\input lecnotes.tex
-\prednaska{2}{Toky v sítích}{(zapsala Markéta Popelová)}
+\prednaska{2}{Toky v sítích}{}
\s{První motivaèní úloha:} {\I Rozvod èajovodu do~v¹ech uèeben.}
\smallskip
\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{2.5in}
+\s{Konvence:} Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme hranu z~vrcholu~$u$ do vrcholu~$v$
+znaèit $uv$ namísto formálnìj¹ího, ale ménì pøehledného $(u,v)$. Podobnì pro neorientovaný
+pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.
+
\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E \to {\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e~platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $\forall e \in E : f(e)\le c(e)$.
\s{První pokus:} Hledejme cestu $P$ ze~$z$ do~$s$ takovou, ¾e~$\forall e \in
P: f(e) < c(e)$ (po~v¹ech jejích hranách teèe ostøe ménì, ne¾ jim dovolují
jejich kapacity). Pak zjevnì mù¾eme tok upravit tak, aby se~jeho velikost
-zvìt¹ila. Zvolme $$\varepsilon := \min_{e \in P} (c(e) - f(e)).$$ Nový tok $f'$
+zvìt¹ila. Zvolme $$\varepsilon := \min_{e \in P} \left(c(e) - f(e)\right).$$ Nový tok $f'$
pak definujme jako $f'(e):=f(e) + \varepsilon$. Kapacity nepøekroèíme ($\varepsilon$
je nejvìt¹í mo¾ná hodnota, abychom tok zvìt¹ili, ale nepøekroèili kapacitu ani
jedné z~hran cesty $P$) a~Kirchhoffovy zákony zùstanou neporu¹eny, nebo» zdroj
\s{Definice:} {\I Rezerva hrany} $uv$ je $r(uv):=c(uv) - f(uv) + f(vu).$
\smallskip
-Algoritmus bude vypadat následovnì. Postupnì dok¾eme, ¾e je koneèný a ¾e v~ka¾dé
+Algoritmus bude vypadat následovnì. Postupnì doká¾eme, ¾e je koneèný a ¾e v~ka¾dé
síti najde maximální tok.
\s{Algoritmus (Fordùv-Fulkersonùv)}
\s{Maximalita:} Kdy¾ se algoritmus zastaví, je tok~$f$ maximální? K~tomu se
bude hodit zavést øezy.
-\s{Definice:} {\I Øez} je uspoøádaná dvojice mno¾in vrcholù ($A,B$) taková, ¾e
-$A$ a $B$ jsou disjunktní, pokrývají v¹echny vrcholy, $A$ obsahuje zdroj a $B$
-obsahuje stok. Neboli $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = V$, $z \in A$, $s \in B$.
+\s{Definice:} Pro libovolné dvì mno¾iny vrcholù $A$ a~$B$ budeme znaèit $E(A,B)$
+mno¾inu hran vedoucích z~$A$ do~$B$, tedy $E(A,B) = E\cap (A\times B)$.
+Je-li dále $f$ nìjaká funkce pøiøazující hranám èísla, oznaèíme:
-\>Ka¾dému øezu pøirozenì pøiøadíme mno¾iny hran:
\itemize\ibull
-\:$E^+(A,B) = E \cap (A\times B)$ (hrany \uv{zleva doprava})
-\:$E^-(A,B) = E \cap (B\times A)$ (hrany \uv{zprava doleva})
-\:$E^\Delta(A,B) = E^+(A,B) \cup E^-(A,B)$ (v¹echny hrany øezu)
+\:$f(A,B) = \sum_{e\in E(A,B)} f(e)$ (prùtok z~$A$ do~$B$)
+\:$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A)$ (èistý prùtok z~$A$ do~$B$)
\endlist
-\>Také pro libovolnou funkci $f: E\rightarrow {\bb R}$ zavedeme:
-\itemize\ibull
-\:$f^+(A,B) = \sum_{e\in E^+(A,B)} f(e)$ (prùtok pøes øez zleva doprava)
-\:$f^-(A,B) = \sum_{e\in E^-(A,B)} f(e)$ (prùtok zprava doleva)
-\:$f^\Delta(A,B) = f^+(A,B) - f^-(A,B)$ (èistý prùtok)
-\endlist
+\s{Definice:} {\I Øez} je uspoøádaná dvojice mno¾in vrcholù ($A,B$) taková, ¾e
+$A$ a $B$ jsou disjunktní, pokrývají v¹echny vrcholy, $A$ obsahuje zdroj a $B$
+obsahuje stok. Neboli $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = V$, $z \in A$, $s \in B$.
