\input ../sgr.tex
-\prednaska{11}{Rovinné grafy}{}
+\prednaska{11}{Kreslení grafù do~roviny}{}
Rovinné grafy se objevují v~nejrùznìj¹ích praktických aplikacích teorie grafù,
a~tak okolo nich vyrostlo znaèné mno¾ství algoritmù. I~kdy¾ existují výjimky,
komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodu¹ení, prozatím vrcholících
algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, a ten zde uká¾eme.
-Jakmile u¾ nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet
+Takté¾ jakmile u¾ nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet
rovinná nakreslení s~rùznými speciálními vlastnostmi. Za~zmínku stojí napøíklad
Schnyderùv algoritmus \cite{schnyder:grid} generující v~lineárním èase nakreslení,
v~nìm¾ v¹echny hrany jsou úseèky a vrcholy le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$,
do~vrcholu $u$ nebo blí¾e ke~koøeni.
Pokud nìkterá dvojice $vw_i$, $vw_j$ není ekvivalentní pøes hranu $uv$ (nebo pokud hrana $uv$
-ani neexistuje, co¾ se nám v~koøeni DFS stromu mù¾e stát), le¾í v~rùzných blocích, proto¾e
+ani neexistuje, co¾ se nám v~koøeni DFS stromu mù¾e stát), le¾í tyto hrany v~rùzných blocích, proto¾e
$T_i$ a $T_j$ mohou být spojeny jen pøes své koøeny (pøíèné hrany neexistují). Ze~zpìtných
hran tedy získáme kompletní strukturu blokù.
\s{Definice:} Je-li $v$ vrchol grafu, pak:
\itemize\ibull
-\:$\<Enter>(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ prohledávání do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
+\:$\<Enter>(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ DFS do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmen¹í z~\<Enter>ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana.
-\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$.
+\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$, vèetnì $v$ samého.
\endlist
\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<Lowpoint> v¹ech vrcholù lze spoèítat
Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu
hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta.
-Mù¾e se nám ale stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externì aktivní vrchol.
+Mù¾e se nám ale také stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externì aktivní vrchol.
Tehdy musíme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externì aktivní vrcholy
zùstaly venku. Potøebujeme tedy datové struktury, pomocí nich¾ bude mo¾né
pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznávat, kdy je pøeklápìní potøebné.
nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
seznamy \<BlockList> lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
-\proof První èást plyne z~definice. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
+\proof První èást plyne pøímo z~definic. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
sestrojíme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok
s~nadøazeným blokem, odstraníme ho ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci.
\qed
Na~konci algoritmu spustíme post-processing, který v¹echny pøeklápìcí
bity pøenese ve~smìru od~koøene k~potomkùm a urèí tak absolutní orientaci
-v¹ech seznamù.
+v¹ech seznamù sousedù i hranic.
\h{®ivý podgraf}
Pøed procházením podstromù tedy nejprve probereme v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$
a oznaèíme ¾ivé vrcholy. Pro ka¾dou zpìtnou hranu potøebujeme o¾ivit vrchol, z~nìj¾
hrana vede, dále artikulaci, pod~ní¾ je tento blok pøipojen, a dal¹í artikulace
-na~cestì do~$v$. Poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~bloku (nìjakým vrcholem na~vnìj¹í stìnì),
-tedy potøebujeme nalézt koøen bloku. To udìláme tak, ¾e zaèneme obcházet vnìj¹í
-stìnu obìma smìry souèasnì, ne¾ dojdeme v~kterémkoliv smìru do~koøene. Navíc si v¹echny
+na~cestì do~$v$. Tedy poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~bloku (nìjakým vrcholem na~vnìj¹í stìnì),
+potøebujeme nalézt koøen bloku. To udìláme tak, ¾e zaèneme obcházet vnìj¹í
+stìnu obìma smìry souèasnì, a¾ dojdeme v~nìkterém smìru do~koøene. Navíc si v¹echny
vrcholy, pøes nì¾ jsme pro¹li, oznaèkujeme a pøiøadíme k~nim rovnou ukazatel na~koøen,
tudí¾ po~¾ádné èásti hranice neprojdeme vícekrát.\foot{Znaèky ani nebude potøeba
mazat, kdy¾ si u nich poznamenáme, který vrchol byl koøenem v~okam¾iku, kdy jsme
a oznaèování ¾ivého podgrafu -- a zbývá doplnit, jak algoritmus kreslí zpìtné
hrany. Jeliko¾ zpìtné hrany vedoucí do~$v$ nemohou zpùsobit slouèení blokù
le¾ících pod~$v$ (na~to jsou potøeba zpìtné hrany vedoucí nìkam nad~$v$ a ty
-je¹tì nekreslíme), zpracováváme ka¾dý podstrom zvlá¹». Pøidáme triviální blok
+je¹tì nekreslíme), zpracováváme ka¾dý podstrom zvlá¹». V¾dy pøidáme triviální blok
pro stromovou hranu, pod nìj pøipojíme blokovou strukturu zatím nakreslené
èásti podstromu a vydáme se po~hranici této struktury nejdøíve jedním
a pak druhým smìrem.
