\prednaska{11}{NP-úplné problémy}{(zapsali F. Kaèmarik, R. Krivák, D. Remi¹)}
-Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptaly na to, jestli nìco existuje. Napøíklad: dostali jsme formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí. Nebo v~pøípade nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která je veliká alespoò $k$. Tyto otázky mìly spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo zadal nìjaký objekt, umìli jsme efektivnì øíci, zda je to objekt, který hledáme. Napøíklad: pokud dostaneme ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, ¾e formule je \<true> nebo \<false>. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP. Definujeme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou.
+Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptaly na to, jestli nìco existuje. Napøíklad jsme dostali formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí. Nebo v~pøípade nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která obsahuje alespoò~$k$ vrcholù. Tyto otázky mìly spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo zadal nìjaký objekt, umìli jsme efektivnì øíci, zda je to objekt, který hledáme. Napøíklad pokud dostaneme ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, ¾e formule je \<true> nebo \<false>. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP. Definujeme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou.
-\s{Definice:} $P$ je {\I tøída rozhodovacích problémù}, které jsou øe¹itelné v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém
+\s{Definice:} P je {\I tøída rozhodovacích problémù}, které jsou øe¹itelné v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém
$L \in P \Leftrightarrow \exists $ polynom $f$ a~$\exists$ algoritmus $A$ takový, ¾e $\forall x: L(x)=A(x)$ a $A(x)$ dobìhne v~èase $\O(f(x))$.
Tøída P odpovídá tomu, o èem jsme se shodli, ¾e umíme efektivnì øe¹it. Nadefinujme tedy tøídu NP:
-\s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in \rm{NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém
-$K\in\rm{P}$ a $\exists$ polynom $g$ takový, ¾e pro
+\s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in {\rm NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém
+$K\in{\rm P}$ a $\exists$ polynom $g$ takový, ¾e pro
$\forall x$ platí $L(x)=1 \Leftrightarrow \exists $ nápovìda $ y: \vert y \vert \leq g(\vert x \vert)$ a souèasnì $K(x,y)=1$.
-\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP.
+\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP. Staèí si toti¾ nechat napovìdìt, jak
+ohodnotit jednotlivé promìnné a pak ovìøit, jestli je formule splnìna. Nápovìda je polynomiálnì
+velká (dokonce lineárnì), splnìní zkontrolujeme také v~lineárním èase. Odpovíme tedy ano právì
+tehdy, existuje-li nápovìda, která nás pøesvìdèí, tedy pokud je formule splnitelná.
-Máme-li lineárnì velké nápovìdy, co¾ jsou ohodnocení promìnných zadané formule, odpovíme ano, formule je splnitelná, pokud nám nìkdo mù¾e odpovìdìt na splòující ohodnocení. Tak¾e $K$ nám ovìøí, èi dosazením ohodnocení je formule splnìna a ptáme se tedy, èi existuje nápovìda taková, která odpovídá ohodnocení, v~nìm¾ je formule splnìna. Splnitelnost logických formulí je urèitì v~tøídì NP.
-
-\s{Pozorování:} Tøída $P$ le¾í uvnitø NP.
+\s{Pozorování:} Tøída P le¾í uvnitø NP.
V~podstatì øíkáme, ¾e kdy¾ máme problém, který umíme øe¹it v~polynomiálním èase bez nápovìdy, tak to zvládneme v~polynomiálním èase i s~nápovìdou.
Nasbírali jsme problémy, které jsou v~NP, ale nevíme, jestli jsou v~P. Brzy uká¾eme, ¾e to jsou v jistém smyslu nejtì¾¹í problémy v~NP.
Nadefinujme si:
-\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I tì¾ký} právì tehdy, kdy¾ je pøevoditelný:
-$\forall M \in \rm{NP}: M~\rightarrow~L$. (Viz definici pøevodù z minulé pøedná¹ky)
+\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I tì¾ký} právì tehdy, kdy¾ je na~nìj pøevoditelný
+ka¾dý problém z~NP. (Viz definici pøevodù z minulé pøedná¹ky)
-Také platí, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP-tì¾ký problém v~polynomiálním èase, pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, pokud nìjaké takové~$\in~\rm{P} \Rightarrow \rm{P}=\rm{NP} $.
+Také platí, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP-tì¾ký problém v~polynomiálním èase,
+pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, a tedy ${\rm P}={\rm NP}$.