+Mno¾inì~$A$ budeme øíkat {\I levá mno¾ina,} mno¾inì~$B$ {\I pravá.}
-\>{\I Kapacita øezu} budeme øíkat souètu kapacit hran zleva doprava, tedy $c+(A,B)$.
+\>{\I Kapacitu øezu} definujeme jako souèet kapacit hran zleva doprava, tedy $c(A,B)$.
-\s{Poznámka:} Øezy se~dají definovat více zpùsoby, jedna z~definic je, ¾e~øez
-je mno¾ina hran grafu takových, ¾e~po~jejich odebrání se~graf rozpadne na~více
+\s{Poznámka:} Øezy se~dají definovat více zpùsoby. Jiná obvyklá definice øezu øíká,
+¾e øez je mno¾ina hran grafu, po~jejím¾ odebrání se~graf rozpadne na~více
komponent. Tuto vlastnost mají i na¹e øezy, ale opaènì to nemusí platit.
\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $(A,B)$ a ka¾dý tok~$f$ platí, ¾e $f^\Delta(A,B)
zákona nulový pøebytek.
\qed
-\s{Dùsledek:} Pro ka¾dý tok~$f$ a ka¾dý øez $(A,B)$ platí $\vert f \vert \le c^+(A,B)$.
+\s{Dùsledek:} Pro ka¾dý tok~$f$ a ka¾dý øez $(A,B)$ platí $\vert f \vert \le c(A,B)$.
(Velikost ka¾dého toku je shora omezena kapacitou ka¾dého øezu.)
\proof
-$f^\Delta(A,B) = f^+(A,B) - f^-(A,B) \le f^+(A,B) \le c^+(A,B)$.
+$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A) \le f(A,B) \le c(A,B)$.
\qed
-\s{Dùsledek:} Pokud $\vert f\vert = c^+(A,B)$, pak je tok~$f$ maximální a øez~$(A,B)$
+\s{Dùsledek:} Pokud $\vert f\vert = c(A,B)$, pak je tok~$f$ maximální a øez~$(A,B)$
minimální. Jinými slovy pokud najdeme dvojici tok a stejnì velký øez, mù¾eme øez pou¾ít
jako certifikát maximality toku. Následující vìta nám zaruèí, ¾e je to mo¾né v¾dy:
a~stávající tok vylep¹il).
Dále víme, ¾e~v¹echny hrany øezu mají nulovou rezervu, èili $\forall uv \in
-E^+(A,B) : r(uv) = 0$ (kdyby mìla hrana $uv$ rezervu nenulovou, tedy kladnou,
+E(A,B) : r(uv) = 0$ (kdyby mìla hrana $uv$ rezervu nenulovou, tedy kladnou,
tak by vrchol $v$ patøil do~$A$). Proto po~v¹ech hranách øezu vedoucích z~$A$
do~$B$ teèe tolik, kolik jsou kapacity tìchto hran, a~po~hranách vedoucích
z~$B$ do~$A$ neteèe nic, tedy $f(uv) = c(uv)$ a $f(vu) = 0$. Máme øez $(A,B)$
-takový, ¾e~$f^\Delta(A,B) = c^+(A,B)$. To znamená, ¾e~jsme na¹li maximální tok
+takový, ¾e~$f^\Delta(A,B) = c(A,B)$. To znamená, ¾e~jsme na¹li maximální tok
a~minimální øez. \qed
Dokázali jsme tedy následující:
To, ¾e~umíme najít celoèíselné øe¹ení není úplnì samozøejmé. (U~jiných problémù takové ¹tìstí mít nebudeme.) Uka¾me si rovnou jednu aplikaci, která právì celoèíselný tok vyu¾ije.
