Doplnen dukaz Koenigovy vety a rozsiren uvodni odstavec.

diff --git a/1-toky/1-toky.tex b/1-toky/1-toky.tex
index eb7dae470e52f9e57a531e68db0ddb7363af1541..b88a7c1294d1109847ac370d312402636acf87e9 100644 (file)
--- a/1-toky/1-toky.tex
+++ b/1-toky/1-toky.tex
@@ -3,9 +3,9 @@
 \prednaska{1}{Toky, øezy a Ford-Fulkersonùv algoritmus}{}
 
 V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, odvodíme základní vìty o~nich
-a Ford-Fulkersonùv algoritmus pro hledání maximálního toku. Také uká¾eme,
+a také Ford-Fulkersonùv algoritmus pro hledání maximálního toku. Také uká¾eme,
 jak na~hledání maximálního toku pøevést problémy týkající se øezù, separátorù
-a párování. Dal¹í algoritmy budou následovat v~pøí¹tích kapitolách.
+a párování v~bipartitních grafech. Dal¹í tokové algoritmy budou následovat v~pøí¹tích kapitolách.
 
 \h{Toky v sítích}
 
@@ -52,6 +52,8 @@ se nikde mimo tato dv
 Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
 velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).
 
+\goodbreak
+
 \s{Vìtièka:} V~ka¾dé síti existuje maximální tok a minimální øez.
 
 \proof Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
@@ -202,9 +204,6 @@ Toky nyn
 
 \figure{vertex-split.eps}{Rozdìlení vrcholu}{\epsfxsize}
 
-%\figure{vrchol.eps}{Vrchol který chceme podrozdìlit.}{0.1\hsize}
-%\figure{podrozdeleni.eps}{Výsledek podrozdìlení vrcholu.}{0.15\hsize}
-
 Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty (neorientovanou hranu nahradíme
 orientovanými v~obou smìrech) a z~nich pak i globální varianty popisující
 $k$-souvislost grafù:
@@ -219,26 +218,36 @@ vrcholy existuje alespo
 
 \h{Maximální párování v bipartitním grafu}
 
-Jedním z~problémù, které lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
-{\I maximálního párování} v~bipartitním grafu\foot{Párování je mno¾ina hran taková, ¾e ¾ádné
-dvì nemají spoleèný vrchol. Maximálním míníme vzhledem k~poètu hran, nikoliv vzhledem k~inkluzi.}.
+Jiným problémem, který lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
+{\I maximálního párování} v~bipartitním grafu, tedy mno¾iny hran takové, ¾e ¾ádné
+dvì hrany nemají spoleèný vrchol. Maximálním míníme vzhledem k~poètu hran,
+nikoliv vzhledem k~inkluzi.
 
-Bipartitní graf $(A\cup B, E)$ pøevedeme na sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
-a navíc dva nové vrcholy $s$ a~$t$, dále v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
+Z~bipartitního grafu $(A\cup B, E)$ sestrojíme sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
+a navíc dva nové vrcholy $s$ a~$t$, dále pak v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
 nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
 Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky:
 
 \fig{bipartitni.eps}{0.4\hsize}
 
-Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
-Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme
-právì hrany, po~kterých nìco teèe.
+Nyní si v¹imneme, ¾e párování v~pùvodním grafu odpovídají celoèíselným tokùm v~této síti
+a ¾e velikost toku je rovna velikosti párování. Staèí tedy nalézt maximální celoèíselný
+tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístit ty hrany, po~kterých nìco teèe.
 
 Podobnì mù¾eme najít souvislost mezi øezy v~této síti a {\I vrcholovými pokrytími}
 zadaného grafu -- to jsou mno¾iny vrcholù takové, ¾e se dotýkají ka¾dé hrany.
-Tak z~F-F vìty získáme:
+Tak z~F-F vìty získáme jinou standardní vìtu:
 
-\s{Vìta (König):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
+\s{Vìta (Königova):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
 rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
 
+\proof
+Pokud je $W$ vrcholové pokrytí, musí hrany vedoucí mezi vrcholy této mno¾iny a zdrojem
+a spotøebièem tvoøit stejnì velký øez, proto¾e ka¾dá $st$-cesta obsahuje alespoò
+jednu hranu bipartitního grafu a ta je pokryta. Analogicky vezmeme-li libovolný
+$st$-øez (ne~nutnì tokový, staèí hranový), mù¾eme ho bez zvìt¹ení upravit na~$st$-øez
+pou¾ívající pouze hrany ze~$s$ a do~$t$, kterému pøímoèaøe odpovídá vrcholové pokrytí
+stejné velikosti.
+\qed
+
 \bye