+(To u¾ také víme z~minulé pøedná¹ky.)
-My se budeme zabývat problémy, které jsou NP tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné.
+My se budeme zabývat problémy, které jsou NP-tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné.
-\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I úplný} právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾kýa $L \in \rm{NP}$.
+\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I úplný} právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾ký a $L \in {\rm NP}$.
-NP-úplné problémy jsou ve své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP. Proto¾e NP-úplné problémy le¾í v~NP, umíme na nì pøevést libovolný problém z NP. Kdybychom umìli vyøe¹it nìjaký NP-úplný problém v~polynomiálním èase, pak v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el, to jestli nìjaký NP-úplný problém lze øe¹it v~polynomiálním se neví. Otázka, jestli $\rm{P}=\rm{NP}$ je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické informatice.
+NP-úplné problémy jsou tedy ve~své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP.
+Kdybychom umìli vyøe¹it nìjaký NP-úplný problém v~polynomiálním èase, pak
+v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el to, jestli nìjaký
+NP-úplný problém lze øe¹it v~polynomiálním èase, se neví. Otázka, jestli
+${\rm P}={\rm NP}$, je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické
+informatice.
-Uká¾eme si nìjaký NP-úplný problém. Velmi se nám bude hodit následující vìta:
+Kde ale nìjaký NP-úplný problém vzít? K~tomu se nám bude velice hodit následující vìta:
\s{Vìta (Cookova):} SAT je NP-úplný.
-\>Dùkaz je pøíli¹ technický, jenom ho pøibli¾nì naznaèíme pozdìji. Pøímým dùsledkem je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT.
+\>Dùkaz je znaènì technický, pøibli¾nì ho naznaèíme pozdìji. Pøímým dùsledkem je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT.
K dokazování NP-úplnosti dal¹ích problémù pou¾ijeme následující vìtièku:
-\s{Vìtièka:} $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na $M$ ($L \rightarrow M$), $M \in \rm{NP} \Rightarrow M$ je také NP-úplný.
+\s{Vìtièka:} Pokud problém $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na $M\in{\rm NP}$ ($L \rightarrow M$), pak $M$ je také NP-úplný.
\proof
-Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z~toho, ¾e problémy jsou NP tì¾ké a le¾í v~NP, podle pøedpokladu.
-Víme ¾e $L$ se dá pøevést na $M$. $L$ je NP-úplný,z~toho plyne, ¾e ka¾dý problém $Q$ z NP se dá pøevést na $L$. $Q$ se dá pøevést na $L$, $L$ se dá pøevést na $M$. Z~toho plyne, ¾e $Q$ se dá pøevést na $M$. Staèí tedy slo¾it funkci $f(Q \rightarrow L)$ s~funkcí $g(L \rightarrow M)$. To urèitì také spoèteme v~polynomiálním èase. Tak nahlédneme, ¾e v¹echny problémy z NP se dají pøevést na problém $M$.
+Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP-tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z~toho, ¾e
+problémy jsou NP-tì¾ké a le¾í v~NP (podle pøedpokladu).
+
+Víme, ¾e $L$ se dá pøevést na~$M$ nìjakou funkcí~$f$. Jeliko¾ $L$ je NP-úplný,
+pak pro ka¾dý problém $Q\in{\rm NP}$ existuje nìjaká funkce~$g$, která pøevede
+$Q$ na~$L$. Staèí tedy slo¾it funkci~$f$ s~funkcí~$g$, èím¾ získáme funkci pracující
+opìt v~polynomiálním èase, která pøevede~$Q$ na~$M$. Ka¾dý problém z~NP se tedy
+dá pøevést na problém~$M$.
\qed
-\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné. Napøíklad nezávislá mno¾ina, v¹echny varianty SATu, klika v~grafu~\dots
+\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné. Napøíklad nezávislá mno¾ina, rùzné varianty SATu, klika v~grafu~\dots
Jak taková tøída NP vypadá? Pøedstavme si v¹echny problémy tøídy NP, jakoby seøazené zhora nadolu podle obtí¾nosti problémù, kde porovnání dvou problémù urèuje pøevoditelnost (viz obrázek).
