\s{Pøíklad:} Mno¾ina elementárních jevù pøi vrhu kostkou je $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ a pokud je kostka spravedlivá, platí $\forall x\in\Omega:P(x)=1/6$.
-\s{Definice:} {\I Jevem} $A$ rozumíme $A\subseteq\Omega$. {\I Pravdìpodobnost}
-jevu $A$ poèítáme jako: $$P(A)=\sum_{a\in A}P(a).$$ Je-li $P(A)=0$, nazýváme $A$
-jevem nemo¾ným. V pøípadì $P(A)=1$ nazýváme $A$ jevem jistým.
+\s{Definice:} {\I Jevem} $A$ rozumíme libovolnou mno¾inu $A\subseteq\Omega$. {\I Pravdìpodobnost}
+jevu $A$ poèítáme jako: $$\Pr[A]=\sum_{a\in A}P(a).$$
\s{Pøíklad:}
-Jaká je pravdìpodobnost slo¾eného jevu, ¾e na kostce padne sudé èíslo? Oznaèíme
+Jaká je pravdìpodobnost slo¾eného jevu "na kostce padne sudé èíslo"? Oznaèíme
$A=\{2,4,6\}\subseteq\Omega$. Hledanou pravdìpodobností je pak
$P(A)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
promìnné je $\E{}H= 1/6\cdot1 +1/6\cdot2 +1/6\cdot3 +1/6\cdot4 +1/6\cdot5
+1/6\cdot6=7/2$.
-\s{Vìta:} (linearita støední hodnoty)
+\s{Vìta:} ({\I Linearita støední hodnoty})
Nech» $A,B:\Omega\rightarrow\bb R$ jsou náhodné promìnné a $\alpha\in\bb R$ je libovolná konstanta. Potom:
\numlist\ndotted
\:$\E{}(A+B)=\E{}(A)+\E{}(B)$,
\E{}(A+B)&=\sum_{x\in\Omega}(A(x)+B(x))\cdot P(x)=\sum_{x\in\Omega}(A(x)\cdot P(x)+B(x)\cdot P(x))=\cr
&=\sum_{x\in\Omega}A(x)\cdot P(x)+\sum_{x\in\Omega}B(x)\cdot P(x)=\E{}A+ \E{}B.
}$$
-\:Opìt z definice støední hodnoty platí:
+\:Opìt pøímo z definice støední hodnoty:
$$\E{}(\alpha\cdot A)=\sum_{x\in\Omega}\alpha\cdot A(x)\cdot P(x)=\alpha\cdot \sum_{x\in\Omega}A(x)\cdot P(x)=\alpha\cdot\E{}A.$$
\endlist
\qed
Chceme urèit $\E{}S$.
Oznaème $A$ náhodnou promìnnou, která pøi vrhu kostkami vrací hodnotu na první
-kostce, tedy $\forall (a,b)\in\Omega:A((a,b))=a$. Podobnì, oznaème $B$ náhodnou
+kostce, tedy $\forall (a,b)\in\Omega:A((a,b))=a$. Podobnì oznaème $B$ náhodnou
promìnnou, která vrací hodnotu na druhé kostce, tedy $\forall
(a,b)\in\Omega:B((a,b))=b$. V~pøedcházejícím pøíkladì jsme si ukázali, ¾e
$\E{}A=\E{}B=7/2$. Proto¾e $S((a,b))=a+b=A((a,b))+B((a,b))$, pou¾itím vìty
o linearitì støední hodnoty dostáváme $\E{}S=\E{}(A+B)=\E{}A+\E{}B=7/2+7/2=7$.
\s{Poznámka:}
-Pro ka¾dou náhodnou promìnnou $X$ platí: $$\E{}X=\sum_{x\in{\bb R}}x\cdot\Pr[X=x].$$
+Pro ka¾dou náhodnou promìnnou $Y$ platí: $$\E{}Y=\sum_{x\in{\bb R}}x\cdot\Pr[Y=x].$$
\proof
-Uvedený vztah plyne okam¾itì z definice støední hodnoty, slouèíme-li dohromady v¹echny èleny $x\in\Omega$ se stejnou hodnotou $X(x)$.
+Uvedený vztah plyne okam¾itì z definice støední hodnoty, slouèíme-li dohromady v¹echny èleny $x\in\Omega$ se stejnou hodnotou $Y(x)$.
\qed
\s{Prùmìrná slo¾itost algoritmu}
Prùmìrnou slo¾itost algoritmu mù¾eme poèítat pøes v¹echny vstupy nebo pøes náhodné
-volby vstupù. Pokud jde o koneèný výsledek, jsou oba uvedené zpùsoby ekvivalentní.
+volby vstupù. V prvním pøípadì je algoritmus pravdìpodobnostní ("hází mincí") a slo¾itost poèítáme jako prùmìr pøes v¹echny vstupy.
