Nahlédnìme alespoò jednou kapitolou do~svìta pravdìpodobnostních algoritmù.
Není toti¾ výjimkou, ¾e s~pomocí generátoru náhodných èísel vyøe¹íme nìkteré
-grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji ne¾ deterministicky.
-Tento pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
+grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji ne¾ to dovedeme deterministicky.
+Pravdìpodobnostní pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
pro hledání minimálního øezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Pøipomeòme,
-¾e deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
+¾e s~deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
pomocí tokù nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.
\h{Náhodné kontrakce}
v~grafu~$G$ (a¾ na pøeznaèení hran pøi kontrakci, ale pøedpokládejme, ¾e hrany
mají nìjaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobnì je-li v~grafu~$G$
øez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejnì velký øez v~$G/e$. Velikost
-minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne, mù¾e pouze stoupnout, pokud
+minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne -- mù¾e pouze stoupnout, pokud
zkontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,
-Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu a oznaèíme~$k$ jeho
+Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu~$G_0$ a oznaèíme~$k$ jeho
velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu le¾ící v~tomto øezu, velikost
minimálního øezu v~grafu~$G$ bude rovnì¾ rovna~$k$. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e
se tak stane?
Navíc ka¾dý vrchol má stupeò alespoò~$k$, jeliko¾ jinak by triviální øez okolo
tohoto vrcholu byl men¹í ne¾ minimální øez. Proto platí $m_i \ge kn_i/2$. Hranu
le¾ící v~øezu~$C$ tedy vybereme s~pravdìpodobností $k/m_i \le k/(kn_i/2) = 2/n_i
-= 2/(n-i+1)$. V¹echny hrany z~øezu~$C$ tedy postoupí do výsledného grafu~$G$
+= 2/(n-i+1)$. V¹echny hrany z~øezu~$C$ proto postoupí do výsledného grafu~$G$
s~pravdìpodobností
$$\eqalign{
p &\ge \prod_{i=1}^{n-\ell} \left( 1 - {2\over n-i+1} \right)
(Druhá nerovnost platí díky tomu, ¾e $e^{-x} \ge 1-x$ pro v¹echna $x\ge 0$.)
Pokud tedy nastavíme poèet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, mù¾eme tím pravdìpodobnost
chyby stlaèit pod libovolnou konstantu, pro $K=\Omega(n^2\log n)$ pod pøevrácenou
-hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ u¾ bude exponenciálnì malá.
+hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ u¾ bude dokonce exponenciálnì malá.
\h{Implementace}
Odboème na chvíli k~implementaèním zále¾itostem. Jak reprezentovat graf, abychom
stihli rychle provádìt kontrakce? Bude nám staèit obyèejná matice sousednosti,
-v~ní¾ pro ka¾dou dvojici vrcholù budeme udr¾ovat, kolik paralelních hran mezi nimi
+v~ní¾ pro ka¾dou dvojici vrcholù budeme udr¾ovat, kolik paralelních hran mezi tìmito vrcholy
vede. Pokud chceme kontrahovat hranu~$uv$, staèí projít v¹echny hrany vedoucí
(øeknìme) z~vrcholu~$u$ a zaøadit je k~vrcholu~$v$. To zvládneme v~èase $\O(n)$
na jednu kontrakci.
Pro náhodný výbìr hrany budeme udr¾ovat pole stupòù vrcholù, vybereme náhodnì
vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou stupni a poté projitím pøíslu¹ného øádku
matice sousednosti druhý vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou poètu hran
-mezi~$uv$. To opìt trvá èas $\O(n)$.
+mezi $u$ a~$v$. To opìt trvá èas $\O(n)$.
Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~èase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~inverznì
\h{Kargerùv-Steinùv algoritmus}
+Pøedchozí prostinký algoritmus mù¾eme je¹tì podstatnì vylep¹it.
V¹imnìme si, ¾e bìhem kontrahování hran pravdìpodobnost toho, ¾e vybereme \uv{¹patnou}
hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n^2$ a¾ po obrovské
-$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Mù¾eme tedy algoritmus vylep¹it tím, ¾e
-se zastavíme døíve a pak pøejdeme na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.
+$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Pomù¾e tedy zastavit kontrahování døíve
+a~pøejít na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.
Pokud zvolíme $\ell=\lceil n/\sqrt2 +1\rceil$, pak øez~$C$ pøe¾ije kontrahování
s~pravdìpodobností alespoò
\ge {1\over 2}.
$$
-Jako onen spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu pak zavoláme tentý¾ algoritmus
-rekurzivnì, pøièem¾ jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~výsledkù
-vybereme ten men¹í, èím¾ pravdìpodobnost chyby sní¾íme.
