\input ../sgr.tex
-\prednaska{0}{Úvodem}{}
-
-Tento spisek vznikl jako uèební text k~pøedná¹ce z~grafových algoritmù,
-kterou pøedná¹ím na~Katedøe aplikované matematiky MFF UK v~Praze. Rozhodnì
-si neklade za cíl dùkladnì zmapovat celé v~dne¹ní dobì ji¾ znaènì rozko¹atìlé odvìtví
-informatiky zabývající se grafy, spí¹e se sna¾í ukázat nìkteré typické techniky
-a teoretické výsledky, které se pøi návrhu grafových algoritmù pou¾ívají.
-Zkrátka je to takový turistický prùvodce krajinou grafových algoritmù.
-
-Jeliko¾ pøedná¹ka se øadí mezi pokroèilé kursy, dovoluji si i v~tomto
-textu pøedpokládat základní znalosti teorie grafù a grafových algoritmù.
-V~pøípadì pochybností doporuèuji obrátit se na~nìkterou z~knih \cite{kapitoly},
-\cite{demel} a \cite{kucera}. Výbornou referenèní pøíruèkou, ze~které jsem èastokrát èerpal
-i já pøi sestavování pøedná¹ek, je také Schrijverova monumentální monografie
+\prednaska{0}{Úvodem}{}
+
+Tento spisek vznikl jako učební text k~přednášce z~grafových algoritmů,
+kterou přednáším na~Katedře aplikované matematiky MFF UK v~Praze. Rozhodně
+si neklade za cíl důkladně zmapovat celé v~dnešní době již značně rozkošatělé odvětví
+informatiky zabývající se grafy, spíše se snaží ukázat některé typické techniky
+a teoretické výsledky, které se při návrhu grafových algoritmů používají.
+Zkrátka je to takový turistický průvodce krajinou grafových algoritmů.
+
+Jelikož přednáška se řadí mezi pokročilé kursy, dovoluji si i v~tomto
+textu předpokládat základní znalosti teorie grafů a grafových algoritmů.
+V~případě pochybností doporučuji obrátit se na~některou z~knih \cite{kapitoly},
+\cite{demel} a \cite{kucera}. Výbornou referenční příručkou, ze~které jsem častokrát čerpal
+i já při sestavování přednášek, je také Schrijverova monumentální monografie
Combinatorial Optimization~\cite{schrijver}.
-Mé díky patøí studentùm Semináøe z~grafových algoritmù, na~kterém jsem
-na~jaøe 2006 první verzi této pøedná¹ky uvádìl, za~výbornì zpracované
-zápisky, je¾ se staly prazákladem tohoto textu. Jmenovitì:
+Mé díky patří studentům Semináře z~grafových algoritmů, na~kterém jsem
+na~jaře 2006 první verzi této přednášky uváděl, za~výborně zpracované
+zápisky, jež se staly prazákladem tohoto textu. Jmenovitě:
$$\vbox{\halign{\it #\hfil\cr
-Toky, øezy a Fordùv-Fulkersonùv algoritmus: Radovan ©esták \cr
-Dinicùv algoritmus: Bernard Lidický \cr
-Globální souvislost a párování: Jiøí Peinlich a Michal Kùrka \cr
+Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus: Radovan Šesták \cr
+Dinicův algoritmus: Bernard Lidický \cr
+Globální souvislost a párování: Jiří Peinlich a Michal Kůrka \cr
Gomory-Hu Trees: Milan Straka \cr
-Minimální kostry: Martin Kruli¹, Petr Su¹il, Petr ©koda a Tomá¹ Gavenèiak \cr
-Poèítání na RAMu: Zdenìk Vilu¹ínský \cr
+Minimální kostry: Martin Kruliš, Petr Sušil, Petr Škoda a Tomáš Gavenčiak \cr
+Počítání na RAMu: Zdeněk Vilušínský \cr
Q-Heapy: Cyril Strejc \cr
-Suffixové stromy: Tomá¹ Mikula a Jan Král \cr
-Dekompozice Union-Findu: Ale¹ ©nupárek \cr
+Suffixové stromy: Tomáš Mikula a Jan Král \cr
+Dekompozice Union-Findu: Aleš Šnupárek \cr
}}$$
-Dìkuji také tvùrcùm vektorového editoru Vrr, v~nìm¾ jsem kreslil vìt¹inu obrázkù.
+Děkuji také tvůrcům vektorového editoru Vrr, v~němž jsem kreslil většinu obrázků.
\medskip
-\>V~Praze v~bøeznu 2007
+\>V~Praze v~březnu 2007
-\rightline{Martin Mare¹\qquad\qquad}
+\rightline{Martin Mareš\qquad\qquad}
\bigskip
-\h{Znaèení}
+\h{Značení}
-\>V~celém textu se budeme dr¾et tohoto základního znaèení:
+\>V~celém textu se budeme držet tohoto základního značení:
\itemize\ibull
-\:$G$ bude znaèit koneèný {\I graf} na~vstupu algoritmu (podle potøeby buïto orientovaný
- nebo neorientovaný; multigraf jen bude-li explicitnì øeèeno).
-\:$V$ a $E$ budou mno¾iny {\I vrcholù} a {\I hran} grafu~$G$ (pøípadnì jiného grafu
- uvedeného v~závorkách). Hranu z~vrcholu~$u$
- do~vrcholu~$v$ budeme psát~$uv$, a» u¾ je orientovaná nebo~ne.
-\:$n$ a $m$ bude {\I poèet vrcholù a hran,} tedy $n:=\vert V\vert$, $m:=\vert E\vert$.
-\:Pro libovolnou mno¾inu $X$ vrcholù nebo hran bude $\overline X$ oznaèovat doplnìk
- této mno¾iny; pøitom z~kontextu by mìlo být v¾dy jasné, vzhledem k~èemu.
+\:$G$ bude značit konečný {\I graf} na~vstupu algoritmu (podle potřeby buďto orientovaný
+ nebo neorientovaný; multigraf jen bude-li explicitně řečeno).
+\:$V$ a $E$ budou množiny {\I vrcholů} a {\I hran} grafu~$G$ (případně jiného grafu
+ uvedeného v~závorkách). Hranu z~vrcholu~$u$
+ do~vrcholu~$v$ budeme psát~$uv$, ať už je orientovaná nebo~ne.
+\:$n$ a $m$ bude {\I počet vrcholů a hran,} tedy $n:=\vert V\vert$, $m:=\vert E\vert$.
+\:Pro libovolnou množinu $X$ vrcholů nebo hran bude $\overline X$ označovat doplněk
+ této množiny; přitom z~kontextu by mělo být vždy jasné, vzhledem k~čemu.
\endlist
-\>Také budeme bez újmy na~obecnosti pøedpokládat, ¾e zpracovávaný graf je souvislý
-Èasovou slo¾itost prùchodu grafem do~hloubky èi ¹íøky pak mù¾eme psát jako $\O(m)$,
-proto¾e víme, ¾e $n=\O(m)$.
+\>Také budeme bez újmy na~obecnosti předpokládat, že zpracovávaný graf je souvislý
+Časovou složitost průchodu grafem do~hloubky či šířky pak můžeme psát jako $\O(m)$,
+protože vÃme, že $n=\O(m)$.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{1}{Toky, øezy a Fordùv-Fulkersonùv algoritmus}{}
+\prednaska{1}{Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus}{}
-V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, odvodíme základní vìty o~nich
-a také Fordùv-Fulkersonùv algoritmus pro hledání maximálního toku. Také uká¾eme,
-jak na~hledání maximálního toku pøevést problémy týkající se øezù, separátorù
-a párování v~bipartitních grafech. Dal¹í tokové algoritmy budou následovat v~pøí¹tích kapitolách.
+V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, odvodíme základní věty o~nich
+a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledánà maximálnÃho toku. Také ukážeme,
+jak na~hledání maximálního toku převést problémy týkající se řezů, separátorů
+a párování v~bipartitních grafech. Další tokové algoritmy budou následovat v~příštích kapitolách.
-\h{Toky v sítích}
+\h{Toky v sítích}
-Intuitivní pohled: sí» je systém propojených potrubí, který pøepravuje tekutinu
-ze~zdroje~$s$ (source) do~spotøebièe~$t$ (target), pøièem¾ tekutina
-se nikde mimo tato dvì místa neztrácí ani nevzniká.
+Intuitivní pohled: síť je systém propojených potrubí, který přepravuje tekutinu
+ze~zdroje~$s$ (source) do~spotÅ\99ebiÄ\8de~$t$ (target), pÅ\99iÄ\8demž tekutina
+se nikde mimo tato dvě místa neztrácí ani nevzniká.
\ss{Definice:}
\itemize\ibull
-\:{\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,s,t,c)$, kde:
+\:{\I Síť} je uspořádaná pětice $(V,E,s,t,c)$, kde:
\itemize\ibull
- \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
+ \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
\:$s\in V$ {\I zdroj,}
- \:$t\in V$ {\I spotøebiè} neboli {\I stok} a
- \:$c: E\rightarrow {\bb R}$ funkce udávající nezáporné {\I kapacity} hran.
+ \:$t\in V$ {\I spotřebič} neboli {\I stok} a
+ \:$c: E\rightarrow {\bb R}$ funkce udávající nezáporné {\I kapacity} hran.
\endlist
-\:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro ka¾dé ohodnocení $f$
- mù¾eme definovat:
+\:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro každé ohodnocení $f$
+ můžeme definovat:
$$ f^+(v) = \sum_{e=(\cdot,v)} f(e), \quad
f^-(v) = \sum_{e=(v,\cdot)} f(e), \quad
f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)
$$
- [co do~vrcholu pøiteèe, co odteèe a jaký je v~nìm pøebytek].
-\:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
+ [co do~vrcholu přiteče, co odteče a jaký je v~něm přebytek].
+\:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
\itemize\ibull
- \:$\forall e: 0 \le f(e) \le c(e)$, \quad {\I (dodr¾uje kapacity)}
- \:$\forall v\ne s,t: f^\Delta(v)=0$. \quad {\I (Kirchhoffùv zákon)}
+ \:$\forall e: 0 \le f(e) \le c(e)$, \quad {\I (dodržuje kapacity)}
+ \:$\forall v\ne s,t: f^\Delta(v)=0$. \quad {\I (Kirchhoffův zákon)}
\endlist
\:{\I Velikost toku:} $\vert f \vert = -f^\Delta(s)$.
-\:{\I Øez (tokový):} mno¾ina vrcholù $C\subset V$ taková, ¾e $s\in C$, $t\not\in C$. Øez mù¾eme také
- ztoto¾nit s~mno¾inami hran $C^- = E \cap (C \times \overline C)$ [tìm budeme øíkat hrany zleva doprava]
+\:{\I Řez (tokový):} množina vrcholů $C\subset V$ taková, že $s\in C$, $t\not\in C$. Řez můžeme také
+ ztotožnit s~množinami hran $C^- = E \cap (C \times \overline C)$ [těm budeme říkat hrany zleva doprava]
a $C^+ = E \cap (\overline C \times C)$ [hrany zprava doleva].
-\:{\I Kapacita øezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).
-\:{\I Tok pøes øez:}
+\:{\I Kapacita řezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).
+\:{\I Tok přes řez:}
$f^+(C)=\sum_{e\in C^+} f(e)$,
$f^-(C)=\sum_{e \in C^-} f(e)$,
$f^\Delta(C)=f^+(C)-f^-(C)$.
-\:{\I Cirkulace} je tok nulové velikosti, èili $f$ takové, ¾e $f^\Delta(v)=0$ pro v¹echna~$v$.
+\:{\I Cirkulace} je tok nulové velikosti, čili $f$ takové, že $f^\Delta(v)=0$ pro všechna~$v$.
\endlist
-Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
-velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).
+Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku největší možné
+velikosti) a {\I minimálního řezu} (řezu nejmenší možné kapacity).
\goodbreak
-\s{Vìtièka:} V~ka¾dé síti existuje maximální tok a minimální øez.
+\s{Větička:} V~každé síti existuje maximální tok a minimální řez.
-\proof Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
-pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické
-analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce,
-a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
-analýzy Fordova-Fulkersonova algoritmu.
+\proof Existence minimálního řezu je triviální, protože řezů v~každé síti je konečně mnoho;
+pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ovšem není samozřejmost a je k~tomu potřeba trocha matematické
+analýzy (v~prostoru všech ohodnocení hran tvoří toky kompaktní množinu, velikost toku je lineární funkce,
+a~tedy i spojitá, pročež nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto větičku jako důsledek
+analýzy Fordova-Fulkersonova algoritmu.
\qed
-\s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾. Platí toti¾:
+\s{PozorovánÃ:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotÅ\99ebiÄ\8de, vyÅ¡lo by totéž. Platà totiž:
$$f^\Delta(s) + f^\Delta(t) = \sum_v f^\Delta(v) = \sum_e f(e) - f(e) = 0$$
-(první rovnost plyne z~Kirchhoffova zákona -- v¹echna ostatní $f^\Delta(v)$ jsou nulová; druhá pak z~toho,
-¾e ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$). Proto je $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
+(první rovnost plyne z~Kirchhoffova zákona -- všechna ostatní $f^\Delta(v)$ jsou nulová; druhá pak z~toho,
+že každá hrana přispěje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$). Proto je $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
-Stejnì tak mù¾eme velikost toku zmìøit na~libovolném øezu:
+Stejně tak můžeme velikost toku změřit na~libovolném řezu:
-\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
+\s{Lemma:} Pro každý Å\99ez $C$ platÃ, že $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
-\proof První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
-[èili pøesouváním vrcholù zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
-Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(C) \le \vert C \vert.$ \qed
+\proof První část indukcí: každý řez můžeme získat postupným přidáváním vrcholů do~triviálního řezu $\{s\}$
+[čili přesouváním vrcholů zprava doleva], a~to, jak ukáže jednoduchý rozbor případů, nezmění $f^\Delta$.
+Druhá část: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(C) \le \vert C \vert.$ \qed
-Víme tedy, ¾e velikost ka¾dého toku lze omezit kapacitou libovolného øezu. Kdybychom na¹li tok a øez stejné
-velikosti, mù¾eme si proto být jisti, ¾e tok je maximální a øez minimální. To se nám opravdu povede, platí toti¾
-následující vìta:
+Víme tedy, že velikost každého toku lze omezit kapacitou libovolného řezu. Kdybychom našli tok a řez stejné
+velikosti, můžeme si proto být jisti, že tok je maximálnà a Å\99ez minimálnÃ. To se nám opravdu povede, platà totiž
+následující věta:
-\s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
+\s{Věta (Ford, Fulkerson):} V~každé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního řezu.
-\proof Jednu nerovnost jsme dokázali v~pøedchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
-programování [max. tok a min. øez jsou navzájem duální úlohy], ale k~pìknému kombinatorickému
-dùkazu pùjde opìt pou¾ít Fordùv-Fulkersonùv algoritmus.
+\proof Jednu nerovnost jsme dokázali v~předchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
+programování [max. tok a min. řez jsou navzájem duální úlohy], ale k~pěknému kombinatorickému
+důkazu půjde opět použít Fordův-Fulkersonův algoritmus.
\qed
-\h{Fordùv-Fulkersonùv algoritmus}
+\h{Fordův-Fulkersonův algoritmus}
-Nejpøímoèaøej¹í zpùsob, jak bychom mohli hledat toky v~sítích, je zaèít s~nìjakým tokem (nulový je po~ruce v¾dy)
-a postupnì ho zlep¹ovat tak, ¾e nalezneme nìjakou nenasycenou cestu a po¹leme po~ní \uv{co pùjde}.
-To~bohu¾el nefunguje, ale mù¾eme tento postup trochu zobecnit a být ochotni pou¾ívat nejen hrany,
-pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok
-v~na¹em smìru simulovat odeètením od~toku v~protismìru. Trochu formálnìji:
+NejpÅ\99ÃmoÄ\8daÅ\99ejÅ¡Ã způsob, jak bychom mohli hledat toky v~sÃtÃch, je zaÄ\8dÃt s~nÄ\9bjakým tokem (nulový je po~ruce vždy)
+a postupně ho zlepšovat tak, že nalezneme nějakou nenasycenou cestu a pošleme po~ní \uv{co půjde}.
+To~bohužel nefunguje, ale můžeme tento postup trochu zobecnit a být ochotni používat nejen hrany,
+pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nÄ\9bco teÄ\8de v~protismÄ\9bru a my můžeme tok
+v~našem směru simulovat odečtením od~toku v~protisměru. Trochu formálněji:
\ss{Definice:}
\itemize\ibull
-\:{\I Rezerva} hrany $e=(v,w)$ pøi toku~$f$ se definuje jako $r(e) = (c(e) - f(e)) + f(e^\prime)$, kde $e^\prime=(w,v)$.
- Pro úèely tohoto algoritmu budeme pøedpokládat, ¾e ke~ka¾dé hranì existuje hrana opaèná; pokud ne, dodefinujeme
- si ji a dáme jí nulovou kapacitu.
