\s{Krok($I$, $x$):} \cmt{Jeden krok automatu: jsme ve stavu~$I$, pøeèetli jsme znak~$x$.}
\algo
-\:Dokud $\iota[I] \neq x~\&~I \neq 0: I \leftarrow Z[I]$.
-\:Pokud $\iota[I] = x$, pak $I \leftarrow I + 1$.
+\:Dokud $\iota[I] \neq x~\&~I \neq 0: I \= Z[I]$.
+\:Pokud $\iota[I] = x$, pak $I \= I + 1$.
\:Vrátíme nový stav~$I$.
\endalgo
\s{Hledej($\sigma$):} \cmt{Spu¹tìní automatu na øetìzec~$\sigma$.}
\algo
-\:$I \leftarrow 0$.
+\:$I \= 0$.
\:Pro znaky $x\in\sigma$ postupnì provádíme:
-\::$I \leftarrow \<Krok>(I,x)$.
+\::$I \= \<Krok>(I,x)$.
\::Pokud $I = J$, ohlásíme výskyt.
\endalgo
\s{Konstrukce zpìtných hran:}
\algo
-\:$Z[0] \leftarrow ?$, $Z[1] \leftarrow 0$.
-\:$I \leftarrow 0$.
+\:$Z[0] \= ?$, $Z[1] \= 0$.
+\:$I \= 0$.
\:Pro $K = 2, \ldots, J-1$:
-\::$I \leftarrow \<Krok>(I, \iota[K])$.
-\::$Z[K] \leftarrow I$.
+\::$I \= \<Krok>(I, \iota[K])$.
+\::$Z[K] \= I$.
\endalgo
A~jsme hotovi výsledky shrnout do následující vìty:
\s{Krok($I$, $x$):} \cmt{Jeden krok automatu: jsme ve stavu~$I$, pøeèetli jsme znak~$x$.}
\algo
-\:Dokud $\<Dopøedu>(I, x) = \emptyset~\&~I \ne \<koøen>$: $I \leftarrow \<Zpìt>(I)$.
-\:Pokud $\<Dopøedu>(I, x) \ne \emptyset$: $I \leftarrow \<Dopøedu>(I,x)$.
+\:Dokud $\<Dopøedu>(I, x) = \emptyset~\&~I \ne \<koøen>$: $I \= \<Zpìt>(I)$.
+\:Pokud $\<Dopøedu>(I, x) \ne \emptyset$: $I \= \<Dopøedu>(I,x)$.
\:Vrátíme nový stav~$I$.
\endalgo
\s{Hledej($\sigma$):} \cmt{Spu¹tìní automatu na øetìzec~$\sigma$.}
\algo
-\:$I \leftarrow \<koøen>$.
+\:$I \= \<koøen>$.
\:Pro znaky $x\in\sigma$ postupnì provádíme:
-\::$I \leftarrow \<Krok>(I, x)$.
-\::$K \leftarrow I$.
+\::$I \= \<Krok>(I, x)$.
+\::$K \= I$.
\::Dokud $K \neq \emptyset$:
\:::Je-li $\<Slovo>(K) \neq \emptyset$:
\::::Ohlásíme $\<Slovo>(K)$.
-\:::$K \leftarrow \<Zkratka>(K)$.
+\:::$K \= \<Zkratka>(K)$.
\endalgo
\>Jak u¾ jsme nahlédli, v¹echny kroky automatu dohromady trvají $\O(S)$.
Mimo to je¹tì hlásíme výskyty, co¾ trvá $\O(\<poèet výskytù>)$. Zbývá
ukázat, jak automat sestrojit.
