\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
Nejprve si nadefinujme operaci {\I Degree Split,} která dostane jako vstup libovolný
-$2k$-regulární graf $G=(V,E)$ se sudým poètem hran a rozdìlí ho na~podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$, které budou
-oba $k$-regulární. Tuto operaci mù¾eme snadno provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf
-rozdìlíme na~komponenty, v~ka¾dé nalezneme eulerovský tah a jeho sudé hrany dáme do~$G_1$
+graf $G=(V,E)$ se v¹emi vrcholy sudého stupnì a sudým poètem hran, a~rozdìlí
+ho na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$, v~nich¾ bude pro ka¾dý
+vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$.
+Speciálnì $2k$-regulární graf o~sudém poètu vrcholù tedy rozdìlí na~dva $k$-regulární
+grafy. Tuto operaci mù¾eme snadno provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf rozdìlíme
+na~komponenty, v~ka¾dé nalezneme eulerovský tah a jeho sudé hrany dáme do~$G_1$
a liché do~$G_2$.
-To nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^d$-regulárním
-bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta),
-a ¾e takový graf má v¾dy sudý poèet hran.}
-Staèí provést Degree Split na~dva $2^{d-1}$-regulární grafy, na~libovolný jeden z~nich
+To nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
+bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta).}
+Staèí provést Degree Split na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy, na~libovolný jeden z~nich
aplikovat dal¹í Degree Split atd., a¾ se dostaneme k~$1$-regulárnímu grafu, který
-je perfektním párováním v~$G$. To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase,
+je perfektním párováním v~$G$.\foot{Grafy, které budeme splitovat, mají v¾dy sudý
+poèet hran, jeliko¾ buïto jsou alespoò 4-regulární, nebo jsou to disjunktní sjednocení
+sudých kru¾nic.}
+To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase,
jeliko¾ velikosti grafù, které splitujeme, exponenciálnì klesají. Také bychom
mohli rekurzivnì zpracovávat obì komponenty a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat
ke~kompletní 1-faktorizaci zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní
perfektní párování a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}
-Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
-doplníme na $2^d$-regulární a pak si pøi splitech budeme vybírat ten podgraf,
+Pokud zadaný graf nebude $2^t$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
+doplníme na $2^t$-regulární a pak si pøi splitech budeme vybírat ten podgraf,
do~kterého padlo ménì nových hran, a uká¾eme, ¾e nakonec v¹echny zmizí.
Abychom graf pøíli¹ nezvìt¹ili, budeme se sna¾it místo pøidávání úplnì nových
hran pouze zvy¹ovat násobnost hran existujících. Pro ka¾dou hranu $e$ si tedy
budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
-{\I Degree Split grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$ s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$
-i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2 \rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
-$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude sudì-regulární graf bez násobností, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní
-Degree Split a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.
+{\I Degree Split grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$
+s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$ i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2
+\rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
+$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude graf bez násobností, v~nìm¾ mají
+v¹echny vrcholy sudý stupeò, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní Degree Split
+a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.
-Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
+Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Obì jeho partity jsou stejnì velké,
+oznaème si poèet vrcholù v~ka¾dé z~nich~$n$. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
Zvolme dále parametry
$\alpha := \lfloor 2^t/k \rfloor$ a
$\beta := 2^t \bmod k$.
Takto získáme $2^t$-regulární graf, jeho¾ reprezentace bude lineárnì velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
Degree Split a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
a jeliko¾ se~v~ka¾dém kroku zbavíme alespoò poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat ¾ádnou takovou hranu
-a navíc nebude ani obsahovat násobné hrany, a~tedy bude podgrafem zadaného grafu, jak potøebujeme.
+a navíc nebude obsahovat ani násobné hrany, tak¾e bude podgrafem zadaného grafu, jak potøebujeme.
-Èasová slo¾itost algoritmu je $\O(m \log n)$, jeliko¾ provádíme inicializaci v~$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
+Èasová slo¾itost algoritmu je $\O(m \log n)$, jeliko¾ provádíme inicializaci v~èase
+$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
\h{Stupeò souvislosti grafu}
U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí jako
$s$ postupnì zvolit více vrcholù, ne¾ je velikost minimálního separátoru. Algoritmus si tedy bude pamatovat, kolik
-vrcholù u¾ pro¹el a nejmen¹í zatím nalezený $st$-separátor a jakmile poèet vrcholù pøekroèí velikost separátoru,
-prohlásí separátor za~minimální. To zvládne v~èase $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je nalezený stupeò souvislosti~$G$.
+vrcholù u¾ pro¹el a nejmen¹í zatím nalezený $st$-separátor, a jakmile poèet vrcholù pøekroèí velikost separátoru,
+prohlásí separátor za~minimální. To zvládne v~èase $\O(\kappa (G) \cdot n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je nalezený stupeò souvislosti~$G$.
Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje následující rychlej¹í algoritmus:
\h{Globálnì minimální øez (Nagamochi, Ibaraki \cite{nagaiba:conn})}
-Buï $G$ neorientovaný graf s~nezáporným ohodnocením hran. Oznaèíme si:
+Buï $G$ neorientovaný multigraf s~nezáporným ohodnocením hran. Oznaèíme si:
\s{Znaèení:}
Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je alespoò tak velký jako jednoduchý øez skládající se jen z hran
kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez
$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ kontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální
-øez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez
+øez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$, a potom je øez
kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme
rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
projects / ga.git / commitdiff