komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodu¹ení, prozatím vrcholících
algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, a ten zde uká¾eme.
-Takté¾ jakmile u¾ nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet
-rovinná nakreslení s~rùznými speciálními vlastnostmi. Za~zmínku stojí napøíklad
-Schnyderùv algoritmus \cite{schnyder:grid} generující v~lineárním èase nakreslení,
-v~nìm¾ v¹echny hrany jsou úseèky a vrcholy le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$,
-a~o~nìco jednodu¹¹í algoritmus \cite{chrobak:grid} kreslící do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$.
-
-Tak s~chutí do toho \dots
+Zmiòme je¹tì, ¾e existují i algoritmy, které vytváøejí rovinná nakreslení s~rùznými
+speciálními vlastnostmi. Je to napøíklad Schnyderùv algoritmus~\cite{schnyder:grid}
+generující v~lineárním èase nakreslení, v~nìm¾ jsou hrany úseèkami a vrcholy
+le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$, a~o~nìco jednodu¹¹í algoritmus
+Chrobaka a Payneho \cite{chrobak:grid} kreslící do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$.
+Oba ov¹em pracují tak, ¾e vyjdou z~obyèejného rovinného nakreslení a upravují ho,
+aby splòovalo dodateèné podmínky.
\h{DFS a bloky}
Pøipomeòme si nejprve nìkteré vlastnosti prohledávání do~hloubky (DFS) a jeho pou¾ití
k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (blokù).}
-\s{Definice:} Prohledávání grafu (orientovaného nebo neorientovaného) do~hloubky rozdìlí $E$
-na~ètyøi druhy hran: {\I stromové} (po~nich¾ DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany
-vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene), {\I zpìtné} (vedou do~vrcholu na~cestì mezi prohledávaným vrcholem a koøenem,
-èili do~takového, který se právì nachází na~zásobníku, a~v~tomto smìru si je zorientujeme),
-{\I dopøedné} (vedou do~ji¾ zpracovaného vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem)
-a zbývající {\I pøíèné} (z~tohoto vrcholu do~jiného podstromu).
+\s{Definice:} Prohledávání orientovaného grafu do~hloubky rozdìlí hrany do~ètyø druhù:
+\itemize\ibull
+\:{\I stromové} -- po~nich DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany
+vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene;
+\:{\I zpìtné} -- vedou do~vrcholu, který le¾í na cestì z~koøene DFS stromu
+do právì prohledávaného vrcholu; jinými slovy vedou do vrcholu, který se
+právì nachází na~zásobníku;
+\:{\I dopøedné} -- vedou do~ji¾ zpracovaného vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem;
+\:{\I pøíèné} -- zbývající hrany, které vedou do vrcholu ji¾ zpracovaného vrcholu
+v~jiném podstromu.
+\endlist
-\s{Lemma:} Prohledáváme-li do~hloubky neorientovaný graf, nevzniknou ¾ádné dopøedné ani
-pøíèné hrany. V~orientovaném grafu mohou existovat dopøedné
-a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy do~døíve nav¹tíveného podstromu.
+\s{Pozorování:}
+Pokud DFS spustíme na neorientovaný graf a hranu, po~ní¾ jsme u¾ jednou pro¹li,
+v~opaèném smìru ignorujeme, existují pouze dopøedné a zpìtné hrany. DFS strom
+tvoøí kostru grafu.
Nyní u¾ se zamìøíme pouze na~neorientované grafy~\dots
\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$, vèetnì $v$ samého.
\endlist
-\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<Lowpoint> v¹ech vrcholù lze spoèítat
+\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<LowPoint> v¹ech vrcholù lze spoèítat
bìhem prohledávání, tedy také v~lineárním èase.
Rozpoznávání blokù a artikulací mù¾eme shrnout do~následujícího lemmatu:
pak stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku ($uv\sim vw$) právì
tehdy, kdy¾ $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$, a~$v$ je artikulace právì kdy¾
nìkterý z~jeho synù $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
-Koøen DFS stromu je artikulace právì kdy¾ má více ne¾ jednoho syna.
+Koøen DFS stromu je artikulace, právì kdy¾ má více ne¾ jednoho syna.