-\:{\I Zlep¹ující cesta} je orientovaná cesta, její¾ v¹echny hrany mají nenulovou rezervu.
+\:{\I Rezerva} hrany $e=(v,w)$ při toku~$f$ se definuje jako $r(e) = (c(e) - f(e)) + f(e^\prime)$, kde $e^\prime=(w,v)$.
+ Pro účely tohoto algoritmu budeme předpokládat, že ke~každé hraně existuje hrana opačná; pokud ne, dodefinujeme
+ si ji a dáme jí nulovou kapacitu.
+\:{\I Zlepšující cesta} je orientovaná cesta, jejíž všechny hrany mají nenulovou rezervu.
\endlist
\ss{Algoritmus:}
\algo
-\:$f \leftarrow \<nulový tok>$.
-\:Dokud existuje zlep¹ující cesta $P$ z~$s$ do~$t$:
+\:$f \leftarrow \<nulový tok>$.
+\:Dokud existuje zlepšující cesta $P$ z~$s$ do~$t$:
\::$\varepsilon \leftarrow \min_{e\in P} r(e)$.
-\::Zvìt¹íme tok $f$ podél~$P$ o~$\varepsilon$ (ka¾dé hranì $e\in P$ zvìt¹íme $f(e)$, pøípadnì zmen¹íme $f(e^\prime)$, podle toho, co jde).
+\::Zvětšíme tok $f$ podél~$P$ o~$\varepsilon$ (každé hraně $e\in P$ zvětšíme $f(e)$, případně zmenšíme $f(e^\prime)$, podle toho, co jde).
\endalgo
-\s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku
-stoupne velikost toku o~$\varepsilon \ge 1$, co¾ mù¾e nastat pouze koneènì-krát. Podobnì pro racionální kapacity:
-pøenásobíme-li v¹echny kapacity jejich spoleèným jmenovatelem, dostaneme sí» s~celoèíselnými kapacitami,
-na~které se bude algoritmus chovat identicky a jak ji¾ víme, skonèí. Pro~iracionální kapacity obecnì
-dobìhnout nemusí, zkuste vymyslet protipøíklad.
+\s{Analýza:} Nejdříve si rozmysleme, že pro celočíselné kapacity algoritmus vždy doběhne: v~každém kroku
+stoupne velikost toku o~$\varepsilon \ge 1$, což může nastat pouze konečně-krát. Podobně pro racionální kapacity:
+přenásobíme-li všechny kapacity jejich společným jmenovatelem, dostaneme síť s~celočíselnými kapacitami,
+na~které se bude algoritmus chovat identicky a jak již víme, skončí. Pro~iracionální kapacity obecně
+doběhnout nemusí, zkuste vymyslet protipříklad.
-Uva¾me nyní situaci po~zastavení algoritmu. Funkce~$f$ je urèitì tok, proto¾e jím byla po~celou dobu
-bìhu algoritmu. Prozkoumejme teï mno¾inu $C$ vrcholù, do~nich¾ po~zastavení algoritmu vede zlep¹ující cesta ze~zdroje.
-Jistì $s\in C$, $t\not\in C$, tak¾e tato mno¾ina je øez. Navíc pro ka¾dou hranu $e\in C^-$ musí
-být $f(e)=c(e)$ a pro ka¾dou $e'\in C^+$ je $f(e')=0$, proto¾e jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
-nulová. Tak¾e $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, èili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
+Uvažme nyní situaci po~zastavení algoritmu. Funkce~$f$ je určitě tok, protože jím byla po~celou dobu
+běhu algoritmu. Prozkoumejme teď množinu $C$ vrcholů, do~nichž po~zastavení algoritmu vede zlepšující cesta ze~zdroje.
+Jistě $s\in C$, $t\not\in C$, takže tato množina je řez. Navíc pro každou hranu $e\in C^-$ musí
+být $f(e)=c(e)$ a pro každou $e'\in C^+$ je $f(e')=0$, protože jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
+nulová. Takže $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, čili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
-Na¹li jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, øez stejné velikosti, a~proto, jak u¾ víme,
-je tok maximální a øez minimální. Tím jsme také dokázali Fordovu-Fulkersonovu vìtu\foot{Dokonce
-jsme ji dokázali i pro reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit rovnou na maximální tok místo
-nulového a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez.} a existenci maximálního toku. Navíc algoritmus nikdy
-nevytváøí z~celých èísel necelá, èím¾ získáme:
+Našli jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, řez stejné velikosti, a~proto, jak už víme,
+je tok maximální a řez minimální. Tím jsme také dokázali Fordovu-Fulkersonovu větu\foot{Dokonce
+jsme ji dokázali i pro reálné kapacity, protože můžeme algoritmus spustit rovnou na maximální tok místo
+nulového a on se ihned zastaví a vydá certifikující řez.} a existenci maximálního toku. Navíc algoritmus nikdy
+nevytváří z~celých čísel necelá, čímž získáme:
-\s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
+\s{Důsledek:} Síť s~celočíselnými kapacitami má maximální tok, který je celočíselný.
-\s{Èasová slo¾itost} F-F algoritmu mù¾e být pro obecné sítì a ne¹ikovnou volbu zlep¹ujících
-cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
-do~¹íøky (co¾ je asi nejpøímoèaøej¹í implementace), pobì¾í v~èase $\O(m^2n)$. Pokud budou
-v¹echny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, ¾e staèí $\O(nm)$. Edmondsùv a Karpùv
-odhad nebudeme dokazovat, místo toho si v~pøí¹tí kapitole pøedvedeme efektivnìj¹í algoritmus.
+\s{Časová složitost} F-F algoritmu může být pro obecné sítě a nešikovnou volbu zlepšujících
+cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
+do~šířky (což je asi nejpřímočařejší implementace), poběží v~čase $\O(m^2n)$. Pokud budou
+všechny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, že stačí $\O(nm)$. Edmondsův a Karpův
+odhad nebudeme dokazovat, místo toho si v~příští kapitole předvedeme efektivnější algoritmus.
-\h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
+\h{Řezy, separátory a $k$-souvislost}
-Teorie tokù nám rovnì¾ poslou¾í ke~zkoumání násobné souvislosti grafù.
+Teorie toků nám rovněž poslouží ke~zkoumání násobné souvislosti grafů.
-\s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
+\s{Definice:} Pro každý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
\itemize\ibull
-\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ jsou
- vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
-\:{\I $st$-separátor} je mno¾ina vrcholù $W$ taková, ¾e $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$
- jsou vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
-\:{\I Øez} je mno¾ina hran, která je $xy$-øezem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
-\:{\I Separátor} je mno¾ina vrcholù, která je $xy$-separátorem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
-\:$G$ je {\I hranovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny øezy v~$G$
- mají alespoò~$k$ hran.
-\:$G$ je {\I vrcholovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny separátory v~$G$
- mají alespoò~$k$ vrcholù.
+\:{\I $st$-Å\99ez} je množina hran $F$ taková, že v~grafu $G-F$ jsou
+ vrcholy $s,t$ v~různých komponentách souvislosti.
+\:{\I $st$-separátor} je množina vrcholů $W$ taková, že $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$
+ jsou vrcholy $s,t$ v~různých komponentách souvislosti.
+\:{\I Řez} je množina hran, která je $xy$-řezem pro nějakou dvojici vrcholů $x,y$.
+\:{\I Separátor} je množina vrcholů, která je $xy$-separátorem pro nějakou dvojici vrcholů $x,y$.
+\:$G$ je {\I hranově $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a všechny řezy v~$G$
+ mají alespoň~$k$ hran.
+\:$G$ je {\I vrcholově $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a všechny separátory v~$G$
+ mají alespoň~$k$ vrcholů.
\endlist
-V¹imnìte si, ¾e nesouvislý graf má øez i separátor nulové velikosti, tak¾e vrcholová i hranová 1-souvislost
-splývají s~obyèejnou souvislostí pro v¹echny grafy o~alespoò dvou vrcholech. Hranovì 2-souvislé
-jsou právì (netriviální) grafy bez {\I mostù,} vrcholovì 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
-
-Pro orientované grafy mù¾eme $st$-øezy a $st$-separátory definovat analogicky
-(toti¾, ¾e po~odstranìní pøíslu¹né mno¾iny hran èi vrcholù neexistuje orientovaná
-cesta z~$s$ do~$t$), globální øezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
-nedefinují.
-
-\s{Poznámka:} Minimální orientované $st$-øezy podle této definice a minimální tokové øezy
-podle definice ze~zaèátku kapitoly splývají: ka¾dý tokový øez~$C$ odpovídá $st$-øezu stejné
-velikosti tvoøenému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimální $st$-øez musí být mno¾ina
-vrcholù dosa¾itelných z~$s$ po~odebrání øezu z~grafu tokovým øezem, opìt stejné velikosti.
-[Velikost mìøíme souètem kapacit hran.] Dává tedy rozumný smysl øíkat obojímu stejnì.
-Podobnì se chovají i neorientované grafy, pokud do~\uv{tokového} øezu poèítáme
-hrany v~obou smìrech.
-
-Analogií tokù je pak existence nìjakého poètu disjunktních cest (vrcholovì nebo hranovì)
-mezi vrcholy~$s$ a~$t$. Analogií F-F~vìty pak budou známé Mengerovy vìty:
-
-\s{Vìta (Mengerova, lokální hranová orientovaná):}
-Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy. Pak je velikost minimálního
-$st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
+Všimněte si, že nesouvislý graf má řez i separátor nulové velikosti, takže vrcholová i hranová 1-souvislost
+splývají s~obyčejnou souvislostí pro všechny grafy o~alespoň dvou vrcholech. Hranově 2-souvislé
+jsou právě (netriviální) grafy bez {\I mostů,} vrcholově 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
+
+Pro orientované grafy můžeme $st$-řezy a $st$-separátory definovat analogicky
+(totiž, že po~odstranění příslušné množiny hran či vrcholů neexistuje orientovaná
+cesta z~$s$ do~$t$), globální řezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
+nedefinují.
+
+\s{Poznámka:} Minimální orientované $st$-řezy podle této definice a minimální tokové řezy
+podle definice ze~začátku kapitoly splývají: každý tokový řez~$C$ odpovídá $st$-řezu stejné
+velikosti tvoÅ\99enému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimálnà $st$-Å\99ez musà být množina
+vrcholů dosažitelných z~$s$ po~odebrání řezu z~grafu tokovým řezem, opět stejné velikosti.
+[Velikost měříme součtem kapacit hran.] Dává tedy rozumný smysl říkat obojímu stejně.
+Podobně se chovají i neorientované grafy, pokud do~\uv{tokového} řezu počítáme
+hrany v~obou směrech.
+
+Analogií toků je pak existence nějakého počtu disjunktních cest (vrcholově nebo hranově)
+mezi vrcholy~$s$ a~$t$. Analogií F-F~věty pak budou známé Mengerovy věty:
+
+\s{Věta (Mengerova, lokální hranová orientovaná):}
+Buď $G$ orientovaný graf a $s,t$ nějaké jeho vrcholy. Pak je velikost minimálního
+$st$-řezu rovna maximálnímu počtu hranově disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
cest z~$s$ do~$t$}
-\proof Z~grafu sestrojíme sí» tak, ¾e $s$~bude zdroj, $t$~spotøebiè a v¹em
-hranám nastavíme kapacitu na~jednotku. Øezy v~této síti odpovídají øezùm v~pùvodním
-grafu. Podobnì ka¾dý systém hranovì disjunktních $st$-cest odpovídá toku stejné
-velikosti a naopak ke~ka¾dému celoèíselnému toku dovedeme najít systém disjunktních
-cest (hladovì tok rozkládáme na~cesty a prùbì¾nì odstraòujeme cirkulace, které
-objevíme). Pak pou¾ijeme F-F vìtu.
+\proof Z~grafu sestrojíme síť tak, že $s$~bude zdroj, $t$~spotřebič a všem
+hranám nastavíme kapacitu na~jednotku. Řezy v~této síti odpovídají řezům v~původním
+grafu. Podobně každý systém hranově disjunktních $st$-cest odpovídá toku stejné
+velikosti a naopak ke~každému celočíselnému toku dovedeme najít systém disjunktních
+cest (hladově tok rozkládáme na~cesty a průběžně odstraňujeme cirkulace, které
+objevíme). Pak použijeme F-F větu.
\qed
-\s{Vìta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
-Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy takové, ¾e $st\not\in E$.
-Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
-disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
+\s{Věta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
+BuÄ\8f $G$ orientovaný graf a $s,t$ nÄ\9bjaké jeho vrcholy takové, že $st\not\in E$.
+Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu počtu vrcholově
+disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní až na~krajní vrcholy.}
-\proof Podobnì jako v~dùkazu pøedchozí vìty zkonstruujeme vhodnou sí».
-Tentokrát ov¹em rozdìlíme ka¾dý vrchol na~vrcholy $v^+$ a $v^-$, v¹echny hrany, které
-pùvodnì vedly do~$v$, pøepojíme do~$v^+$, hrany vedoucí z~$v$ povedou z~$v^-$
-a pøidáme novou hranu z~$v^+$ do~$v^-$. V¹echny hrany budou mít jednotkové kapacity.
-Toky nyní odpovídají vrcholovì disjunktním cestám, øezy v~síti separátorùm.
+\proof Podobně jako v~důkazu předchozí věty zkonstruujeme vhodnou síť.
+Tentokrát ovšem rozdělíme každý vrchol na~vrcholy $v^+$ a $v^-$, všechny hrany, které
+původně vedly do~$v$, přepojíme do~$v^+$, hrany vedoucí z~$v$ povedou z~$v^-$
+a přidáme novou hranu z~$v^+$ do~$v^-$. Všechny hrany budou mít jednotkové kapacity.
+Toky nyní odpovídají vrcholově disjunktním cestám, řezy v~síti separátorům.
\qed
-\figure{vertex-split.eps}{Rozdìlení vrcholu}{\epsfxsize}
+\figure{vertex-split.eps}{Rozdělení vrcholu}{\epsfxsize}
-Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty (neorientovanou hranu nahradíme
-orientovanými v~obou smìrech) a z~nich pak i globální varianty popisující
-$k$-souvislost grafù:
+Podobně dostaneme neorientované lokální věty (neorientovanou hranu nahradíme
+orientovanými v~obou směrech) a z~nich pak i globální varianty popisující
+$k$-souvislost grafů:
-\s{Vìta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
-Neorientovaný graf~$G$ je hranovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými
-dvìma vrcholy existuje alespoò~$k$ hranovì disjunktních cest.
+\s{Věta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
+Neorientovaný graf~$G$ je hranově $k$-souvislý právě tehdy, když mezi každými
+dvěma vrcholy existuje alespoň~$k$ hranově disjunktních cest.
-\s{Vìta (Mengerova, globální vrcholová neorientovaná):}
-Neorientovaný graf~$G$ je vrcholovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými dvìma
-vrcholy existuje alespoò~$k$ vrcholovì disjunktních cest.
+\s{Věta (Mengerova, globální vrcholová neorientovaná):}
+Neorientovaný graf~$G$ je vrcholově $k$-souvislý právě tehdy, když mezi každými dvěma
+vrcholy existuje alespoň~$k$ vrcholově disjunktních cest.
-\h{Maximální párování v bipartitním grafu}
+\h{Maximální párování v bipartitním grafu}
-Jiným problémem, který lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
-{\I maximálního párování} v~bipartitním grafu, tedy mno¾iny hran takové, ¾e ¾ádné
-dvì hrany nemají spoleèný vrchol. Maximálním míníme vzhledem k~poètu hran,
+Jiným problémem, který lze snadno převést na~hledání maximálního toku, je nalezení
+{\I maximálního párování} v~bipartitním grafu, tedy množiny hran takové, že žádné
+dvě hrany nemají společný vrchol. Maximálním míníme vzhledem k~počtu hran,
nikoliv vzhledem k~inkluzi.
-Z~bipartitního grafu $(A\cup B, E)$ sestrojíme sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
-a navíc dva nové vrcholy $s$ a~$t$, dále pak v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
-nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
-Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky:
+Z~bipartitního grafu $(A\cup B, E)$ sestrojíme síť obsahující všechny původní vrcholy
+a navíc dva nové vrcholy $s$ a~$t$, dále pak všechny původní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
+nové hrany z~$s$ do~všech vrcholů partity~$A$ a ze~všech vrcholů partity~$B$ do~$t$.
+Kapacity všech hran nastavíme na jedničky:
\fig{bipartitni.eps}{0.4\hsize}
-Nyní si v¹imneme, ¾e párování v~pùvodním grafu odpovídají celoèíselným tokùm v~této síti
-a ¾e velikost toku je rovna velikosti párování. Staèí tedy nalézt maximální celoèíselný
-tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístit ty hrany, po~kterých nìco teèe.
