $ k \leftarrow 1 $ do $R$ opakuj:
-\::$ C[k] \leftarrow 0 $
+\::$ p_k \leftarrow 0 $
\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $N$ opakuj:
-\::$ C[x[i]] \leftarrow C[X[i]] + 1 $
-\:$ b[1] \leftarrow 1 $
+\::$ p_{c_i} \leftarrow p_{c_i} + 1 $
+\:$ b_1 \leftarrow 1 $
\:Pro $ k \leftarrow 2 $ do $R$ opakuj:
-\::$ b[k] \leftarrow b[k - 1] + c[b - 1] $
+\::$ b_k \leftarrow b_{k - 1} + p_{b - 1} $
\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $N$ opakuj:
-\::$ p \leftarrow X[i] $
-\::$ Y[b[p]] \leftarrow p $
-\::$ b[p] \leftarrow b[p] + 1 $
+\::$ t \leftarrow c_i $
+\::$ v_{b_t} \leftarrow x_i $
+\::$ b_t \leftarrow b_t + 1 $
+\:Vra» $v$
\endalgo
\h{Lexikografické tøídìní k-tic}
-Mìjme $n$ $k$-tic prvkù z mno¾iny $ \{1 \ldots R \}^k $.Ùkol zní seøadit $k$-tice slovníkovì (lexikograficky).
-Mù¾eme pou¾ít metodu rozdìl a panuj, setøídíme nejprve podle první souøadnice $k$-tic a pak se rekurzivnì zavoláme na ka¾dou pøihrádku a tøídíme podle následující souøadnice.
-
+Mìjme $n$ uspoøádaných $k$-tic prvkù z mno¾iny $ \{1 \ldots R \}^k $. Úkol zní seøadit \hbox{$k$-tice} slovníkovì (lexikograficky).
+Mù¾eme pou¾ít metodu rozdìl a panuj, tak¾e prvky setøídíme nejprve podle první souøadnice $k$-tic a pak se rekurzivnì zavoláme na ka¾dou pøihrádku a tøídíme podle následující souøadnice.
+% a dal??
Nebo mù¾eme vyu¾ít toho, ¾e bucket-sort je stabilní a tøídit takto:
-\s{Algoritmus:} (tøídìní $k$-tic $ k_1 \ldots k_n $)
+\s{Algoritmus: } (tøídìní $k$-tic $ x_1, x_2, \ldots ,x_n $ lexikograficky pomocí {\sc Bucket-sort}u)
\algo
-\:$ S \leftarrow \{k_1 \dots k_n\} $
+\:$ S \leftarrow \{x_1, x_2, \dots, x_n\} $
\:Pro $ i \leftarrow k $ do $ 1 $ opakuj:
-\::$ S \leftarrow $ BucketSort $ S $ podle $i$-té souøadnice
+\::$ S \leftarrow $ bucket-sort $ S $ podle $i$-té souøadnice
\:vysledek $ S $
\endalgo
Pro pøehlednost v následujícím pozorování oznaème $ l = k - i + 1 $, co¾ pøesnì odpovídá tomu, v kolikátém prùchodu cyklu jsme.
\s{Pozorování:}
-po $l$-tém prùchodu cyklem jsou prvky uspoøádány lexikograficky podle $i$-té a¾ $k$-té souøadnice.
+Po $l$-tém prùchodu cyklem jsou prvky uspoøádány lexikograficky podle $i$-té a¾ $k$-té souøadnice.
\proof
Indukcí podle $l$
% FIXME nevim jak presne by mel byt list
\itemize
-\next Pro $ l = 1 $ jsou prvky uspoøádány podle poslední souøadnice
-\next Po $l$ prùchodech ji¾ máme prvky setøízeny lexikograficky podle $i$-té a¾ $k$-té souøadnice a spou¹tíme $(l + 1)$-ní prùchod, tj. budeme tøídít podle $(i - 1)$-ní souøadnice.
-Proto¾e Bucket sort tøídí stabilnì, zùstanou prvky se stejnou $(i - 1)$-ní souøadnicí vùèi sobì seøazeny tak, jak byly seøazeny na vstupu.
+\next Pro $ l = 1 $ jsou prvky uspoøádány podle poslední souøadnice.
