\input ../lecnotes.tex
-\input epsf
+\input epsf.tex
\def\N{N}
-\prednaska{1}{Euklidùv algoritmus}{(zapsaly T.~Klimo¹ová a K.~B\"ohmová)}
+\prednaska{1}{Eukleidùv algoritmus}{(zapsaly T.~Klimo¹ová a K.~B\"ohmová)}
\h{}
+\>{\bf Problém hledání nejvìt¹ího spoleèného dìlitele }
-\s{Algoritmus:} (Eukleidùv algoritmus verze $1.0$)
-
-Cílem je najít nejvìt¹ího spoleèného dìlitele zadaných èísel
+Cílem je najít nejvìt¹ího spoleèného dìlitele zadaných èísel
$a_0, b_0 \in \N $, dále jen $\gcd(a_0, b_0)$, tedy Greatest Common
Divisor.
+\s{Algoritmus:} (Eukleidùv algoritmus verze $1.0$; snad 200 let pøed Eukleidem)
+
\algo
\:while $a\not=b$ :
-\::if $a > b \Rightarrow a \leftarrow a-b $
-\::\rlap{else}\phantom{if }$\phantom{a > b} \Rightarrow b \leftarrow b-a $
+\::if $a > b \Rightarrow a \leftarrow a-b $
+\::\rlap{else}\phantom{if }$\phantom{a > b} \Rightarrow b \leftarrow b-a $
\: return $a$.
\endalgo
\noindent{\sl Dùkaz správnosti: }
-\>{\bf $1)$ EA se zastaví}
+\>{\bo 1) EA se zastaví}
-V ka¾dém prùchodu cyklem se buï $a$ zmen¹í o hodnotu $b$ anebo se $b$ zmen¹í o
-hodnotu $a$. Proto souèet $a+b$ klesne poka¾dé alespoò o $1$. Tedy celkem
+V ka¾dém prùchodu cyklem se buï $a$ zmen¹í o hodnotu $b$ anebo se $b$ zmen¹í o~hodnotu $a$. Proto souèet $a+b$ klesne poka¾dé alespoò o $1$. Tedy celkem
se uskuteèní nanejvý¹ $a+b$ prùchodù cyklem a pak algoritmus skonèí.
-\>{\bf $2)$ EA vydá $\gcd(a_0, b_0)$}
+\>{\bo 2) EA vydá $\gcd(a_0, b_0)$}
-$($Pøi dùkazech správnosti algoritmu se èasto pou¾ívá invariant.$)$
+Pøi dùkazech správnosti algoritmu se èasto pou¾ívá {\I invariant.}
+To je nìco, co se v prùbìhu algoritmu nemìní (obvykle hodnota nìjakého výrazu nebo jeho vlastnost, napø. dìlitelnost dvìma).
Doká¾eme, ¾e platí invariant: $\gcd(a, b) = \gcd(a_0, b_0)$.
-Algoritmus pøi svém bìhu postupnì mìní hodnoty $a$ a $b$.
-Tedy
+Algoritmus pøi svém bìhu postupnì mìní hodnoty $a$ a $b$.
+Tedy
$(a_0, b_0) \rightarrow (a_1, b_1) \rightarrow
\dots \rightarrow (a_k, b_k)$.
A jakmile je splnìna rovnost $a_k = b_k$, tak skonèí.
\medskip
K tomu bude tøeba nìkolik pozorování:
-\>{\I Pozorování 1:} $\gcd(a, a) = a$ (pro $a>0$)
+\>{\I Pozorování 1:} $\gcd(a, a) = a$ (pro $a>0$).
-Nahlédneme snadno. Nejvìt¹í spoleèný dìlitel jediného èísla je ono samo. \qed
+Nahlédneme snadno. Nejvìt¹í spoleèný dìlitel jediného èísla je ono samo.
-\>{\I Pozorování 2:} $\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
+\>{\I Pozorování 2:} $\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$.