+Nyní si všimneme, že párování v~původním grafu odpovídají celočíselným tokům v~této síti
+a že velikost toku je rovna velikosti párování. Stačí tedy nalézt maximální celočíselný
+tok (třeba F-F algoritmem) a do~párování umístit ty hrany, po~kterých něco teče.
-Podobnì mù¾eme najít souvislost mezi øezy v~této síti a {\I vrcholovými pokrytími}
-zadaného grafu -- to jsou mno¾iny vrcholù takové, ¾e se dotýkají ka¾dé hrany.
-Tak z~F-F vìty získáme jinou standardní vìtu:
+Podobně můžeme najít souvislost mezi řezy v~této síti a {\I vrcholovými pokrytími}
+zadaného grafu -- to jsou množiny vrcholů takové, že se dotýkají každé hrany.
+Tak z~F-F věty získáme jinou standardní větu:
-\s{Vìta (Königova):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
-rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
+\s{Věta (Königova):} V~každém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
+rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
\proof
-Pokud je $W$ vrcholové pokrytí, musí hrany vedoucí mezi vrcholy této mno¾iny a zdrojem
-a spotøebièem tvoøit stejnì velký øez, proto¾e ka¾dá $st$-cesta obsahuje alespoò
-jednu hranu bipartitního grafu a ta je pokryta. Analogicky vezmeme-li libovolný
-$st$-øez (ne~nutnì tokový, staèí hranový), mù¾eme ho bez zvìt¹ení upravit na~$st$-øez
-pou¾ívající pouze hrany ze~$s$ a do~$t$, kterému pøímoèaøe odpovídá vrcholové pokrytí
-stejné velikosti.
+Pokud je $W$ vrcholové pokrytÃ, musà hrany vedoucà mezi vrcholy této množiny a zdrojem
+a spotřebičem tvořit stejně velký řez, protože každá $st$-cesta obsahuje alespoň
+jednu hranu bipartitního grafu a ta je pokryta. Analogicky vezmeme-li libovolný
+$st$-řez (ne~nutně tokový, stačí hranový), můžeme ho bez zvětšení upravit na~$st$-řez
+používající pouze hrany ze~$s$ a do~$t$, kterému přímočaře odpovídá vrcholové pokrytí
+stejné velikosti.
\qed
-Nìkteré algoritmy na~hledání maximálního párování vyu¾ívají také volné støídavé cesty:
+Některé algoritmy na~hledání maximálního párování využívají také volné střídavé cesty:
-\s{Definice:} {\I (Volná) støídavá cesta} v~grafu $G$ s~párováním~$M$ je cesta, která
-zaèíná i konèí nespárovaným vrcholem a støídají se na~ní hrany le¾ící v~$M$ s~hranami
-mimo párování.
+\s{Definice:} {\I (Volná) střídavá cesta} v~grafu $G$ s~párováním~$M$ je cesta, která
+začíná i končí nespárovaným vrcholem a střídají se na~ní hrany ležící v~$M$ s~hranami
+mimo párování.
-V¹imnìte si, ¾e pro bipartitní grafy odpovídají zlep¹ující cesty v~pøíslu¹né síti
-právì volným støídavým cestám a zlep¹ení toku podél cesty odpovídá pøexorováním
-párování volnou støídavou cestou. Fordùv-Fulkersonùv algoritmus tedy lze velice
-snadno formulovat i v~øeèi støídavých cest.
+Všimněte si, že pro bipartitní grafy odpovídají zlepšující cesty v~příslušné síti
+právě volným střídavým cestám a zlepšení toku podél cesty odpovídá přexorováním
+párování volnou střídavou cestou. Fordův-Fulkersonův algoritmus tedy lze velice
+snadno formulovat i v~řeči střídavých cest.
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{10}{Suffixové stromy}{}
+\prednaska{10}{Suffixové stromy}{}
-V~této kapitole popí¹eme jednu pozoruhodnou datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
-se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a øe¹it je tak v~lineárním èase.
+V~této kapitole popíšeme jednu pozoruhodnou datovou strukturu, pomocí níž dokážeme problémy týkající
+se řetězců převádět na grafové problémy a řešit je tak v~lineárním čase.
-\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
+\h{Řetězce, trie a suffixové stromy}
\ss{Definice:}
\nointerlineskip
\halign{\qquad#\dotfill&~#\hfil\cr
\hbox to 0.35\hsize{}\cr
-$\Sigma$ & koneèná abeceda -- mno¾ina znakù \cr
-\omit & (znaky budeme znaèit latinskými písmeny)\cr
-$\Sigma^*$ & mno¾ina v¹ech slov nad $\Sigma$ \cr
-\omit & (slova budeme znaèit øeckými písmeny)\cr
-$\varepsilon$ & prázdné slovo\cr
-$\vert\alpha\vert$ & délka slova $\alpha$\cr
-$\alpha\beta$ & zøetìzení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
-$\alpha^R$ & slovo $\alpha$ napsané pozpátku\cr
-$\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ zaèíná na~$\alpha$)\cr
-$\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ konèí na~$\alpha$)\cr
-$\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$ & $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (znaèíme $\alpha \subset \beta$)\cr
-$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$ & je prefixem a $\alpha\ne\beta$ \cr
-\omit & (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
+$\Sigma$ & konečná abeceda -- množina znaků \cr
+\omit & (znaky budeme značit latinskými písmeny)\cr
+$\Sigma^*$ & množina všech slov nad $\Sigma$ \cr
+\omit & (slova budeme značit řeckými písmeny)\cr
+$\varepsilon$ & prázdné slovo\cr
+$\vert\alpha\vert$ & délka slova $\alpha$\cr
+$\alpha\beta$ & zřetězení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
+$\alpha^R$ & slovo $\alpha$ napsané pozpátku\cr
+$\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ začíná na~$\alpha$)\cr
+$\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ končí na~$\alpha$)\cr
+$\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$ & $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (značíme $\alpha \subset \beta$)\cr
+$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$ & je prefixem a $\alpha\ne\beta$ \cr
+\omit & (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
}
-\s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem ka¾dého slova vèetnì sebe sama.
-Podslova jsou právì prefixy suffixù a také suffixy prefixù.
+\s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem každého slova včetně sebe sama.
+Podslova jsou právě prefixy suffixů a také suffixy prefixů.
-\s{Definice:} {\I Trie ($\Sigma$-strom)} pro koneènou mno¾inu slov $X\subset\Sigma^*$ je orientovaný graf $G=(V,E)$, kde:
+\s{Definice:} {\I Trie ($\Sigma$-strom)} pro konečnou množinu slov $X\subset\Sigma^*$ je orientovaný graf $G=(V,E)$, kde:
\itemize\relax
-\:$V = \{\alpha: \alpha\hbox{ je prefixem nìjakého $\beta\in X$} \},$
+\:$V = \{\alpha: \alpha\hbox{ je prefixem nějakého $\beta\in X$} \},$
\:$(\alpha,\beta)\in E \equiv \exists x\in\Sigma: \beta=\alpha x$.
\endlist
-\s{Pozorování:} Trie je strom s koøenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixy jiných slov z~$X$.
-Hrany si mù¾eme pøedstavit popsané písmeny, o~nì¾ prefix roz¹iøují, popisky hran na~cestì z~koøene do~vrcholu~$\alpha$ dávají právì slovo~$\alpha$.
+\s{Pozorování:} Trie je strom s kořenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixy jiných slov z~$X$.
+Hrany si můžeme představit popsané písmeny, o~něž prefix rozšiřují, popisky hran na~cestě z~kořene do~vrcholu~$\alpha$ dávají právě slovo~$\alpha$.
-\s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevìtvících se cest hranami. Hrany
-jsou tentokrát popsané øetìzci místo jednotlivými písmeny, pøièem¾ popisky v¹ech hran vycházejících z~jednoho vrcholu se li¹í v~prvním
-znaku. Vrcholùm \uv{uvnitø hran} (které padly za obì» kompresi) budeme øíkat {\I skryté vrcholy.}
+\s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevětvících se cest hranami. Hrany
+jsou tentokrát popsané řetězci místo jednotlivými písmeny, přičemž popisky všech hran vycházejících z~jednoho vrcholu se liší v~prvním
+znaku. Vrcholům \uv{uvnitř hran} (které padly za oběť kompresi) budeme říkat {\I skryté vrcholy.}
-\s{Definice:} {\I Suffixový strom (ST)} pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ je komprimovaná trie pro $X=\{\alpha: \hbox{$\alpha$ je suffixem $\sigma$}\}$.
+\s{Definice:} {\I Suffixový strom (ST)} pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ je komprimovaná trie pro $X=\{\alpha: \hbox{$\alpha$ je suffixem $\sigma$}\}$.
-\s{Pozorování:} Vrcholy suffixového stromu (vèetnì skrytých) odpovídají prefixùm suffixù slova~$\sigma$,
-tedy v¹em jeho podslovùm. Listy stromu jsou suffixy, které se v~$\sigma$ ji¾ nikde jinde nevyskytují
-(takovým suffixùm budeme øíkat {\I nevnoøené}). Vnitøní vrcholy odpovídají {\I vìtvícím podslovùm,}
-tedy podslovùm $\alpha\subset\sigma$ takovým, ¾e $\alpha a\subset\sigma$ i $\alpha b\subset\sigma$
-pro nìjaké dva rùzné znaky~$a$,~$b$.
+\s{Pozorování:} Vrcholy suffixového stromu (včetně skrytých) odpovídají prefixům suffixů slova~$\sigma$,
+tedy všem jeho podslovům. Listy stromu jsou suffixy, které se v~$\sigma$ již nikde jinde nevyskytují
+(takovým suffixům budeme říkat {\I nevnořené}). Vnitřní vrcholy odpovídají {\I větvícím podslovům,}
+tedy podslovům $\alpha\subset\sigma$ takovým, že $\alpha a\subset\sigma$ i $\alpha b\subset\sigma$
+pro nějaké dva různé znaky~$a$,~$b$.
-Nìkdy mù¾e být nepraktické, ¾e nìkteré suffixy neodpovídají listùm (proto¾e jsou vnoøené), ale
-s~tím se mù¾eme snadno vypoøádat: pøidáme na~konec slova~$\sigma$ nìjaký znak~$\$$, který se nikde
-jinde nevyskytuje. Neprázdné suffixy slova $\sigma\$$ odpovídají suffixùm slova~$\sigma$
-a ¾ádný z~nich nemù¾e být vnoøený. Takový suffixový strom budeme znaèit ST\$.
+Někdy může být nepraktické, že některé suffixy neodpovídají listům (protože jsou vnořené), ale
+s~tím se můžeme snadno vypořádat: přidáme na~konec slova~$\sigma$ nějaký znak~$\$$, který se nikde
+jinde nevyskytuje. Neprázdné suffixy slova $\sigma\$$ odpovídají suffixům slova~$\sigma$
+a žádný z~nich nemůže být vnořený. Takový suffixový strom budeme značit ST\$.
-\s{Pøíklad:}
+\s{Příklad:}
-\figure{baraba.eps}{Suffixy slova \uv{baraba}: trie, suffixový strom, ST s~dolarem}{\epsfxsize}
+\figure{baraba.eps}{Suffixy slova \uv{baraba}: trie, suffixový strom, ST s~dolarem}{\epsfxsize}
-\>Nyní jak je to s~konstrukcí suffixových stromù:
+\>Nyní jak je to s~konstrukcí suffixových stromů:
-\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.
+\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.
-\proof Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
-vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách staèí popsat
-poèáteèní a koncovou pozicí v~$\sigma$.
+\proof Strom má $\O(n)$ listů a každý vnitřní vrchol má alespoň $2$ syny, takže vnitřních
+vrcholů je také $\O(n)$. Hran je rovněž lineárně. Nálepky na~hranách stačí popsat
+počáteční a koncovou pozicí v~$\sigma$.
\qed
-\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~èase $\O(n)$.
+\s{Věta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~čase $\O(n)$.
-\proof Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
+\proof Ve~zbytku této kapitoly předvedeme dvě různé konstrukce v~lineárním čase.
\qed
-\s{Aplikace} -- co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST:
+\s{Aplikace} -- co vše dokážeme v~lineárním čase, když umíme lineárně konstruovat ST:
\nobreak
\numlist\ndotted
-\:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. pøedzpracujeme si v~lineárním èase text a pak umíme pro libovolné
-slovo~$\alpha$ v~èase $\O(\vert\alpha\vert)$ rozhodnout, zda se v~textu vyskytuje)\foot{Èili pøesný
-opak toho, co~umí vyhledávací automat -- ten si pøedzpracovává dotaz.} -- staèí sestrojit~ST
-a pak jej procházet od~koøene. Také umíme najít v¹echny výskyty (odpovídají suffixùm, které mají
-jako prefix hledané slovo, tak¾e staèí vytvoøit ST\$ a vypsat v¹echny listy pod
-nalezeným vrcholem) nebo pøímo vrátit jejich poèet (pøedpoèítáme si pomocí DFS pro ka¾dý vrchol,
-kolik pod ním le¾í listù).
-
-\:{\I Nejdel¹í opakující se podslovo} -- takové podslovo je v~ST\$ nutnì vìtvící, tak¾e staèí
-najít vnitøní vrchol s~nejvìt¹í {\I písmenkovou hloubkou} (tj. hloubkou mìøenou ve~znacích
-místo ve~hranách).
-
-\:{\I Histogram èetností podslov délky~$k$} -- rozøízneme ST\$ v~písmenkové hloubce~$k$ a spoèítáme,
-kolik pùvodních listù je pod ka¾dým novým.
-
-\:{\I Nejdel¹í spoleèné podslovo} slov~$\alpha$ a $\beta$ -- postavíme ST pro slovo $\alpha\$_1\beta\$_2$,
-jeho listy odpovídají suffixùm slov $\alpha$ a $\beta$. Tak¾e staèí pomocí DFS najít nejhlub¹í vnitøní
-vrchol, pod kterým se vyskytují listy pro~$\alpha$ i $\beta$. Podobnì mù¾eme sestrojit ST\$ pro libovolnou
-mno¾inu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvìt¹ili abecedu; jak moc si ji
-mù¾eme dovolit zvìt¹it, vyplyne z~konkrétních konstrukcí.}
-
-\:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta^R=\beta$)
--- postavíme spoleèný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha^R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
-palindromického podslova a v¹imneme si, ¾e takové slovo je pro ka¾dý støed nejdel¹ím spoleèným
-prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu pozpátku k~zaèátku,
-èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha^R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
-listùm sestrojeného ST a jejich nejdel¹í spoleèný prefix je nejbli¾¹ím spoleèným pøedchùdcem
-ve~stromu, tak¾e staèí pro strom vybudovat datovou strukturu pro spoleèné pøedchùdce
-a s~její pomocí doká¾eme jeden støed prozkoumat v~konstantním èase.
-
-\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} \cite{burrows:bwt} -- jejím základem je lexikografické setøídìní v¹ech
-rotací slova~$\sigma$, co¾ zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
-uøíznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a vypsáním novì vzniklých listù v~poøadí
+\:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. předzpracujeme si v~lineárním čase text a pak umíme pro libovolné
+slovo~$\alpha$ v~čase $\O(\vert\alpha\vert)$ rozhodnout, zda se v~textu vyskytuje)\foot{Čili přesný
+opak toho, co~umí vyhledávací automat -- ten si předzpracovává dotaz.} -- stačí sestrojit~ST
+a pak jej procházet od~kořene. Také umíme najít všechny výskyty (odpovídají suffixům, které mají
+jako prefix hledané slovo, takže stačí vytvořit ST\$ a vypsat všechny listy pod
+nalezeným vrcholem) nebo přímo vrátit jejich počet (předpočítáme si pomocí DFS pro každý vrchol,
+kolik pod ním leží listů).
+
+\:{\I Nejdelší opakující se podslovo} -- takové podslovo je v~ST\$ nutně větvící, takže stačí
+najít vnitřní vrchol s~největší {\I písmenkovou hloubkou} (tj. hloubkou měřenou ve~znacích
+místo ve~hranách).
+
+\:{\I Histogram četností podslov délky~$k$} -- rozřízneme ST\$ v~písmenkové hloubce~$k$ a spočítáme,
+kolik původních listů je pod každým novým.
+
+\:{\I Nejdelší společné podslovo} slov~$\alpha$ a $\beta$ -- postavíme ST pro slovo $\alpha\$_1\beta\$_2$,
+jeho listy odpovídají suffixům slov $\alpha$ a $\beta$. Takže stačí pomocí DFS najít nejhlubší vnitřní
+vrchol, pod kterým se vyskytujà listy pro~$\alpha$ i $\beta$. PodobnÄ\9b můžeme sestrojit ST\$ pro libovolnou
+množinu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvětšili abecedu; jak moc si ji
+můžeme dovolit zvětšit, vyplyne z~konkrétních konstrukcí.}
+
+\:{\I NejdelÅ¡Ã palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nÄ\9bž je $\beta^R=\beta$)
+-- postavíme společný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha^R$. Postupně procházíme přes všechny možné středy
+palindromického podslova a všimneme si, že takové slovo je pro každý střed nejdelším společným
+prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu pozpátku k~začátku,
+čili nějakého suffixu $\alpha$ a nějakého suffixu $\alpha^R$. Tyto suffixy ovšem odpovídají
+listům sestrojeného ST a jejich nejdelší společný prefix je nejbližším společným předchůdcem
+ve~stromu, takže stačí pro strom vybudovat datovou strukturu pro společné předchůdce
+a s~její pomocí dokážeme jeden střed prozkoumat v~konstantním čase.
