\:$G$ bude znaèit koneèný {\I graf} na~vstupu algoritmu (podle potøeby buïto orientovaný
nebo neorientovaný; multigraf pouze tehdy, bude-li explicitnì øeèeno).
\:$V$ a $E$ budou mno¾iny {\I vrcholù} a {\I hran} grafu~$G$ (pøípadnì jiného grafu
- uvedeného v~zavorkách). Hranu z~vrcholu~$u$
+ uvedeného v~závorkách). Hranu z~vrcholu~$u$
do~vrcholu~$v$ budeme psát~$uv$, a» u¾ je orientovaná nebo~ne.
\:$n$ a $m$ bude {\I poèet vrcholù a hran,} tedy $n:=\vert V\vert$, $m:=\vert E\vert$.
\:Pro libovolnou mno¾inu $X$ vrcholù nebo hran bude $\overline X$ oznaèovat doplnìk
\endalgo
\s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku
-stoupne velikost toku o~$m \ge 1$, co¾ mù¾e nastat pouze koneènìkrát. Podobnì pro racionální kapacity:
+stoupne velikost toku o~$m \ge 1$, co¾ mù¾e nastat pouze koneènì-krát. Podobnì pro racionální kapacity:
pøenásobíme-li v¹echny kapacity jejich spoleèným jmenovatelem, dostaneme sí» s~celoèíselnými kapacitami,
na~které se bude algoritmus chovat identicky a jak ji¾ víme, skonèí. Pro~iracionální kapacity obecnì
dobìhnout nemusí, zkuste vymyslet protipøíklad.
je tok maximální a øez minimální. Tím jsme také dokázali Ford-Fulkersonovu vìtu\foot{Dokonce
jsme ji dokázali i pro reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit rovnou na maximální tok místo
nulového a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez.} a existenci maximálního toku. Navíc algoritmus nikdy
-nevytváøí z~celých èísel necelá, èim¾ získáme:
+nevytváøí z~celých èísel necelá, èím¾ získáme:
\s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
\s{Vìta:} (Frederickson) Ka¾dá $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù. Existuje
algoritmus, který jednu takovou najde v~lineárním èase.
-\proof První èast rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
+\proof První èást rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problemu bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
vrcholù stupnì $>3$ \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany}\foot{tzv. francouzský trik},
(jinak by existovala pøíèná hrana, co¾ víme, ¾e není pravda), tak¾e minimum z~\<Ancestor>ù
v¹ech vrcholù le¾ících uvnitø bloku je pøesnì \<LowPoint> tohoto syna.
Ve~statickém grafu by se v¹echny testy redukovaly na~$\<LowPoint>(w)$, nám se ov¹em bloková
-struktura prùbì¾nì mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavademe:
+struktura prùbì¾nì mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavedeme:
\s{Definice:} $\<BlockList>(w)$ je seznam v¹ech blokù pøipojených v~daném okam¾iku
pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich koøeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny koøenù.
vrcholy $x$ a~$y$ a pod nimi je pøipojen nìjakou cestou vrchol~$w$. Takový blok
musí urèitì existovat, proto¾e jinak by algoritmus v¹echny bloky na~cestì z~$v$ do~$w$
popøeklápìl tak, aby se hrana $wv$ ve¹la. V~grafu se tedy musí vyskytovat jeden
-z~následujících minorù (do~vrcholu~$u$ jsme zkontrahovali celou dosud nenakreslenou èást grafu;
+z~následujících minorù (do~vrcholu~$u$ jsme kontrahovali celou dosud nenakreslenou èást grafu;
vybarvená èást odpovídá vnitøku bloku; hranaté vrcholy jsou externì aktivní):
\bigskip
\:Iterativnì vylep¹ujeme tok pomocí zlep¹ujících tokù: {\I (vnìj¹í cyklus)}
\::Sestrojíme sí» rezerv: vrcholy a hrany jsou tyté¾, kapacity jsou urèeny rezervami v~pùvodní síti.
