\prednaska{13}{Nejkrat¹í cesty: Maticové metody}{}
-{\bf POZOR: Pracovní verze. Zacházet opatrnì.}
-
V~pøedchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkrat¹ích
cest z~daného poèáteèního vrcholu. Nyní se zamìøíme na výpoèet celé
metriky grafu, tedy matice vzdáleností, která pro ka¾dou dvojici vrcholù
obsahuje délku nejkrat¹í cesty mezi nimi.
Jeden zpùsob se ihned nabízí: postupnì spustit Dijkstrùv algoritmus pro v¹echny
-mo¾né volby poèáteèního vrcholu, pøípadnì se pøed tím je¹tì pomocí potenciálù
-zbavit záporných hran. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$,
-co¾ je pro øídké grafy nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát
+mo¾né volby poèáteèního vrcholu, pøípadnì se pøed tím je¹tì zbavit záporných
+hran pomocí potenciálù. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$.
+To je pro øídké grafy nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát
pomalej¹í, ne¾ je velikost výstupu.
-Pro husté grafy obvykle pracují rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích a zejména
-na jejich násobení. Nìkolik takových si nyní pøedvedeme. Vrcholy grafu budou
-v¾dy oèíslované èísly 1 a¾~$n$ a graf doplníme na úplný, pøièem¾ hrany, které
-pùvodnì neexistovaly, obdr¾í délku $+\infty$.
+Je-li graf hustý pracují obvykle rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích, zejména
+na jejich násobení. Nìkolik algoritmù tohoto druhu si nyní pøedvedeme. Graf budeme
+v¾dy popisovat maticí délek hran -- to je matice $n\times n$, její¾ øádky i sloupce
+jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází délka hrany $ij$; pøípadné
+chybìjící hrany doplníme s~délkou~$+\infty$.
\h{Floydùv-Warshallùv algoritmus}
Pak platí:
$$\eqalign{
D^0_{ij} &= \hbox{délka hrany $ij$,} \cr
-D^n_{ij} &= \hbox{vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
+D^n_{ij} &= \hbox{hledaná vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
D^k_{ij} &= \min( D^{k-1}_ij, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} ). \cr
}$$
-První dvì rovnosti dostaneme pøímo z~definice. Tøetí rovnost dostaneme rozdìlením
+První dvì rovnosti plynou pøímo z~definice. Tøetí rovnost dostaneme rozdìlením
cest z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k$ na ty, které se vrcholu~$k$ vyhnou (a~jsou tedy
cestami pøes 1 a¾~$k-1$), a ty, které ho pou¾ijí -- ka¾dou takovou mù¾eme slo¾it
z~cesty z~$i$ do~$k$ a cesty z~$k$ do~$j$, obojí pøes 1 a¾~$k-1$.
tak¾e tím fale¹né øe¹ení nevyrobíme. (Pøesnìji: ze sledu $i\alpha v\beta k\gamma v\delta j$,
kde $v\not\in\beta,\gamma$, mù¾eme vypu¹tìním èásti $v\beta k\gamma v$ nezáporné
délky získat sled z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k-1$, jeho¾ délka nemù¾e být men¹í
-ne¾~$D^{k-1}{ij}$.)
+ne¾~$D^{k-1}_{ij}$.)
-Samotný algoritmus pak postupnì poèítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$:
+Samotný algoritmus postupnì poèítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$ podle uvedeného pøedpisu:
\algo
-\:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$
+\:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$.
\:Pro $k=1,\ldots,n$:
\::Pro $i,j=1,\ldots,n$:
-\:::$D^k_{ij} = \min( D^{k-1}_ij, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} )$.
+\:::$D^k_{ij} \leftarrow \min( D^{k-1}_ij, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} )$.
\:$\hbox{Matice vzdáleností} \leftarrow D^n.$
\endalgo
okam¾iku potøebujeme jen aktuální matici~$D^k$ a pøedchozí~$D^{k-1}$. Anebo
nahlédneme, ¾e mù¾eme $D^{k-1}$ na~$D^k$ pøepisovat na místì. U~hodnot $D_{ik}$
a~$D_{kj}$ je toti¾ podle definice stará i nová hodnota stejná. Algoritmu tedy
-staèí $\Theta(n^2)$ pamìti.
+staèí jediné pole velikosti $n\times n$, které na~poèátku výpoètu obsahuje
+vstup a na~konci výstup.
\h{Regulární výrazy}
Pøedchozí algoritmus lze zajímavì zobecnit, toti¾ tak, aby pro ka¾dou dvojici
-vrcholù sestrojil vhodnou reprezentaci mno¾iny v¹ech sledù vedoucích mezi touto
-dvojicí. Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazùm známým
-z~teorie automatù. Zadaný orientovaný graf pøitom mù¾e obsahovat i smyèky
-a násobné hrany.