-\s{Aplikace:} Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitních grafech.
+\h{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitních grafech}
\s{Definice:} Mno¾ina hran $F \subseteq E$ se~nazývá {\I párování}, jestli¾e
¾ádné dvì hrany této mno¾iny nemají spoleèný ani jeden vrchol. Neboli $\forall
\figure{toky04.eps}{Hledání maximálního párování v~bipartitním grafu.}{2in}
-Existuje toti¾ bijekce mezi párováním a~celoèíselnými toky pøi~zachování
-velikosti. Z ka¾dého celoèíselného toku na~vý¹e zmínìném grafu (viz obrázek) lze sestrojit
+Existuje toti¾ bijekce mezi párováním a~celoèíselnými toky, je¾ zachovává
+velikost. Z ka¾dého celoèíselného toku na~vý¹e zmínìném grafu (viz obrázek) lze sestrojit
párování o~stejné velikosti (velikost toku zde odpovídá poètu hran bipartitního
-grafu, po~kterých poteèe 1) a~naopak. Dùle¾ité je si uvìdomit, ¾e~definice toku
+grafu, po~kterých poteèe 1) a~naopak. Dùle¾ité je uvìdomit si, ¾e~definice toku
(omezení toku kapacitou a~Kirchhoffovy zákony) nám zaruèují, ¾e~hrany
s~nenulovým tokem (tedy jednièkovým) budou tvoøit párování (nestane se, ¾e~by
dvì hrany zaèínaly nebo konèily ve~stejném vrcholu, nebo» by se~nutnì poru¹ila
jedna ze~dvou podmínek definice toku). Potom i~maximální tok bude odpovídat
maximálnímu párování a~naopak.
-V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$. Fordùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$ (za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová slo¾tost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
-
+V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$.
+Fordùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$
+(za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací
+nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou
+omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová
+slo¾itost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
\bye
\input lecnotes.tex
-\prednaska{3}{Dinicùv algoritmus}{(zapsala Markéta Popelová)}
-
-
-Na~minulé pøedná¹ce jsme si~ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento algoritmus hledal maximální tok tak, ¾e zaèal s~tokem nulovým a~postupnì ho zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít cestu, na~které mají v¹echny hrany kladnou rezervu (po takovéto cestì mù¾eme poslat více, ne¾ po~ní aktuálnì teèe). Ukázali jsme, ¾e pokud takováto cesta existuje, jde tok vylep¹it (zvìt¹it). Zároveò pokud tok jde vylep¹it, pak takováto cesta existuje. Dokázali jsme, ¾e pro~racionální kapacity je algoritmus koneèný a~najde maximální tok.
-
-Fordùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus, který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù\dots Budeme k~tomu potøebovat sí» rezerv.
+\prednaska{3}{Dinicùv algoritmus}{}
+
+Na~minulé pøedná¹ce jsme si~ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento
+algoritmus hledal maximální tok tak, ¾e zaèal s~tokem nulovým a~postupnì ho
+zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít cestu, na~které mají
+v¹echny hrany kladnou rezervu (po takovéto cestì mù¾eme poslat více, ne¾ po~ní
+aktuálnì teèe). Ukázali jsme, ¾e pokud takováto cesta existuje, jde tok
+vylep¹it (zvìt¹it). Zároveò pokud tok jde vylep¹it, pak takováto cesta
+existuje. Dokázali jsme, ¾e pro~racionální kapacity je algoritmus koneèný
+a~najde maximální tok.
+
+Fordùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze
+pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus,
+který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù\dots Budeme k~tomu
+potøebovat sí» rezerv.
\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R=(S,f)=(V,E,z,s,r)$, kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ v~toku~$f$.
\s{Poznámka:} Algoritmus nevy¾aduje racionální kapacity! Dal¹í z~dùvodù, proè maximální tok existuje i~v~síti s~iracionálními kapacitami.
-
-%k,s,v,na,do,ke,pro,pøi,a,u,i,po,
-
\bye
projects / ads2.git / commitdiff