Dále budeme pracovat s~ní.
-\::Najdeme nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèime.
-\::Proèistime sí», tj. ponecháme v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
+\::Najdeme nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèíme.
+\::Proèistíme sí», tj. ponecháme v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
\::Najdeme v~proèi¹tìné síti blokující tok $f_B$:
\:::$f_B \leftarrow \<prázdný tok>$
\:::Postupnì pøidáváme $st$-cesty: {\I (vnitøní cyklus)}
\::::Sma¾eme nasycené hrany. (Pozor, smazáním hran mohou vzniknout slepé ulièky,
èím¾ se zneèistí sí» a nebude fungovat hladové hledání cest.)
\::::Doèistíme sí».
-\::Zlep¹ime $f$ podle $f_B$
+\::Zlep¹íme $f$ podle $f_B$
\endalgo
\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do vrstev}{0.4\hsize}
\h{Poznámky}
\itemize\ibull
-\:Není potøeba tak puntíèkáøské èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
+\:Není potøeba tak puntièkáøské èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
nevadí -- stejnì se do nich nedostaneme. Vadí jen vrcholy s výstupním stupnìm 0, kde by mohl
havarovat postup v podkroku 9.
\:Je mo¾né dìlat prohledávání a èi¹tìní souèasnì. Jednodu¹e prohledáváním do~hloubky:
to nevyjde (dostaneme se do slepé ulièky), kus ustoupíme a pøi ústupu èistíme sí»
odstraòováním slepé ulièky.
\:U¾ pøi prohledáváni si rovnou udr¾ujeme minimum z rezerv a pøi zpáteèní cestì
- opravujeme kapacity. Snadno skombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
+ opravujeme kapacity. Snadno zkombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
\:V prùbìhu výpoètu udr¾ujeme jen sí» rezerv a tok vypoèteme a¾ nakonec z rezerv a kapacit.
\:Kdy¾ budeme chtít hledat minimální øez, spustíme po~Dinicovu algoritmu je¹tì jednu iterací F-F
algoritmu.
Pokud jsou kapacity hran vìt¹í celá èísla omezená nìjakou konstantou~$C$, mù¾eme si pomoci následujícím algoritmem.
Jeho základní my¹lenka je podobná, jako u~tøídìní èísel postupnì po øádech pomocí
-radix-sortu neboli pøíhrádkového tøídìní. Pro jistotu si ho pøipomeòme. Algoritmus nejprve setøídí èísla podle poslední
+radix-sortu neboli pøihrádkového tøídìní. Pro jistotu si ho pøipomeòme. Algoritmus nejprve setøídí èísla podle poslední
(nejménì významné) cifry, poté podle pøedposlední, pøedpøedposlední a tak dále.
\figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného tøídìní podle øádù}{0.4\hsize}
Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je alespoò tak velký jako jednoduchý øez skládající se jen z hran
kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez
-$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální
+$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ kontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální
øez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez
kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme
rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
-Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøíhrádkové struktury. Budeme
+Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøihrádkové struktury. Budeme
si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku bude znamenat pouze podívat se na
odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
\<DeleteMax> proto bude mít slo¾itost $\O(1)$, v¹echny \<Increase> dohromady $\O(m)$,
-jeliko¾ za~ka¾dou hranu pøeskakujeme maximálnì jednu pøíhrádku, a celý algoritmus $\O(mn)$.
+jeliko¾ za~ka¾dou hranu pøeskakujeme maximálnì jednu pøihrádku, a celý algoritmus $\O(mn)$.
\references
\bye
\h{Upravená verze Borùvkova algoritmu pro rovinné grafy}
Vyjdeme z my¹lenky, ¾e mù¾eme po ka¾dém kroku pùvodního Borùvkova algoritmu vzniklé komponenty
-souvislosti grafu zkontrahovat do jednoho vrcholu a tím získat men¹í graf, který mù¾eme
+souvislosti grafu kontrahovat do jednoho vrcholu a tím získat men¹í graf, který mù¾eme
znovu rekurzivnì zmen¹ovat. To funguje obecnì, ale uká¾eme, ¾e pro rovinné grafy tak dosáhneme
lineární èasové slo¾itosti.
