v~Kruskalovì algoritmu pro hledání minimální kostry.
\s{Triviální øe¹ení:} Ka¾dé tøídì pøiøadíme unikátní barvu, kterou obarvíme prvky tøídy. Operace \<Find>
-porovnává barvy, operace \<Union> prvky jedné tøídy pøebarví.
+porovnává barvy, operace \<Union> prvky jedné tøídy pøebarvuje.
-Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární. Mù¾eme si ale
+Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární. Mù¾eme si
pomoci tím, ¾e v¾dy pøebarvíme {\I men¹í} ze~sluèovaných ekvivalenèních tøíd (budeme
si pro ka¾dou tøídu pamatovat seznam jejích prvkù a velikost). Tehdy mù¾e být ka¾dý
prvek pøebarven jen $\O(\log n)$-krát, jeliko¾ ka¾dým pøebarvením se alespoò zdvojnásobí
dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
\foot{Podobnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
-strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í.}
+strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í a snáze se analyzují.}
\:{\I Path compression:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
bìhem operace \<Find>), pøepojíme v¹echny vrcholy na~cestì, po~které jsme pro¹li,
rovnou pod koøen.
\endlist
-\s{Pozorování:} Pravidlo Union by rank samotné zajistí, ¾e strom ranku $r$ bude
+\s{Pozorování:} Samotné pravidlo Union by rank zajistí, ¾e strom ranku $r$ bude
mít hloubku nejvý¹e $r$ a minimálnì $2^r$ vrcholù, tak¾e èasová slo¾itost operací
bude omezena $\O(\log n)$.%
\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila.}
\:{\I Koøeny mikrostromù} $R$ budou nejvy¹¹í vrcholy, pod~nimi¾ je nejvý¹e $\log n$ listù.
\:{\I Mikrostromy} le¾í v~$T$ od~tìchto koøenù ní¾e.
\:{\I Spojovací hrany} vedou z~koøenù mikrostromù do~jejich otcù.
-\:{\I Makrostrom} je tvoøen zbytkem stromu~$T$, který nepatøí ani do~mikrostromù, ani do~spojovacích hran.
+\:{\I Makrostrom} je tvoøen ostatními vrcholy a hranami stromu~$T$.
\endlist
\s{Pozorování:} Ka¾dý mikrostrom má nejvý¹e $\log n$ listù. Pod ka¾dým listem makrostromu le¾í
-alespoò jeden makrostrom\foot{Mù¾e jich být i více, pøedstavte si dekompozici hvìzdy.}, tak¾e
+alespoò jeden mikrostrom\foot{Mù¾e jich být i více, pøedstavte si dekompozici hvìzdy.}, tak¾e
listù makrostromu je nejvý¹e $n/\log n$.
Vnitøních vrcholù makro- i mikrostromù ale mù¾e být ne¹ikovnì mnoho, proto¾e se ve~stromech mohou
ji nahradíme hranou, která bude existovat právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si pamatujeme
-(jako èísla) mno¾iny ji¾ pøítomných hran. Pak si je¹tì pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
+mno¾iny ji¾ pøítomných hran (po~bitech jako èísla). Pak si je¹tì pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
odpovídají úsekùm a jsou pøítomny právì tehdy, jsou-li pøítomny v¹echny hrany pøíslu¹ného úseku)
délky $l/\log n$ a pro ni \uv{pøebarvovací} strukturu pro Union-Find.
+\>$\<Union>(x,y)$ (pøidání hrany $e=xy$ do~cesty):
+
+\algo
+\:Pøidáme $e$ do mno¾iny hran pøítomných v~pøíslu¹ném úseku.
+\:Pokud se tím úsek naplnil, pøidáme odpovídající hranu do~zkomprimované cesty.
+\endalgo
+
+\>$\<Find>(x,y):$
\algo
-\:\<Union>(x,y) (pøidání hrany $e=xy$ na~cestu):
-\::Pøidáme $e$ do mno¾iny hran pøítomných v~pøíslu¹ném úseku.
-\::Pokud se tím úsek naplnil, pøidáme odpovídající hranu do~zkomprimované cesty.