Takté¾ jednoduché. Pøi urèování nejvìt¹ího spoleèného dìlitele
-nám na poøadí èísel nezále¾í. \qed
+nám na poøadí èísel nezále¾í.
-\>{\I Pozorování 3:} $\gcd(a, b) = \gcd(a \pm b, b)$
+\>{\I Pozorování 3:} $\gcd(a, b) = \gcd(a \pm b, b)$.
%%Rozmyslíme si, ¾e a¾ doká¾eme {\I Pozorování 3 }, máme vyhráno.
Doká¾eme silnìj¹í vìc -- platnost ekvivalence
-$k\vert a, k\vert b \Leftrightarrow k\vert(a+b)$.
+$k\vert a, k\vert b \Leftrightarrow k\vert a, k\vert(a\pm b)$.
-\>$\Rightarrow$: Jeliko¾ $k\vert a, k\vert b \Rightarrow
-a$ se dá vyjádøit jako $k-$násobek nìjakého $a'$. Tedy $a = k*a'$.
-Obdobnì $b = k*b'$, pro nìjaká èísla $a',b'\in \N$.
-Tak¾e souèet $a+b$ si mù¾eme rozepsat jako $(a'+b')*k$ z èeho¾ je
-ji¾ vidìt, ¾e $k\vert(a+b)$.
+\>$\Rightarrow$: Jeliko¾ $k\vert a, k\vert b$, dá se $a$ vyjádøit jako $k$-násobek nìjakého $a'$. Tedy $a = k\cdot a'$.
+Obdobnì $b = k\cdot b'$, pro nìjaká èísla $a',b'\in \N$.
+Tak¾e souèet $a\pm b$ si mù¾eme rozepsat jako $(a'\pm b')\cdot k$ z èeho¾ je
+ji¾ vidìt, ¾e $k\vert(a\pm b)$.
-\>$\Leftarrow$: Podobnì $k\vert (a+b), k\vert b \Leftrightarrow k\vert a$.
-\qed
+\>$\Leftarrow$: Podobnì $k\vert (a\pm b), k\vert b \Leftrightarrow k\vert a$.
Uvìdomíme si, ¾e tato tøi pozorování nám staèí k tomu, aby invariant
platil. Algoritmus tedy opravdu vydá $\gcd(a_0,b_0)$.
+\qed
-\>{\bf $3)$Rychlost algoritmu}
+\goodbreak
+
+\>{3) \bo Rychlost algoritmu}
Pøibli¾nì $a+b$. To je velmi pomalé, a proto vyvstává otázka, dá-li se
EA zrychlit.
-\vfill\break
-
-\s{Algoritmus:} (Eukleidùv algoritmus verze $2.0$)
+\s{Algoritmus:} (Eukleidùv alg. v$2.0$; neznámý Eukleidùv pokraèovatel, neznámo kdy)
-Vylep¹ení: místo odèítání budeme poèítat zbytek po dìlení.
+\>Vylep¹ení: místo odèítání budeme poèítat zbytek po dìlení.
\algo
\:while $b \neq 0:$
\: return $a$
\endalgo
-\>{\sl Dùkaz správnosti: }
+\>{\sl Dùkaz správnosti: }
\>{\bf Korektnost: }
\>{\bf Rychlost této verze:}
-Uká¾eme, ¾e rychlost verze 2.0 je $\sim \log(\max(a,b))$.
+Uká¾eme, ¾e poèet krokù, který provede verze 2.0 je asi $\log(\max(a,b))$.
-\s {Lemma: } Za 2 prùchody cyklem se buï hodnota $a$ nebo hodnota $b$
+\s {Lemma:} Za 2 prùchody cyklem se buï hodnota $a$ nebo hodnota $b$
zmen¹í alespoò na polovinu.
-Uvìdomíme si, ¾e to u¾ staèí k tomu, aby byl èas logaritmický.
+(Dùkaz uká¾eme za chvíli.)
-Prùchodù, které zmen¹ují hodnotu $a$ je nejvý¹e $\lceil \log_2
+Uvìdomíme si, ¾e toto lemma ji¾ staèí k tomu, aby byl èas výpoètu
+logaritmický.