\figure{p-np.eps}{Struktura tøídy NP}{2.5cm}
-Obecnì mohou nastat dvì situace. Proto¾e nevíme, jestli $\rm{P}=\rm{NP}$. Jestli ano, pak v¹echno je jedna a ta samá tøída. To by bylo v nìkterých pøípadech nepraktické, napø. ka¾dá ¹ifra by byla jednodu¹e rozlu¹titelná. Jestli ne, NP-úplné problémy urèitì nele¾í v P, P a NP-úplné problémy jsou dvì disjunktní èásti NP. Taky se dá dokázat, ¾e je¹tì nìco le¾í mezi nimi. Existuje problém, který je v NP, není v P a není NP-úplný. To v¹ak dokazovat nebudeme.
+Obecnì mohou nastat dvì situace. Proto¾e nevíme, jestli ${\rm P}={\rm NP}$.
+Jestli ano, pak v¹echno je jedna a ta samá tøída. To by bylo v nìkterých
+pøípadech nepraktické, napø. ka¾dá ¹ifra by byla jednodu¹e rozlu¹titelná.
+Jestli ne, NP-úplné problémy urèitì nele¾í v P, tak¾e P a NP-úplné problémy
+jsou dvì disjunktní èásti NP. Také se dá dokázat (to dìlat nebudeme, ale je
+dobré to vìdìt), ¾e je¹tì nìco le¾í mezi nimi, tedy ¾e existuje problém, který
+je v~NP, není v~P a není NP-úplný.
-\s{Katalog NP-úplných problémù:}
+\s{Katalog NP-úplných problémù}
+
+Uká¾eme si nìkolik základních NP-úplných problémù. O~nìkterých jsme to dokázali
+na~minulé pøedná¹ce, o~dal¹ích si to doká¾eme nyní, zbylým se na~zoubek podíváme
+na~cvièeních.
+
\itemize\ibull
-\:{\I logické:}
-SAT, 3-SAT, 3,3-SAT, obvodový SAT, SAT pro obecné formule (splnitelnosti logických formulí, viz pøedchozí pøedná¹ky)
+\:{\I logické:}
+ \itemize\ibull
+ \:SAT (splnitelnost logických formulí v~CNF)
+ \:3-SAT (ka¾dá klauzule obsahuje max.~3 literály)
+ \:3,3-SAT (a navíc ka¾dá promìnná se vyskytuje nejvý¹e tøikrát)
+ \:SAT pro obecné formule (nejen CNF)
+ \:Obvodový SAT (není to formule, ale obvod)
+ \endlist
\:{\I grafové:}
-Maximální nezávislá mno¾ina (max. mno¾ina vrcholù, které nejsou propojené hranou), klika v~grafu (najít uplný podgraf v grafu), 3D párování (tøi mno¾iny, mno¾ina kompatibilních trojic, najít perfektnù mno¾inu vyhovujících trojíc), 3-barvení (obarvit graf 3 barvami tak, aby nebyli dvì stejné barvy vedle sebe), Hamiltonova cesta (cesta v grafu,obsahuje v¹echny vrcholy grafu, ka¾dý právì jednou), Hamiltonova kru¾nice (cyklus bez opakování vrcholù, obsahuje v¹echny vrcholy grafu, ka¾dý vrchol právì jednou)
+ \itemize\ibull
+ \:Nezávislá mno¾ina (mno¾ina alespoò~$k$ vrcholù taková, ¾e ¾ádné dva nejsou propojeny hranou)
+ \:Klika (úplný podgraf na~$k$ vrcholech)
+ \:3D párování (tøi mno¾iny se zadanými trojicemi, najít takovou mno¾inu disjunktních trojic, ve~které jsou v¹echny prvky)
+ \:Barvení grafu (obarvit vrcholy $k$~barvami tak, aby vrcholy stejné barvy nebyly nikdy spojeny hranou; NP-úplné u¾ pro~$k=3$)
+ \:Hamiltonovská cesta (cesta obsahující v¹echny vrcholy [právì jednou])
+ \:Hamiltonovská kru¾nice (kru¾nice, která nav¹tíví v¹echny vrcholy [právì jednou])
+ \endlist
\:{\I èíselné:}
-problém batohu (daná mno¾ina èísel, zjistit zda existuje podmno¾ina se zadaným souètem), loupe¾níci (rozdìlit mno¾inu na dvì podmno¾iny se stejným souètem), $Ax=b$ (soustava celoèíslených lineárních rovnic, x mohou být pouze 0 nebo 1, jinak v¹echno poèítame v celých èíslech), celoèíselné lineární programování (existuje vektor platných nezáporných celoèísených $x$, ¾e platí $Ax \leq b$)
+ \itemize\ibull
+ \:Batoh (nejjednodu¹¹í verze: dána mno¾ina èísel, zjistit, zda existuje podmno¾ina se zadaným souètem)
+ \:Loupe¾níci (rozdìlit mno¾inu na~dvì podmno¾iny se stejným souètem)
+ \:$Ax=b$ (soustava celoèíslených lineárních rovnic; $x_i$ mohou být pouze 0 nebo 1; NP-úplné i pokud $A_{ij}\in\{0,1\}$ a $b_i\in\{0,1\}$)
+ \:Celoèíselné lineární programování (existuje vektor nezáporných celoèísených $x$ takový, ¾e $Ax \leq b$)
+ \endlist
\endlist
\h { Pøevoditelnost 3,3-SAT na 3D-párování }
Kdy¾ chceme ukázat, ¾e na nìco se dá pøevést SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci. Konstrukci, která bude simulovat promìnné, tedy nìco, co nabývá dvou stavù \<true>/\<false>, a nìco, co bude reprezentovat klauzule a umí zaøídit, aby ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò jednou promìnnou.
