\prednaska{2}{Dinicùv algoritmus a jeho varianty}{}
-V~této kapitole pojednáme o~Dinicovì algoritmu na~výpoèet maximálního
-toku a o~rùzných jeho variantách pro sítì ve~speciálním tvaru.
+Maximální tok v~síti u¾ umíme najít pomocí Ford-Fulkersonova algoritmu
+z~minulé kapitoly. Nyní pojednáme pojednáme o~efektivnìj¹ím Dinicovì algoritmu
+a o~rùzných jeho variantách pro sítì ve~speciálním tvaru.
\h{Dinicùv algoritmus}
-Dinicùv algoritmus je zalo¾en na my¹lence, ¾e ve Ford-Fulkersonovì algoritmu
-není potøeba pøièítat jen zlep¹ující cesty, ale je mo¾né pøièítat rovnou zlep¹ující
-toky, nejlépe takové, aby je nebylo obtí¾né najít, a~pøitom aby pùvodní tok
-dostateènì zlep¹ovaly. Vhodnými objekty k~tomuto úèelu jsou:
+Dinicùv algoritmus je zalo¾en na~následující my¹lence: Ve~Ford-Fulkersonovì algoritmu
+nemusíme pøièítat jen zlep¹ující cesty, ale je mo¾né pøièítat rovnou zlep¹ující
+toky. Nejlépe toky takové, aby je nebylo obtí¾né najít, a~pøitom aby pùvodní tok
+dostateènì obohatily. Vhodnými objekty k~tomuto úèelu jsou blokující toky:
\s{Definice:} {\I Blokující tok} je tok takový, ¾e ka¾dá orientovaná $st$-cesta
obsahuje alespoò jednu nasycenou hranu. [Tj. takový tok, který by na¹el F-F algoritmus,
\s{Algoritmus (Dinic):}
\algo
-\:Zaèni s~libovolným tokem~$f$, napøíklad prázdným (v¹ude nulovým).
-\:Iterativnì vylep¹uj tok podle zlep¹ujících tokù v síti rezerv: {\I (vnìj¹í cyklus)}
-\::Sestroj sí» rezerv.
-\::Najdi nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèi.
-\::Proèisti sí», tj. nech v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
-\::Najdi v~proèi¹tìné síti blokující tok $f_B$:
+\:Zaèneme s~libovolným tokem~$f$, napøíklad prázdným (v¹ude nulovým).
+\:Iterativnì vylep¹ujeme tok pomocí zlep¹ujících tokù: {\I (vnìj¹í cyklus)}
+\::Sestrojíme sí» rezerv: vrcholy a hrany jsou tyté¾, kapacity jsou urèeny rezervami v~pùvodní síti.
+\::Najdeme nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèime.
+\::Proèistime sí», tj. ponecháme v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
+\::Najdeme v~proèi¹tìné síti blokující tok $f_B$:
\:::$f_B \leftarrow \<prázdný tok>$
\:::Postupnì pøidáváme $st$-cesty: {\I (vnitøní cyklus)}
-\::::Najdi $st$-cestu. Napø. hladovì metodou rovnou za nosem.
-\::::Po¹li co nejvíce po cestì.
-\::::Sma¾ nasycené hrany. (Pozor, smazáním hran mohou vzniknout slepé ulièky,
-èím¾ se zneèistí sí» a nebude fungovat metoda rovnou za nosem.)
-\::::Doèisti sí».
-\::Zlep¹i $f$ podle $f_B$
+\::::Najdeme $st$-cestu. Napø. hladovì -- \uv{rovnou za nosem}.
+\::::Po¹leme co nejvíce po~nalezené cestì.
+\::::Sma¾eme nasycené hrany. (Pozor, smazáním hran mohou vzniknout slepé ulièky,
+èím¾ se zneèistí sí» a nebude fungovat hladové hledání cest.)
+\::::Doèistíme sí».
+\::Zlep¹ime $f$ podle $f_B$
\endalgo
\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do vrstev}{0.4\hsize}
\s{Slo¾itost algoritmu:}
-Oznaèíme $l$ délku nejkrat¹í $st$-cesty, $n$ poèet vrcholù sítì a $m$ poèet hran sítì.
+Oznaème $l$ délku nejkrat¹í $st$-cesty, $n$ poèet vrcholù sítì a $m$ poèet hran sítì.
\itemize\ibull
\:Jeden prùchod vnitøním cyklem trvá $\O(l)$, co¾ mù¾eme odhadnout jako $\O(n)$, proto¾e v¾dy platí $l \leq n$.
a ze sítì vypadne, tak¾e krok~6 mimo podkroku~12 bude trvat $\O(mn)$.
\:Èi¹tìní a doèi¹»ování sítì dohromady provedeme takto:
\itemize\ibull
- \:Rozvrstvíme vrcholy do vrstev podle vzdálenosti od $s$.
+ \:Rozvrstvíme vrcholy podle vzdálenosti od $s$.
\:Zaøízneme dlouhé cesty (del¹í, ne¾ do vrstvy obsahující $t$).
\:Dr¾íme si frontu vrcholù, které mají $\deg^+ = 0$ èi $\deg^- = 0$.
\:Vrcholy z~fronty vybíráme a zahazujeme vèetnì hran, které vedou do/z nich.
- A pøípadnì pøidáváme do~fronty vrcholy, kterým klesl jeden ze stupòù na 0
- pøi vyhazování hran. Vyma¾ou se tím slepé ulièky, které by vadily v podkroku~9.