+vrcholù sestrojil vhodnou reprezentaci mno¾iny v¹ech sledù vedoucích mezi nimi.
+Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazùm známým z~UNIXu
+a z~teorie automatù. Budeme pøipou¹tìt orientované multigrafy se smyèkami
+a násobnými hranami.
\s{Definice:} {\I Svazek} je mno¾ina sledù, které mají spoleèný poèáteèní
a koncový vrchol. {\I Typem} svazku nazveme uspoøádanou dvojici tìchto vrcholù.
Místo \uv{svazek typu $(u,v)$} budeme obvykle øíkat prostì {\I $uv$-svazek.}
-Triviálními pøípady svazkù jsou prázdná mno¾ina~$\emptyset$, hrana~$uv$ a pro
+Triviálními pøípady svazkù jsou prázdná mno¾ina~$\emptyset$, samotná hrana~$uv$ a pro
$u=v$ také sled~$\varepsilon$ nulové délky. Svazky mù¾eme kombinovat
následujícími operacemi:
ni¾¹í prioritu ne¾ zøetìzení.
\>Svazky budeme obvykle reprezentovat {\I sledovými výrazy,} co¾ jsou
-výrazy koneèné délky sestávající se z~triviálních svazkù a vý¹e uvedených
+výrazy koneèné délky sestávající z~triviálních svazkù a vý¹e uvedených
operací.
\s{Pozorování:} Sledy mù¾eme reprezentovat øetìzci nad abecedou, její¾
R^n_{ij} &= \hbox{hledané $R_{ij}$}, \cr
R^k_{ij} &= R^{k-1}_{ij} \cup R^{k-1}_{ik}(R^{k-1}_{kk})^*R^{k-1}_{kj}. \cr
}$$
-První dvì rovnosti opìt dostaneme pøímo z~definice (mno¾inu v¹ech hran zapí¹eme
+První dvì rovnosti opìt plynou pøímo z~definice (mno¾inu v¹ech hran zapí¹eme
buï jako prázdnou nebo ji vytvoøíme sjednocováním z~jednoprvkových mno¾in). Tøetí
rovnost vychází z~toho, ¾e ka¾dý sled z~$i$ do~$j$ buï neobsahuje~$k$, nebo ho
mù¾eme rozdìlit na~èásti mezi jednotlivými náv¹tìvami vrcholu~$k$.
Algoritmus tedy bude postupnì budovat matice $R^0, R^1, \ldots, R^n$ podle tìchto
pravidel. Provedeme pøi tom $\Theta(n^3)$ operací, ov¹em s~výrazy, jejich¾ délka
-mù¾e být a¾ øádovì~$4^n$. Radìji ne¾ jako øetìzce je budeme ukládat v~podobì
+mù¾e být a¾ øádovì~$4^n$. Radìji ne¾ jako øetìzce je proto budeme ukládat v~podobì
acyklických orientovaných grafù: vrcholy budou operace, hrany je budou pøipojovat
k~operandùm.
K~pøímému pou¾ití se takový exponenciálnì dlouhý výraz hodí málokdy, ale mù¾e
nám pomoci odpovídat na rùzné otázky týkající se sledù s~danými koncovými vrcholy.
-Máme-li nìjakou funkci~$f$ pøiøazující hodnoty mno¾inám sledù kódovaným sledovými
+Máme-li nìjakou funkci~$f$ ohodnocující mno¾iny sledù kódované sledovými
výrazy, staèí umìt vyhodnotit:
\itemize\ibull
\:výsledek pro triviální výrazy $f(\emptyset)$, $f(\varepsilon)$ a $f(e)$ pro hranu~$e$,
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=+\infty \cr
f(\varepsilon)&=0 \cr
-f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany)} \cr
+f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= f(\alpha) + f(\beta) \cr
f(\alpha^*) &= \cases{0 & \hbox{pro $f(\alpha)\ge 0$} \cr -\infty & \hbox{pro $f(\alpha)<0$} \cr} \cr
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=0 \cr
f(\varepsilon)&=\infty \cr
-f(e)&=w(e) \hbox{\quad (¹íøka hrany)} \cr
+f(e)&=w(e) \hbox{\quad (¹íøka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \max(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha^*) &= \infty \cr
Øe¹íme-li grafové problémy pomocí matic, nabízí se pou¾ít známé subkubické algoritmy
pro lineárnì algebraické úlohy. Ty jsou obvykle zalo¾eny na efektivním násobení
-matic -- dvì matice $n\times n$ mù¾eme vynásobit v~èase $\O(n^2.808)$ Strassenovým
+matic -- dvì matice $n\times n$ mù¾eme vynásobit v~èase $\O(n^{2.808})$ Strassenovým
algoritmem~\cite{strassen:matmult}, pøípadnì asymptoticky nejrychlej¹ím známým algoritmem od Coppersmithe
a Winograda~\cite{coppersmith:matmult} v~èase $\O(n^{2.376})$. Slavná hypotéza øíká,
¾e pro ka¾dé $\omega>2$ existuje algoritmus násobící matice se slo¾itostí $\O(n^\omega)$
je 1 nebo~0 podle toho, zda z~$i$ do~$j$ vede cesta). Do~matice~$A$ doplníme
na diagonálu jednièky a poté ji $\lceil \log_2 n\rceil$-krát umocníme na~druhou.
