\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v~lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n+2$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n+1$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n+2$ násobení).
-Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o~komplexních èíslech, na stránce Matrina Mar¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o~trochu struènìji.
+Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o~komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o~trochu struènìji.
\ss{Vyhodnocení polynomu metodou rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{i}$ shodují s~druhými mocninami $-x_{i}$.
Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v~námi zadaných bodech. Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu. Tedy nìjaký inverzní algoitmus.
-Definuje me si algoritmus DFT, která vyu¾ívá maticovou reprezentaci a s~jeho¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
+Definujeme si algoritmus DFT, která vyu¾ívá maticovou reprezentaci a s~jeho¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
\s{Definice:}
\>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
je funkce $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $y=f(x) \equiv \forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{jk}$.
\s{Poznámka:}
-Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì $\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega_{x} ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
+Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì $\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega x ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
\s{Jak najít inverzní matici?} Víme, ¾e $\Omega =\Omega ^{T}$ proto¾e $\omega ^{jk} = \omega ^{kj}$.
\h{Hledání konvexního obalu}
Ptáte se o co pùjde? Zkusme si to pøiblí¾it na problému ledních medvìdù :)
-{\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovaly vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí tak se rozhodli v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné veliké sítì. A problém, který tady mají je takovýto: Jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly je¹tì v¹echny rybky?!}
+{\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovali vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí, tak se rozhodli v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné veliké sítì. A problém, který tady mají, je takovýto: Jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly je¹tì v¹echny rybky?!}
Neboli budeme øe¹it, jak nìjakou zadanou mno¾inu bodù v~rovinì obalit co nejkrat¹í uzavøenou køivkou, do které by se je¹tì v¹echny body ve¹ly.
\h{Voroného diagramy}
-Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co jsi pod tímto, na první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek T rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì "sousední" teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.
+Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co si pod tímto, na první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek $T$ rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì "sousední" teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.
\s{Definice:} Voronoi diagram pro koneènou mno¾inu $M = \{m_1, \dots, m_n\} \in {\bb R}^2$ míst je systém mno¾in $1..M_n$ takových, ¾e pro v¹echny $i$ a $j$ a pro v¹echny $x \in M_i$ je vzdálenost $x$ a $m_i$ men¹í nebo rovna vzdálenosti $x$ a $m_j$ a zároveò sjednocení $M_i$ pøes v¹echna $i$ je celý prostor ${\bb R}^2$, neboli:
\s{Pozorování:}
\itemize\ibull
-\:Pro v¹echny $i$ je $M_i$ ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekneèna.
+\:Pro v¹echny $i$ je $M_i$ ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekoneèna.
\:Pro ka¾dou hranu $h$ ve Voroného diagramu existuje $i$ a $j$ takové, ¾e kdy¾ $x \in H$, pak vzdálenost $d(x,m_i) = d(x,m_j)$.
Øekneme, ¾e vrchol je takové místo, kde se potkávají alespoò dvì hrany.
\s{Slo¾itost:}
Poèet místních událostí je roven $n$ a poèet kru¾nicových událostí není vìt¹í ne¾
$n$ (s ka¾dou místní událostí zanikne kru¾nicová), neboli velikost $P$ není vìt¹í
-ne¾ $2n$ a tedy je v¾dy lineární. Zároveò velikost $H$ není vìt¹í ne¾ $2n$,
+ne¾ $2n$, a tedy je v¾dy lineární. Zároveò velikost $H$ není vìt¹í ne¾ $2n$,
proto¾e aèkoliv~poèet místních událostí je $n$, tak v~$H$ je záznam pro ka¾dou
-trojici a tedy v~$H$ je maximálnì $2n$ událostí najednou. Zbývá nám tedy zjistit
+trojici, a tedy v~$H$ je maximálnì $2n$ událostí najednou. Zbývá nám tedy zjistit
velikost diagramu $D$, ale ten se urèitì vejde do $\O(n)$ pamìti.
Pokud tedy shrneme v¹echny na¹e odhady, pak èasová slo¾itost algoritmu je
projects / ads2.git / commitdiff