+\next Po $l$ prùchodech ji¾ máme prvky setøídìny lexikograficky podle $i$-té a¾ $k$-té souøadnice a spou¹tíme $(l + 1)$-ní prùchod, tj. budeme tøídít podle $(i - 1)$-ní souøadnice.
+Proto¾e bucket-sort tøídí stabilnì, zùstanou prvky se stejnou $(i - 1)$-ní souøadnicí vùèi sobì seøazeny tak, jak byly seøazeny na vstupu.
Z IP tam v¹ak byly seøazeny lexikograficky podle $i$-té a¾ $k$-té souøadnice. Tudí¾ po $(l + 1)$-ním prùchodu jsou prvky seøazeny podle $(i - 1)$-ní a¾ $k$-té souøadnice.
\endlist
\qed
-Èasová slo¾itost je $\O( k * (n + R))$, co¾ je lineární s délkou vstupu $(k * n)$ a pamì»ová slo¾itost je $\O(n + R)$.
+Èasová slo¾itost je $\O( k \cdot (n + R))$, co¾ je lineární s délkou vstupu $(k \cdot n)$ pro pevné $k$ a pamì»ová slo¾itost je $\O(n + R)$.
-\h{Tøídìní $ 1 \ldots R $ èísel podruhé}
-Zvolíme základ $Z$ a èísla zapí¹eme v soustavì o základu $Z$, èím¾ získáme $ ( \lfloor \log_z{R} \rfloor +1)-tice $, na které spustíme pøedcházející algoritmus.
-Díky tomu budeme tøídít v èase $\O({\log{R} \over (\log{Z})} * (n + Z))$. A jak zvolit vhodnì $Z$?
+\h{Tøídìní èísel $ 1 \ldots R $ podruhé (Radix sort)}
+Zvolíme základ $Z$ a èísla zapí¹eme v soustavì o základu $Z$, èím¾ získáme $ ( \lfloor \log_z{R} \rfloor +1) $-tice, na které spustíme pøedcházející algoritmus.
+Díky tomu budeme tøídít v èase $\O({\log{R} \over \log{Z}} \cdot (n + Z))$. A jak zvolit vhodnì $Z$?
-Pokud bychom zvolili $ Z = konstanta $, èasová slo¾itost bude $\O(\log{R} * n) $, co¾ mù¾e být a¾ $ n * \log{n} $.
-Zvolíme-li $ Z = n $, dostáváme $ \O({\log{R} \over \log{n}} * n) $, co¾ pro $ R \leq n^\alpha $ znamená $ \O(\alpha * n) $.
+Pokud bychom zvolili $ Z = konstanta $, èasová slo¾itost bude $\O(\log{R} \cdot n) $, co¾ mù¾e být $ n * \log{n} $ nebo i víc.
+Zvolíme-li $ Z = n $, dostáváme $ \O({\log{R} \over \log{n}} \cdot n) $, co¾ pro $ R \leq n^\alpha $ znamená $ \O(\alpha \cdot n) $.
\h{Tøídìní øetìzcù}
Mìjme $n$ øetìzcù $ r_1, r_2 \dots r_n $ dlouhých $ l_1, l_2 \dots l_n $
-Oznaème si $ l_{max} = \max_{1 \leq i \leq n} l_i $ jako délku nejdel¹ího øetìzce a $R$ jako poèet znakù abecedy. Problém je, ¾e øetìzce nemusí být stejnì dlouhé. S tím se mù¾eme pokusit vypoøádat doplnìním øetìzcù mezerami tak, aby mìly v¹echny stejnou délku, a spustit na nìj algoritmus pro $k$-tice. Tím dostaneme algoritmus, který bude mít èasovou slo¾itost $ \O(l_{max} \cdot n) $, co¾ bohu¾el mù¾e být a¾ kvadratické vzhledem k velikosti vstupu.
-Pøíklad: na vstupu mìjme k øetìzcù, kde prvních k-1 z nich bude mít délku 1 a poslední øetìzec bude dlouhý pøesnì k. Vstup má tedy celkovou délku 2k-1 a my teï doplníme prvních k-1 øetìzcù mezerami. Vidíme, ¾e algoritmus teï bude pracovat v èase $ \O(k^2) $.