\h{Postup kreslení}
\finalfix{
\smallskip
\figure{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}
-\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externì aktivní vrcholy)}{\epsfxsize}
+\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
}
V¹imnìme si, ¾e pokud vede z~nìjakého u¾ nakresleného vrcholu je¹tì nenakreslená hrana,
lze pokraèovat po~nenakreslených hranách a¾ do~koøene DFS stromu. V¹echny vrcholy, ke~kterým
-je¹tì bude potøeba nìco pøipojit (takovým budeme øíkat {\I externì aktivní} a hranám
+je¹tì bude potøeba nìco pøipojit (takovým budeme øíkat {\I externí} a hranám
rovnì¾; za~chvíli to nadefinujeme formálnì), proto musí le¾et v~té¾e stìnì dosud nakresleného
podgrafu a bez újmy na~obecnosti si vybereme, ¾e to bude vnìj¹í stìna.
DFS-následníkù. Stromové hrany pùjdou nakreslit v¾dy, pøidáme je jako
triviální bloky (2-cykly) a nejsou-li to mosty, brzy se nìjakou
zpìtnou hranou spojí s~jinými bloky. Zpìtné hrany byly a¾ donedávna
-externì aktivní, tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu
+externí, tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu
po~okraji bloku touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e
slouèit nìkolik blokù do~jednoho, jak je vidìt z~obrázkù.
\separatefix{
\figure{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}
-\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externì aktivní vrcholy)}{\epsfxsize}
+\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
}
Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu
hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta.
-Mù¾e se nám ale také stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externì aktivní vrchol.
-Tehdy musíme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externì aktivní vrcholy
+Mù¾e se nám ale také stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externí vrchol.
+Tehdy musíme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externí vrcholy
zùstaly venku. Potøebujeme tedy datové struktury, pomocí nich¾ bude mo¾né
pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznávat, kdy je pøeklápìní potøebné.
-\h{Externí aktivita}
+\h{Externí vrcholy}
Jestli¾e z~nìjakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí
být tento vrchol na~vnìj¹í stìnì, tak¾e musí také zùstat na~vnìj¹í stìnì
-i~vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externí aktivitu
+i~vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externost
nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto pøípady:
-\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externì aktivní,} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
-hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externì aktivní
-blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol.
+\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externí,} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
+hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externí
+blok, èili blok obsahující alespoò jeden externí vrchol.
-Jinými slovy
vrchol $w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pakli¾e $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+Jinými slovy
platí, ¾e vrchol $w$ je externí pøi zpracování vrcholu~$v$, pakli¾e $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(v)$.
Druhá podmínka funguje díky tomu, ¾e koøen bloku má v~tomto bloku právì jednoho syna
(jinak by existovala pøíèná hrana, co¾ víme, ¾e není pravda), tak¾e minimum z~\<Ancestor>ù
pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich koøeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny koøenù.
Tento seznam udr¾ujeme setøídìný vzestupnì podle $\<LowPoint>$ù synù.
-\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je extern
ì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud je buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je externí pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud je buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
seznamy \<BlockList> lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
\h{Reprezentace blokù a pøeklápìní}
Pro ka¾dý blok si potøebujeme pamatovat vrcholy, které le¾í na~hranici
-(nìkteré z~nich jsou externì aktivní, ale to u¾ umíme poznat) a bloky,
+(nìkteré z~nich jsou externí, ale to u¾ umíme poznat) a bloky,
které jsou pod nimi pøipojené. Dále je¹tì vnitøní strukturu bloku vèetnì
uvnitø pøipojených dal¹ích blokù, ale jeliko¾ ¾ádné vnitøní vrcholy nejsou
-externì aktivní, vnitøek u¾ neovlivní dal¹í výpoèet a potøebujeme jej pouze
+externí, vnitøek u¾ neovlivní dal¹í výpoèet a potøebujeme jej pouze
pro vypsání výstupu.
Pro na¹e úèely bude staèit zapamatovat si u~ka¾dého bloku, jestli je
ka¾dý podstrom, ve~vhodném poøadí nakreslit zpìtné hrany do~$v$ a podle
potøeby pøeklopit bloky. V~podstromu ov¹em mù¾e být mnoho blokù, které
¾ádnou pozornost nevy¾adují a bìh algoritmu by zbyteènì brzdily.
-Proto podobnì jako externí aktivitu nadefinujeme je¹tì
-¾ivost vrcholu a ta bude odpovídat zpìtným hranám vedoucím do~$v$.
