$\Theta(n \log n)$ pro vyhodnocení, $\Theta(n)$ pro vynásobení a~$\Theta(n
\log n)$ pro pøevedení zpìt.
-\s{Pou¾ití:}
+\s{Pou¾ití FFT:}
\itemize\ibull
\:Násobení dlouhých èísel v~èase $\Theta(n \log n)$.
\endlist
-\s{Hardwarová implementace FFT}
+\s{Paralelní implementace FFT}
\figure{img.eps}{Pøíklad prùbìhu algoritmu na~vstupu velikosti 8}{3in}
+Zkusme si prùbìh algoritmu FFT znázornit graficky (podobnì, jako jsme kreslili
+hradlové sítì). Na~levé stranì obrázku se nachází vstupní vektor $x_0,\ldots,x_{n-1}$
+(v~nìjakém poøadí), na~pravé stranì pak výstupní vektor $y_0,\ldots,y_{n-1}$.
+Sledujme chod algoritmu pozpátku: Výstup spoèítáme z~výsledkù \uv{polovièních}
+transformací vektorù $x_0,x_2,\ldots,x_{n-2}$ a $x_1,x_3,\ldots,x_{n-1}$.
+Èerné krou¾ky pøitom odpovídají výpoètu lineární kombinace $a+\omega^kb$,
+kde $a,b$ jsou vstupy krou¾ku a $k$~nìjaké pøirozené èíslo závislé na poloze
+krou¾ku. Ka¾dá z~polovièních transformací se poèítá analogicky z~výsledkù
+transformace velikosti $n/4$ atd. Celkovì výpoèet probíhá v~$\log_2 n$ vrstvách
+po~$\Theta(n)$ operacích.
-\>Obrázek ukazuje zapojení kombinaèního obvodu pro DFT pro vstup velikosti~8.
-Hladin bude v¾dy $\log_2 n$, tj. v~na¹em pøípadì $\log_2 8 = 3$ hladiny.
+Jeliko¾ operace na~ka¾dé vrstvì probíhají na sobì nezávisle, mù¾eme je poèítat
+paralelnì. Ná¹ diagram tedy popisuje hradlovou sí» pro paralelní výpoèet FFT
+v~èase $\Theta(\log n\cdot T)$ a prostoru $\O(n\cdot S)$, kde $T$ a~$S$ znaèí
+èasovou a prostorovou slo¾itost výpoètu lineární kombinace dvou komplexních èísel.
-\>Podívejme se na~pravou èást obrázku, tedy výstup celého obvodu. Èerná koleèka
-pøedstavují podobvody, rovnice vedle nich operaci, kterou provádìjí. Hodnoty
-$y_j$ znaèí hodnotu polynomu $P$ v~bodì $\omega^j$ kde $\omega^j$ je $j-tá$
-mocnina primitivní $n$-té odmocniny z jednièky. K jejímu spoètení ale
-potøebujeme znát hodnoty $s_k$ a~$l_k$ kde $k$ je z intervalu $[0, {n/2} -1]$
-a~$s_k$ a~$l_k$ jsou hodnoty polynomu stupnì ${n/2}$ v~bodì $\omega^{2k}$.
-V polynomu $s$ jsou sudé koeficienty a~v polynomu $l$ liché koeficienty
-polynomu $P$. Vidíme, ¾e se jedná pøesnì o~ná¹ rekurzivní algoritmus pro
-poèítání FFT a~tímto zpùsobem postavíme celou sí».
-\>Tímto obvodem jsme tedy získali nerekurzivní algoritmus pro poèítání FFT.
-V¹imìme si poøadí vstupních hodnot (koeficientù). Èísla jsou v~binárním tvaru
-0--7 pøeètená pozpátku. Pro pøedstavu jaké koeficienty polynomu $P$ se objevují
-v~rùzných hladinách, na~obrázku jsou naznaèena jejich èísla spolu s~pøíslu¹nými
-mocninami primitivní $n$-té odmocniny z jednièky.
+\s{Cvièení:} Doka¾te, ¾e permutace vektoru $x_0,\ldots,x_{n-1}$ odpovídá bitovému
+zrcadlení, tedy ¾e na pozici~$b$ shora se vyskytuje prvek $x_d$, kde~$d$ je
+èíslo~$b$ zapsané ve~dvojkové soustavì pozpátku.
