kapacity je $\O(m^{3/2})$. Tím jsme si pomohli pro øídké grafy.
\vbox{
-\vbox to 0pt{\vskip 2ex\rightline{\epsfxsize=0.2\hsize\epsfbox{dinic-vrcholrez.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-\hangindent=-0.25\hsize
-\hangafter=-10
+\inlinefig{dinic-vrcholrez.eps}{0.2\hsize}
\s{Jednotkové kapacity a jeden ze stupòù roven 1:}
Úlohu hledání maximálního párování v~bipartitním grafu, pøípadnì hledání
vrcholovì disjunktních cest v~obecném grafu lze pøevést (viz pøedchozí kapitola)
Pro takovou sí» mù¾eme pøedchozí odhad je¹tì tro¹ku upravit. Pokusíme
se nalézt v síti po~$k$~krocích nìjaký malý øez. Místo rozhraní budeme hledat jednu malou
vrstvu a z~malé vrstvy vytvoøíme malý øez tak, ¾e pro ka¾dý vrchol z~vrstvy vezmeme tu hranu,
-která je ve svém smìru sama.
+která je ve~svém smìru sama.
}
Pøitom po~ka¾dém posunu zavoláme Dinicùv algoritmus, aby dopoèítal maximální tok.
Pomocí pøedchozího odhadu uká¾eme, ¾e jeden takový krok nebude pøíli¹ drahý.
-\figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.4\hsize}
+\figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.3\hsize}
Oznaème $k$ index nejvy¹¹ího bitu v~zápisu kapacit v~zadané síti ($k = \lfloor \log_2C \rfloor$).
Postupnì budeme budovat sítì $G_i$ s~kapacitami $c_i(e) = \lfloor {c(e) / 2^{k-i}} \rfloor$.
$G_0$ je nejoøezanìj¹í sí», kde ka¾dá hrana má kapacitu rovnou nejvy¹¹ímu bitu v~binárním zápisu
její skuteèné kapacity, a¾ $G_k$ je pùvodní sí» $G$.
+\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítì $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro sí» z~pøedchozího obrázku}{0.9\hsize}
+
+\>Pøitom pro kapacity v~jednotlivých sítích platí:
+
$$ c_{i+1}(e) = \left\{
\eqalign{
- 2c_i(e), &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bitík je 0} \cr
- 2c_i(e)+1, &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bitík je 1} \cr}
+ 2c_i(e), &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 0,} \cr
+ 2c_i(e)+1, &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 1.} \cr}
\right.
$$
-\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítì $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro sí» z~pøedchozího obrázku}{0.9\hsize}
-
Na spoètení maximálního toku $f_i$ v síti $G_i$ zavoláme Dinicùv algoritmus,
ov¹em do zaèátku nepou¾ijeme nulový tok, nýbr¾ tok $2f_{i-1}$. Rozdíl toku z inicializace
a výsledného bude malý, toti¾:
\medskip
\centerline{\vbox{\halign{# \hfil \quad &# \hfil \cr
-\it verze &\it èas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
+\it varianta &\it èas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
standardní &$\O(n^2m)$ \cr
jednotkové kapacity &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$ \cr
jednotkové kapacity, 1 stupeò $\leq 1$ &$\O(\sqrt{n}\cdot m)$ \cr
Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
\endlist
-\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e,e')$}{\epsfxsize}
-
\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
Staèí si uvìdomit, ¾e pøidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kru¾nice (konkrétnì $T[e^\prime] + e^\prime$)
a vynecháním libovolné hrany z~této kru¾nice získáme opìt kostru.
+\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e,e')$}{\epsfxsize}
+
\s{Lemma o~swapování:}
Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
\qeditem
\endlist
-\s{Dùkaz vìty:}
+\ss{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme. Ka¾dým krokem pøibude
alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus po~nejvý¹e $m$~krocích zastaví.
\h{Klasické algoritmy na hledání MST}
-\s{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
+\ss{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
v¹ech ostatních hladových algoritmù, tak mu tu èest pøejme.}}
\algo
této struktury dává slo¾itost obou operací $\O(\alpha(n))$ amortizovanì, tak¾e celkovì hladový algoritmus
dobìhne v~èase $\O(m \log n + m \alpha(n))$.
-\s{Borùvkùv:}
+\ss{Borùvkùv:}
Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
implementujeme lineárním prùchodem celého grafu, dostaneme slo¾itost $\O(m\log n)$.
Mimo to lze ka¾dou fázi výteènì paralelizovat.
-\s{Jarníkùv:}
+\ss{Jarníkùv:}
Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~ka¾dém
okam¾iku nalezneme nejlevnìj¹í hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a pøidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
/^\\input .*sgr\.tex/ && next;
/^\\references/ && next;
/^\\bye/ && last;
- s@\\(figure|fig|epsfbox){([^}]+)}@\\$1\{$d$2}@g;
+ s@\\(figure|fig|inlinefig|epsfbox){([^}]+)}@\\$1\{$d$2}@g;
s@\\(twofigures){([^}]+)}({[^}]+}{[^}]+}){([^}]+)}@\\$1\{$d$2}$3\{$d$4}@g;
print;
}
\noalign{\smallskip}
#2\cr}}}\bigskip}
+% Obrazek vlozeny do praveho okraje odstavce {obrazek}{sirka}
+% Pouzit na zacatku odstavce a nejlepe celou konstrukci zavrit do vboxu, aby se nerozlomila
+\def\inlinefig#1#2{
+\setbox0=\hbox{\epsfxsize=#2\epsfbox{#1}}
+\hangindent=-\wd0
+\advance\hangindent by -3em
+\dimen0=\ht0
+\advance\dimen0 by 8ex
+\advance\dimen0 by \normalbaselineskip
+\count0=\dimen0
+\divide\count0 by \normalbaselineskip
+\hangafter=-\count0
+\dimen0=\normalbaselineskip
+\multiply\dimen0 by \count0
+\vbox to 0pt{}
+\nointerlineskip
+\vbox to 0pt{\vbox to \dimen0{\vss\rightline{\box0\hskip 1em}\vss}}
+\nointerlineskip
+}
+
% Todo
\def\todo#1{{\bf TODO: \it #1}}
projects / ga.git / commitdiff