\proof Pro spor předpokládejme, že po~zpracování vrcholu~$v$ existuje nějaká
zpětná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, čili že přístup z~$v$ k~$w$
je v~obou směrech blokován externími vrcholy. Rozborem případů ukážeme,
-že tato situace vede ke~sporu buďto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
+že pokud jsme se důsledně řídili pravidly \#1 a \#2, graf není rovinný.
+
+Uvažme posloupnost bloků vedoucí od vrcholu~$v$ k~$w$. V~této posloupnosti se
+musí vyskytovat nějaký blok~$B$, který má na obou stranách hranice aspoň jeden
+externí vrchol -- jinak bychom totiž bloky popřeklápěli tak, abychom se dostali až do~$w$.
+
+{\I Nadřazené bloky.}
+Nejprve ukážeme, že kořenem bloku~$B$ musí být přímo vrchol~$v$. Kdyby totiž
+mezi~$v$ a~$B$ ležely nějaké další bloky, našli bychom v~grafu minor~$M$ z~následujícího
+obrázku, který je isomorfní s~grafem $K_{3,3}$. Do vrcholu~$u$ jsme zkontrahovali
+ještě nenakreslenou část grafu, do~$v$ všechny bloky ležící nad~$B$, do~$x$ a~$y$
+případné podřízené externí bloky (díky nimž se $x$ a~$y$ staly externími) a do~$w$
+všechny bloky ležící mezi~$B$ a~$w$.
+
+Blok~$B$ je tedy nejvyšší a přímo obsahuje vrchol~$v$. Této situaci odpovídá
+minor~$N$, který je ovšem rovinný, takže na prokázání nerovinnosti grafu budeme
+muset zkoumat vnitřek bloku.
+
+{\I Podřízené bloky.}
+Předtím ale rozebereme případ, kdy vrchol~$w$ neleží přímo v~bloku~$B$, nýbrž
+v~nějakém podřízeném bloku, který je připojen pod nějakou artikulaci $w'\in B$.
+Tento podřízený blok přitom nemůže být externí: kdyby byl, najdeme v~grafu
+minor XXXX obsahující $K_{3,3}$ (do~$w$ jsme zkontrahovali všechny podřízené
+bloky mezi~$w'$ a~$w$). Pokud bychom tedy během obcházení hranice vstoupili do~$w'$,
+pravidlo~\#2 by zaručilo, že dojdeme do~$w$ a díky pravidlu~\#1 bychom vzápětí
+nakreslili hranu~$vw$. Tu jsme nenakreslili, takže jsme nedošli ani do~$w'$.
+Můžeme tedy bez újmy na obecnosti předpokládat, že $w=w'$.
+
+{\I Existence plotu.}
+Stačí se tedy omezit na situaci s~jediným blokem~$B$, v~němž leží vrcholy~$v$, $w$,
+$x$ i~$y$. Dokážeme nyní, že uvnitř bloku existuje {\I plot} -- cesta mezi~$x$
+a~$y$, jejíž ostatní vrcholy neleží na hranici bloku.
+
+Předpokládejme pro spor, že plot neexistuje. Před nakreslením zpětných hran
+vedoucích do~$v$ ještě blok~$B$ neexistoval a jeho vrcholy patřily do několika
+menších bloků. Speciálně víme, že $w$~byla artikulace oddělující $x$ od~$y$,
+takže každá cesta mezi~$x$ a~$y$ musela procházet přes~$w$. Proto v~pořadí podle DFS
+musí ležet~$w$ před aspoň jedním z~vrcholů $x$ a~$y$. Tento vrchol tedy tehdy musel
+ležet v~nějakém podřízeném bloku pod~$w$. A~z~nějakého takového bloku také musela
+vést zpětná hrana (tehdy ještě externí) do~$v$, která později uzavřela blok~$B$.
+K~této hraně jsme se tedy museli během obcházení dostat, a~to je možné pouze přes~$w$.