+ A pøípadnì pøidáváme do~fronty vrcholy, kterým pøi tom klesl jeden ze stupòù na 0.
+ Vyma¾ou se tím slepé ulièky, které by vadily v podkroku~9.
\endlist
- Tedy kroky 5 a 12 dohromady spotøebují èas $\O(m)$.
+ Takto kroky 5 a 12 dohromady spotøebují èas $\O(m)$.
\:Jeden prùchod vnìj¹ím cyklem tedy trvá $\O(mn)$.
\endlist
V~ka¾dém prùchodu Dinicova algoritmu vzroste $l$ alespoò~o~1.
\s{Dùsledek:}
-Vnìj¹ím cyklem projdeme $\O(n)$ krát, proto¾e nejdel¹í cesta bude mít
-délku $\leq n$. Celková slo¾itost algoritmu tedy bude $\O(n^2m)$
+Vnìj¹ím cyklem projdeme $\O(n)$-krát, proto¾e nejdel¹í cesta bude mít
+délku $\leq n$. Celková slo¾itost celého algoritmu proto bude $\O(n^2m)$
-\s{Korektnost algoritmu:}
-Korektnost Dinicova algoritmu plyne z korektnosti F-F algoritmu. Kdy¾ se Dinicùv
+\s{Korektnost algoritmu}
+plyne z korektnosti F-F algoritmu. Kdy¾ se Dinicùv
algoritmus zastaví, musí vydat maximální tok. Pokud ne, tak podle F-F algoritmu
-existuje zlep¹ující cesta, ale to je ve sporu s~krokem~4, který po¾aduje, ¾e ¾ádná
-zlep¹ující cesta neexistuje.
+existuje zlep¹ující cesta, ale to je ve sporu s~krokem~4, který po¾aduje, aby ¾ádná
+taková cesta neexistovala.
\s{Dùkaz vìty:}
Podíváme se na~prùbìh jednoho prùchodu vnìj¹ím cyklem.
neteklo, mù¾e se stát, ¾e v~protismìru z~dosud nulové rezervy vyrobíme
nenulovou. Rozmysleme si tedy, jaké hrany mohou pøibývat:
-Vnìj¹í cyklus zaèíná s neproèi¹tìnou sítí. Pøíklad takové sítì je na obrázku nìkde
-okolo. Po proèi¹tìní zùstanou v~síti jen èerné hrany, tedy hrany vedoucí z~$i$-té
+Vnìj¹í cyklus zaèíná s neproèi¹tìnou sítí. Pøíklad takové sítì je na~následujícím obrázku.
+Po~proèi¹tìní zùstanou v~síti jen èerné hrany, tedy hrany vedoucí z~$i$-té
vrstvy do~$(i+1)$-ní. Èervené a modré\foot{Modré jsou ty, které vedou v rámci jedné vrstvy,
èervené vedou zpìt èi za~spotøebiè èi do~slepých ulièek. Pøi vyti¹tìní na papír není snadné
-je barevnì odli¹it od èerných.} se zahodí.
+je barevnì odli¹it od~èerných.} se zahodí.
\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a slepé ulièky.}{0.5\hsize}
\figure{dinic-zpetnahrana.eps}{Vznik nové zpìtné hrany}{0.4\hsize}
Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové $st$-cesty, které pou¾ívají
-zpìtné hrany. Jen¾e $st$-cesta, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit zpìt
-a nikdy nemù¾e skoèit dopøedu o~více ne¾ jednu vrstvu, a~proto je její délka alespoò $l+2$.
-Tím je vìta dokázána. \qed
+zpìtné hrany. Jen¾e $st$-cesta, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit
+o~vrstvu zpìt a nikdy nemù¾e skoèit o~více ne¾ jednu vrstvu dopøedu, a~proto je její
+délka alespoò $l+2$. Tím je vìta dokázána. \qed
\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta u¾ívající novou zpìtnou hranu}{0.4\hsize}
-\h{Implementaèní poznámky}
+\h{Poznámky}
\itemize\ibull
\:Není potøeba tak puntíèkáøské èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
nevadí -- stejnì se do nich nedostaneme. Vadí jen vrcholy s výstupním stupnìm 0, kde by mohl
havarovat postup v podkroku 9.
-\:Je mo¾né dìlat prohledávání a èi¹tìní souèasnì. Jednodu¹e metodou Hrrr na nì a kdy¾
+\:Je mo¾né dìlat prohledávání a èi¹tìní souèasnì. Jednodu¹e prohledáváním do~hloubky:
+ \uv{Hrrr na nì!} a kdy¾
to nevyjde (dostaneme se do slepé ulièky), kus ustoupíme a pøi ústupu èistíme sí»
odstraòováním slepé ulièky.
\:U¾ pøi prohledáváni si rovnou udr¾ujeme minimum z rezerv a pøi zpáteèní cestì
- opravujeme kapacity.\foot{Jak se asi zkombinuje s pøedchozím, kde musíme ustupovat?
- V ka¾dé úrovni rekurze si zapamatujeme minimum, jaké bylo, kdy¾ jsme tam pøi¹li. Pokud
- se vracíme, recyklujeme toto minimum.}
+ opravujeme kapacity. Snadno skombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
\:V prùbìhu výpoètu udr¾ujeme jen sí» rezerv a tok vypoèteme a¾ nakonec z rezerv a kapacit.
\:Kdy¾ budeme chtít hledat minimální øez, spustíme po~Dinicovu algoritmu je¹tì jednu iterací F-F
algoritmu.
projects / ga.git / commitdiff