\prednaska{8}{Datové struktury}{}
-Co si mù¾eme pøedstavit pod pojmem datová struktura? Mù¾eme tøeba chtít udr¾ovat
-mno¾inu $X$ prvkù z nìjakého universa $X\subseteq U$ (kde universum mohou být
-napøíklad pøirozená èísla).
+Co si mù¾eme pøedstavit pod pojmem datová struktura? V na¹ich programech èasto chceme
+nìkteré vìci abstrahovat (pou¾itím funkcí, objektù\dots). Proè tedy nezkusit
+abstrahovat i operace s daty? Napøed si urèíme, co s na¹imi daty budeme provádìt a pak
+vymyslíme jejich co nejrychlej¹í reprezentaci.
+
+Mù¾eme tøeba chtít udr¾ovat koneènou mno¾inu $X$ prvkù z nìjakého universa $X\subseteq
+U$. Kde universum mohou být napøíklad pøirozená èísla, tedy universum mù¾e být
+nekoneèné narozdíl od $X$.
Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace:
\itemize\ibull
\:{\it Find} -- najít polo¾ku
\endlist
-Èasovou slo¾itost jednotlivých operací poèítejme vzhledem k poètu prvkù obsa¾ených v
-datové struktuøe.
+Jak mìøit èasovou slo¾itost? Urèitì nechceme mìøit vùèi délce vstupu, proto¾e ho
+nemusíme mít celý najednou ve struktuøe. Èasovou slo¾itost jednotlivých operací
+poèítejme vzhledem k poètu prvkù obsa¾ených v datové struktuøe.
Také mù¾eme chtít udr¾ovat slovník, tedy mno¾inu dvojic $(k, v)$ kde $k\in U$ se
-nazývá klíè a $v$ hodnota. Dále pøedpokládejme, ¾e $U$ je lineárnì uspoøádaná a prvky
-porovnáme v konstantním èase.
+nazývá klíè a $v$ hodnota. Dále pøedpokládejme, ¾e $U$ je lineárnì uspoøádaná a s prvky
+pracujeme v konstantním èase.
+
+Dále budeme zkoumat jen slovník, proto¾e mno¾ina je jen jeho speciálním pøípadem.
+
+Po slovníku budeme chtít:
+\itemize\ibull
+\:{\it Insert($k$, $v$)} -- vlo¾it novou hodnotu spolu s klíèem
+\:{\it Delete($k$)} -- smazat polo¾ku podle klíèe
+\:{\it Find($k$)} -- najít polo¾ku podle klíèe
+\endlist
V následující tabulce jsou nìkteré mo¾né zpùsoby reprezentace na¹í datové struktury.
\settabs 4 \columns
\+ & Insert & Delete & Find \cr
-\+ pole & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
-\+ setøídìné pole & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
-\+ spojový seznam & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
-\+ setøídìný seznam & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
-\+ vyhledávací stromy & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
+\+ pole & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
+\+ setøídìné pole & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
+\+ spojový seznam & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
+\+ setøídìný seznam & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
+\+ vyhledávací stromy & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat
binárním vyhledávacím stromem.
\:$l(v)$ a $p(v)$ -- levý a pravý syn vrcholu $v$
\:$L(v)$ a $P(v)$ -- levý a pravý podstrom vrcholu $v$
\:$S(v)$ -- pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$
-\:$h(v)$ -- hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
+\:$h(v)$ -- hloubka stromu $S(v)$ -- délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
\endlist
\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací,
\treepic{2}
-\break
-
Jak budou tedy vypadat operace {\it Find}, {\it Insert} a {\it Delete} na~binárním
vyhledávacím stromu?
\algo
\:Pokud $v$ je list $\Rightarrow$ jednodu¹e list utrhneme.
\:Pokud $v$ má jednoho syna $\Rightarrow$ vrchol \uv{vyøízneme}.
-\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list, a ten utrhneme.
+\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, minimum u¾
+umíme smazat proto¾e je to buï list nebo má jen pravého syna.
\endalgo
\s{Poznámka:} Pokud má vrchol $v$ pøi operaci {\it Delete} oba syny, je vlo¾ení minima
z $P(v)$ ekvivalentní s~vlo¾ením maxima z $L(v)$.