-To, co nám nejvíce zpùsobovalo problémy u pøedchozího pøíkladu bylo velké mno¾ství èasu zabraného porovnáváním doplnìných mezer. Zkusíme proto øe¹it ná¹ problem trochu chytøeji a doplòující mezery do øetìzù vùbec pøidávat nebudeme.
-Nejprve roztøídíme zpùsobem podobným Bucket sortu øetìzce do pøihrádek (mno¾in) $ P_i $ podle jejich délek, kde $i$ znaèí délku øetìzcù v dané pøihrádce, neboli definujme $ P_i = \left\{ r_j \| l_j = i \right\} $. Dále si zavedeme seznam setøízených øetìzcù $S$ takový, ¾e v nìm po $k$-tém prùchodu tøídícím cyklem budou øetìzce s délkou alespoò $ l_{max} - k + 1 $ (oznaème $l$) a zároveò v nìm tyto øetìzce budou setøízeny lexikograficky od $l$-tého znaku po $ l_{max} $-tý. Z definice tohoto seznamu je patrné, ¾e po $ l_{max} $ krocích tøídícího cyklu bude tento seznam obsahovat v¹echny øetìzce a tyto øetìzce v nìm budou lexikograficky seøazeny. Zbývá u¾ jen popsat, jak tento cyklus pracuje. Nejprve vezme $l$-tou mno¾inu $ P_l $ a její øetìzce roztøídí do pøihrádek $ Q_j $ (kde index $j$ znaèí j-tý znak abecedy) podle jejich $l$-tého (neboli posledního) znaku. Dále vezme seznam $S$ a jeho øetìzce pøidá opìt podle jejich $l$-tého znaku do stejných pøihrádek $ Q_j $ za ji¾ døíve pøidané øetìzce z $ P_l $. Na závìr postupnì projde v¹echny pøihrádky $ Q_j $ a øetìzce v nich pøesune do seznamu $S$. Proto¾e øetìzce z pøihrádek $ Q_j $ bude brát ve stejném poøadí, v jakém do nich byly umístìny, a proto¾e ze seznamu $S$, který je setøízený podle $ (l + 1) $-ního znaku po $ l_{max} $-tý, bude také brát øetìzce postupnì, bude seznam $S$ po $k$-tém prùchodu pøesnì takový, jaký jsme chtìli (indukcí bychom dokázali, ¾e cyklus pracuje skuteènì správnì). Zároveò z popisu algoritmu je jasné, ¾e bìhem tøídìní ka¾dý znak ka¾dého øetìzce pou¾ijeme právì jednou, tudí¾ algoritmus bude lineární s délkou vstupu.
+Oznaème si $ L = \max_{1 \leq i \leq n} l_i $ délku nejdel¹ího øetìzce a $R$ poèet znakù abecedy. Problém je, ¾e øetìzce nemusí být stejnì dlouhé (pokud by byly, lze se na øetìzce dívat jako na $k$-tice, které u¾ tøídít umíme). S tím se mù¾eme pokusit vypoøádat doplnìním øetìzcù mezerami tak, aby mìly v¹echny stejnou délku, a spustit na nìj algoritmus pro $k$-tice. Tím dostaneme algoritmus, který bude mít èasovou slo¾itost $ \O(L * n) $, co¾ bohu¾el mù¾e být a¾ kvadratické vzhledem k velikosti vstupu.
+Pøíklad: na vstupu mìjme k øetìzcù, kde prvních $k-1$ z nich bude mít délku $1$ a poslední øetìzec bude dlouhý pøesnì $k$. Vstup má tedy celkovou délku $2k-1$ a my teï doplníme prvních $k-1$ øetìzcù mezerami. Vidíme, ¾e algoritmus teï bude pracovat v èase $ \O(k^2) $.
+To, co nám nejvíce zpùsobovalo problémy u pøedchozího pøíkladu, bylo velké mno¾ství èasu zabraného porovnáváním doplnìných mezer. Zkusíme proto øe¹it ná¹ problem trochu chytøeji a koncové mezery do øetìzù vùbec pøidávat nebudeme.