-Jenom pro pøipomenutí, máme mno¾inu klukù, dìvèat, zvíøátek a nìjaké trojice, kdo se s~kým snese a chceme vybrat trojice tak, aby se v~nich ka¾dý kluk, holka, zvíøátko vyskytovalo právì jednou.
+Jenom pro pøipomenutí, máme mno¾inu klukù, dìvèat, zvíøátek a nìjaké trojice, kdo se s~kým snese, a chceme vybrat trojice tak, aby se v~nich ka¾dý kluk, holka, zvíøátko vyskytovalo právì jednou.
Najdeme si takovouto konfiguraci:
\fig{3d.eps}{4cm}
Abychom mohli budovat teorii NP-úplnosti, potøebujeme alespoò jeden problém, o kterém doká¾eme, ¾e je NP-úplný, z definice. Cookova vìta øíká o NP-úplnosti SAT-u, ale nám se to hodí dokázat o tro¹ku jiném problému -- {\I obvodovém SAT-u}.
-\>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~booleovskými obvody. Ka¾dá formule se dá pøepsat do booleovského obvodu, který ji poèítá, tak¾e dává smysl zavést splnitelnost pro obvody. Na¹e obvody budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali \<true>.
+\>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~booleovskými obvody. Ka¾dá formule se dá pøepsat do booleovského obvodu, který ji poèítá, tak¾e dává smysl zavést splnitelnost i pro obvody. Na¹e obvody budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali \<true>.
-\>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá pøevést na formulový SAT. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový.
+\>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá pøevést na obyèejný SAT v~CNF. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový.
\s{Vìta:} Obvodový SAT je NP-úplný.
\proof
-Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme, ¾e pokud nìjaký problém $L \in \rm{P}$, pak existuje polynomiálnì velký booleovský obvod, který poèítá $L$.
-
-\>Dovolíme si drobnou úpravu v~definici tøídy NP. Budeme chtít, aby nápovìda byla pravì tak velká jako velikost vstupu (tedy: $\vert y \vert = g(\vert x \vert)$). Proè je taková úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit, ¾e pùvodní nápovìdu doplníme
-na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které program ignoruje. (Tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na konci nápovìdy nìjak kódované mezery.)
-
-\>Máme nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést na obvodový SAT. Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$ (chápeme jako vektor $(x_1, x_2, \dots)$), spoèítáme velikost nápovìdy $g(\vert x\vert)$. Víme, ¾e kontrolní algoritmus $K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme intuice o~obvodech, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu $x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$ (vstup problému $L$) a~nápovìda $y$.
-Na výstupu nám øekne, jestli je to nápovìda, která k~tomu patøí nebo nepatøí. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $\vert x\vert + g(\vert x\vert)$, co¾ je polynom.
+Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme poèítaèe
+jako nìjaké slo¾ité booleovské obvody, jejich¾ stav se mìní v~èase. Uva¾me nìjaký
+problém $L \in {\rm P}$ a polynomiální algoritmus, který ho øe¹í. Pro vstup velikosti~$n$
+tedy dobìhne v~èase~$T$ polynomiálním v~$n$ a spotøebuje $\O(T)$ bunìk pamìti.