+\break
+
\s{Pøíklady operací {\it Insert} a {\it Delete} na~BVS:}
\treepic{1}
\treepic{3}
-\break Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být
-$\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo
-$\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost
-operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy
-hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací
-strom, aby tuto podmínku splòoval \dots
+Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být
+$\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam.
+Takovéto degenerované stromy vzniknou snadno, napøíklad pøidáváním setøídìné
+posloupnosti. Naopak kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný dostaneme slo¾itost
+$\Theta(\log{n})$. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu.
+Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se
+tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval \dots
\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy}
setøídìného pole (tedy medián posloupnosti) a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak
vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole. Celá konstrukce tedy trvá $\O(n)$.
-\s{Lemma} buï Insert nebo Delete v dokonale vyvá¾eném BVS trvají $\Omega(n)$ (ve
+\s{Lemma:} buï {\it Insert} nebo {\it Delete} v dokonale vyvá¾eném BVS trvají $\Omega(n)$ (ve
skuteènosti oba, ale dùkaz je mnohem obtí¾nìj¹í).
-\proof Nech» $n:=2^k-1$ pak má dokonale vyvá¾ený BVS urèený tvar a je jednoznaèné, co
-je v koøeni. Bez újmy na obecnosti mù¾eme pøedpokládat, ¾e nejmen¹í èíslo ve stromì je
-$x$ a nejvìt¹í je $x+n-1$.
+\proof Nech» $n=2^k-1$. Pak má dokonale vyvá¾ený BVS urèený tvar a je jednoznaèné, co
+je v koøeni. Nech» nejmen¹í èíslo ve stromì je $x$ a nejvìt¹í je $x+n-1$.
-Proveïme posloupnost operací $$Insert(x+n), Delete(x), Insert(x+n+1), Delete(x+1)
+Proveïme posloupnost operací $$\<Insert>(x+n), \<Delete>(x), \<Insert>(x+n+1),
+\<Delete>(x+1)
\dots$$ v¾dy se aspoò polovina listù posune o patro vý¹. Víme ¾e listù v na¹em stromì
-je $(n+1)/2$. Tedy aspoò jedna z operací Insert nebo Delete trvá $\Theta (n)$.
+je $(n+1)/2$. Tedy aspoò jedna z operací {\it Insert} nebo {\it Delete} trvá $\Omega (n)$.
Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal
také efektivnì udr¾ovat. Zkusíme proto slab¹í podmínku:
v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $.
Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} (objeviteli je ru¹tí
-matematikové G. M. Adelson-Velsky a E. M. Landis, podle nich jsou také pojmenovány) a
+matematikové G. M. Adìµson-Veµskij a E. M. Landis, podle nich jsou také pojmenovány) a
platí o~nich následující lemma:
\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $.
\proof Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromù hloubky $k$.
-Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì. Podívejme se na minimální AVL stromy:
+Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì.
+
+Jak bude vypadat minimální AVL strom o $k$ hladinách? S poètem hladin urèitì poroste
+poèet vrcholù, proto pro ka¾dý vrchol budeme chtít, aby se hloubky jeho synù li¹ily.
+Tedy koøen bude mít syna hloubky $k-1$ a syna hloubky $k-2$, takové ¾e jeho synové
+jsou minimální AVL stromy o daném poètu hladin.
+
+Podívejme se na minimální AVL stromy:
$$\eqalign{
A_0 &= 1 \cr
A_1 &= 2 \cr
podstromy o~hloubkách $k - 1$ a $k - 2$.
Vidíme tedy, ¾e $A_n = F_{n + 2} - 1$. (Mù¾eme dokázat napø. indukcí.) Teï nám ji¾
-staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste exponenciálnì S výhodou mù¾eme vyu¾ít toho,
-¾e na první pøedná¹ce jsme si ji¾ dokázali, ¾e Fibonacciho èísla rostou exponenciálnì.
-Nicménì pro zapomnìtlivé mù¾eme dùkaz ve struènosti zopakovat:
+staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste aspoò exponenciálnì.
Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $. První indukèní krok jsme si u¾
ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí: $ A_k = 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2} > 2^{{k - 1}
2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2}.$
Tímto jsme dokázali, ¾e na~ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám
-zaruèuje hloubku $ \Theta(\log{n})$.
+zaruèuje hloubku $\O(\log{n})$. Druhou nerovnost nahlédneme zkoumáním $B_k$
+maximálního poètu vrcholù AVL stromu hloubky $k$.
\qed
\bye
projects / ads1.git / commitdiff