+
+\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} \cite{burrows:bwt} -- jejím základem je lexikografické setřídění všech
+rotací slova~$\sigma$, což zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
+uříznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a vypsáním nově vzniklých listů v~pořadí
\uv{zleva doprava}.
\endlist
-\s{Cvièení:} Zkuste vymyslet co nejlep¹í algoritmy pro tyto problémy bez pou¾ití~ST.
+\s{Cvičení:} Zkuste vymyslet co nejlepší algoritmy pro tyto problémy bez použití~ST.
-\h{Suffixová pole}
+\h{Suffixová pole}
-\>V~nìkterých pøípadech se hodí místo suffixového stromu pou¾ívat kompaktnìj¹í datové struktury.
+\>V~některých případech se hodí místo suffixového stromu používat kompaktnější datové struktury.
-\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i]$ znaèit jeho $i$-tý znak (èíslujeme od~nuly),
-$\sigma[i:j]$ pak podslovo $\sigma[i]\sigma[i+1]\ldots\sigma[j-1]$. Libovolnou z~mezí mù¾eme vynechat, proto
-$\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~zaèátku do~$j-1$.
-Pokud $j\le i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, tak¾e prázdný suffix mù¾eme
-napøíklad zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert:{}].$
+\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i]$ značit jeho $i$-tý znak (číslujeme od~nuly),
+$\sigma[i:j]$ pak podslovo $\sigma[i]\sigma[i+1]\ldots\sigma[j-1]$. Libovolnou z~mezà můžeme vynechat, proto
+$\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~začátku do~$j-1$.
+Pokud $j\le i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, takže prázdný suffix můžeme
+například zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert:{}].$
-${\rm LCP}(\alpha,\beta)$ bude znaèit délku nejdel¹ího spoleèného prefixu slov $\alpha$ a $\beta$,
-èili nejvìt¹í $i\le \vert\alpha\vert,\vert\beta\vert$ takové, ¾e $\alpha[{}:i]=\beta[{}:i]$.
+${\rm LCP}(\alpha,\beta)$ bude značit délku nejdelšího společného prefixu slov $\alpha$ a $\beta$,
+Ä\8dili nejvÄ\9btÅ¡Ã $i\le \vert\alpha\vert,\vert\beta\vert$ takové, že $\alpha[{}:i]=\beta[{}:i]$.
-\s{Definice:} {\I Suffixové pole (Suffix Array)} $A_\sigma$ pro slovo $\sigma$ délky~$n$ je posloupnost v¹ech suffixù
-slova~$\sigma$ v~lexikografickém poøadí. Mù¾eme ho reprezentovat napøíklad jako permutaci $A$ èísel
-$0,\ldots,n$, pro ní¾ $\sigma[A[0]:{}] < \sigma[A[1]:{}] < \ldots < \sigma[A[n]:{}]$.
+\s{Definice:} {\I Suffixové pole (Suffix Array)} $A_\sigma$ pro slovo $\sigma$ délky~$n$ je posloupnost všech suffixů
+slova~$\sigma$ v~lexikografickém pořadí. Můžeme ho reprezentovat například jako permutaci $A$ čísel
+$0,\ldots,n$, pro nÞ $\sigma[A[0]:{}] < \sigma[A[1]:{}] < \ldots < \sigma[A[n]:{}]$.
-\s{Definice:} {\I Pole nejdel¹ích spoleèných prefixù (Longest Common Prefix Array)} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
-v~ní¾ $L_\sigma[i]:={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.
+\s{Definice:} {\I Pole nejdelších společných prefixů (Longest Common Prefix Array)} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
+v~nÞ $L_\sigma[i]:={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.
-\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma\$$ a dvojici $(A_\sigma,L_\sigma)$ na sebe lze
-v~lineárním èase pøevádìt.
+\s{Věta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma\$$ a dvojici $(A_\sigma,L_\sigma)$ na sebe lze
+v~lineárním čase převádět.
-\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma\$$) do hloubky, poøadí listù odpovídá posloupnosti $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
-vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma\$$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
-pro~$L_\sigma$ (získáme vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy, pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
-a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
+\proof Když projdeme ST($\sigma\$$) do hloubky, pořadí listů odpovídá posloupnosti $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitřních
+vrcholů v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma\$$) získáme tak, že sestrojíme kartézský strom
+pro~$L_\sigma$ (získáme vnitřní vrcholy ST), doplníme do~něj listy, přiřadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
+a nakonec podle listů rekonstruujeme nálepky hran.
\qed
-\h{Rekurzivní konstrukce}
+\h{Rekurzivní konstrukce}
-\>Uká¾eme algoritmus, který pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ délky~$n$ sestrojí jeho suffixové pole
-a LCP pole v~èase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$, kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je èas potøebný pro setøídìní
-$n$~symbolù z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~pøedchozími výsledky tedy dostaneme lineární konstrukci
-ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.
+\>Ukážeme algoritmus, který pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ délky~$n$ sestrojí jeho suffixové pole
+a LCP pole v~čase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$, kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je čas potřebný pro setřídění
+$n$~symbolů z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~předchozími výsledky tedy dostaneme lineární konstrukci
+ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.
-\s{Algoritmus:} (Konstrukce $A$ a $L$ podle Kärkkäinena a Sanderse \cite{karkkainen03simple})
+\s{Algoritmus:} (Konstrukce $A$ a $L$ podle Kärkkäinena a Sanderse \cite{karkkainen03simple})
\algo
-\:Redukujeme abecedu na~$1\ldots n$: ve~vstupním slovu je nejvý¹e $n$ rùzných znakù,
-tak¾e je staèí setøídit a pøeèíslovat.
+\:Redukujeme abecedu na~$1\ldots n$: ve~vstupním slovu je nejvýše $n$ různých znaků,
+takže je stačí setřídit a přečíslovat.
-\:Definujeme slova $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ následovnì:
+\:Definujeme slova $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ následovně:
$$\eqalign{
\sigma_0[i] &:= \left<\sigma[3i],\sigma[3i+1],\sigma[3i+2]\right>\cr
\sigma_1[i] &:= \left<\sigma[3i+1],\sigma[3i+2],\sigma[3i+3]\right>\cr
\sigma_2[i] &:= \left<\sigma[3i+2],\sigma[3i+3],\sigma[3i+4]\right>\cr
}$$
-V¹echna $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
-si mírnì zneu¾ívat notaci a pou¾ívat symbol $\sigma_k$ i jejich pøepis do~abecedy pùvodní.
+Všechna $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
+si mírně zneužívat notaci a používat symbol $\sigma_k$ i jejich přepis do~abecedy původní.
-\:Zavoláme algoritmus rekurzivnì na slovo $\sigma_0\sigma_1$, èím¾ získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.
-(Suffixy slova $\sigma_0\sigma_1$ odpovídají suffixùm slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$.)
+\:Zavoláme algoritmus rekurzivně na slovo $\sigma_0\sigma_1$, čímž získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.
+(Suffixy slova $\sigma_0\sigma_1$ odpovídají suffixům slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$.)
-\:Spoèítáme pole $P_0$ a $P_1$, která nám budou øíkat, kde se v~$A_{01}$ vyskytuje
-který suffix slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$. Tedy $A_{01}[P_0[i]]=i$, $A_{01}[P_1[i]] = i+\vert\sigma_0\vert$.
-Jinými slovy, $P_0$ a~$P_1$ budou èásti inverzní permutace k~$A_{01}$. V¹imnìte si,
-¾e platí $P_i[x] < P_j[y]$ právì tehdy, kdy¾ $\sigma_i[x:{}] < \sigma_j[y:{}]$, tak¾e
-suffixy slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$ od této chvíle umíme porovnávat v~èase~$\O(1)$.
+\:Spočítáme pole $P_0$ a $P_1$, která nám budou říkat, kde se v~$A_{01}$ vyskytuje
+který suffix slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$. Tedy $A_{01}[P_0[i]]=i$, $A_{01}[P_1[i]] = i+\vert\sigma_0\vert$.
+Jinými slovy, $P_0$ a~$P_1$ budou části inverzní permutace k~$A_{01}$. Všimněte si,
+že platà $P_i[x] < P_j[y]$ právÄ\9b tehdy, když $\sigma_i[x:{}] < \sigma_j[y:{}]$, takže
+suffixy slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$ od této chvíle umíme porovnávat v~čase~$\O(1)$.
-\:Vytvoøíme~$A_2$ (suffixové pole pro~$\sigma_2$): Jeliko¾ $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:\nobreak{}\nobreak] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$,
-odpovídá lexikografické poøadí suffixù $\sigma_2[i:{}]$ poøadí dvojic $(\sigma[3i+2],P_0[i+1])$.
-Tyto dvojice ov¹em mù¾eme setøídit dvìma prùchody pøihrádkového tøídìní.
+\:VytvoÅ\99Ãme~$A_2$ (suffixové pole pro~$\sigma_2$): Jelikož $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:\nobreak{}\nobreak] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$,
+odpovídá lexikografické pořadí suffixů $\sigma_2[i:{}]$ pořadí dvojic $(\sigma[3i+2],P_0[i+1])$.
+Tyto dvojice ovšem můžeme setřídit dvěma průchody přihrádkového třídění.
-\:Slijeme $A_{01}$ a~$A_2$ do~$A$: sléváme dvì setøídìné posloupnosti,
-tak¾e staèí umìt jejich prvky v~konstantním èase porovnat:
+\:Slijeme $A_{01}$ a~$A_2$ do~$A$: sléváme dvě setříděné posloupnosti,
+takže stačí umět jejich prvky v~konstantním čase porovnat:
$$\eqalign{
\sigma_0[i:{}] < \sigma_2[j:{}] \Leftrightarrow{} &\sigma[3i:{}] < \sigma[3j+2:{}] \cr
\Leftrightarrow{} &\sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}],\cr
\Leftrightarrow{} &\sigma[3i+1]\,\sigma[3i+2]\,\sigma_0[i+1:{}] < \cr
&\sigma[3j+2]\,\sigma[3j+3]\,\sigma_1[j+1:{}].\cr
}$$
-Poka¾dé tedy porovnáme nejvý¹e dvì dvojice znakù a pak dvojici suffixù slov $\sigma_0$ a $\sigma_1$,
-k~èemu¾ nám pomohou pole $P_0$ a~$P_1$.
+Pokaždé tedy porovnáme nejvýše dvě dvojice znaků a pak dvojici suffixů slov $\sigma_0$ a $\sigma_1$,
+k~čemuž nám pomohou pole $P_0$ a~$P_1$.
-\:Dopoèítáme $L$:
- \::Pokud v~$A$ sousedí suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_{0,1}$,
- sousedí tyto dva suffixy i v~$A_{01}$, tak¾e jejich LCP najdeme pøímo v~$L$.
- \::Setkají-li se dva suffixy slova~$\sigma_2$, v¹imneme si, ¾e
+\:Dopočítáme $L$:
+ \::Pokud v~$A$ sousedí suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_{0,1}$,
+ sousedí tyto dva suffixy i v~$A_{01}$, takže jejich LCP najdeme přímo v~$L$.
+ \::SetkajÃ-li se dva suffixy slova~$\sigma_2$, vÅ¡imneme si, že
$\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:\nobreak{}] = \sigma[3i+2]\,\sigma_0[i+1:{}]$.
- ${\rm LCP}(\sigma_2[i:{}],\sigma_2[j:{}])$ je tedy buïto~0 (pokud $\sigma[3i+2]\ne\sigma[3j+2]$),
- nebo $1+3\cdot{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}])$, pøípadnì toté¾ zvý¹ené
- o~1 nebo~2, pokud se trojznaky v~$\sigma_0$ následující po LCP zèásti shodují.
- Pøitom ${\rm LCP}(\sigma_0[p:{}],\sigma_0[q:{}])$ spoèítáme pomocí~$L$.
- Je to toti¾ minimum intervalu v~$L$ mezi indexy $P_0[p]$ a~$P_0[q]$. To zjistíme
- v~konstantním èase pomocí struktury pro intervalová minima.
- \::Pokud se setká suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_2$, staèí
- tyto suffixy pøepsat podobnì jako v~6.~kroku a problém tím opìt pøevést
- na výpoèet LCP dvou suffixù slov~$\sigma_{0,1}$.
+ ${\rm LCP}(\sigma_2[i:{}],\sigma_2[j:{}])$ je tedy buďto~0 (pokud $\sigma[3i+2]\ne\sigma[3j+2]$),
+ nebo $1+3\cdot{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}])$, případně totéž zvýšené
+ o~1 nebo~2, pokud se trojznaky v~$\sigma_0$ následující po LCP zčásti shodují.
+ Přitom ${\rm LCP}(\sigma_0[p:{}],\sigma_0[q:{}])$ spočítáme pomocí~$L$.
+ Je to totiž minimum intervalu v~$L$ mezi indexy $P_0[p]$ a~$P_0[q]$. To zjistíme
+ v~konstantním čase pomocí struktury pro intervalová minima.
+ \::Pokud se setká suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_2$, stačí
+ tyto suffixy přepsat podobně jako v~6.~kroku a problém tím opět převést
+ na výpočet LCP dvou suffixů slov~$\sigma_{0,1}$.
\endalgo
-\s{Analýza èasové slo¾itosti:} Tøídìní napoprvé trvá ${\rm Sort}(n,\Sigma)$, ve~v¹ech
-rekurzivních voláních u¾ je lineární (trojice èísel velikosti $\O(n)$ mù¾eme tøídit tøíprùchodovým
-pøihrádkovým tøídìním s~$\O(n)$ pøihrádkami). Z~toho dostáváme:
+\s{Analýza časové složitosti:} Třídění napoprvé trvá ${\rm Sort}(n,\Sigma)$, ve~všech
+rekurzivních voláních už je lineární (trojice čísel velikosti $\O(n)$ můžeme třídit tříprůchodovým
+přihrádkovým tříděním s~$\O(n)$ přihrádkami). Z~toho dostáváme:
$$T(n) = T(2/3\cdot n) + \O(n),~\hbox{a tedy}~T(n)=\O(n).$$
\qed
-\h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}
+\h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}
-\>Ukkonen popsal algoritmus \cite{ukkonen95line} pro konstrukci suffixového stromu bez dolarù,
-pracující inkrementálnì: Zaène se stromem pro prázdné slovo a postupnì na konec slova pøidává
-dal¹í znaky a pøepoèítává strom. Ka¾dý znak pøitom pøidá v~amortizovanì konstantním èase.
-Pro slovo~$\sigma$ tedy doká¾e sestrojit ST v~èase $\O(\vert\sigma\vert)$.
+\>Ukkonen popsal algoritmus \cite{ukkonen95line} pro konstrukci suffixového stromu bez dolarů,
+pracující inkrementálně: Začne se stromem pro prázdné slovo a postupně na konec slova přidává
+další znaky a přepočítává strom. Každý znak přitom přidá v~amortizovaně konstantním čase.
+Pro slovo~$\sigma$ tedy dokáže sestrojit ST v~čase $\O(\vert\sigma\vert)$.
-Budeme pøedpokládat, ¾e hrany vedoucí z~jednoho vrcholu je mo¾né indexovat jejich
-prvními písmeny -- to bezpeènì platí, pokud je abeceda pevná; není-li, mù¾eme
-si pomoci he¹ováním.
+Budeme předpokládat, že hrany vedoucí z~jednoho vrcholu je možné indexovat jejich
+prvnÃmi pÃsmeny -- to bezpeÄ\8dnÄ\9b platÃ, pokud je abeceda pevná; nenÃ-li, můžeme
+si pomoci hešováním.
-\s{Pozorování:} Kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme na~$\sigma a$, ST se zmìní následovnì:
+\s{Pozorování:} Když slovo~$\sigma$ rozšíříme na~$\sigma a$, ST se změní následovně:
\numlist\ndotted
-\:V¹echny stávající vrcholy stromu (vèetnì skrytých) odpovídají podslovùm slova~$\sigma$.
- Ta jsou i podslovy $\sigma a$, tak¾e se budou nacházet i v~novém stromu.
-\:Pokud $\beta$ bylo vìtvící slovo, zùstane nadále vìtvící -- tedy vnitøní vrcholy ve~stromu zùstanou.
-\:Ka¾dý nový suffix~$\beta a$ vznikne prodlou¾ením nìjakého pùvodního suffixu~$\beta$. Pøitom:
+\:Všechny stávající vrcholy stromu (včetně skrytých) odpovídají podslovům slova~$\sigma$.