-\:\<Find>(x,y):
-\::Pokud $x$ a $y$ jsou v~tém¾e úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
- jsou v¹echny hrany mezi $x$ a $y$ pøítomny.
-\::Pokud jsou v~rùzných, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
- na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních èásteèných úsecích.
+\:Pokud $x$ a $y$ jsou v~tém¾e úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
+ jsou v¹echny hrany mezi $x$ a $y$ pøítomny.
+\:Pokud jsou v~rùzných, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
+ na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních èásteèných úsecích.
\endalgo
Operace uvnitø úsekù pracují v~èase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestì v~$\O(\log l)$
provádìt pomocí bitových v~konstantním èase.
Pro ka¾dý mikrostrom si pøedpoèítáme pro v¹echny jeho vrcholy~$v$ mno¾iny~$P_v$ hran le¾ících
-na~cestì z~koøene mikrostromu do~$v$. Navíc si budeme pamatovat mno¾inu pøítomných hran~$F$.
+na~cestì z~koøene mikrostromu do~$v$. Navíc si budeme pro celý mikrostrom pamatovat mno¾inu
+pøítomných hran~$F$.
+
+\>$\<Union>(x,y):$
+
+\algo
+\:Najdeme poøadové èíslo $i$ hrany $xy$ (máme pøedpoèítané).
+\:$F := F \cup \{i\}$.
+\endalgo
+
+\>$\<Find>(x,y):$
\algo
-\:\<Union>(x,y)
-\::Najdeme poøadové èíslo $i$ hrany $xy$ (máme pøedpoèítané).
-\::$F := F \cup \{i\}$.
-\:\<Find>(x,y):
-\::$P := P_x \mathop{\Delta} P_v$ (to je mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$)
-\::Pokud $P\setminus F=\emptyset$, le¾í $x$ a $y$ ve~stejnì komponentì, jinak ne.
+\:$P := P_x \mathop{\Delta} P_v$ (mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$)
+\:Pokud $P\setminus F=\emptyset$, le¾í $x$ a $y$ ve~stejnì komponentì, jinak ne.
\endalgo
\s{Algoritmus pro celý problém:} Zkomprimujeme cesty a výsledný strom rozlo¾íme
Mikro/makro-stromová dekompozice není jediný zpùsob, jak stromy rozkládat. Nìkdy
se hodí napøíklad následující my¹lenka:
-\s{Definice:} (Fredericksonova clusterizace) Nech» $G$ je graf kde $\forall v \in V(G): {\rm deg}(v)\le 3$
-a $c \in {\bb N}$. Pak $c$-clusterizací grafu $G$ nazveme libovolný rozklad
+\s{Definice:} (Fredericksonova clusterizace) Nech» $G$ je graf s~vrcholy stupòù nejvý¹e~3
+a $c\ge 1$. Pak $c$-clusterizací grafu $G$ nazveme libovolný rozklad
$G$ na~souvislé podgrafy (clustery) $G_1, G_2, \ldots, G_k$ takový, ¾e platí:
\itemize\ibull
\:$\forall v \in V \exists ! i: v \in C_i$.
\:®ádné dva sousední clustery nelze spojit.
\endlist
-\s{Vìta:} (Frederickson) $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù a lze ji
-najít v~lineárním èase.
+\s{Vìta:} (Frederickson) Ka¾dá $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù. Existuje
+algoritmus, který jednu takovou najde v~lineárním èase.
-\s{Dùkaz:} Hladovì pomocí DFS. \qed
+\s{Dùkaz:} První èast rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problemu bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
vrcholù stupnì $>3$ \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany}\foot{tzv. francouzský trik},
\s{Problém:} {\I (Range Minimum Query alias RMQ)} Chceme pøedzpracovat posloupnost èísel
$a_1,\ldots a_n$ tak, abychom umìli rychle poèítat $\min_{x\le i\le y} a_i$.%
-\foot{V¹imnìte si, ¾e pro sèítání místo minima je tento problém velmi snadný.}
-
-\s{Triviální øe¹ení RMQ:}
-\itemize\ibull
-\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾né dotazy: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
-\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1}$,
-èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
-na~minimum bloku délky~$l$, najdeme nejbli¾¹í ni¾¹í mocninu dvojky a spoèteme minimum
-z~minim blokù této velikost pøira¾ených k~zaèátku a ke~konci dotazovaného bloku.