+
+{\I Nejvyšší plot.}
+Plot tedy existuje. Zvolíme mezi všemi ploty ten nejvyšší, tedy nejbližší k~$v$
+(rozmyslete si, že to je v~rovinném nakreslení dobře definované). Označme $p_x$~vrchol,
+v~němž se plot napojuje na cestu z~$v$ do~$w$ přes~$x$, a~obdobně~$p_y$. Rozmyslíme si,
+jak může situace vypadat.
+
+{\bf A.} Předně žádný z~vrcholů $p_x$ a~$p_y$ nemůže být blíž k~$v$ než $x$ a~$y$. Pokud by
+bez újmy na obecnosti $p_x$~ležel mezi $v$ a~$x$, našli bychom v~graf uminor AAA obsahující $K_{3,3}$:
+cestu mezi $y$ a~$p_y$ jsme zkontrahovali do~$y$, celý plot jsme zkontrahovali do hrany~$p_xy$,
+ostatní vrcholy jsou utvořeny stejně jako v~předchozích minorech.
+
+{\bf B.} Dále ukážeme, že plot může být připojen k~$v$ pouze přes $p_x$ a~$p_y$. V~opačném
+případě by se v~grafu vyskytoval minor BBB obsahujicí $K_{3,3}$: do~$x$ jsme zkontrahovali
+cestu mezi $x$ a~$p_x$, podobně do~$y$ cestu mezi $y$ a~$p_y$.
+
+{\bf C.} Nakonec se přesvědčíme, že na \uv{dolní} cestě z~$x$ do~$y$ přes~$w$ nemůže ležet
+žádný externí vrchol. To by totiž způsobovalo minor CCC isomorfní s~$K_5$:
+do~$w$ jsme zkontrahovali cestu mezi externím vrcholem a~$w$ a také všechny
+případné podřízené bloky, v~nichž vede externí hrana.
+
+{\I Vnitřek bloku~$B$.}
+Podívejme se, jak graf vypadal před nakreslením vrcholu~$v$. I~tehdy musel plot
+společně s~dolní cestou ležet v~jednom bloku. Ten musel být z~jedné strany připojený
+k~$v$ přes~$p_x$, z~druhé přes~$p_y$ (a~díky vlastnosti~{\bf B} nikudy jinudy).
+Říkejme tomuto bloku~$B'$ a~označme $r_1\in\{p_x,p_y\}$ jeho kořen a $r_2$ druhý
+z~vrcholů $p_x,p_y$. Nyní víme:
-Označme $B$ blok, ve~kterém leží na~obou stranách hranice nějaké externí
-vrcholy $x$ a~$y$ a pod nimi je připojen nějakou cestou vrchol~$w$. Takový blok
-musí určitě existovat, protože jinak by algoritmus všechny bloky na~cestě z~$v$ do~$w$
-popřeklápěl tak, aby se hrana $wv$ vešla. V~grafu se tedy musí vyskytovat jeden
-z~následujících minorů (do~vrcholu~$u$ jsme kontrahovali celou dosud nenakreslenou část grafu;
-vybarvená část odpovídá vnitřku bloku; hranaté vrcholy jsou externí):
+\itemize\ibull
+\:Díky {\bf A:} $r_2$~je předkem $x$ nebo~$y$ (případně je takovému vrcholu roven),
+takže je při vstupu do~$r_1$ externí.
+\:Díky {\bf B:} jdeme-li po plotu z~$r_1$, nejbližší \uv{zajímavý} vrchol bude~$r_2$.
+\:Díky {\bf C:} žádný vrchol na dolní cestě není externí.
+\endlist
+
+Při vstupu~$r_1$ tedy plot vede k~externími vrcholu, zatímco dolní cesta
+k~internímu. Podle pravidla \#2 si tedy algoritmus vybere dolní cestu, kde ho
+nic nezastaví, takže dojde až do~$w$ a~nakreslí zpětnou hranu $vw$.