+ Ta jsou i podslovy $\sigma a$, takže se budou nacházet i v~novém stromu.
+\:Pokud $\beta$ bylo větvící slovo, zůstane nadále větvící -- tedy vnitřní vrcholy ve~stromu zůstanou.
+\:Každý nový suffix~$\beta a$ vznikne prodloužením nějakého původního suffixu~$\beta$. Přitom:
\itemize\ibull
- \:Pokud byl~$\beta$ nevnoøený suffix (èili byl reprezentovaný listem), ani $\beta a$
- nebude vnoøený. Z~toho víme, ¾e listy zùstanou listy, pouze jim potøebujeme prodlou¾it
- nálepky. Aby to netrvalo pøíli¹ dlouho, zavedeme {\I otevøené hrany,} jejich¾ nálepka
- øíká \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak o~sebe postarají samy.
- \:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol):
+ \:Pokud byl~$\beta$ nevnořený suffix (čili byl reprezentovaný listem), ani $\beta a$
+ nebude vnoÅ\99ený. Z~toho vÃme, že listy zůstanou listy, pouze jim potÅ\99ebujeme prodloužit
+ nálepky. Aby to netrvalo příliš dlouho, zavedeme {\I otevřené hrany,} jejichž nálepka
+ říká \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak o~sebe postarají samy.
+ \:Pokud $\beta$ byl vnořený suffix (tj. vnitřní či skrytý vrchol):
\itemize\ibull
- \:Buï se $\beta a$ vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova
- a strom není nutné upravovat;
- \:nebo se $\beta a$ v~$\sigma$ nevyskytuje -- tehdy pro nìj musíme zalo¾it nový list
- s~otevøenou hranou a pøípadnì i nový vnitøní vrchol, pod ním¾ bude tento list pøipojen.
+ \:Buď se $\beta a$ vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnořený suffix nového slova
+ a strom není nutné upravovat;
+ \:nebo se $\beta a$ v~$\sigma$ nevyskytuje -- tehdy pro něj musíme založit nový list
+ s~otevřenou hranou a případně i nový vnitřní vrchol, pod nímž bude tento list připojen.
\endlist
\endlist
\endlist
-Víme tedy, co v¹echno je pøi roz¹íøení slova potøeba ve~stromu upravit.
-Zbývá vyøe¹it, jak to udìlat efektivnì.
+Víme tedy, co všechno je při rozšíření slova potřeba ve~stromu upravit.
+Zbývá vyřešit, jak to udělat efektivně.
-\s{Vnoøené suffixy:}
-Pøedev¹ím potøebujeme umìt rozpoznat, které suffixy jsou vnoøené a které nikoliv.
-K~tomu se hodí v¹imnout si, ¾e vnoøené suffixy tvoøí souvislý úsek:
+\s{Vnořené suffixy:}
+Především potřebujeme umět rozpoznat, které suffixy jsou vnořené a které nikoliv.
+K~tomu se hodí všimnout si, že vnořené suffixy tvoří souvislý úsek:
{\narrower
-\s{Lemma:} Je-li $\alpha$ vnoøený suffix slova~$\sigma$ a $\beta$ je suffix slova~$\alpha$,
-pak $\beta$ je v~$\sigma$ také vnoøený.
+\s{Lemma:} Je-li $\alpha$ vnořený suffix slova~$\sigma$ a $\beta$ je suffix slova~$\alpha$,
+pak $\beta$ je v~$\sigma$ také vnořený.
\proof
-Ve~slovì sigma se vyskytuje $\alpha x$ a $\alpha y$ pro nìjaké dva rùzné znaky $x$ a~$y$.
-Ka¾dý z~tìchto výskytù pøitom konèí výskytem slova~$\beta$, jednou následovaným~$x$,
-podruhé~$y$.
+Ve~slově sigma se vyskytuje $\alpha x$ a $\alpha y$ pro nějaké dva různé znaky $x$ a~$y$.
+Každý z~těchto výskytů přitom končí výskytem slova~$\beta$, jednou následovaným~$x$,
+podruhé~$y$.
\qed
}
-\>Staèí si tedy zapamatovat nejdel¹í vnoøený suffix slova~$\sigma$. Tomu budeme øíkat
-{\I aktivní suffix} a budeme ho znaèit $\alpha(\sigma)$. Libovolný suffix~$\beta\subseteq\sigma$
-pak bude vnoøený právì tehdy, kdy¾ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$.
+\>Stačí si tedy zapamatovat nejdelší vnořený suffix slova~$\sigma$. Tomu budeme říkat
+{\I aktivní suffix} a budeme ho značit $\alpha(\sigma)$. Libovolný suffix~$\beta\subseteq\sigma$
+pak bude vnoÅ\99ený právÄ\9b tehdy, když $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$.
-Aktivní suffix tedy tvoøí hranici mezi nevnoøenými a vnoøenými suffixy. Jak se tato
-hranice posune, kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme? Na to je odpovìï snadná:
+Aktivní suffix tedy tvoří hranici mezi nevnořenými a vnořenými suffixy. Jak se tato
+hranice posune, když slovo~$\sigma$ rozšíříme? Na to je odpověď snadná:
{\narrower
-\s{Lemma:} Pro ka¾dé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$
+\s{Lemma:} Pro každé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$
\proof
-$\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
-Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoøeným suffixem v~$\sigma$, tak¾e
-$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
+$\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto stačí porovnat jejich délky.
+Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoÅ\99eným suffixem v~$\sigma$, takže
+$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
\qed
}
-\>Hranice se tedy mù¾e posouvat pouze doprava, pøípadnì zùstat na místì.
-Toho lze snadno vyu¾ít.
+\>Hranice se tedy může posouvat pouze doprava, případně zůstat na místě.
+Toho lze snadno využít.
-\s{Idea algoritmu:} Udr¾ujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontrolujeme,
-zda $\alpha a$ je stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidáme nový list
-a pøípadnì také vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátíme zleva o~znak a testujeme dál.
+\s{Idea algoritmu:} Udržujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a při přidání znaku $a$ zkontrolujeme,
+zda $\alpha a$ je stále vnořený suffix. Pokud ano, nic se nemění, pokud ne, přidáme nový list
+a případně také vnitřní vrchol, $\alpha$ zkrátíme zleva o~znak a testujeme dál.
-\s{Analýza:} Po~pøidání jednoho znaku na konec slova~$\sigma$ provedeme amortizovanì
-konstantní poèet úprav stromu (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí, po v¹ech úpravách
-pøidáme k~$\alpha$ jediný znak). Tudí¾ staèí ukázat, jak provést ka¾dou úpravu
-v~(amortizovanì) konstantním èase. K~tomu potøebujeme ¹ikovnou reprezentaci slova~$\alpha$,
-která bude umìt efektivnì prodlu¾ovat zprava, zkracovat zleva a testovat existenci
+\s{Analýza:} Po~přidání jednoho znaku na konec slova~$\sigma$ provedeme amortizovaně
+konstantní počet úprav stromu (každá úprava slovo $\alpha$ zkrátí, po všech úpravách
+přidáme k~$\alpha$ jediný znak). Tudíž stačí ukázat, jak provést každou úpravu
+v~(amortizovaně) konstantním čase. K~tomu potřebujeme šikovnou reprezentaci slova~$\alpha$,
+která bude umÄ\9bt efektivnÄ\9b prodlužovat zprava, zkracovat zleva a testovat existenci
vrcholu ve~stromu.
-\s{Definice:} {\I Referenèní pár} pro slovo $\alpha\subseteq\sigma$ je dvojice
-$(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol stromu, $\tau$ libovolné slovo a $\pi\tau=\alpha$.
-Navíc víme, ¾e $\tau\subseteq\sigma$, tak¾e si~$\tau$ staèí pamatovat jako dvojici
-indexù ve~slovì~$\sigma$.
+\s{Definice:} {\I Referenční pár} pro slovo $\alpha\subseteq\sigma$ je dvojice
+$(\pi,\tau)$, v~níž $\pi$ je vrchol stromu, $\tau$ libovolné slovo a $\pi\tau=\alpha$.
+Navíc víme, že $\tau\subseteq\sigma$, takže si~$\tau$ stačí pamatovat jako dvojici
+indexů ve~slově~$\sigma$.
-Referenèní pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu~$\pi$ s~nálepkou,
-která by byla prefixem slova~$\tau$. (V¹imnìte si, ¾e taková hrana se pozná podle toho,
-¾e první znak nálepky se shoduje s~prvním znakem slova~$\tau$ a nálepka není del¹í ne¾
-slovo~$\tau$. Shodu ostatních znakù není nutné kontrolovat.)
+Referenční pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu~$\pi$ s~nálepkou,
+která by byla prefixem slova~$\tau$. (Všimněte si, že taková hrana se pozná podle toho,
+že prvnà znak nálepky se shoduje s~prvnÃm znakem slova~$\tau$ a nálepka nenà delÅ¡Ã než
+slovo~$\tau$. Shodu ostatních znaků není nutné kontrolovat.)
-\s{Pozorování:} Ke~ka¾dému slovu $\alpha\subseteq\sigma$ existuje právì jeden kanonický
-referenèní pár, který ho popisuje. To je ze~v¹ech referenèních párù pro toto slovo
-ten s~nejdel¹ím~$\pi$ (nejhlub¹ím vrcholem).
+\s{Pozorování:} Ke~každému slovu $\alpha\subseteq\sigma$ existuje právě jeden kanonický
+referenční pár, který ho popisuje. To je ze~všech referenčních párů pro toto slovo
+ten s~nejdelším~$\pi$ (nejhlubším vrcholem).
-\s{Definice:} Zpìtná hrana $\<back>(\pi)$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
-který je zkrácením slova~$\pi$ o~jeden znak zleva. (Nahlédneme, ¾e takový
-vrchol musí existovat: pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, pak je slovo~$\pi$
-vìtvící, tak¾e ka¾dý jeho suffix musí také být vìtvící, a~tím pádem musí
-odpovídat nìjakého vrcholu.)
+\s{Definice:} Zpětná hrana $\<back>(\pi)$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
+který je zkrácením slova~$\pi$ o~jeden znak zleva. (Nahlédneme, že takový
+vrchol musí existovat: pokud je $\pi$ vnitřní vrchol, pak je slovo~$\pi$
+větvící, takže každý jeho suffix musí také být větvící, a~tím pádem musí
+odpovídat nějakého vrcholu.)
-\s{Operace s~referenèními páry:}
-S~referenèním párem $(\pi,\tau)$ popisujícím slovo~$\alpha$ potøebujeme provádìt
-následujicí operace:
+\s{Operace s~referenčními páry:}
+S~referenčním párem $(\pi,\tau)$ popisujícím slovo~$\alpha$ potřebujeme provádět
+následujicí operace:
\itemize\ibull
-\:{\I Pøidání znaku~$a$ na konec:} Pøipí¹eme~$a$ na konec slova~$\tau$.
- To je jistì referenèní pár pro $\alpha a$, ale nemusí být kanonický.
- Pøitom mù¾eme snadno ovìøit, zda se $\alpha a$ ve~stromu nachází,
- a pøípadnì operaci odmítnout.
-\:{\I Odebrání znaku ze~zaèátku:} Pokud $\pi$ není koøen stromu, polo¾íme
- $\pi\leftarrow\<back>(\pi)$ a zachováme~$\tau$. Pokud naopak je~$\pi$
- prázdný øetìzec, odebereme z~$\tau$ jeho první znak (to lze udìlat
- v~konstantním èase, proto¾e~$\tau$ je reprezentované dvojicí indexù do~$\sigma$).
-\:{\I Pøevedení na kanonický tvar:} Obì pøedchozí operace mohou vytvoøit referenèní
- pár, který není kanonický. Poka¾dé proto kanonicitu zkontrolujeme a pøípadnì
- pár upravíme. Ovìøíme, zda hrana z~$\pi$ indexovaná písmenem~$a$ není
- dost krátká na to, aby byla prefixem slova~$\tau$. Pokud je, tak se
- po~této hranì pøesuneme dolù, èím¾~$\pi$ prodlou¾íme a~$\tau$ zkrátíme,
- a proces opakujeme. Jeliko¾ tím poka¾dé $\tau$~zkrátíme a kdykoliv jindy
- se $\tau$ prodlou¾í nejvý¹e o~1, mají v¹echny pøevody na kanonický tvar
- amortizovanì konstantní slo¾itost.
+\:{\I Přidání znaku~$a$ na konec:} Připíšeme~$a$ na konec slova~$\tau$.
+ To je jistě referenční pár pro $\alpha a$, ale nemusí být kanonický.
+ Přitom můžeme snadno ověřit, zda se $\alpha a$ ve~stromu nachází,
+ a případně operaci odmítnout.
+\:{\I Odebrání znaku ze~začátku:} Pokud $\pi$ není kořen stromu, položíme
+ $\pi\leftarrow\<back>(\pi)$ a zachováme~$\tau$. Pokud naopak je~$\pi$
+ prázdný řetězec, odebereme z~$\tau$ jeho první znak (to lze udělat
+ v~konstantním čase, protože~$\tau$ je reprezentované dvojicí indexů do~$\sigma$).
+\:{\I Převedení na kanonický tvar:} Obě předchozí operace mohou vytvořit referenční
+ pár, který není kanonický. Pokaždé proto kanonicitu zkontrolujeme a případně
+ pár upravíme. Ověříme, zda hrana z~$\pi$ indexovaná písmenem~$a$ není
+ dost krátká na to, aby byla prefixem slova~$\tau$. Pokud je, tak se
+ po~této hraně přesuneme dolů, čímž~$\pi$ prodloužíme a~$\tau$ zkrátíme,
+ a proces opakujeme. Jelikož tím pokaždé $\tau$~zkrátíme a kdykoliv jindy
+ se $\tau$ prodlouží nejvýše o~1, mají všechny převody na kanonický tvar
+ amortizovanÄ\9b konstantnà složitost.
\endlist
-\>Nyní ji¾ mù¾eme doplnit detaily, získat celý algoritmus a nahlédnout,
-¾e pracuje v~amortizovanì konstantním èase.
+\>Nyní již můžeme doplnit detaily, získat celý algoritmus a nahlédnout,
+že pracuje v~amortizovaně konstantním čase.
-\s{Algoritmus podrobnìji:}
+\s{Algoritmus podrobněji:}
\algo
-\:{\I Vstup:} $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ spolu s~hranami \<back>, nový znak~$a$.
-\:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je pøítomen ve~stromu, a pøípadnì ho zalo¾íme:
-\::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitøní vrchol)
-\:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou zaèínající znakem $a$, pak je pøítomen.
-\:::Nevede-li, není pøítomen, a~tak pøidáme novou otevøenou hranu vedoucí z~$\pi$ do~nového listu.
-\::Pokud $\tau\ne\varepsilon$: ($\alpha$ je skrytý vrchol)
-\:::Najdeme hranu, po~ní¾ z~$\pi$ pokraèuje slovo $\tau$ (která to je, poznáme podle prvního znaku slova~$\tau$).
-\:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ pøítomen.
-\:::Pokud nenásleduje, tak nebyl pøítomen, èili tuto hranu rozdìlíme: pøidáme na~ni nový vnitøní vrchol,
- do~nìj¾ povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~nìj zbytek pùvodní hrany a otevøená hrana do~nového listu.
-\:Pokud $\alpha a$ nebyl pøítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a vrátíme se na~krok~2.
-\:Nyní víme, ¾e $\alpha a$ ji¾ byl pøítomen, tak¾e upravíme referenèní pár, aby popisoval $\alpha a$.
-\:Dopoèítáme zpìtné hrany (viz ní¾e).
-\:{\I Výstup:} $\alpha=\alpha(\sigma a)$ jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
- a jeho zpìtné hrany \<back>.
+\:{\I Vstup:} $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenční pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ spolu s~hranami \<back>, nový znak~$a$.
+\:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je přítomen ve~stromu, a případně ho založíme:
+\::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitřní vrchol)
+\:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou začínající znakem $a$, pak je přítomen.
+\:::Nevede-li, není přítomen, a~tak přidáme novou otevřenou hranu vedoucí z~$\pi$ do~nového listu.
+\::Pokud $\tau\ne\varepsilon$: ($\alpha$ je skrytý vrchol)
+\:::Najdeme hranu, po~níž z~$\pi$ pokračuje slovo $\tau$ (která to je, poznáme podle prvního znaku slova~$\tau$).
+\:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ přítomen.
+\:::Pokud nenásleduje, tak nebyl přítomen, čili tuto hranu rozdělíme: přidáme na~ni nový vnitřní vrchol,
+ do~nějž povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~něj zbytek původní hrany a otevřená hrana do~nového listu.
+\:Pokud $\alpha a$ nebyl přítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a vrátíme se na~krok~2.
+\:Nyní víme, že $\alpha a$ již byl přítomen, takže upravíme referenční pár, aby popisoval $\alpha a$.