+Ve druhém je zase algoritmus deterministický a zajímá nás pouze slo¾itost v nejhor¹ím pøípadì.
+Pokud jde o koneèný výsledek, jsou oba uvedené zpùsoby ekvivalentní.
-Na¹im cílem bude odvodit slo¾itost algoritmu $\<Select>(k,X)$ z~minulé pøedná¹ky.
-K~tomu si uká¾eme algoritmus, který bude $\<Select>(k,X)$ spou¹tìt pøi svém bìhu
-jako podprogram pro výbìr pivota. Bez újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat,
-¾e v¹echny prvky jsou navzájem rùzné.
+Na¹im cílem bude odvodit prùmìrnou slo¾itost algoritmu $\<Select>(k,X)$ z~minulé pøedná¹ky.
+K~tomu si uká¾eme algoritmus slou¾ící k výbìru pivota pro $\<Select>(k,X)$ ($\<Select>(k,X)$ jej pøi svém bìhu
+bude spou¹tìt jako podprogram). Bez újmy na~obecnosti pøedpokládejme,
+¾e v¹echny prvky mno¾iny $X$ jsou navzájem rùzné.
-\s{Algoritmus:} (Hledání l¾imediánu v mno¾inì $X$)
+\s{Algoritmus:} ({\I Hledání l¾imediánu v mno¾inì $X$})
\algo
-\:Zvol náhodnì $x\in X$.
-\:Spoèítej $y_0=\vert \{y\in X:y<x\} \vert$ a $y_1=\vert\{y\in X: y>x\}\vert$.
-\:Pokud $y_0\geq1/4$ a~zároveò $y_1\geq1/4$, vra» $x$, jinak skoè na~1.
+\:Zvol náhodnì $x\in X$, pøèem¾ $\forall x,y\in X:\Pr[x]=\Pr[y]$.
+\:Spoèítej $A=\vert \{y\in X:y<x\} \vert$ a $B=\vert\{y\in X: y>x\}\vert$.
+\:Pokud $A\geq1/4$ a~zároveò $B\geq1/4$, vra» $x$, jinak skoè na~1.
\endalgo
\s{Pozorování:}
-Uva¾ujme, ¾e házíme spravedlivou mincí. Aby nedo¹lo ke ¾ádnému mezinárodnímu sporu, tak oznaème strany mince jako tuèòák (T) a ryba (R). Tedy pravdìpodobnost pádu na nìjakou stranu je $1/2$.
-Budeme zkoumat, jaká je støední hodnota èekání na pád tuèòáka $\E{}T$. Mno¾inu v¹ech jevù (vrhù), které mohou nastat oznaème jako $\Omega=\{T,RT,RRT,\dots,RRR\dots\}$. Platí:
-$$P(T)={1\over 2}, P(RT)={1\over 4}, P(R^{k}T)={1\over 2^{k+1}}, P(RR\dots)=0.$$
-Podle pozorování máme: $$\E{}T=\sum_{k=1}^{\infty}k\underbrace{Pr[T=k]}_{1\over 2^k}=\sum_{k=1}^{\infty}{k\over 2^k}.$$
+Uva¾ujme, ¾e házíme spravedlivou mincí. Aby nedo¹lo k ¾ádnému mezinárodnímu sporu, oznaème strany mince jako tuèòák ($T$) a ryba ($R$). Tedy pravdìpodobnost pádu na nìjakou stranu je $1/2$.
+Budeme zkoumat, jaká je støední hodnota èekání na pád tuèòáka $\E{}T$. Mno¾inu v¹ech jevù (posloupností vrhù), které mohou nastat, oznaème jako $\Omega=\{T,RT,RRT,\dots,RRR\dots\}$. Platí:
+$$\Pr[T]={1\over 2}, \Pr[RT]={1\over 4}, \Pr[R^{k}T]={1\over 2^{k+1}}, \Pr[RRR\dots]=\lim_{k\rightarrow\infty}{1\over 2^k}=0.$$
+Podle pozorování máme: $$\E{}T=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\underbrace{\Pr[T=k]}_{1\over 2^k}=\sum_{k=1}^{\infty}{k\over 2^k}.$$
Tuto sumu je v¹ak trochu obtí¾né spoèítat (kdo chce si to mù¾e zkusit), proto provedeme následující trik:
$$\E{}T=1+{1\over 2}\cdot0+{1\over 2}\cdot\E{}T,$$
-to znamená, ¾e po jednom tahu jsme s polovièní pravdìpodobnosti vyhráli
-a s polovièní pravdìpodobnosti se situace nezmìnila. Jednoduchou úpravou tedy
+to znamená, ¾e po jednom tahu jsme s polovièní pravdìpodobností vyhráli
+a s polovièní pravdìpodobností se situace nezmìnila. Jednoduchou úpravou tedy
zjistíme, ¾e: $$\E{}T=2.$$
\s{Lemma:}
\qed
Pøi hledání l¾imediánu máme polovièní ¹anci, ¾e se trefíme pøi náhodném výbìru
-do prostøední poloviny -- prùmìrnì tedy vykonáme dva prùchody cyklem, pøièem¾
-jeden prùchod trvá $O(n)$. Celkem bude tedy hledání l¾imediánu trvat prùmìrnì
-$O(n)$.