+Prùchodù, které zmen¹ují hodnotu $a$, je nejvý¹e $\lceil \log_2
a \rceil$. Obdobnì prùchodù sni¾ujících hodnotu $b$ je nejvý¹e
$\lceil \log_2 b \rceil$.
-
Tedy celkový poèet prùchodù je nejvý¹e $2\cdot(\lceil \log_2 a \rceil+\lceil
\log_2 b\rceil)$, co¾ není více ne¾ $\sim \log(\max(a,b))$.
-\>{\sl Dùkaz lemmatu: }
+\>{\sl Dùkaz lemmatu: }
+{\narrower
Rozebereme, co se stane po dvojím projití cyklem.
-
Na zaèátku máme èísla $a_0$ a $b_0$. Bez újmy na obecnosti pøedpokládejme,
-
-¾e $a_0>b_0$, jinak potøebujeme navíc jeden prùchod v nìm¾ se èísla
+¾e $a_0>b_0$, jinak potøebujeme navíc jeden prùchod, v nìm¾ se èísla
prohodí.
-
Po prvním prùchodu: $a_1=b_0; b_1=a_0 \mod b_0$, co¾ je ménì ne¾ $b_0$.
-
Po druhém prùchodu: $a_2=b_1; b_2=a_1 \mod b_1 = b_0 \mod b_1$.
-
Chceme ukázat, ¾e kdy¾ je $b_1 < b_0$, tak $b_0 \mod b_1 \leq b_0/2$.
\itemize\ibull
-\: buï platí $b_1 \leq b_0/2$. Pak jistì $b_0 \mod b_1$ je
+\: Buï platí $b_1 \leq b_0/2$. Pak jistì $b_0 \mod b_1$ je
nanejvý¹ $b_0/2$.
-\: nebo nastane druhá mo¾nost $b_1 > b_0/2$.
+\: Nebo nastane druhá mo¾nost $b_1 > b_0/2$.
Pak tedy $b_0 \mod b_1 = b_0-b_1$, co¾ je takté¾ maximálnì $b/2$.
\qed
\endlist
+}
+
\medskip
\>{Jak nahlédnout, ¾e algoritmus není rychlej¹í ne¾ logaritmický?}
$\gcd(F_n, F_{n-1}) \rightarrow \gcd(F_{n-1}, F_{n-2}) \rightarrow
\dots \rightarrow \gcd(1, 1)$.
-$($Zároveò je to asi nejhezèí dùkaz, ¾e Fibonacciho èísla jsou
+$($Zároveò je to asi nejhezèí dùkaz toho, ¾e Fibonacciho èísla jsou
nesoudìlná.$)$
-\vfill\break
\h{Výpoèetní model}
+Kdy¾ u¾ známe nìjaký algoritmus, mìli bychom se zaèít zaobírat otázkou, co takový algoritmus vlastnì je.
+®ádná obecnì uznávaná definice algoritmu neexistuje, zadefinujeme si alespoò výpoèetní model,
+a za~algoritmy budeme pova¾ovat programy v tomto modelu.
-\>{Základní vlastnosti:}
+\>{Základní vlastnosti výpoèetního modelu:}
\itemize\ibull
-\:vstup: $n$ èísel $($mù¾eme se omezit na èísla, nebo» cokoli jiného
+\:vstup: $n$ èísel $($mù¾eme se omezit na èísla, nebo» cokoli jiného
umíme do èísel zakódovat$)$
\:výstup: $m$ èísel
\:elementární operace:
-\quad aritmetické operace $(+, -, *, $mod$,\dots)$
-
-\quad logické operace
-
-\quad práce s pamìtí
-
-\quad øídící operace (skoky, podmínìné skoky, halt,\dots)
+\itemize\idot
+\:aritmetické operace $(+, -, *, $mod$,\dots)$
+\:logické operace
+\:práce s pamìtí
+\:øídící operace (skoky, podmínìné skoky, halt,\dots)
+\endlist
-\:èas: $t(x)$ = poèet krokù výpoètu pøi zpracování vstupu $x$
+\:èas: $t(x)$ = poèet krokù výpoètu pøi zpracování vstupu~$x$
+\:prostor: $s(x)$ = poèet bunìk pamìti pou¾itých pøi zpracování vstupu~$x$
\endlist
-\s{Definice:} Èasová slo¾itost v nejhor¹ím pøípadì
+\s{Definice:} {\I Èasová slo¾itost v nejhor¹ím pøípadì }
-$T(n) := \max \{t(x)\vert x$ je vstup délky $n\}$.