+\:DopoÄ\8dÃtáme zpÄ\9btné hrany (viz nÞe).
+\:{\I Výstup:} $\alpha=\alpha(\sigma a)$ jako kanonický referenční pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
+ a jeho zpětné hrany \<back>.
\endalgo
-\s{Zpìtné hrany:}
-Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholùm jejich zpìtné hrany. To potøebujeme
-jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje).
-V¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
-a zpìtná hrana z~nìj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, co¾ je
-pøesnì vrchol, který zalo¾íme (nebo zjistíme, ¾e u¾ existuje) v~pøí¹tí iteraci
-hlavního cyklu. V~dal¹í iteraci je¹tì urèitì nebudeme tuto hranu potøebovat,
-proto¾e $\pi$ v¾dy jen zkracujeme, a~tak mù¾eme vznik zpìtné hrany o~iteraci
-zpozdit. Výroba zpìtné hrany tedy bude také trvat jen konstantnì dlouho.
+\s{Zpětné hrany:}
+Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholům jejich zpětné hrany. To potřebujeme
+jen pro vnitřní vrcholy (na~zpětné hrany z~listů se algoritmus nikdy neodkazuje).
+Všimneme si, že pokud jsme založili vrchol, odpovídá tento vrchol vždy současnému~$\alpha$
+a zpÄ\9btná hrana z~nÄ\9bj povede do~zkrácenà slova~$\alpha$ o~znak zleva, což je
+přesně vrchol, který založíme (nebo zjistíme, že už existuje) v~příští iteraci
+hlavního cyklu. V~další iteraci ještě určitě nebudeme tuto hranu potřebovat,
+protože $\pi$ vždy jen zkracujeme, a~tak můžeme vznik zpětné hrany o~iteraci
+zpozdit. Výroba zpětné hrany tedy bude také trvat jen konstantně dlouho.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{11}{Kreslení grafù do roviny}{}
-
-Rovinné grafy se objevují v~nejrùznìj¹ích praktických aplikacích teorie grafù,
-a~tak okolo nich vyrostlo znaèné mno¾ství algoritmù. I~kdy¾ existují výjimky,
-jako napøíklad ji¾ zmínìné hledání kostry rovinného grafu, vìt¹ina takových
-algoritmù pracuje s~konkrétním vnoøením grafu do~roviny (rovinným nakreslením).
-
-Proto se zamìøíme na~algoritmus, který zadaný graf buïto vnoøí do~roviny, nebo se
-zastaví s~tím, ¾e graf není rovinný. Tarjan ji¾ v~roce 1974 ukázal \cite{tarjan:planarity},
-¾e je to mo¾né provést v~lineárním èase, ale jeho algoritmus je ponìkud
-komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodu¹ení, prozatím vrcholících
-algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, a ten zde uká¾eme.
-
-Zmiòme je¹tì, ¾e existují i algoritmy, které vytváøejí rovinná nakreslení s~rùznými
-speciálními vlastnostmi. Je to napøíklad Schnyderùv algoritmus~\cite{schnyder:grid}
-generující v~lineárním èase nakreslení, v~nìm¾ jsou hrany úseèkami a vrcholy
-le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$, a~o~nìco jednodu¹¹í algoritmus
-Chrobaka a Payneho \cite{chrobak:grid} kreslící do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$.
-Oba ov¹em pracují tak, ¾e vyjdou z~obyèejného rovinného nakreslení a upravují ho,
-aby splòovalo dodateèné podmínky.
+\prednaska{11}{Kreslení grafů do roviny}{}
+
+Rovinné grafy se objevují v~nejrůznějších praktických aplikacích teorie grafů,
+a~tak okolo nich vyrostlo značné množství algoritmů. I~když existují výjimky,
+jako například již zmíněné hledání kostry rovinného grafu, většina takových
+algoritmů pracuje s~konkrétním vnořením grafu do~roviny (rovinným nakreslením).
+
+Proto se zaměříme na~algoritmus, který zadaný graf buďto vnoří do~roviny, nebo se
+zastaví s~tím, že graf není rovinný. Tarjan již v~roce 1974 ukázal \cite{tarjan:planarity},
+že je to možné provést v~lineárním čase, ale jeho algoritmus je poněkud
+komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodušení, prozatím vrcholících
+algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, a ten zde ukážeme.
+
+Zmiňme ještě, že existují i algoritmy, které vytvářejí rovinná nakreslení s~různými
+speciálními vlastnostmi. Je to například Schnyderův algoritmus~\cite{schnyder:grid}
+generující v~lineárním čase nakreslení, v~němž jsou hrany úsečkami a vrcholy
+leží v~mřížových bodech mřížky $(n-2)\times (n-2)$, a~o~něco jednodušší algoritmus
+Chrobaka a Payneho \cite{chrobak:grid} kreslÃcà do~mÅ\99Þky $(2n-4)\times (n-2)$.
+Oba ovšem pracují tak, že vyjdou z~obyčejného rovinného nakreslení a upravují ho,
+aby splňovalo dodatečné podmínky.
\h{DFS a bloky}
-Pøipomeòme si nejprve nìkteré vlastnosti prohledávání do~hloubky (DFS) a jeho pou¾ití
-k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (blokù).}
+Připomeňme si nejprve některé vlastnosti prohledávání do~hloubky (DFS) a jeho použití
+k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (bloků).}
-\s{Definice:} Prohledávání orientovaného grafu do~hloubky rozdìlí hrany do~ètyø druhù:
+\s{Definice:} Prohledávání orientovaného grafu do~hloubky rozdělí hrany do~čtyř druhů:
\itemize\ibull
-\:{\I stromové} -- po~nich DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany
-vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene;
-\:{\I zpìtné} -- vedou do~vrcholu, který le¾í na cestì z~koøene DFS stromu
-do právì prohledávaného vrcholu; jinými slovy vedou do vrcholu, který se
-právì nachází na~zásobníku;
-\:{\I dopøedné} -- vedou do~ji¾ zpracovaného vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem;
-\:{\I pøíèné} -- zbývající hrany, které vedou do vrcholu ji¾ zpracovaného vrcholu
-v~jiném podstromu.
+\:{\I stromové} -- po~nich DFS prošlo a rekurzivně se zavolalo; tyto hrany
+vytvářejí {\I DFS strom} orientovaný z~kořene;
+\:{\I zpětné} -- vedou do~vrcholu, který leží na cestě z~kořene DFS stromu
+do právě prohledávaného vrcholu; jinými slovy vedou do vrcholu, který se
+právě nachází na~zásobníku;
+\:{\I dopředné} -- vedou do~již zpracovaného vrcholu ležícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem;
+\:{\I příčné} -- zbývající hrany, které vedou do vrcholu již zpracovaného vrcholu
+v~jiném podstromu.
\endlist
-\s{Pozorování:}
-Pokud DFS spustíme na neorientovaný graf a hranu, po~ní¾ jsme u¾ jednou pro¹li,
-v~opaèném smìru ignorujeme, existují pouze stromové a zpìtné hrany. DFS strom
-tvoøí kostru grafu.
+\s{Pozorování:}
+Pokud DFS spustíme na neorientovaný graf a hranu, po~níž jsme už jednou prošli,
+v~opačném směru ignorujeme, existují pouze stromové a zpětné hrany. DFS strom
+tvoří kostru grafu.
-Nyní u¾ se zamìøíme pouze na~neorientované grafy~\dots
+Nyní už se zaměříme pouze na~neorientované grafy~\dots
-\s{Lemma:} Relace \uv{Hrany $e$ a $f$ le¾í na~spoleèné kru¾nici} (znaèíme $e\sim f$) je ekvivalence. Její
-tøídy tvoøí maximální 2-souvislé podgrafy (bloky); ekvivalenèní tøídy s~jedinou hranou (mosty) pova¾ujeme
-za triviální bloky. Vrchol $v$ je artikulace právì tehdy, sousedí-li s~ním hrany z~více blokù.
+\s{Lemma:} Relace \uv{Hrany $e$ a $f$ leží na~společné kružnici} (značíme $e\sim f$) je ekvivalence. Její
+tÅ\99Ãdy tvoÅ\99à maximálnà 2-souvislé podgrafy (bloky); ekvivalenÄ\8dnà tÅ\99Ãdy s~jedinou hranou (mosty) považujeme
+za triviální bloky. Vrchol $v$ je artikulace právě tehdy, sousedí-li s~ním hrany z~více bloků.
-Pokud spustíme na~graf DFS, je pøirozené testovat, do~jakých blokù patøí stromové
-hrany sousedící s~právì prohledávaným vrcholem~$v$: stromová hrana $uv$, po~které jsme
-do~$v$ pøi¹li, a hrany $vw_1$ a¾ $vw_k$ vedoucí do~podstromù $T_1$ a¾ $T_k$ (zpìtné hrany
-jsou v¾dy ekvivalentní s~hranou $uv$). Pokud je $uv \sim vw_i$, musí existovat cesta
-z~podstromu $T_i$ do~vrcholu~$u$, která nepou¾ije právì testované hrany. Taková cesta
-ale mù¾e podstrom opustit pouze zpìtnou hranou (stromová je zakázaná a dopøedné ani pøíèné
-neexistují). Jinými slovy $uv\sim vw_i$ právì tehdy, kdy¾ existuje zpìtná hrana z~podstromu~$T_i$
-do~vrcholu $u$ nebo blí¾e ke~koøeni.
+Pokud spustíme na~graf DFS, je přirozené testovat, do~jakých bloků patří stromové
+hrany sousedící s~právě prohledávaným vrcholem~$v$: stromová hrana $uv$, po~které jsme
+do~$v$ přišli, a hrany $vw_1$ až $vw_k$ vedoucí do~podstromů $T_1$ až $T_k$ (zpětné hrany
+jsou vždy ekvivalentní s~hranou $uv$). Pokud je $uv \sim vw_i$, musí existovat cesta
+z~podstromu $T_i$ do~vrcholu~$u$, která nepoužije právě testované hrany. Taková cesta
+ale může podstrom opustit pouze zpětnou hranou (stromová je zakázaná a dopředné ani příčné
+neexistují). Jinými slovy $uv\sim vw_i$ právě tehdy, když existuje zpětná hrana z~podstromu~$T_i$
+do~vrcholu $u$ nebo blíže ke~kořeni.
-Pokud nìkterá dvojice $vw_i$, $vw_j$ není ekvivalentní pøes hranu $uv$ (nebo pokud hrana $uv$
-ani neexistuje, co¾ se nám v~koøeni DFS stromu mù¾e stát), le¾í tyto hrany v~rùzných blocích, proto¾e
-$T_i$ a $T_j$ mohou být spojeny jen pøes své koøeny (pøíèné hrany neexistují). Ze~zpìtných
-hran tedy získáme kompletní strukturu blokù.
+Pokud některá dvojice $vw_i$, $vw_j$ není ekvivalentní přes hranu $uv$ (nebo pokud hrana $uv$
+ani neexistuje, což se nám v~koÅ\99eni DFS stromu může stát), ležà tyto hrany v~různých blocÃch, protože
+$T_i$ a $T_j$ mohou být spojeny jen přes své kořeny (příčné hrany neexistují). Ze~zpětných
+hran tedy získáme kompletní strukturu bloků.
-Nyní si staèí rozmyslet, jak existenci zpìtných hran testovat rychle. K~tomu se bude hodit:
+Nyní si stačí rozmyslet, jak existenci zpětných hran testovat rychle. K~tomu se bude hodit:
\s{Definice:} Je-li $v$ vrchol grafu, pak:
\itemize\ibull
-\:$\<Enter>(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ DFS do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
-\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmen¹í z~\<Enter>ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana,
-nebo $+\infty$, pokud z~$v$ ¾ádná zpìtná hrana nevede.
-\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$, vèetnì $v$ samého.
+\:$\<Enter>(v)$ udává poÅ\99adÃ, v~nÄ\9bmž DFS do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
+\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmenší z~\<Enter>ů vrcholů, do~nichž vede z~$v$ zpětná hrana,
+nebo $+\infty$, pokud z~$v$ žádná zpětná hrana nevede.
+\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ů vrcholů ležících v~podstromu pod~$v$, včetně $v$ samého.
\endlist
-\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<LowPoint> v¹ech vrcholù lze spoèítat
-bìhem prohledávání, tedy také v~lineárním èase.
+\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<LowPoint> všech vrcholů lze spočítat
+během prohledávání, tedy také v~lineárním čase.
-Rozpoznávání blokù a artikulací mù¾eme shrnout do~následujícího lemmatu:
+Rozpoznávání bloků a artikulací můžeme shrnout do~následujícího lemmatu:
\s{Lemma:} Pokud $v$ je vrchol grafu, $u$ jeho otec a $w$ jeho syn v~DFS stromu,
-pak stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku ($uv\sim vw$) právì
-tehdy, kdy¾ $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$, a~$v$ je artikulace právì kdy¾
-nìkterý z~jeho synù $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
-Koøen DFS stromu je artikulace, právì kdy¾ má více ne¾ jednoho syna.
-
-\h{Postup kreslení}
-
-Graf budeme kreslit v~opaèném poøadí oproti DFS, tj. od~nejvìt¹ích \<Enter>ù k~nejmen¹ím,
-a v¾dy si budeme udr¾ovat blokovou strukturu ji¾ nakreslené èásti grafu, uspoøádanou
-podle DFS stromu -- ka¾dý blok bude mít svùj koøen, s~výjimkou nejvy¹¹ího bloku
-je tento koøen souèasnì artikulací v~nadøazeném bloku. Aby se nám tato situace snadno
-reprezentovala, artikulace naklonujeme a ka¾dý blok dostane svou vlastní kopii artikulace.
-
-Také budeme vyu¾ívat toho, ¾e nakreslení ka¾dého bloku, který není
-most, je ohranièeno kru¾nicí, a mosty zdvojíme, aby to pro nì platilo
-také. Navíc v~libovolném nakreslení mù¾eme kterýkoliv blok spolu se v¹emi bloky
-le¾ícími pod~ním pøeklopit podle koøenové artikulace, ani¾ bychom poru¹ili
+pak stromové hrany $uv$ a $vw$ leží v~tomtéž bloku ($uv\sim vw$) právě
+tehdy, když $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$, a~$v$ je artikulace právÄ\9b když
+některý z~jeho synů $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
+KoÅ\99en DFS stromu je artikulace, právÄ\9b když má vÃce než jednoho syna.
+
+\h{Postup kreslení}
+
+Graf budeme kreslit v~opačném pořadí oproti DFS, tj. od~největších \<Enter>ů k~nejmenším,
+a vždy si budeme udržovat blokovou strukturu již nakreslené části grafu, uspořádanou
+podle DFS stromu -- každý blok bude mít svůj kořen, s~výjimkou nejvyššího bloku
+je tento kořen současně artikulací v~nadřazeném bloku. Aby se nám tato situace snadno
+reprezentovala, artikulace naklonujeme a každý blok dostane svou vlastní kopii artikulace.
+
+Také budeme využívat toho, že nakreslení každého bloku, který není
+most, je ohraničeno kružnicí, a mosty zdvojíme, aby to pro ně platilo
+také. Navíc v~libovolném nakreslení můžeme kterýkoliv blok spolu se všemi bloky
+ležícími pod~ním překlopit podle kořenové artikulace, aniž bychom porušili
rovinnost.
\finalfix{
\smallskip
-\figure{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}
-\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
+\figure{planar1.eps}{Před nakreslením zpětných hran \dots}{\epsfxsize}
+\figure{planar2.eps}{\dots\ po něm (čtverečky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
}
-V¹imnìme si, ¾e pokud vede z~nìjakého u¾ nakresleného vrcholu je¹tì nenakreslená hrana,
-lze pokraèovat po~nenakreslených hranách a¾ do~koøene DFS stromu. V¹echny vrcholy, ke~kterým
-je¹tì bude potøeba nìco pøipojit (takovým budeme øíkat {\I externí} a hranám
-rovnì¾; za~chvíli to nadefinujeme formálnì), proto musí le¾et v~té¾e stìnì dosud nakresleného
-podgrafu a bez újmy na~obecnosti si vybereme, ¾e to bude vnìj¹í stìna.
-
-Základním krokem algoritmu tedy bude roz¹íøit nakreslení o~nový
-vrchol~$v$ a o~v¹echny hrany vedoucí z~nìj do~jeho (ji¾ nakreslených)
-DFS-následníkù. Stromové hrany pùjdou nakreslit v¾dy, pøidáme je jako
-triviální bloky (2-cykly) a nejsou-li to mosty, brzy se nìjakou
-zpìtnou hranou spojí s~jinými bloky. Zpìtné hrany byly a¾ donedávna
-externí, tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu
-po~okraji bloku touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e
-slouèit nìkolik blokù do~jednoho, jak je vidìt z~obrázkù.