-Tak zvládneme dotaz v~èase $\O(1)$ za~cenu pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
-\endlist
+\foot{V¹imnìte si, ¾e pro sumu místo minima je tento problém velmi snadný.}
\s{Lemma:} LCA lze pøevést na~RMQ s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
èasem na~pøevod dotazu.
náv¹tìvou~$x$ a první náv¹tìvou~$y$, nebo opaènì.
\qed
-My si ov¹em v¹imneme, ¾e tento pøevod vytváøí dosti speciální instance problému RMQ,
+\s{Triviální øe¹ení RMQ:}
+\itemize\ibull
+\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾né dotazy: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
+\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1} \}$,
+èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
+na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvìt¹í $k$ takové, ¾e $2^k < j-i$
+a vrátíme $\min( \min\{ a_i, \ldots, a_{i+2^k-1} \}, \min\{ a_{j-2^k}, \ldots, a_{j-1} \} )$.
+Tak zvládneme dotaz v~èase $\O(1)$ za~cenu pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
+\endlist
+
+My si ov¹em v¹imneme, ¾e ná¹ pøevod z~LCA vytváøí dosti speciální instance problému RMQ,
toti¾ takové, v~nich¾ je $\vert a_i - a_{i+1} \vert = 1$. Takovým instancím budeme
øíkat RMQ${\pm}1$ a budeme je umìt øe¹it ¹ikovnou dekompozicí.
a stoupání) je pouze $2^{b-1}\le\sqrt n$ a bloky tého¾ typu se li¹í pouze posunutím
o~konstantu. Vybudujeme proto kvadratickou strukturu pro jednotlivé typy a pro ka¾dý
blok si zapamatujeme, jakého je typu a jaké má posunutí. Celkem strávíme èas
-$\O(n + \sqrt n \cdot \log^2 n) = \O(n)$ pøedzpracování a $\O(1)$ dotazem.
+$\O(n + \sqrt n \cdot \log^2 n) = \O(n)$ pøedzpracováním a $\O(1)$ dotazem.
-Mimo to je¹tì vytvoøíme komprimovanou posloupnost v~ní¾ ka¾dý blok nahradíme
+Mimo to je¹tì vytvoøíme komprimovanou posloupnost, v~ní¾ ka¾dý blok nahradíme
jeho minimem. Tuto posloupnost délky $n/b$ budeme pou¾ívat pro èásti dotazù
týkající se celých blokù a pøipravíme si pro ni \uv{logaritmickou} variantu
-triviální struktury. To nás bude stát $\O(n/b\cdot\log n)=\O(n)$ na~pøedzpracování
+triviální struktury. To nás bude stát $\O(n/b\cdot\log (n/b))=\O(n/\log n\cdot\log n)=\O(n)$ na~pøedzpracování
a $\O(1)$ na~dotaz.
-To nám tedy dává algoritmus pro RMQ${\pm}1$ s~konstantním èasem na~dotaz po~lineárním
-pøedzpracováním a vý¹e zmínìným pøevodem i algoritmus na~LCA se stejnými parametry.
+Tak jsme získali algoritmus pro RMQ${\pm}1$ s~konstantním èasem na~dotaz po~lineárním
+pøedzpracování a vý¹e zmínìným pøevodem i algoritmus na~LCA se stejnými parametry.
Je¹tì uká¾eme, ¾e pøevod mù¾e fungovat i v~opaèném smìru, a~tak mù¾eme získat
i konstantní/lineární algoritmus pro obecné RMQ.
\s{Definice:} {\I Kartézský strom} pro posloupnost $a_1,\ldots,a_n$ je strom,
-jeho¾ koøenem je $a_j=\min_i a_i$, jeho levý syn je kartézský strom pro
-$a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý syn kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
+jeho¾ koøenem je $a_j=\min_i a_i$, jeho levý podstrom je kartézský strom pro
+$a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý podstrom kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
projects / ga.git / commitdiff