+Jako onen spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu následnì zavoláme stejný algoritmus
+rekurzivnì, pøièem¾ jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~obou
+nalezených øezù vybereme ten men¹í, èím¾ pravdìpodobnost chyby sní¾íme.
Hotový algoritmus bude vypadat následovnì:
\endalgo
Jakou bude mít tento algoritmus èasovou slo¾itost? Nejprve odhadnìme hloubku
-rekurze: v~ka¾dém kroku se velikost vstupu zmen¹í $\sqrt 2$-krát, tak¾e strom
+rekurze: v~ka¾dém kroku se velikost vstupu zmen¹í pøibli¾nì $\sqrt 2$-krát, tak¾e strom
rekurze bude mít hloubku $\O(\log n)$. Na~$i$-té hladinì zpracováváme $2^i$
podproblémù velikosti $n/2^{i/2}$. Pøi výpoètu ka¾dého podproblému voláme
dvakrát proceduru {\sc Contract}, která spotøebuje èas $\O((n/2^{i/2})^2)
= \O(n^2/2^i)$. Souèet pøes v¹echny hladiny tedy èíní $\O(n^2)$, stejnì jako
u~pùvodního kontrakèního algoritmu.
-Zbývá spoèítat, s~jakou pravdìpodobností algoritmus nalezne skuteènì minimální øez.
+Zbývá spoèítat, s~jakou pravdìpodobností algoritmus skuteènì nalezne minimální øez.
Oznaème $p_i$ pravdìpodobnost, ¾e algoritmus na~$i$-té hladinì stromu
-rekurze (poèítáno od~nejni¾¹í, nulté hladiny) vydá správný výsledek
+rekurze (poèítáno od~nejhlub¹í, nulté hladiny) vydá správný výsledek
pøíslu¹ného podproblému. Jistì je $p_0=1$ a platí rekurence
$p_i \ge 1 - (1 - 1/2 \cdot p_{i-1})^2$. Uva¾ujme posloupnost $g_i$, pro kterou
jsou tyto nerovnosti splnìny jako rovnosti, a~v¹imnìme si, ¾e $p_i\ge g_i$.
-Víme tedy, ¾e $g_0=1$ a $g_i = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.
+Víme tedy, ¾e $g_0=1$ a $g_i = 1-(1-1/2\cdot g_{i-1})^2 = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.
-Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, èili $g_i=4/(z_i+1)$, získáme
+Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, èili $g_i=4/(z_i+1)$, a~tak získáme
novou rekurenci pro~$z_i$:
$$
{4 \over z_i+1} = {4\over z_{i-1}+1} - {4\over (z_{i-1}+1)^2},
$$
-kterou u¾ mù¾eme snadno upravit:
+kterou u¾ mù¾eme snadno upravovat:
$$\eqalign{
{1\over z_i+1} &= {z_{i-1} \over (z_{i-1}+1)^2}, \cr
z_i+1 &= {z_{i-1}^2 + 2z_{i-1} + 1 \over z_{i-1}}, \cr
-z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + (1/z_{i-1}). \cr
+z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + {1\over z_{i-1}}. \cr
}$$
-Z~poslední rovnosti plyne, ¾e $z_i \le z_{i-1} + 2$, co¾ spoleènì s~poèáteèní
-podmínkou $z_0=4$ implikuje $z_i \le 2i+4$. Zpìtnou substitucí získáme $g_i \ge 4/(2i+5)$,
-tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
+Jeliko¾ $z_0=4$, a~tím pádem $z_i\ge 1$ pro v¹echna~$i$, získáme z~poslední
+rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudí¾ $z_i \le 2i+4$.
+Zpìtnou substitucí obdr¾íme $g_i \ge 4/(2i+5)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
Nyní si staèí vzpomenout, ¾e hloubka rekurze èiní $\O(\log n)$, a ihned získáme
odhad pro pravdìpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Ná¹ algoritmus
tedy staèí ziterovat $\O(\log^2 n)$-krát, abychom pravdìpodobnost chyby stlaèili
-pod pøevrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme tím následující vìtu:
+pod pøevrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme následující vìtu:
\s{Vìta:} Iterováním algoritmu {\sc MinCut} nalezneme minimální øez v~neohodnoceném
neorientovaném grafu v~èase $\O(n^2\log^2 n)$ s~pravdìpodobností chyby $\O(1/n^c)$
projects / ga.git / commitdiff