+$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}$.
-\s{Definice:} Prostorová slo¾itost
+\s{Definice:} {\I Prostorová slo¾itost}
-udává kolik pamìti výpoèet pou¾il.
+$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}$.
\bigskip
-\>Díry v definici: co jsou to èísla?
-Kdy¾ mohou být libovolnì velká, pak se dá podvádìt pøi poèítání prostorové
+\s{Díry v definici:} co jsou to èísla?
+Kdy¾ mohou být libovolnì velká, pak se dá podvádìt pøi poèítání èasové i prostorové
slo¾itosti.
-\>{Velikost èísel}
+\>{Velikost èísel:}
-a$)$ polynomiálnì velká vzhledem k tomu kolik jich je
+a) polynomiálnì velká vzhledem k tomu, kolik jich je
-b$)$ vstup mìøíme v bitech a operace pak trvá $\sim \log(x)$
+b) vstup mìøíme v bitech a operace pak trvá $\sim \log(x)$
-poznámka: pro normální algoritmy tyto dvì definice dávají toté¾
+Poznámka: pro normální algoritmy tyto dvì definice dávají toté¾
\bigskip
\>{Které slo¾itosti jsou rozumné a které nepou¾itelné?}
& 10^{64}\[s] & 10^{158}\[s] & 10^{2567}\[s] & \approx\infty \cr
}}$$
-\bigskip
-
\halign{#\hfil&\quad #\hfil\cr
Pro pøedstavu: &$1\,000\[s]$ je asi tak ètvrt hodiny\cr
&$1\,000\,000\[s]$ je necelých 12 dní\cr
&$10^9\[s]$ je 31 let\cr
&$10^{18}\[s]$ je asi tak stáøí Vesmíru. \cr}
+\bigskip
+\bigskip
-
-\vfill\break
-
-{\bf Poèítaèe se nám zrychlují aneb Mooreùv zákon}
+{\>\bf Poèítaèe se nám zrychlují aneb Mooreùv zákon}
\medskip
}}$$
\bigskip
-Poèítaèe se zrychlují, nestaèí chvíli poèkat? Ne, na nìkterých èasových
-slo¾itostech se to projeví tak nepatrnì\dots
+
+\dots Ne, na nìkterých èasových slo¾itostech se to projeví tak nepatrnì.
\medskip
-Vyplatí se tedy nejdøív najít dobrý algoritmus, pak optimalizovat konstanty.
+Vyplatí se nejdøív najít dobrý algoritmus a pak optimalizovat konstanty.
\bigskip
Asymptotický rùst funkcí
-\hskip2cmAsymptotický rùst funkcí:
-\hskip5cm èleny ni¾¹ích øádù se schovají do konstant
-\>\epsfxsize=0.48\hsize\epsfbox{../slides/funcs.eps}
-\epsfxsize = 0.48\hsize\epsfbox{../slides/funcs2.eps}
+\>\epsfxsize=1\hsize\epsfbox{../slides/funcs.eps}
+
+Asymptotický rùst funkcí:
+
+(èleny ni¾¹ích øádù se schovají do konstant)
+
+\>\epsfxsize = 1\hsize\epsfbox{../slides/funcs2.eps}
\medskip
Malé vstupy se èasto dají øe¹it samostatnì, lépe je tedy pou¾ít dva
projects / ads1.git / commitdiff