(K~tomu se nám hodí, ¾e máme seznamy ¾ivých podøízených blokù setøídìné.)
\s{Pravidlo \#2:} Pokud vstoupíme do~dal¹ího bloku, vybereme si smìr, ve~kterém
-budeme pokraèovat, následovnì (pokud se li¹í od~smìru, ve~kterém zatím hranici
-obcházíme, blok pøeklopíme): preferujeme smìr k~internì
+budeme pokraèovat, následovnì: preferujeme smìr k~internì
aktivnímu vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~¾ivému externì aktivnímu
-vrcholu.
+vrcholu. Pokud se tento smìr li¹í od~smìru, ve~kterém jsme zatím hranici obcházeli,
+blok pøeklopíme.
Èasová slo¾itost této èásti algoritmu je lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu
a¾ na~dvì výjimky. Jednou je konec prohledávání od~posledního ¾ivého vrcholu
\h{Hotový algoritmus}
-Celý algoritmus tedy bude vypadat takto:
+Celý algoritmus bude vypadat takto:
\algo
-\:Pokud má graf více ne¾ $3n-6$ vrcholù, odmítneme ho rovnou jako nerovinný.
+\:Pokud má graf více ne¾ $3n-6$ hran, odmítneme ho rovnou jako nerovinný.
\:Prohledáme graf $G$ do~hloubky, spoèteme \<Enter,> \<Ancestor> a \<LowPoint> v¹ech vrcholù.
-\:Inicializujeme \<BlockList> v¹ech vrcholù.
+\:Vytvoøíme \<BlockList> v¹ech vrcholù pøihrádkovým tøídìním.
\:Procházíme vrcholy v~poøadí klesajících \<Enter>ù, pro ka¾dý vrchol~$v$:
\::Nakreslíme v¹echny stromové hrany z~$v$ jako triviální bloky (2-cykly).
\::Oznaèíme ¾ivý podgraf.
\::Pro ka¾dého syna vrcholu~$v$ obcházíme ¾ivý podgraf nále¾ící k~tomuto vrcholu
v~obou smìrech a kreslíme zpìtné hrany do~$v$.
\::Zkontrolujeme, zda v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$ byly nakresleny, a pokud ne,
- prohlásíme graf za~nerovinný a zastavíme se.
+ prohlásíme graf za~nerovinný a konèíme.
\:Projdeme hotové nakreslení do~hloubky a zorientujeme seznamy sousedù.
\endalgo
\proof První krok je korektní, jeliko¾ pro v¹echny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále
tedy mù¾eme pøedpokládat, ¾e $m=\O(n)$. Lineární èasovou slo¾itost krokù 4--6 a~9 jsme ji¾
-diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu, a tedy také $\O(n)$.
+diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu, a~tedy také $\O(n)$.
Nakreslení vydané algoritmem je v¾dy rovinné a v¹echny stromové hrany jsou v¾dy
nakresleny, zbývá tedy ukázat, ¾e zpìtnou hranu mù¾eme nenakreslit jen pokud
graf nebyl rovinný. Tomu vìnujeme zbytek kapitoly.
projects / ga.git / commitdiff