-\s{Z~toho:}
+\s{Nerekurzivní FFT}
-\itemize\ibull
-\:Kombinaèní obvod pro DFT
-s~$\Theta(\log n)$ hladinami
-a $\Theta(n)$ hradly na~hladinì.
-\:Nerekurzivní algoritmus (postupujeme zleva) v~èase $\Theta(n \log n)$.
+Obvod z~pøedchozího obrázku také mù¾eme vyhodnocovat po~hladinách zleva doprava,
+èím¾ získáme elegantní nerekurzivní algoritmus pro výpoèet FFT v~èase $\Theta(n\log n)$
+a prostoru $\Theta(n)$:
-\endlist
-\bigskip
+\algo
+\algin $x_0,\ldots,x_{n-1}$
+\:Pro $j=0,\ldots,n-1$ polo¾íme $y_k\= x_{r(k)}$, kde $r$ je funkce bitového zrcadlení.
+\:Pøedpoèítáme tabulku $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{n-1}$.
+\:$b\= 1$ \cmt{velikost bloku}
+\:Dokud $b<n$, opakujeme:
+\::Pro $j=0,\ldots,n-1$ s~krokem~$2b$ opakujeme: \cmt{zaèátek bloku}
+\:::Pro $k=0,\ldots,b-1$ opakujeme: \cmt{pozice v~bloku}
+\::::$\alpha\=\omega^{nk/2b}$
+\::::$(y_{j+k},y_{j+k+b}) \= (y_{j+k}+\alpha\cdot y_{j+k+b}, y_{j+k}-\alpha\cdot y_{j+k+b})$.
+\::$b\= 2b$
+\algout $y_0,\ldots,y_{n-1}$
+\endalgo
-\>Nakonec dodejme, ¾e poèítat lze nejen nad tìlesem komplexních èísel, ale
-v podstatì nad ka¾dým komutativním tìlesem s~$n$-tou primitivní odmocninou
-(pøíkladem jsou tìlesa øádu $p = 2^k + 1$, $p$ prvoèíslo) èi dokonce
-komutativním okruhem s~multiplikativními inversemi pro øád vektoru
-a~primitivní odmocninu.
+\s{FFT v~koneèných tìlesech}
+
+Nakonec dodejme, ¾e Fourierovu transformaci lze zavést nejen nad tìlesem
+komplexních èísel, ale i v~nìkterých koneèných tìlesech, pokud zaruèíme
+existenci primitivní $n$-té odmocniny z~jednièky. Napøíklad v~tìlese ${\bb
+Z}_p$ pro prvoèíslo $p=2^k+1$ platí $2^k=-1$, tak¾e $2^{2k}=1$
+a $2^0,2^1,\ldots,2^{2k-1}$ jsou navzájem rùzná, tak¾e èíslo~2 je~primitivní
+$2k$-tá odmocnina z~jedné. To se nám ov¹em nehodí pro algoritmus FFT, jeliko¾
+$2k$ bude málokdy mocnina dvojky.
+
+Zachrání nás ov¹em algebraická vìta, která øíká, ¾e multiplikativní grupa
+libovolného koneèného tìlesa je cyklická, tedy ¾e v¹echny nenulové prvky tìlesa lze
+zapsat jako mocniny nìjakého èísla~$g$ (generátoru). Napøíklad pro $p=2^{16}+1=65\,537$
+je jedním takovým generátorem èíslo~$3$. Jeliko¾ mezi èísly $g^1,g^2,\ldots,g^{p-1}$
+se musí ka¾dý nenulový prvek tìlesa vyskytnout právì jednou, je~$g$ primitivní
+$2^k$-tou odmocninou z~jednièky, tak¾e mù¾eme poèítat FFT pro libovolný vektor,
+jeho¾ velikost je mocnina dvojky men¹í nebo rovná $2^k$.\foot{Bli¾¹í prùzkum
+na¹ich úvah o~FFT dokonce odhalí, ¾e není ani potøeba tìleso. Postaèí libovolný
+komutativní okruh, ve~kterém existuje pøíslu¹ná primitivní odmocnina
+z~jednièky, její multiplikativní inverze (ta ov¹em existuje v¾dy, proto¾e
+$\omega^{-1} = \omega^{n-1}$) a multiplikativní inverze èísla~$n$. To nám
+poskytuje je¹tì daleko více volnosti ne¾ tìlesa, ale není snadné takové okruhy
+hledat.}
\bye
projects / ads2.git / commitdiff