-\h{XXX --- Pod tímto místem nepøepsáno --- XXX}
-
-Zbývá nám u¾ jen konstrukce automatu. Opìt vyu¾ijeme faktu, ¾e zpìtná hrana ze stavu $\beta$ vede tam, kam by se dostal automat pøi hledání $\beta$ bez prvního písmenka. Tak¾e zase chceme nìco, jako simulovat výpoèet toho automatu na~slovech bez prvního písmenka a~doufat v~to, ¾e si vystaèíme s~tou èástí automatu, kterou jsme u¾ postavili. Tentokrát to v¹ak nemù¾eme dìlat jedno slovo po~druhém, proto¾e zpìtné hrany mohou vést køí¾em mezi jednotlivými vìtvemi automatu. Mohlo by se nám tedy stát, ¾e pøi hledání nìjakého slova potøebujeme zpìtnou hranu, která vede do~jiného slova, které jsme je¹tì nezkonstruovali. Tak¾e tento postup sel¾e. Mù¾eme v¹ak vyu¾ít toho, ¾e ka¾dá zpìtná hrana vede ve~stromu alespoò o~jednu hladinu vý¹. Mù¾eme tak strom konstruovat po~hladinách. Lze si to tedy pøedstavit tak, ¾e paralelnì spustíme vyhledávání v¹ech slov bez prvních písmenek a~v¾dycky udìláme jeden podkrok ka¾dého z~tìch hledání, co¾ nám dá zpìtné hrany z~dal¹ího patra stromu.
-
\s{Konstrukce automatu:}
+Stejnì jako u~KMP, i zde nahlédneme, ¾e zpìtná hrana ze stavu $\beta$ vede tam,
+kam by se dostal automat pøi hledání slova $\beta$ bez prvního znaku. Opìt bychom
+tedy chtìli zaèít sestrojením dopøedných hran a pak spu¹tìním je¹tì nehotového
+automatu doplòovat hrany zpìtné, doufajíce, ¾e si vystaèíme s~u¾ sestrojenou
+èástí automatu.
+
+Pøi konstrukci zpìtných hran tedy chceme automatem vyhledávat v¹echny jehly
+bez prvních znakù. To v¹ak nemù¾eme dìlat jednu jehlu po druhé, proto¾e zpìtné
+hrany mohou vést køí¾em mezi jednotlivými vìtvemi stromu. Mohlo by se nám tedy
+stát, ¾e pøi hledání nìjakého slova potøebujeme zpìtnou hranu, která vede
+do~jiného slova, které jsme je¹tì nezkonstruovali. Proto tento postup sel¾e.
+
+Mù¾eme v¹ak vyu¾ít toho, ¾e ka¾dá zpìtná hrana vede ve~stromu alespoò o~jednu
+hladinu vý¹, a strom konstruovat po~hladinách. To si lze pøedstavit tak, ¾e
+paralelnì spustíme vyhledávání v¹ech slov bez prvních písmenek a~v¾dycky udìláme
+jeden krok ka¾dého z~tìchto hledání, co¾ nám dá zpìtné hrany v~dal¹ím patøe stromu.
+
+Kdykoliv vytvoøíme zpìtnou hranu, sestrojíme také zkratkovou hranu z~tého¾
+vrcholu. Pokud vede zpìtná hrana z~$S$ do~$Q$ a $\<Slovo>(Q) \ne \emptyset$,
+musí vést zkratka z~$S$ také do~$Q$. Pokud v~$Q$ ¾ádné slovo neskonèí, musí
+zkratka z~$S$ vést do tého¾ vrcholu, jako zkratka z~$Q$.
+
+\s{Algoritmus: Konstrukce automatu}
\algo
-\:Zalo¾íme prázdný strom, $r \leftarrow$ jeho koøen.
-\:Vlo¾íme do~stromu slova $\iota_1 \dots \iota_n$, nastavíme $slovo(*)$.
-\:$z(r) \leftarrow \emptyset$, $out(r) \leftarrow \emptyset$.
+\:Zalo¾íme prázdný strom, $R \=$ jeho koøen.
+\:Vlo¾íme do~stromu slova $\iota_1 \dots \iota_n$, nastavíme $\<Slovo>$ ve~v¹ech stavech.