+do prostøedních dvou ètvrtin -- prùmìrnì tedy vykonáme dva prùchody cyklem, pøièem¾
+jeden prùchod trvá $\Theta(n)$. Celkem bude tedy hledání l¾imediánu trvat prùmìrnì
+$\Theta(n)$.
\s{Vìta:}
\<Select> s~náhodnou volbou pivota má v prùmìru èasovou slo¾itost $\Theta(n)$.
\proof
-Rozdìlíme algoritmus na fáze $\equiv$ posloupností iterací konèící dobrou
-volbou pivota (jako l¾imedián). V¹imneme si, ¾e jedna fáze zmen¹í vstup na~$3/4 \cdot n$
-a trvá v~prùmìru $\Theta(n)$ (prùmìrnì 2~iterace po $\Theta(n)$).
-Tedy $\E{}T=\underbrace{\E{}T_1}_{\hbox{1. fáze}}+\E{}T_2+{\dots}=\Theta(n)$.
+Rozdìlíme algoritmus na {\I fáze} $\equiv$ posloupnosti iterací konèící dobrou
+volbou pivota (jako l¾imedián). V¹imneme si, ¾e jedna fáze zmen¹í vstup na nejvý¹e ${3\over 4}\cdot n$
+a~trvá v~prùmìru $\Theta(n)$ (prùmìrnì 2~iterace po $\Theta(n)$).
+Tedy $\E{}T=\E{}T_1+\E{}T_2+{\dots}=\Theta(n)$, kde $\E{}T_i$ oznaèuje $i$-tou fázi.
\qed
\s{Vìta:}
\<Select> s~pivotem rovným prostøednímu prvku má v~prùmìru pøes permutace na vstupu èasovou slo¾itost $\Theta(n)$.
\proof
-Pøevodem na náhodnou volbu pivota. Pokud je na~vstupu náhodná permutace, tak v¹echny hodnoty~$p$
-jsou stejnì pravdìpodobné. Zbývá ukázat, ¾e dal¹í iterace algoritmu dostane opìt náhodnou permutaci
+Pøevodem na náhodnou volbu pivota. Pokud je na~vstupu náhodná permutace, pak v¹echny hodnoty~$p$
+jsou stejnì pravdìpodobné. Zbývá ukázat, ¾e dal¹í iterace algoritmu dostane na vstupu opìt náhodnou permutaci
(s~rovnomìrným rozdìlením pravdìpodobností), tak¾e prùbìh celého algoritmu bude odpovídat
algoritmu s~náhodnou volbou pivota, který jsme odhadli v~pøedchozí vìtì.
-K~tomu sestrojíme bijekci mezi $\pi_n$ (permutace na $1$ a¾ $n$) a mno¾inou ètveøic $(m, L, \pi_M, \pi_V)$, kde:
-$$m\in{1,\dots,n};$$
-$$L\in{{\{1{\dots}l-1,l+1{\dots}n\}} \choose {m-1}}, l=\Big\lfloor{1+n\over 2}\Big\rfloor;$$
-$$\pi_M \hbox{ permutace na } \{1{\dots}m-1\};$$
-$$\pi_V \hbox{ permutace na } \{m+1{\dots}n\};$$
-Tedy pøi konkrétni volbì $m$ máme
-$$Pr[\pi_{M}=\xi]={{n-1 \choose m-1}{\cdot}(n-m)! \over (n-1)!},$$
-z èeho je vidìt, ¾e èasová slo¾itost je $O(n)$.
+K~tomu sestrojíme bijekci mezi $\pi_n$ (permutace na $1$ a¾ $n$) a mno¾inou ètveøic $(m, L, \pi_M, \pi_V)$, kde $m$ vezmeme jako prostøední prvek permutace $\pi_n$,
+$$m\in\{1,\dots,n\}\hbox{ na pozici } l=\lfloor {1+n\over 2} \rfloor$$
+Zbývá nám tedy obsadit v¹echny pozice pøed a za pozicí $l$ v permutaci $\pi_n$. K tomu nám dobøe poslou¾í
+$$L\in{{\{1,{\dots},l-1,l+1,{\dots},n\}} \choose {m-1}},$$
+z èeho jednoznaènì podle zvoleného $m$ dostaneme permutace
+$$\pi_M \hbox{ na } \{1{\dots}m-1\},\pi_V \hbox{ na } \{m+1{\dots}n\},$$
+které vyplòují zbylý prostor. Sestrojili sme tedy hledanou bijekci a podle pøedcházející vìty je èasová slo¾itost $\Theta(n)$.
\qed
\bye
projects / ads1.git / commitdiff