+Proto si pøed samotným kreslením oznaèíme {\I ¾ivou} èást grafu -- to je
+èást, kterou potøebujeme bìhem kreslení nav¹tívit; zbytku grafu se budeme
+sna¾it vyhýbat, aby nás nezdr¾oval.
\s{Definice:}
Vrchol~$w$ je {\I ¾ivý,} pokud z~nìj buïto vede zpìtná hrana do~právì
zpracovávaného vrcholu~$v$, nebo pokud pod ním je pøipojen ¾ivý blok,
-tj. blok obsahující ¾ivý vrchol. Není-li ¾ivý vrchol èi blok externì aktivní,
-budeme mu øíkat {\I internì aktivní.} Pakli¾e není vrchol/blok ani ¾ivý, ani externì aktivní,
-budeme ho nazývat {\I neaktivní.}
-\finalfix{\looseness=1}
+tj. blok obsahující ¾ivý vrchol.
+
+®ivé vrcholy pøitom mohou být i~externí (pokud z~nich vedou zpìtné hrany
+jako do vrcholu~$v$, tak do je¹tì nenakreslených vrcholù). Pokud ¾ivý vrchol
+není externí, budeme mu øíkat {\I interní.} A~pokud nìjaký vrchol není ani
+¾ivý, ani externí, budeme ho nazývat {\I pasivní.}
Pøed procházením podstromù tedy nejprve probereme v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$
a oznaèíme ¾ivé vrcholy. Pro ka¾dou zpìtnou hranu potøebujeme o¾ivit vrchol, z~nìj¾
Výstupem této èásti algoritmu budou znaèky u~¾ivých vrcholù a u~artikulací
také seznamy podøízených ¾ivých blokù. Tyto seznamy budeme udr¾ovat uspoøádané
-tak, aby externì aktivní bloky následovaly po~v¹ech internì aktivních. To nám
+tak, aby externí bloky následovaly po~v¹ech interních. To nám
usnadní práci v~hlavní èásti algoritmu.
\s{Lemma:} Pro ka¾dý koøen trvá znaèení ¾ivých vrcholù èas $\O(k+l)$, kde $k$ je poèet
kreslených zpìtných hran a $l$ poèet vrcholù, které zmizely z~vnìj¹í stìny, èili
-amortizovaná konstanta.
+amortizovanì konstanta.
\proof Alespoò polovina vrcholù, po~nich¾ jsme v~libovolném bloku pro¹li,
zmizí z~vnìj¹í stìny, tak¾e hledání koøenù blokù trvá $\O(l)$. Pro ka¾dou zpìtnou
èásti podstromu a vydáme se po~hranici této struktury nejdøíve jedním
a pak druhým smìrem.
-Oba prùchody vypadají následovnì: Procházíme seznam vrcholù na~hranici a neaktivní
+Oba prùchody vypadají následovnì: Procházíme seznam vrcholù na~hranici a pasivní
vrcholy pøeskakujeme. Pokud objevíme ¾ivý vrchol, nakreslíme v¹e, co z~nìj vede,
pøípadnì se zanoøíme do~¾ivých blokù, které jsou pøipojeny pod tímto vrcholem.
-Pokud objevíme externì aktivní vrchol (pøípadnì poté, co jsme ho o¹etøili jako ¾ivý),
-procházení zastavíme, proto¾e za externì aktivní vrchol ji¾ nemù¾eme po~této stranì
-hranice nic pøipojit, ani¾ by se externì aktivní vrchol dostal dovnitø nakreslení.
+Pokud objevíme externí vrchol (pøípadnì poté, co jsme ho o¹etøili jako ¾ivý),
+procházení zastavíme, proto¾e za externí vrchol ji¾ nemù¾eme po~této stranì
+hranice nic pøipojit, ani¾ by se externí vrchol dostal dovnitø nakreslení.
Pøitom se øídíme dvìma jednoduchými pravidly:
\s{Pravidlo \#1:} V~ka¾dém ¾ivém vrcholu zpracováváme nejdøíve zpìtné hrany do~$v$,
-pak podøízené internì aktivní bloky a koneènì podøízené externì aktivní bloky.
+pak podøízené interní bloky a koneènì podøízené externí bloky.