+Nejprve roztøídíme bucket-sortem øetìzce do pøihrádek (mno¾in) $ P_i $ podle jejich délek, kde $i$ znaèí délku øetìzcù v dané pøihrádce, neboli definujme $ P_i = \left\{ r_j \vert l_j = i \right\} $. Dále si zavedeme seznam setøídìných øetìzcù $S$ takový, ¾e v nìm po $k$-tém prùchodu tøídícím cyklem budou øetìzce s délkou alespoò $ L - k + 1 $ (oznaème $l$) a zároveò v nìm tyto øetìzce budou setøídìny lexikograficky od $l$-tého znaku po $L$-tý. Z definice tohoto seznamu je patrné, ¾e po $L$ krocích tøídícího cyklu bude tento seznam obsahovat v¹echny øetìzce a tyto øetìzce v nìm budou lexikograficky seøazeny. Zbývá u¾ jen popsat, jak tento cyklus pracuje. Nejprve vezme $l$-tou mno¾inu $ P_l $ a její øetìzce roztøídí do pøihrádek $ Q_j $ (kde index $j$ znaèí j-tý znak abecedy) podle jejich $l$-tého (neboli posledního) znaku. Dále vezme seznam $S$ a jeho øetìzce pøidá opìt podle jejich $l$-tého znaku do stejných pøihrádek $ Q_j $ za ji¾ døíve pøidané øetìzce z $ P_l $. Na závìr postupnì projde v¹echny pøihrádky $ Q_j $ a øetìzce v nich pøesune do seznamu $S$. Proto¾e øetìzce z pøihrádek $ Q_j $ bude brát ve stejném poøadí, v jakém do nich byly umístìny, a proto¾e ze seznamu $S$, který je setøízený podle $ (l + 1) $-ního znaku po $L$-tý, bude také brát øetìzce postupnì, bude seznam $S$ po $k$-tém prùchodu pøesnì takový, jaký jsme chtìli (indukcí bychom dokázali, ¾e cyklus pracuje skuteènì správnì). Zároveò z popisu algoritmu je jasné, ¾e bìhem tøídìní ka¾dý znak ka¾dého øetìzce pou¾ijeme právì jednou, tudí¾ algoritmus bude lineární s délkou vstupu (pro úplnost dodejme, ¾e popsaný algoritmus funguje v pøípadech, kdy abeceda má pevnou velikost).
Algoritmus: (tøídìní øetìzcù)
\algo
-\:$ l_{max} \leftarrow 0 $
-\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $ n $ opakuj:
-\::$ l_{max} \leftarrow \max(l_{max}, l_i) $
-\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $ l_{max} $ opakuj:
+\:$L \leftarrow \max(l_1, l_2,\ldots,l_n)$
+\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $L$ opakuj:
\::$ P_i \leftarrow \emptyset $
-\::$ p_i \leftarrow 0 $
\:Pro $ i \leftarrow 1 $ do $ n $ opakuj:
-\::$ pridej(P_{l_i}, r_i) $
-\::$ p_i \leftarrow p_i + 1 $
+\::$ \<pridej>(P_{l_i}, r_i) $
\:$ S \leftarrow \emptyset $
-\:$ s \leftarrow 0 $
-\:Pro $ i \leftarrow l_{max} $ do $ 1 $ opakuj:
+\:Pro $ i \leftarrow L $ do $ 1 $ opakuj:
\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do $ R $ opakuj:
\:::$ Q_j \leftarrow \emptyset $
-\:::$ q_j \leftarrow 0 $
-\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do $ p_i $ opakuj:
-\:::$ vezmi(P_i, r) $
-\:::$ pridej(Q_{r[i]}, r) $
-\:::$ q_{r[i]} \leftarrow q_{r[i]} + 1 $
-\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do $ s $ opakuj:
-\:::$ vezmi(S, r) $
-\:::$ pridej(Q_{r[i]}, r) $
-\:::$ q_{r[i]} \leftarrow q_{r[i]} + 1 $
+\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do velikost($P_i$) opakuj:
+\:::$ \<vezmi>(P_i, r) $
+\:::$ \<pridej>(Q_{r[i]}, r) $
+\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do velikost($S$) opakuj:
+\:::$ \<vezmi>(S, r) $
+\:::$ \<pridej>(Q_{r[i]}, r) $
-\:$ S \leftarrow \emptyset $
-\:$ s \leftarrow 0 $
+\::$ S \leftarrow \emptyset $
\::Pro $ j \leftarrow 1 $ do $ R $ opakuj:
-\:::Pro $ k \leftarrow 1 $ do $ q_j $ opakuj:
-\::::$ vezmi(Q_j, r) $
-\::::$ pridej(S, r) $
-\::::$ s \leftarrow s + 1 $
+\:::Pro $ k \leftarrow 1 $ do velikost($Q_j$) opakuj:
+\::::$ \<vezmi>(Q_j, r) $
+\::::$ \<pridej>(S, r) $
-\:vysledek $S$
+\:výsledek $S$
\endalgo
Èasová slo¾itost tohoto algoritmu tedy bude $ \O(RN) $, kde $N$ je délka vstupu a $R$ poèet znakù abecedy.