Abychom se vyhnuli velkým èíslùm, nahradíme po ka¾dém umocnìní nenuly jednièkami.
-Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic obsahující polynomiálnì velká
-èísla, co¾ trvá $\O(n^\omega\log n)$.
+Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic, co¾ trvá $\O(n^\omega\log n)$.
Na~tento postup se mù¾eme dívat i~obecnìji:
\h{Rozdìl a panuj}
Pøedchozí pøevod je ov¹em trochu marnotratný. ©ikovným pou¾itím metody Rozdìl a panuj
-mù¾eme èasovou slo¾itost podstatnì sní¾it. Postup pøedvedeme pro dosa¾itelnost: na vstupu
+mù¾eme èasovou slo¾itost je¹tì sní¾it. Postup pøedvedeme pro dosa¾itelnost: na vstupu
tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávìr~$A^*$
(matice dosa¾itelnosti). V¹echny souèiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.
Vrcholy grafu rozdìlíme na dvì mno¾iny $X$ a~$Y$ pøibli¾nì stejné velikosti,
bez újmy na obecnosti tak, aby matice~$A$ mìla následující blokový tvar:
-$$A = \pmatrix{ P & Q \cr R & S \cr }.$$
-Zde podmatice~$P$ popisuje hrany z~$X$ do~$X$, podmatice~$Q$ hrany z~$X$ do~$Y$, atd.
+$$A = \pmatrix{ P & Q \cr R & S \cr },$$
+kde podmatice~$P$ popisuje hrany z~$X$ do~$X$, podmatice~$Q$ hrany z~$X$ do~$Y$, atd.
-Pokud matici~$A^*$ zapí¹eme rovnì¾ v~blokovém tvaru:
+\s{Vìta:} Pokud matici~$A^*$ zapí¹eme rovnì¾ v~blokovém tvaru:
$$A^* = \pmatrix{ I & J \cr K & L \cr },$$
bude platit:
$$\eqalign{
K &= S^*RI, \cr
L &= S^* \lor S^*RIQS^*.
}$$
+
+\proof
Jednotlivé rovnosti mù¾eme èíst takto:
\def\nIJKL{\count0=`H\advance\count0 by\itemcount{\bf\char\count0:}}
\numlist\nIJKL
\:Sled z~$X$ do~$Y$ mù¾eme rozdìlit v~místì, kdy naposledy pøechází
po~hranì z~$X$ do~$Y$. První èást pøitom bude sled z~$X$ do~$X$,
druhá sled uvnitø~$Y$.
-\:Se sledem z~$Y$ do~$X$ nalo¾íme obdobnì.
+\:Se sledem z~$Y$ do~$X$ nalo¾íme symetricky.
\:Sled z~$Y$ do~$Y$ vede buïto celý uvnitø~$Y$, nebo ho mù¾eme rozdìlit
-na èást pøed prvním pøechodem z~$Y$ do~$X$, tento pøechod, sled z~$X$ do~$Y$,
-pøechod zpìt a sled uvnitø~$Y$.
+na~prvním pøechodu z~$Y$ do~$X$ a posledním pøechodu z~$X$ do~$Y$.
+Èást pøed prvním pøechodem povede celá uvnitø~$Y$, èást mezi pøechody
+bude tvoøit sled z~$X$ do~$X$ a koneènì èást za~posledním pøechodem zùstane
+opìt uvnitø~$Y$.
+\qeditem
\endlist
-K~výpoètu matice~$A^*$ nám tedy staèí spoèítat 3~tranzitivní uzávìry
-matic polovièní velikosti (k~èemu¾ pou¾ijeme rekurzi), dále pak $\O(1)$
-$(\lor,\land)$-souèinù a $\O(1)$ souètù matic.
+\s{Algoritmus:}
+Výpoèet matice~$A^*$ provedeme podle pøedchozí vìty. Spoèítáme 3~tranzitivní uzávìry
+matic polovièní velikosti rekurzivním voláním, dále pak $\O(1)$ $(\lor,\land)$-souèinù
+a $\O(1)$ souètù matic.