+\qed
\bigskip
\centerline{\putepdf{}{minor1.epdf}\qquad\putepdf{}{minor2.epdf}}
\bigskip
-Minor~$M$ přitom odpovídá situaci, kdy $v$ neleží v~bloku~$B$. Tento případ
-snadno vyloučíme, protože $M$ je isomorfní s~grafem $K_{3,3}$. V~grafu se proto
-musí vyskytovat~$N$. Tento minor je ale rovinný, takže musíme ukázat, že vnitřek
-bloku brání nakreslení hrany~$vw$ dovnitř. Vždy pak dojdeme k~některému z~následujících
-nerovinných minorů ($N_1$ až $N_3$ jsou isomorfní s~$K_{3,3}$ a $N_4$ s~$K_5$):
-
\bigskip
\centerline{\putepdf{}{minor3.epdf}\qquad\putepdf{}{minor4.epdf}}
\bigskip
\centerline{\putepdf{}{minor5.epdf}\qquad\putepdf{}{minor6.epdf}}
\bigskip
-\>Uvažme, jak bude $B$ vypadat po~odebrání vrcholu~$v$ a hran z~něj vedoucích:
-
-\numlist\nalpha
-\:{\I přestane být 2-souvislý} -- tehdy se zaměříme na~bloky ležící na~cestě~$xy$:
-
-\numlist\nparen
-\finalfix{\rightskip=0.5\rightskip}
-\:{\I $w$ je artikulace} na této cestě -- BÚNO je taková artikulace v~DFS prohledána po~bloku obsahujícím~$x$,
-ale před~$y$. Tehdy nám jistě $x$ nezabránilo v~tom, abychom do~$w$ došli (může blokovat
-jenom jednu stranu hranice), takže jsme se ve~$w$ museli rozhodnout, že přednostně zpracujeme
-pokračování cesty do~$y$ před hranou~$vw$, a~to je spor s~pravidlem~\#1.
-
-\:{\I $w$ je v~bloku připojeném pod takovou artikulací} -- aby se pravidlo~\#1 vydalo
-do~$y$ místo podřízených bloků, musí být alespoň jeden z~nich externí,
-takže v~$G$ je minor~$N_1$.
-
-\:{\I $w$ je v~bloku na~cestě nebo připojen pod takový blok} -- opět si všimneme, že do~bloku jsme
-vstoupili mezi~$x$ a~$y$. Abychom se podle pravidla~\#2 rozhodli pro stranu, z~níž nevede
-hrana~$vw$, musela na~druhé straně být také hrana do~$v$, a~proto se v~grafu vyskytuje minor~$M$.
-\endlist
-
-\:{\I zůstane 2-souvislý} a vznikne z~něj nějaký blok~$B'$ -- tehdy rozebereme, jaké hrany vedou mezi $v$ a $B'$:
-
-\numlist\nparen
-\finalfix{\rightskip=0.5\rightskip}
-\:{\I více než dvě hrany} -- minor~$N_2$.
-\:{\I alespoň jedna hrana na \uv{horní} cestu} (to jest na~tu, na~niž neleží~$w$) -- minor~$N_3$.
-\:{\I dvě hrany do~$x,y$ nebo na \uv{dolní} cestu} -- ať už jsme vstoupili na~hranici bloku~$B'$
-kteroukoliv hranou, pravidlo~\#2 nám řeklo, že máme pokračovat vrchem, což je možné jedině tehdy,
-je-li na~spodní cestě ještě jeden externí vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
-\qeditem
-
-\endlist
-
-\endlist
-
\s{Poznámka:} Podle tohoto důkazu bychom také mohli v~lineárním čase v~každém nerovinném
grafu nalézt Kuratowského podgraf, dokonce také v~$O(n)$, jelikož když je $m>3n-6$,
můžeme se omezit na~libovolných $3n-5$ hran, které určitě tvoří nerovinný podgraf.
projects / ga.git / commitdiff