}
}
$$
-
+
\h{K èemu je vlastnì tøídìní dobré?}
-Díky nìmu mù¾eme rychle vyhledávat prvky v mno¾inì, konkrétnì v èase $ \O(log(n)) $ napø. pomocí pùlení intervalù.
-Dal¹ím problémem, na který se hodí pou¾ít tøídìní, je zji¹tìní, zda se v posloupnosti nìjaké její hodnoty opakují. Dá se dokázat, ¾e tuto úlohu nelze vyøe¹it lépe (rychleji), ne¾ hodnoty nejprve setøídit a poté setøizenou posloupnost projít.
+Díky nìmu mù¾eme rychle vyhledávat prvky v mno¾inì, konkrétnì v èase $ \O(\log(n)) $ napø. pomocí pùlení intervalù.
+Dal¹ím problémem, na který se hodí pou¾ít tøídìní, je zji¹tìní, zda se v posloupnosti nìjaké její hodnoty opakují. Dá se dokázat, ¾e tuto úlohu nelze vyøe¹it lépe (rychleji), ne¾ tak, ¾e hodnoty nejprve setøídíme a poté setøidìnou posloupnost projdeme.
-Ukázali jsme si tedy, ¾e v se setøízené mno¾inì jsme schopni vyhledávat prvky v èase $ \O(log(n)) $. Bohu¾el do ní v èase $ \O(log(n)) $ neumíme prvky pøidávat.
+Ukázali jsme si tedy, ¾e v se setøízené mno¾inì jsme schopni vyhledávat prvky v èase $ \O(\log(n)) $. Bohu¾el do ní v èase $ \O(\log(n)) $ neumíme prvky pøidávat.
Jedním ze zpùsobu, jak zrychlit pøidávání nových prvkù a zároveò nepøijít o logaritmické vyhledávání, je pou¾ít dal¹í datouvou strukturu, vyhledávací stromy.
\h{Vyhledávací stromy}
Pøi vyva¾ování si musíme polo¾it cíl, èeho by jsme chteli dosahnout. Vhodné by bylo, aby stromu zùstala logaritmická hloubka a my se u toho moc nenadøeli. Hloubku stromu budeme znaèit $h$.
-\s{Definice:} {\sc Dokonale vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left \| \|L(v)\| - \|P(v)\| \right \| \leq 1 $
+\s{Definice:} {\sc Dokonale vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left\vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $
Toto nám jistì zaji¹»uje logaritmickou hloubku, ale je velmi pracné na udr¾ování.
-\s{Definice:} {\sc Hloubkové vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left \| h(L(v)) - h(P(v)) \right \| \leq 1 $
+\s{Definice:} {\sc Hloubkové vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $
Stromùm s hloubkovým vyvá¾ením se øíká AVL stromy. A o nich si doká¾eme následující lemma.
\s{Lemma: } AVL strom o $n$ vrcholech má hloubku $ \O(\log{n}) $.
+
\proof
-Uva¾me $a_k = min \{ \forall \| \{ \forall v: h(v) = k \} \| \} $
+Uva¾me $a_k = $ minimální poèet vrcholù stromu o~hloubce $k$.
Lehce spoèteme:
\endlist
+Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o hloubce $k - 1$ a $k - 2$.
+
Indukcí doká¾eme, ¾e $ a_k \geq 2^{k \over 2} $.
První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí:
-$ a_k = 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2} - 1 > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} * (2^{-1 \over 2} + 2^{-1}) > 2^{k \over 2} $
+$ a_k = 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2} > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong 2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2} $
Tímto jsme dokázali, ¾e na ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám zaruèuje hloubku $ \O(\log{n})$
projects / ads1.git / commitdiff