+\:$\<Zpìt>(R) \= \emptyset$, $\<Zkratka>(R) \= \emptyset$.
\:Zalo¾íme frontu $F$ a~vlo¾íme do~ní syny koøene.
-\:$\forall v~\in F:~~z(v) \leftarrow r, \<out>(v) \leftarrow \emptyset$.
+\:Pro v¹echny syny~$S$ koøene: $\<Zpìt>(S) \= R$, $\<Zkratka>(S) \= \emptyset$.
\:Dokud $F \neq \emptyset$:
-\::Vybereme $u$ z~fronty $F$.
-\::Pro v¹echny syny $v$ vrcholu $u$:
-\:::$q \leftarrow \<Krok>(z(u), \<písmeno na~hranì uv>)$.
-\:::$z(v) \leftarrow q$.
-\:::Pokud $slovo(q) \neq \emptyset$, pak $out(v) \leftarrow q$.
-\::::Jinak $out(v) \leftarrow out(q)$.
-\:::Vlo¾íme $v$ do~fronty $F$.
+\::Vybereme $I$ z~fronty $F$.
+\::Pro v¹echny syny $S$ vrcholu $I$:
+\:::$Q \= \<Krok>(\<Zpìt>(I), \hbox{písmeno na~hranì $IS$})$.
+\:::$\<Zpìt>(S) \= Q$.
+\:::Pokud $\<Slovo>(Q) \neq \emptyset$: $\<Zkratka>(S) \= Q$.
+\:::Jinak $\<Zkratka>(S) \= \<Zkratka>(Q)$.
+\:::Vlo¾íme $S$ do~fronty $F$.
\endalgo
-To, ¾e tento algoritmus zkonstruuje zpìtné hrany jak má, vyplývá z~toho, ¾e nedìláme nic jiného, ne¾ ¾e spou¹tíme výpoèty po~hladinách na~v¹echna hledaná slova bez prvního písmenka. Stejnì tak to, ¾e dobìhne v~lineárním èase, je takté¾ dùsledkem toho, ¾e efektivnì spou¹tíme v¹echny tyto výpoèty. Jen nìkdy udìláme najednou krok dvou èi více výpoètù (napøíklad |araba| a~|arbara| se poèítají na~zaèátku, dokud jsou stejné, jen jednou). Èasová slo¾itost této konstrukce je tedy men¹í nebo rovna souètu èasových slo¾itostí výpoètù nad v¹emi tìmi slovy. To u¾ ale víme, ¾e je lineární v~celkové délce tìchto slov. Konstrukce automatu tedy trvá nejvý¹e tolik, co hledání v¹ech $\iota_i$, co¾ je $\O(\sum_{i} \iota_i)$.
+Jeliko¾ tento algoritmus pouze napøeskáèku hledá v¹echny jehly, musí být jeho
+èasová slo¾itost shora omezena souètem slo¾itostí hledání jehel, co¾, jak u¾
+víme, je pro ka¾dou jehlu lineární s~její délkou. Dokonce mù¾e dobìhnout i
+rychleji, jeliko¾ jsou-li dva ze simulovaných výpoètù v~tém¾e stavu, poèítáme
+krok automatu pouze jednou (to je vidìt tøeba na spoleèném zaèátku slov |araba|
+a |arbara|).
+
+Chování celého algoritmu shrneme do následující vìty:
-\s{Vìta:} Algoritmus Aho-Corasicková najde v¹echny výskyty v~èase
-$$\O\left(\sum_i~\iota_i~+~S~+~\sharp\<výskytù>\right).$$
+\s{Vìta:} Algoritmus Aho-Corasicková najde v¹echny výskyty v~èase
+$\O\left(\sum_i J_i + S + V \right)$, kde $J_1,\ldots,J_n$ jsou délky
+jednotlivých jehel, $S$ je délka sena a $V$ poèet ohlá¹ených výskytù.
\h{Rabinùv-Karpùv algoritmus}
projects / ads2.git / commitdiff