+Všimněme si, že pokud vede z~nějakého už nakresleného vrcholu ještě nenakreslená hrana,
+lze pokračovat po~nenakreslených hranách až do~kořene DFS stromu. Všechny vrcholy, ke~kterým
+ještě bude potřeba něco připojit (takovým budeme říkat {\I externí} a hranám
+rovněž; za~chvíli to nadefinujeme formálně), proto musí ležet v~téže stěně dosud nakresleného
+podgrafu a bez újmy na~obecnosti si vybereme, že to bude vnější stěna.
+
+Základním krokem algoritmu tedy bude rozšířit nakreslení o~nový
+vrchol~$v$ a o~všechny hrany vedoucí z~něj do~jeho (již nakreslených)
+DFS-následníků. Stromové hrany půjdou nakreslit vždy, přidáme je jako
+triviální bloky (2-cykly) a nejsou-li to mosty, brzy se nějakou
+zpětnou hranou spojí s~jinými bloky. Zpětné hrany byly až donedávna
+externí, takže přidání jedné zpětné hrany nahradí cestu
+po~okraji bloku touto hranou (tÃm vytvoÅ\99à novou stÄ\9bnu) a také může
+sloučit několik bloků do~jednoho, jak je vidět z~obrázků.
\separatefix{
-\figure{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}
-\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
+\figure{planar1.eps}{Před nakreslením zpětných hran \dots}{\epsfxsize}
+\figure{planar2.eps}{\dots\ po něm (čtverečky jsou externí vrcholy)}{\epsfxsize}
}
-Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu
-hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta.
-
-Mù¾e se nám ale také stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externí vrchol.
-Tehdy musíme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externí vrcholy
-zùstaly venku. Potøebujeme tedy datové struktury, pomocí nich¾ bude mo¾né
-pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznávat, kdy je pøeklápìní potøebné.
-
-\h{Externí vrcholy}
-
-Jestli¾e z~nìjakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí
-být tento vrchol na~vnìj¹í stìnì, tak¾e musí také zùstat na~vnìj¹í stìnì
-i~vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externost
-nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto pøípady:
-
-\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externí,} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
-hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externí
-blok, èili blok obsahující alespoò jeden externí vrchol. Ostatním vrcholùm
-budeme øíkat {\I interní.}
-
-Jin
ými slovy platí, ¾e vrchol $w$ je externí pøi zpracování vrcholu~$v$, pakli¾e $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
-nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(v)$.
-Druhá podmínka funguje díky tomu, ¾e koøen bloku má v~tomto bloku právì jednoho syna
-(jinak by existovala pøíèná hrana, co¾ víme, ¾e není pravda), tak¾e minimum z~\<Ancestor>ù
-v¹ech vrcholù le¾ících uvnitø bloku je pøesnì \<LowPoint> tohoto syna.
-Ve~statickém grafu by se v¹echny testy redukovaly na~$\<LowPoint>(w)$, nám se ov¹em bloková
-struktura prùbì¾nì mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavedeme:
-
-\s{Definice:} $\<BlockList>(w)$ je seznam v¹ech blokù pøipojených v~daném okam¾iku
-pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich koøeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny koøenù.
-Tento seznam udr¾ujeme setøídìný vzestupnì podle $\<LowPoint>$ù synù.
-
-\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je extern
í pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud je buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
-nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
-seznamy \<BlockList> lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
-
-\proof První èást plyne pøímo z~definic. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
-sestrojíme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok
-s~nadøazeným blokem, odstraníme ho ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci.
+Bude se nám hodit, že čas potřebný na~tuto operaci je přímo úměrný počtu
+hran, které ubyly z~vnější stěny, což je amortizovaně konstanta.
+
+Může se nám ale také stát, že zpětná hrana zakryje nějaký externí vrchol.
+Tehdy musíme některé bloky překlopit tak, aby externí vrcholy
+zůstaly venku. Potřebujeme tedy datové struktury, pomocí nichž bude možné
+překlápět efektivně a co víc, také rychle poznávat, kdy je překlápění potřebné.
+
+\h{Externí vrcholy}
+
+Jestliže z~nějakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí
+být tento vrchol na~vnější stěně, takže musí také zůstat na~vnější stěně
+i~vrchol, přes který je~$B$ připojen ke~zbytku grafu. Proto externost
+nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto případy:
+
+\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externí,} pokud buďto z~$w$ vede zpětná
+hrana do~ještě nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ připojen externí
+blok, čili blok obsahující alespoň jeden externí vrchol. Ostatním vrcholům
+budeme říkat {\I interní.}
+
+Jin
ými slovy platÃ, že vrchol $w$ je externà pÅ\99i zpracovánà vrcholu~$v$, pakliže $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+nebo pokud pro některého ze~synů $x$ ležícího v~jiném bloku je $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(v)$.
+Druhá podmínka funguje díky tomu, že kořen bloku má v~tomto bloku právě jednoho syna
+(jinak by existovala příčná hrana, což víme, že není pravda), takže minimum z~\<Ancestor>ů
+všech vrcholů ležících uvnitř bloku je přesně \<LowPoint> tohoto syna.
+Ve~statickém grafu by se všechny testy redukovaly na~$\<LowPoint>(w)$, nám se ovšem bloková
+struktura průbÄ\9bžnÄ\9b mÄ\9bnÃ, takže musÃme uvažovat bloky v~souÄ\8dasném okamžiku. Proto si zavedeme:
+
+\s{Definice:} $\<BlockList>(w)$ je seznam vÅ¡ech bloků pÅ\99ipojených v~daném okamžiku
+pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich kořeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny kořenů.
+Tento seznam udržujeme setříděný vzestupně podle $\<LowPoint>$ů synů.
+
+\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je extern
í při zpracování vrcholu~$v$, pokud je buďto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
+seznamy \<BlockList> lze udržovat v~amortizovaně konstantním čase.
+
+\proof První část plyne přímo z~definic. Všechny seznamy na~začátku běhu algoritmu
+sestrojíme v~lineárním čase přihrádkovým tříděním a kdykoliv sloučíme blok
+s~nadřazeným blokem, odstraníme ho ze~seznamu v~příslušné artikulaci.
\qed
-\h{Reprezentace blokù a pøeklápìní}
-
-Pro ka¾dý blok si potøebujeme pamatovat vrcholy, které le¾í na~hranici
-(nìkteré z~nich jsou externí, ale to u¾ umíme poznat) a bloky,
-které jsou pod nimi pøipojené. Dále je¹tì vnitøní strukturu bloku vèetnì
-uvnitø pøipojených dal¹ích blokù, ale jeliko¾ ¾ádné vnitøní vrcholy nejsou
-externí, vnitøek u¾ neovlivní dal¹í výpoèet a potøebujeme jej pouze
-pro vypsání výstupu.
-
-Pro na¹e úèely bude staèit zapamatovat si u~ka¾dého bloku, jestli je
-oproti nadøazenému bloku pøeklopen. Tuto informaci zapí¹eme do~koøene
-bloku. Ka¾dý vrchol na~hranici bloku pak bude obsahovat dva~ukazatele
-na~sousední vrcholy. Neumíme sice lokálnì poznat, který ukazatel odpovídá
-kterému smìru, ale kdy¾ se nìjakým smìrem vydáme, doká¾eme ho dodr¾et
--- staèí si v¾dy vybrat ten ukazatel, který nás nezavede do~právì
-opu¹tìného vrcholu.
-
-Ka¾dý vrchol si také bude pamatovat seznam svých sousedù,
-podle orientace bloku buïto v~hodinkovém nebo opaèném poøadí.
-Chceme-li pøidat hranu, potøebujeme tedy znát absolutní orientaci,
-ale to pùjde snadno, jeliko¾ hrany pøidáváme jen k~vrcholùm na~hranici,
-poté co k~nim po~hranici dojdeme z~koøene.
-
-K~pøeklopení bloku vèetnì v¹ech podøízených blokù nám staèí invertovat
-bit v~koøeni, pokud chceme pøeklopit jen tento blok, invertujeme bity
-i v~koøenech v¹ech podøízených blokù, je¾ najdeme obcházením hranice.
-
-Na~konci algoritmu spustíme dodateèný prùchod, který v¹echny pøeklápìcí
-bity pøenese ve~smìru od~koøene k~potomkùm a urèí tak absolutní orientaci
-v¹ech seznamù sousedù i hranic.
-
-\h{®ivý podgraf}
-
-Kdy¾ nakreslíme nový vrchol~$v$ a z~nìj vedoucí stromové hrany, musíme obejít
-ka¾dý podstrom, ve~vhodném poøadí nakreslit zpìtné hrany do~$v$ a podle
-potøeby pøeklopit bloky. V~podstromu ov¹em mù¾e být mnoho blokù, které
-¾ádnou pozornost nevy¾adují a bìh algoritmu by zbyteènì brzdily.
-Proto si pøed samotným kreslením oznaèíme {\I ¾ivou} èást grafu -- to je
-èást, kterou potøebujeme bìhem kreslení nav¹tívit; zbytku grafu se budeme
-sna¾it vyhýbat, aby nás nezdr¾oval.
+\h{Reprezentace bloků a překlápění}
+
+Pro každý blok si potřebujeme pamatovat vrcholy, které leží na~hranici
+(některé z~nich jsou externí, ale to už umíme poznat) a bloky,
+které jsou pod nimi připojené. Dále ještě vnitřní strukturu bloku včetně
+uvnitř připojených dalších bloků, ale jelikož žádné vnitřní vrcholy nejsou
+externí, vnitřek už neovlivní další výpočet a potřebujeme jej pouze
+pro vypsání výstupu.
+
+Pro naše účely bude stačit zapamatovat si u~každého bloku, jestli je
+oproti nadřazenému bloku překlopen. Tuto informaci zapíšeme do~kořene
+bloku. Každý vrchol na~hranici bloku pak bude obsahovat dva~ukazatele
+na~sousední vrcholy. Neumíme sice lokálně poznat, který ukazatel odpovídá
+kterému smÄ\9bru, ale když se nÄ\9bjakým smÄ\9brem vydáme, dokážeme ho dodržet
+-- stačí si vždy vybrat ten ukazatel, který nás nezavede do~právě
+opuštěného vrcholu.
+
+Každý vrchol si také bude pamatovat seznam svých sousedů,
+podle orientace bloku buďto v~hodinkovém nebo opačném pořadí.
+Chceme-li přidat hranu, potřebujeme tedy znát absolutní orientaci,
+ale to půjde snadno, jelikož hrany přidáváme jen k~vrcholům na~hranici,
+poté co k~nim po~hranici dojdeme z~kořene.
+
+K~překlopení bloku včetně všech podřízených bloků nám stačí invertovat
+bit v~kořeni, pokud chceme překlopit jen tento blok, invertujeme bity
+i v~kořenech všech podřízených bloků, jež najdeme obcházením hranice.
+
+Na~konci algoritmu spustíme dodatečný průchod, který všechny překlápěcí
+bity přenese ve~směru od~kořene k~potomkům a určí tak absolutní orientaci
+všech seznamů sousedů i hranic.
+
+\h{Živý podgraf}
+
+Když nakreslíme nový vrchol~$v$ a z~něj vedoucí stromové hrany, musíme obejít
+každý podstrom, ve~vhodném pořadí nakreslit zpětné hrany do~$v$ a podle
+potřeby překlopit bloky. V~podstromu ovšem může být mnoho bloků, které
+žádnou pozornost nevyžadují a běh algoritmu by zbytečně brzdily.
+Proto si před samotným kreslením označíme {\I živou} část grafu -- to je
+část, kterou potřebujeme během kreslení navštívit; zbytku grafu se budeme
+snažit vyhýbat, aby nás nezdržoval.
\s{Definice:}
-Vrchol~$w$ je {\I ¾ivý,} pokud z~nìj buïto vede zpìtná hrana do~právì
-zpracovávaného vrcholu~$v$, nebo pokud pod ním je pøipojen ¾ivý blok,
-tj. blok obsahující ¾ivý vrchol.
-
-®ivé vrcholy pøitom mohou být i~externí (pokud z~nich vedou zpìtné hrany
-jak do vrcholu~$v$, tak do je¹tì nenakreslených vrcholù).
-Pokud nìjaký vrchol není ani ¾ivý, ani externí, budeme ho nazývat {\I pasivní.}
-
-Pøed procházením podstromù tedy nejprve probereme v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$
-a oznaèíme ¾ivé vrcholy. Pro ka¾dou zpìtnou hranu potøebujeme o¾ivit vrchol, z~nìj¾
-hrana vede, dále artikulaci, pod~ní¾ je tento blok pøipojen, a dal¹í artikulace
-na~cestì do~$v$. Tedy poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~bloku (nìjakým vrcholem na~vnìj¹í stìnì),
-potøebujeme nalézt koøen bloku. To udìláme tak, ¾e zaèneme obcházet vnìj¹í
-stìnu obìma smìry souèasnì, a¾ dojdeme v~nìkterém smìru do~koøene. Navíc si v¹echny
-vrcholy, pøes nì¾ jsme pro¹li, oznaèkujeme a pøiøadíme k~nim rovnou ukazatel na~koøen,
-tudí¾ po~¾ádné èásti hranice neprojdeme vícekrát.\foot{Znaèky ani nebude potøeba
-mazat, kdy¾ si u nich poznamenáme, který vrchol byl koøenem v~okam¾iku, kdy jsme
-znaèku vytvoøili, a znaèky patøící ke~starým koøenùm budeme ignorovat, resp. pøepisovat.}
-
-Výstupem této èásti algoritmu budou znaèky u~¾ivých vrcholù a u~artikulací
-také seznamy podøízených ¾ivých blokù. Tyto seznamy budeme udr¾ovat uspoøádané
-tak, aby externí bloky následovaly po~v¹ech interních. To nám usnadní práci
-v~hlavní èásti algoritmu.
-
-\s{Lemma:} Pro ka¾dý koøen trvá znaèení ¾ivých vrcholù èas $\O(k+\ell)$, kde $k$ je poèet
-kreslených zpìtných hran a $\ell$ poèet hran, které zmizely z~vnìj¹í stìny, èili
-amortizovanì konstanta.
+Vrchol~$w$ je {\I živý,} pokud z~něj buďto vede zpětná hrana do~právě
+zpracovávaného vrcholu~$v$, nebo pokud pod ním je připojen živý blok,
+tj. blok obsahující živý vrchol.
+
+Živé vrcholy přitom mohou být i~externí (pokud z~nich vedou zpětné hrany
+jak do vrcholu~$v$, tak do ještě nenakreslených vrcholů).
+Pokud nějaký vrchol není ani živý, ani externí, budeme ho nazývat {\I pasivní.}
+
+Před procházením podstromů tedy nejprve probereme všechny zpětné hrany vedoucí do~$v$
+a oznaÄ\8dÃme živé vrcholy. Pro každou zpÄ\9btnou hranu potÅ\99ebujeme oživit vrchol, z~nÄ\9bjž
+hrana vede, dále artikulaci, pod~níž je tento blok připojen, a další artikulace
+na~cestě do~$v$. Tedy pokaždé, když vstoupíme do~bloku (nějakým vrcholem na~vnější stěně),
+potřebujeme nalézt kořen bloku. To uděláme tak, že začneme obcházet vnější
+stěnu oběma směry současně, až dojdeme v~některém směru do~kořene. Navíc si všechny
+vrcholy, přes něž jsme prošli, označkujeme a přiřadíme k~nim rovnou ukazatel na~kořen,
+tudíž po~žádné části hranice neprojdeme vícekrát.\foot{Značky ani nebude potřeba
+mazat, když si u nich poznamenáme, který vrchol byl koÅ\99enem v~okamžiku, kdy jsme
+značku vytvořili, a značky patřící ke~starým kořenům budeme ignorovat, resp. přepisovat.}
+
+Výstupem této části algoritmu budou značky u~živých vrcholů a u~artikulací
+také seznamy podřízených živých bloků. Tyto seznamy budeme udržovat uspořádané
+tak, aby externí bloky následovaly po~všech interních. To nám usnadní práci
+v~hlavní části algoritmu.
+
+\s{Lemma:} Pro každý kořen trvá značení živých vrcholů čas $\O(k+\ell)$, kde $k$ je počet
+kreslených zpětných hran a $\ell$ počet hran, které zmizely z~vnější stěny, čili
+amortizovaně konstanta.
\proof
-Po~¾ádné hranì neprojdeme více ne¾ jednou. Navíc alespoò polovina z~tìch, po~nich¾
-jsme pro¹li, zmizí z~vnìj¹í stìny, tak¾e hledání koøenù blokù trvá $\O(\ell)$.
-Pro ka¾dou zpìtnou hranu oznaèíme jeden vrchol jako ¾ivý a pak pokraèujeme hledáním
-koøenù, které jsme ji¾ zapoèítali.
+Po~žádné hranÄ\9b neprojdeme vÃce než jednou. NavÃc alespoÅ\88 polovina z~tÄ\9bch, po~nichž
+jsme prošli, zmizí z~vnější stěny, takže hledání kořenů bloků trvá $\O(\ell)$.