\s{Algoritmus: MST v rovinných grafech} \cite{mm:mst}
\algo
\:Ke ka¾dému vrcholu najdeme nejlevnìj¹í incidentní hranu -- dostaneme mno¾inu hran $F \subseteq E$.
-\:Graf zkontrahujeme podle $F$ následovnì:
+\:Graf kontrahujeme podle $F$ následovnì:
\::Prohledáme do ¹íøky graf $(V(G), F)$ a pøiøadíme vrcholùm èíslo komponenty, ve které jsou.
\::Pøeèíslujeme hrany v~$G$ podle èísel komponent.
\:Odstraníme násobné hrany:
\s{Èasová slo¾itost:}
Slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, nebo» vnìj¹í cyklus se provede
nanejvý¹ $n$-krát, za~\<DeleteMin> v~nìm tedy zaplatíme celkem $\O(n\log n)$, za~pøidávání
-vrcholù do~$H$ a~nalezání nejlevnìj¹ích hran zaplatíme celkem $\O(m)$ (na~ka¾dou hranu takto
+vrcholù do~$H$ a~nalézání nejlevnìj¹ích hran zaplatíme celkem $\O(m)$ (na~ka¾dou hranu takto
sáhneme nanejvý¹ dvakrát), za~sni¾ování vah vrcholù v~haldì rovnì¾ pouze $\O(m)$
(nanejvý¹ $m$-krát provedu porovnání vah a \<DecreaseKey> v~$\the\algcnt.$ za~$\O(1)$).
Je¹tì vìt¹ího zrychlení dosáhneme, omezíme-li Jarníkovu algoritmu \#2 vhodnì
velikost haldy a takto budeme bìhem jednoho Jarníkova algoritmu skládat pouze
jednotlivé podkostøièky zastavené v rùstu pøeteèením haldy, podle kterých
-graf následnì zkontrahujeme a budeme pokraèovat s mnohem men¹ím grafem.
+graf následnì kontrahujeme a budeme pokraèovat s mnohem men¹ím grafem.
\s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#4 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
\algo
\::::$H=\emptyset$ (do¹li sousedé) nebo
\::::do $T$ jsem pøidal hranu oboustrannì incidentní s~hranami v~$T$ (pøipojil
jsem novou podkostru k~nìjaké u¾ nalezené).
-\::Zkontrahuji $G$ podle podkoster nalezených v~$T$.
+\::Kontrahuji $G$ podle podkoster nalezených v~$T$.
\endalgo
\s{Pozorování:}
jako haldu Q-Heap velikosti $\log^{1/4} n$ a pak u¾ budeme pokraèovat s~Fibonacciho
haldou. Tak provedeme tolik prùchodù, kolikrát je potøeba zlogaritmovat $n$,
aby výsledek klesl pod~$\log^{1/4} n$, a~to je konstanta. V¹imnìte si, ¾e by nám
-dokonce staèila halda velikosti $\O(\log^{(k)} n)$ a~operacemi v~konstantím èase
+dokonce staèila halda velikosti $\O(\log^{(k)} n)$ a~operacemi v~konstantním èase
pro nìjaké libovolné~$k$.
\references
\:$(\alpha,\beta)\in E \equiv \exists x\in\Sigma: \beta=\alpha x$.
\endlist
-\s{Pozorování:} Trie je strom s koøenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixemy jiných slov z~$X$.
+\s{Pozorování:} Trie je strom s koøenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixy jiných slov z~$X$.
Hrany si mù¾eme pøedstavit popsané písmeny, o~nì¾ prefix roz¹iøují, popisky hran na~cestì z~koøene do~vrcholu~$\alpha$ dávají právì slovo~$\alpha$.
\s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevìtvících se cest hranami. Hrany
projects / ga.git / commitdiff