-Èasovou slo¾itost $t(n)$ mù¾eme popsat následující rekurencí:
-$$t(n) = 3t(n/2) + \Theta(1)\cdot\mu(n/2) + \Theta(n^2),$$
+Èasová slo¾itost $t(n)$ tohoto algoritmu bude splòovat následující rekurenci:
+$$t(1)=\Theta(1), \quad t(n) = 3t(n/2) + \Theta(1)\cdot\mu(n/2) + \Theta(n^2),$$
kde $\mu(k)$ znaèí èas potøebný na jeden $(\lor,\land)$-souèin
matic $k\times k$. Jeliko¾ jistì platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
má tato rekurence podle kuchaøkové vìty øe¹ení $t(n) = \mu(n)$.
Ukázali jsme tedy, ¾e výpoèet transitivního uzávìru je nejvý¹e stejnì
-nároèný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- mù¾eme ho tedy provést
-v~èase $\O(n^\omega)$. Dokonce mù¾eme snadno nalézt i opaèný pøevod,
+nároèný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- mù¾eme ho proto provést
+v~èase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje pøímoèarý pøevod v~opaèném smìru,
tak¾e oba problémy jsou asymptoticky stejnì tì¾ké.
Podobnì nalézt matici vzdáleností je stejnì tì¾ké jako $(\min,+)$-souèin,
Pro neorientované neohodnocené grafy mù¾eme dosáhnout je¹tì lep¹ích
výsledkù. Matici vzdáleností lze spoèítat v~èase $\O(n^\omega\log n)$
-Seidelovým algoritmem (FIXME: odkaz). Ten funguje následovnì:
+Seidelovým algoritmem~\cite{seidel:unitlength}. Ten funguje následovnì:
\s{Definice:} {\I Druhá mocnina grafu~$G$} je graf~$G^2$ na té¾e mno¾inì vrcholù,
v~nìm¾ jsou vrcholy~$i$ a~$j$ spojeny hranou právì tehdy, existuje-li v~$G$ sled
Seidelùv algoritmus bude postupovat rekurzivnì: Sestrojí graf~$G^2$, rekurzí
spoèítá jeho matici vzdáleností~$D'$ a z~ní pak rekonstruuje matici vzdáleností~$D$
-zadaného grafu. Rekurze konèí, pokud $G^2=G$ -- tehdy u¾ je ka¾dá komponenta
-souvislosti zahu¹tìna na~úplný graf, tak¾e matice vzdálenosti je rovna matici sousednosti.
+zadaného grafu. Rekurze konèí, pokud $G^2=G$ -- tehdy je ka¾dá komponenta
+souvislosti zahu¹tìna na~úplný graf, tak¾e matice vzdáleností je rovna matici sousednosti.
Zbývá ukázat, jak z~matice~$D'$ spoèítat matici~$D$. Zvolme pevnì~$i$ a zamìøme
se na funkce $d(v)=D_{iv}$ a $d'(v)=D'_{iv}$. Jistì platí $d'(v) = \lfloor d(v)/2 \rfloor$,
$d(u) = d(v)-1$ (to platí pro sousedy, kteøí le¾í na nìkteré z~nejkrat¹ích cest z~$v$ do~$i$).
Pro v¹echny ostatní sousedy je $d(u)=d(v)$ nebo $d(u)=d(v)+1$.
-Pokud $d(v)$ je liché, vyjde pro sousedy le¾ící na nejkrat¹ích cestách $d'(u)=d'(v)$
+Pokud je $d(v)$ liché, vyjde pro sousedy le¾ící na nejkrat¹ích cestách $d'(u)=d'(v)$
a pro ostatní sousedy $d'(u)\ge d'(v)$, tak¾e prùmìr z~$d'(u)$ pøes sousedy je
alespoò~$d'(v)$. Je-li naopak $d(v)$ sudé, musí být pro sousedy na nejkrat¹ích cestách
$d'(u) < d(v)$ a pro v¹echny ostatní $d'(u) = d(v)$, tak¾e prùmìr klesne pod~$d'(v)$.
Prùmìry pøes sousedy pøitom mù¾eme spoèítat násobením matic: vynásobíme matici
-sousednosti grafu~$G$ maticí vzdáleností~$D'$. Na pozici~$i,j$ se objeví souèet
-hodnot $D_{ik}$ pøes v¹echny sousedy vrcholu~$j$. Ten staèí vydìlit stupòem
+vzdáleností~$D'$ maticí sousednosti grafu~$G$. Na pozici~$i,j$ se objeví souèet
+hodnot $D_{ik}$ pøes v¹echny sousedy~$k$ vrcholu~$j$. Ten staèí vydìlit stupòem
vrcholu~$j$ a hledaný prùmìr je na svìtì.
Po~provedení jednoho násobení matic tedy dovedeme pro ka¾dou dvojici vrcholù
projects / ga.git / commitdiff