(K~tomu se nám hodí, ¾e máme seznamy ¾ivých podøízených blokù setøídìné.)
\s{Pravidlo \#2:} Pokud vstoupíme do~dal¹ího bloku, vybereme si smìr, ve~kterém
-budeme pokraèovat, následovnì: preferujeme smìr k~internì
-aktivnímu vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~¾ivému externì aktivnímu
+budeme pokraèovat, následovnì: preferujeme smìr k~internímu
+vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~¾ivému externímu
vrcholu. Pokud se tento smìr li¹í od~smìru, ve~kterém jsme zatím hranici obcházeli,
blok pøeklopíme.
Èasová slo¾itost této èásti algoritmu je lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu
a¾ na~dvì výjimky. Jednou je konec prohledávání od~posledního ¾ivého vrcholu
k~bodu zastavení, druhou pak vybírání strany hranice pøi vstupu do~bloku.
-V~obou mù¾eme procházet a¾ lineárnì mnoho neaktivních vrcholù. Pomù¾eme si
-ov¹em snadno: kdykoliv projdeme souvislý úsek hranice tvoøený neaktivními
+V~obou mù¾eme procházet a¾ lineárnì mnoho pasivních vrcholù. Pomù¾eme si
+ov¹em snadno: kdykoliv projdeme souvislý úsek hranice tvoøený pasivními
vrcholy, pøidáme pomocnou hranu, která tento úsek pøeklene. Mù¾eme ji dokonce
pøidat do~nakreslení a podrozdìlit si tak vnìj¹í stìnu.
\proof Pro spor pøedpokládejme, ¾e po~zpracování vrcholu~$v$ existuje nìjaká
zpìtná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, èili ¾e pøístup z~$v$ k~$w$
-je v~obou smìrech blokován externì aktivními vrcholy. Rozborem pøípadù uká¾eme,
+je v~obou smìrech blokován externími vrcholy. Rozborem pøípadù uká¾eme,
¾e tato situace vede ke~sporu buïto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
-Oznaème $B$ blok, ve~kterém le¾í na~obou stranách hranice nìjaké externì aktivní
+Oznaème $B$ blok, ve~kterém le¾í na~obou stranách hranice nìjaké externí
vrcholy $x$ a~$y$ a pod nimi je pøipojen nìjakou cestou vrchol~$w$. Takový blok
musí urèitì existovat, proto¾e jinak by algoritmus v¹echny bloky na~cestì z~$v$ do~$w$
popøeklápìl tak, aby se hrana $wv$ ve¹la. V~grafu se tedy musí vyskytovat jeden
z~následujících minorù (do~vrcholu~$u$ jsme kontrahovali celou dosud nenakreslenou èást grafu;
-vybarvená èást odpovídá vnitøku bloku; hranaté vrcholy jsou externì aktivní):
+vybarvená èást odpovídá vnitøku bloku; hranaté vrcholy jsou externí):
\bigskip
\centerline{\epsfbox{minor1.eps}\qquad\epsfbox{minor2.eps}}
pokraèování cesty do~$y$ pøed hranou~$vw$, a~to je spor s~pravidlem~\#1.
\:{\I $w$ je v~bloku pøipojeném pod takovou artikulací} -- aby se pravidlo~\#1 vydalo
-do~$y$ místo podøízených blokù, musí být alespoò jeden z~nich externì aktivní,
+do~$y$ místo podøízených blokù, musí být alespoò jeden z~nich externí,
tak¾e v~$G$ je minor~$N_1$.
\:{\I $w$ je v~bloku na~cestì nebo pøipojen pod takový blok} -- opìt si v¹imneme, ¾e do~bloku jsme
\:{\I alespoò jedna hrana na \uv{horní} cestu} (to jest na~tu, na~ni¾ nele¾í~$w$) -- minor~$N_3$.
\:{\I dvì hrany do~$x,y$ nebo na \uv{dolní} cestu} -- a» u¾ jsme vstoupili na~hranici bloku~$B'$
kteroukoliv hranou, pravidlo~\#2 nám øeklo, ¾e máme pokraèovat vrchem, co¾ je mo¾né jedinì tehdy,
-je-li na~spodní cestì je¹tì jeden externì aktivní vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
+je-li na~spodní cestì je¹tì jeden externí vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
\qeditem
\endlist
projects / ga.git / commitdiff