+Staèí nám tedy \uv{poèítaè s~pamìtí velkou $\O(T)$}, co¾ je nìjaký booleovský obvod
+velikosti polynomiální v~$T$, a~tedy i v~$n$. Vývoj v~èase o¹etøíme tak, ¾e sestrojíme~$T$
+kopií tohoto obvodu, ka¾dá z~nich bude odpovídat jednomu kroku výpoètu a bude
+propojena s~\uv{minulou} a \uv{budoucí} kopií. Tím sestrojíme booleovský obvod,
+který bude øe¹it problém~$L$ pro vstupy velikosti~$n$ a bude polynomiálnì velký
+vzhledem k~$n$.
+
+Je¹tì si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy NP. Budeme chtít, aby nápovìda byla
+mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert
+= g(\vert x \vert)$). Proè je taková úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit,
+¾e pùvodní nápovìdu doplníme na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které
+program ignoruje. (Tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na
+konci nápovìdy nìjak kódované mezery.)
+
+Máme tedy nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést na obvodový
+SAT. Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$ (chápeme jako vektor $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$),
+spoèítáme velikost nápovìdy $g(\vert x\vert)$. Víme, ¾e kontrolní
+algoritmus~$K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme
+intuice o~obvodech, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu
+$x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$
+(vstup problému $L$) a~nápovìda~$y$. Na výstupu nám øekne, jestli je nápovìda
+správná. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $\vert x\vert + g(\vert x\vert)$, co¾ je polynom.
\fig{kobvod.eps}{2.3cm}
\>V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen $y$ a~ptáme se, zda za $y$ mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu bylo \<true>. Jinými slovy, ptáme se, zda je tento obvod splnitelný.
-\>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme vyrobit funkci, která pro ka¾dý vstup $x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být \<true>. Tedy libovolný problém z~NP se dá
+\>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme sestrojit funkci, která pro ka¾dý vstup~$x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být \<true>. Tedy libovolný problém z~NP se dá
v~polynomiálním èase pøevést na obvodový SAT.
\qed
\>{\I Pøevod hradla \sc not}: na vstupu hradla budeme mít nìjakou promìnnou $x$ (která pøi¹la buïto pøímo ze~vstupu toho celého obvodu nebo je to promìnná, která vznikla na výstupu nìjakého hradla) a na výstupu promìnnou $y$. Pøidáme klauzule, které nám zaruèí, ¾e jedna promìnná bude negací té druhé:
$$\matrix{ (x \lor y), \cr
- (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }$$
-\fig{not.eps}{0.8cm}
+ (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }
+ \hskip 0.2\hsize
+\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{not.eps}}}
+$$
\>{\I Pøevod hradla \sc and}: Hradlo má vstupy $x, y$ a~výstup $z$. Potøebujeme pøidat klauzule, které nám popisují, jak se má hradlo {\sc and} chovat. Tyto vztahy pøepí¹eme do~konjunktivní normální formy:
$$
(z \lor \neg{x} \lor \neg{y}) \cr
(\neg{z} \lor x) \cr
(\neg{z} \lor y) \cr
- } $$
-\fig{and.eps}{0.9cm}
+ }
+ \hskip 0.1\hsize
+\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{and.eps}}}
+$$
-\>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, obvod nejdøíve pøelo¾íme na takový, v~kterém jsou jen hradla {\sc and} a~{\sc not}, a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. Pøevod pracuje v polynomiálním èase.
+\>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, obvod nejdøíve pøelo¾íme na takový, ve~kterém jsou jen hradla {\sc and} a~{\sc not}, a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. Pøevod pracuje v polynomiálním èase.
\qed
\s{Poznámka:}
Kdy¾ jsme zavádìli SAT, omezili jsme se jen na formule, které jsou
v~konjunktivní normální formì (CNF). Teï u¾ víme, ¾e splnitelnost obecné
booleovské formule doká¾eme pøevést na obvodovou splnitelnost a tu pak
-pøevést na 3-SAT. SAT bychom si tedy mohli definovat i jako problém
-splnitelnosti obecných booleovských formulí.
-
+pøevést na 3-SAT. Opaèný pøevod je samozøejmì triviální, tak¾e obecný SAT
+je ve~skuteènosti ekvivalentní s~na¹ím \uv{standardním} SATem pro CNF.
\bye
projects / ads2.git / commitdiff