APX: Cviceni

diff --git a/9-apx/9-apx.tex b/9-apx/9-apx.tex
index c382f017c04679b7d007b6d69c897e1b86fbd6f4..f4e1d34bdc80043c6fc9a0b94ecd244d22be3c4e 100644 (file)
--- a/9-apx/9-apx.tex
+++ b/9-apx/9-apx.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ Ale co naplat, sv
 Na¹tìstí situace není zase tak beznadìjná. Nabízejí se tyto mo¾nosti, co si
 poèít:
 
-\algo
+\numlist\ndotted
 \:{\I Spokojit se s~málem.} Nejsou vstupy, pro které problém potøebujeme
   øe¹it, dostateènì malé, abychom si mohli dovolit pou¾ít algoritmus
   s~exponenciální slo¾itostí? Zvlá¹» kdy¾ takový algoritmus vylep¹íme
@@ -38,7 +38,7 @@ po
   napøíklad pou¾ít aproximaèní algoritmus a poté jeho výsledek
   je¹tì heuristicky vylep¹ovat. Tak získáme øe¹ení, které zaruèenì není
   moc daleko od optima, a~pokud budeme mít ¹tìstí, bude k~nìmu velmi blízko.
-\endalgo
+\endlist
 
 \>Nyní si nìkteré z~tìchto technik pøedvedeme na konkrétních pøíkladech.
 
@@ -70,7 +70,7 @@ list
 Bude pracovat s~polem znaèek~$M$, v~nìm¾ na poèátku bude v¹ude \<false> a postupnì
 obdr¾í \<true> v¹echny prvky hledané nezávislé mno¾iny.
 
-\algo
+\algo{NzMnaVeStromu}
 \algin Strom~$T$ s~koøenem~$v$, pole znaèek~$M$.
 \:$M[v] \= \<true>$.
 \:Pokud je~$v$ list, skonèíme.
@@ -99,7 +99,7 @@ Kdykoliv interval za
 ¾e je momentálnì volná, a~dal¹ím intervalùm budeme pøednostnì pøidìlovat
 volné barvy. Øeèeno v~pseudokódu:
 
-\algo
+\algo{BarveníIntervalù}
 \algin Intervaly $\left[ x_1, y_1 \right], \ldots, \left[ x_n, y_n \right]$.
 \:$b \= 0$ \cmt{poèet zatím pou¾itých barev}
 \:$B \= \emptyset$ \cmt{které barvy jsou momentálnì volné}
@@ -270,7 +270,7 @@ Kdy
 nìjak zaokrouhlit. Optimální øe¹ení nové úlohy pak sice nemusí odpovídat optimálnímu
 øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
 
-\s{Základní my¹lenka:}
+\ss{Základní my¹lenka:}
 
 \def\cmax{c_{\rm max}}
 
@@ -288,8 +288,7 @@ $\varepsilon\cdot c^*$, mus
 
 Na~této my¹lence \uv{kvantování cen} je zalo¾en následující algoritmus.
 
-\s{Algoritmus:}
-\algo
+\algo{AproximaceBatohu}
 \:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
 \:Spoèítáme $\cmax=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
 \:Kvantujeme ceny: Pro $i=1,\ldots,n$ polo¾íme $\hat{c}_i \= \lfloor c_i \cdot M/\cmax \rfloor$.
@@ -358,4 +357,58 @@ v~polynomi
 V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
 schéma je {\I plnì polynomiální} (FPTAS -- Fully Polynomial-Time Approximation Scheme).
 
+\exercises
+
+\ex{Popi¹te polynomiální algoritmus pro hledání nejmen¹ího vrcholového pokrytí stromu
+(vrcholové pokrytí je mno¾ina vrcholù, která z~ka¾dé hrany obsahuje alespoò jeden vrchol.}
+
+\exx{Naleznìte polynomiální algoritmus pro hledání nejmen¹ího vrcholového pokrytí
+bipartitního grafu.}
+
+\hint{Toky a øezy.}
+
+\ex{Uka¾te, jak v~polynomiálnì najít nejvìt¹í nezávislou mno¾inu v~intervalovém grafu.}
+
+\exx{Vyøe¹te v~polynomiálním èase 2-SAT, tedy splnitelnost formulí zadaných v~CNF,
+jejich¾ klauzule obsahují nejvý¹e 2 literály.}
+
+\hint{Na ka¾dou klauzuli se mù¾eme podívat jako na implikaci.}
+
+\ex{Problém E3,E3-SAT je zesílením 3,3-SATu. Chceme zjistit splnitelnost formule v~CNF, její¾ ka¾dá
+klauzule obsahuje právì tøi rùzné promìnné a ka¾dá promìnná se nachází v~právì tøech klauzulích.
+Uka¾te, ¾e tento problém lze øe¹it efektivnì z~toho prostého dùvodu, ¾e ka¾dá taková formule je
+splnitelná.}
+
+\hint{Pou¾ijte Hallovu vìtu.}
+
+\ex{Problém tøí loupe¾níkù: Je dána mno¾ina pøedmìtù s~cenami, chceme ji rozdìlit na 3
+èásti o~stejné cenì. Navrhnìte pseudopolynomiální algoritmus.}
+
+\ex{Problém \alg{MaxCut}: vrcholy zadaného grafu chceme rozdìlit do dvou mno¾in tak,
+aby mezi mno¾inami vedlo co nejvíce hran. Jinými slovy chceme nalézt bipartitní podgraf
+s~co nejvíce hranami. Rozhodovací verze tohoto problému je \NP-úplná, zkuste jej
+v~polynomiálním èase 2-aproximovat.}
+
+\exx{V~problému \alg{MaxE3-SAT} dostaneme formuli v~CNF, její¾ ka¾dá klauzule obsahuje
+právì~3 rùzné promìnné, a~chceme nalézt ohodnocení promìnných, pøi nìm¾ je splnìno co nejvíce
+klauzulí. Rozhodovací verze je \NP-úplná. Uka¾te, ¾e pøi náhodném ohodnocení promìnných
+je splnìno v~prùmìru $7/8$ klauzulí. Z~toho odvoïte deterministickou $7/8$-aproximaci
+v~polynomiálním èase.
+}
+
+\exx{Uva¾ujme následující algoritmus pro nejmen¹í vrcholové pokrytí grafu. Graf projdeme
+do hloubky, do výstupu vlo¾íme v¹echny vrcholy vzniklého DFS stromu kromì listù. Doka¾te,
+¾e vznikne vrcholové pokrytí a ¾e 2-aproximuje to nejmen¹í.}
+
+\hint{Najdìte v~$G$ párování obsahující alespoò tolik hran, kolik je polovina poètu
+vrcholù vráceného pokrytí. Jak velikost párování souvisí s~velikostí nejmen¹ího vrcholového
+pokrytí?}
+
+\exx{V~daném orientovaném grafu hledáme acyklický podgraf s~co nejvíce hranami.
+Navrhnìte polynomiální 2-aproximaèní algoritmus.}
+
+\hint{Libovolné oèíslování vrcholù rozdìlí hrany na \uv{dopøedné} a \uv{zpìtné}.}
+
+\endexercises
+
 \bye