+Pro každou zpětnou hranu označíme jeden vrchol jako živý a pak pokračujeme hledáním
+kořenů, které jsme již započítali.
\qed
-\h{Kreslení zpìtných hran}
+\h{Kreslení zpětných hran}
-Nyní ji¾ máme v¹e pøipraveno -- datové struktury, detekci externích vrcholù
-a oznaèování ¾ivého podgrafu -- a zbývá doplnit, jak algoritmus kreslí zpìtné
-hrany. Jeliko¾ zpìtné hrany vedoucí do~$v$ nemohou zpùsobit slouèení blokù
-le¾ících pod~$v$ (na~to jsou potøeba zpìtné hrany vedoucí nìkam nad~$v$ a ty
-je¹tì nekreslíme), zpracováváme ka¾dý podstrom zvlá¹». V¾dy pøidáme triviální blok
-pro stromovou hranu, pod nìj pøipojíme blokovou strukturu zatím nakreslené
-èásti podstromu a vydáme se po~hranici této struktury nejdøíve jedním
-a pak druhým smìrem.
+Nyní již máme vše připraveno -- datové struktury, detekci externích vrcholů
+a označování živého podgrafu -- a zbývá doplnit, jak algoritmus kreslí zpětné
+hrany. Jelikož zpětné hrany vedoucí do~$v$ nemohou způsobit sloučení bloků
+ležících pod~$v$ (na~to jsou potřeba zpětné hrany vedoucí někam nad~$v$ a ty
+ještě nekreslíme), zpracováváme každý podstrom zvlášť. Vždy přidáme triviální blok
+pro stromovou hranu, pod něj připojíme blokovou strukturu zatím nakreslené
+části podstromu a vydáme se po~hranici této struktury nejdříve jedním
+a pak druhým směrem.
-Oba prùchody vypadají následovnì: Procházíme seznam vrcholù na~hranici a pasivní
-vrcholy pøeskakujeme. Pokud objevíme ¾ivý vrchol, nakreslíme v¹e, co z~nìj vede,
-pøípadnì se zanoøíme do~¾ivých blokù, které jsou pøipojeny pod tímto vrcholem.
-Pokud objevíme externí vrchol (poté, co jsme ho pøípadnì o¹etøili jako ¾ivý),
-procházení zastavíme, proto¾e za externí vrchol ji¾ nemù¾eme po~této stranì
-hranice nic pøipojit, ani¾ by se externí vrchol dostal dovnitø nakreslení.
+Oba průchody vypadají následovně: Procházíme seznam vrcholů na~hranici a pasivní
+vrcholy přeskakujeme. Pokud objevíme živý vrchol, nakreslíme vše, co z~něj vede,
+případně se zanoříme do~živých bloků, které jsou připojeny pod tímto vrcholem.
+Pokud objevíme externí vrchol (poté, co jsme ho případně ošetřili jako živý),
+procházení zastavíme, protože za externí vrchol již nemůžeme po~této straně
+hranice nic připojit, aniž by se externí vrchol dostal dovnitř nakreslení.
-Pøitom se øídíme dvìma jednoduchými pravidly:
+Přitom se řídíme dvěma jednoduchými pravidly:
-\s{Pravidlo \#1:} V~ka¾dém ¾ivém vrcholu zpracováváme nejdøíve zpìtné hrany do~$v$,
-pak podøízené ¾ivé interní bloky a koneènì podøízené ¾ivé externí bloky.
-(K~tomu se nám hodí, ¾e máme seznamy ¾ivých podøízených blokù setøídìné.)
+\s{Pravidlo \#1:} V~každém živém vrcholu zpracováváme nejdříve zpětné hrany do~$v$,
+pak podřízené živé interní bloky a konečně podřízené živé externí bloky.
+(K~tomu se nám hodí, že máme seznamy živých podřízených bloků setříděné.)
-\s{Pravidlo \#2:} Pokud vstoupíme do~dal¹ího bloku, vybereme si smìr, ve~kterém
-budeme pokraèovat, následovnì: preferujeme smìr k~¾ivému internímu
-vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~¾ivému externímu vrcholu.
-Pokud se tento smìr li¹í od~smìru, ve~kterém jsme zatím hranici obcházeli,
-blok pøeklopíme.
+\s{Pravidlo \#2:} Pokud vstoupíme do~dalšího bloku, vybereme si směr, ve~kterém
+budeme pokračovat, následovně: preferujeme směr k~živému internímu
+vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~živému externímu vrcholu.
+Pokud se tento směr liší od~směru, ve~kterém jsme zatím hranici obcházeli,
+blok překlopíme.
-Èasová slo¾itost této èásti algoritmu je lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu
-a¾ na~dvì výjimky. Jednou je konec prohledávání od~posledního ¾ivého vrcholu
-k~bodu zastavení, druhou pak vybírání strany hranice pøi vstupu do~bloku.
-V~obou mù¾eme procházet a¾ lineárnì mnoho pasivních vrcholù. Pomù¾eme si
-ov¹em snadno: kdykoliv projdeme souvislý úsek hranice tvoøený pasivními
-vrcholy, pøidáme pomocnou hranu, která tento úsek pøeklene. Mù¾eme ji dokonce
-pøidat do~nakreslení a podrozdìlit si tak vnìj¹í stìnu.
+Časová složitost této části algoritmu je lineární ve~velikosti živého podgrafu
+až na~dvě výjimky. Jednou je konec prohledávání od~posledního živého vrcholu
+k~bodu zastavení, druhou pak vybírání strany hranice při vstupu do~bloku.
+V~obou můžeme procházet až lineárnÄ\9b mnoho pasivnÃch vrcholů. Pomůžeme si
+ovšem snadno: kdykoliv projdeme souvislý úsek hranice tvořený pasivními
+vrcholy, pÅ\99idáme pomocnou hranu, která tento úsek pÅ\99eklene. Můžeme ji dokonce
+přidat do~nakreslení a podrozdělit si tak vnější stěnu.
-\h{Hotový algoritmus}
+\h{Hotový algoritmus}
-\s{Algoritmus (kreslení do roviny):}
+\s{Algoritmus (kreslení do roviny):}
\algo
-\:Pokud má graf více ne¾ $3n-6$ hran, odmítneme ho rovnou jako nerovinný.
-\:Prohledáme graf $G$ do~hloubky, spoèteme \<Enter,> \<Ancestor> a \<LowPoint> v¹ech vrcholù.
-\:Vytvoøíme \<BlockList> v¹ech vrcholù pøihrádkovým tøídìním.
-\:Procházíme vrcholy v~poøadí klesajících \<Enter>ù, pro ka¾dý vrchol~$v$:
-\::Nakreslíme v¹echny stromové hrany z~$v$ jako triviální bloky \hfil\break (2-cykly).
-\::Oznaèíme ¾ivý podgraf.
-\::Pro ka¾dého syna vrcholu~$v$ obcházíme ¾ivý podgraf nále¾ící k~tomuto vrcholu
- v~obou smìrech a kreslíme zpìtné hrany do~$v$.
-\::Zkontrolujeme, zda v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$ byly nakresleny, a pokud ne,
- prohlásíme graf za~nerovinný a skonèíme.
-\:Projdeme hotové nakreslení do~hloubky a zorientujeme seznamy sousedù.
+\:Pokud má graf více než $3n-6$ hran, odmítneme ho rovnou jako nerovinný.
+\:Prohledáme graf $G$ do~hloubky, spočteme \<Enter,> \<Ancestor> a \<LowPoint> všech vrcholů.
+\:Vytvoříme \<BlockList> všech vrcholů přihrádkovým tříděním.
+\:Procházíme vrcholy v~pořadí klesajících \<Enter>ů, pro každý vrchol~$v$:
+\::Nakreslíme všechny stromové hrany z~$v$ jako triviální bloky \hfil\break (2-cykly).
+\::Označíme živý podgraf.
+\::Pro každého syna vrcholu~$v$ obcházíme živý podgraf náležící k~tomuto vrcholu
+ v~obou směrech a kreslíme zpětné hrany do~$v$.
+\::Zkontrolujeme, zda všechny zpětné hrany vedoucí do~$v$ byly nakresleny, a pokud ne,
+ prohlásíme graf za~nerovinný a skončíme.
+\:Projdeme hotové nakreslení do~hloubky a zorientujeme seznamy sousedů.
\endalgo
-\s{Vìta:} Tento algoritmus pro ka¾dý graf dobìhne v~èase $\O(n)$ a pokud byl graf rovinný,
-vydá jeho nakreslení, v~opaèném pøípadì ohlásí nerovinnost.
+\s{Věta:} Tento algoritmus pro každý graf doběhne v~čase $\O(n)$ a pokud byl graf rovinný,
+vydá jeho nakreslení, v~opačném případě ohlásí nerovinnost.
-\proof První krok je korektní, jeliko¾ pro v¹echny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále
-tedy mù¾eme pøedpokládat, ¾e $m=\O(n)$. Lineární èasovou slo¾itost krokù 4--6 a~9 jsme ji¾
-diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu, a~tedy také $\O(n)$.
-Nakreslení vydané algoritmem je v¾dy rovinné a v¹echny stromové hrany jsou v¾dy
-nakresleny, zbývá tedy ukázat, ¾e zpìtnou hranu mù¾eme nenakreslit, jen pokud
-graf nebyl rovinný. Tomu vìnujeme zbytek kapitoly.
+\proof První krok je korektní, jelikož pro všechny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále
+tedy můžeme pÅ\99edpokládat, že $m=\O(n)$. Lineárnà Ä\8dasovou složitost kroků 4--6 a~9 jsme již
+diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti živého podgrafu, a~tedy také $\O(n)$.
+Nakreslenà vydané algoritmem je vždy rovinné a všechny stromové hrany jsou vždy
+nakresleny, zbývá tedy ukázat, že zpÄ\9btnou hranu můžeme nenakreslit, jen pokud
+graf nebyl rovinný. Tomu věnujeme zbytek kapitoly.
\qed
-\h{Dùkaz korektnosti}
+\h{Důkaz korektnosti}
-\s{Lemma:} Pokud existuje zpìtná hrana, kterou algoritmus nenakreslil, graf na~vstupu
-není rovinný.
+\s{Lemma:} Pokud existuje zpětná hrana, kterou algoritmus nenakreslil, graf na~vstupu
+není rovinný.
-\proof Pro spor pøedpokládejme, ¾e po~zpracování vrcholu~$v$ existuje nìjaká
-zpìtná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, èili ¾e pøístup z~$v$ k~$w$
-je v~obou smìrech blokován externími vrcholy. Rozborem pøípadù uká¾eme,
-¾e tato situace vede ke~sporu buïto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
+\proof Pro spor předpokládejme, že po~zpracování vrcholu~$v$ existuje nějaká
+zpětná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, čili že přístup z~$v$ k~$w$
+je v~obou smÄ\9brech blokován externÃmi vrcholy. Rozborem pÅ\99Ãpadů ukážeme,
+že tato situace vede ke~sporu buďto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
-Oznaème $B$ blok, ve~kterém le¾í na~obou stranách hranice nìjaké externí
-vrcholy $x$ a~$y$ a pod nimi je pøipojen nìjakou cestou vrchol~$w$. Takový blok
-musí urèitì existovat, proto¾e jinak by algoritmus v¹echny bloky na~cestì z~$v$ do~$w$
-popøeklápìl tak, aby se hrana $wv$ ve¹la. V~grafu se tedy musí vyskytovat jeden
-z~následujících minorù (do~vrcholu~$u$ jsme kontrahovali celou dosud nenakreslenou èást grafu;
-vybarvená èást odpovídá vnitøku bloku; hranaté vrcholy jsou externí):
+Označme $B$ blok, ve~kterém leží na~obou stranách hranice nějaké externí
+vrcholy $x$ a~$y$ a pod nimi je připojen nějakou cestou vrchol~$w$. Takový blok
+musí určitě existovat, protože jinak by algoritmus všechny bloky na~cestě z~$v$ do~$w$
+popřeklápěl tak, aby se hrana $wv$ vešla. V~grafu se tedy musí vyskytovat jeden
+z~následujících minorů (do~vrcholu~$u$ jsme kontrahovali celou dosud nenakreslenou část grafu;
+vybarvená část odpovídá vnitřku bloku; hranaté vrcholy jsou externí):
\bigskip
\centerline{\epsfbox{minor1.eps}\qquad\epsfbox{minor2.eps}}
\bigskip
-Minor~$M$ pøitom odpovídá situaci, kdy $v$ nele¾í v~bloku~$B$. Tento pøípad
-snadno vylouèíme, proto¾e $M$ je isomorfní s~grafem $K_{3,3}$. V~grafu se proto
-musí vyskytovat~$N$. Tento minor je ale rovinný, tak¾e musíme ukázat, ¾e vnitøek
-bloku brání nakreslení hrany~$vw$ dovnitø. V¾dy pak dojdeme k~nìkterému z~následujících
-nerovinných minorù ($N_1$ a¾ $N_3$ jsou isomorfní s~$K_{3,3}$ a $N_4$ s~$K_5$):
+Minor~$M$ přitom odpovídá situaci, kdy $v$ neleží v~bloku~$B$. Tento případ
+snadno vyloučíme, protože $M$ je isomorfní s~grafem $K_{3,3}$. V~grafu se proto
+musí vyskytovat~$N$. Tento minor je ale rovinný, takže musíme ukázat, že vnitřek
+bloku brání nakreslení hrany~$vw$ dovnitř. Vždy pak dojdeme k~některému z~následujících
+nerovinných minorů ($N_1$ až $N_3$ jsou isomorfní s~$K_{3,3}$ a $N_4$ s~$K_5$):
\bigskip
\centerline{\epsfbox{minor3.eps}\qquad\epsfbox{minor4.eps}}
\centerline{\epsfbox{minor5.eps}\qquad\epsfbox{minor6.eps}}
\bigskip
-\>Uva¾me, jak bude $B$ vypadat po~odebrání vrcholu~$v$ a hran z~nìj vedoucích:
+\>Uvažme, jak bude $B$ vypadat po~odebrání vrcholu~$v$ a hran z~něj vedoucích:
\numlist\nalpha
-\:{\I pøestane být 2-souvislý} -- tehdy se zamìøíme na~bloky le¾ící na~cestì~$xy$:
+\:{\I přestane být 2-souvislý} -- tehdy se zaměříme na~bloky ležící na~cestě~$xy$:
\numlist\nparen
\finalfix{\rightskip=0.5\rightskip}
-\:{\I $w$ je artikulace} na této cestì -- BÚNO je taková artikulace v~DFS prohledána po~bloku obsahujícím~$x$,
-ale pøed~$y$. Tehdy nám jistì $x$ nezabránilo v~tom, abychom do~$w$ do¹li (mù¾e blokovat
-jenom jednu stranu hranice), tak¾e jsme se ve~$w$ museli rozhodnout, ¾e pøednostnì zpracujeme
-pokraèování cesty do~$y$ pøed hranou~$vw$, a~to je spor s~pravidlem~\#1.
-
-\:{\I $w$ je v~bloku pøipojeném pod takovou artikulací} -- aby se pravidlo~\#1 vydalo
-do~$y$ místo podøízených blokù, musí být alespoò jeden z~nich externí,
-tak¾e v~$G$ je minor~$N_1$.
-
-\:{\I $w$ je v~bloku na~cestì nebo pøipojen pod takový blok} -- opìt si v¹imneme, ¾e do~bloku jsme
-vstoupili mezi~$x$ a~$y$. Abychom se podle pravidla~\#2 rozhodli pro stranu, z~ní¾ nevede
-hrana~$vw$, musela na~druhé stranì být také hrana do~$v$, a~proto se v~grafu vyskytuje minor~$M$.
+\:{\I $w$ je artikulace} na této cestě -- BÚNO je taková artikulace v~DFS prohledána po~bloku obsahujícím~$x$,
+ale pÅ\99ed~$y$. Tehdy nám jistÄ\9b $x$ nezabránilo v~tom, abychom do~$w$ doÅ¡li (může blokovat
+jenom jednu stranu hranice), takže jsme se ve~$w$ museli rozhodnout, že přednostně zpracujeme
+pokračování cesty do~$y$ před hranou~$vw$, a~to je spor s~pravidlem~\#1.
+
+\:{\I $w$ je v~bloku připojeném pod takovou artikulací} -- aby se pravidlo~\#1 vydalo
+do~$y$ místo podřízených bloků, musí být alespoň jeden z~nich externí,
+takže v~$G$ je minor~$N_1$.
+
+\:{\I $w$ je v~bloku na~cestÄ\9b nebo pÅ\99ipojen pod takový blok} -- opÄ\9bt si vÅ¡imneme, že do~bloku jsme
+vstoupili mezi~$x$ a~$y$. Abychom se podle pravidla~\#2 rozhodli pro stranu, z~nÞ nevede
+hrana~$vw$, musela na~druhé straně být také hrana do~$v$, a~proto se v~grafu vyskytuje minor~$M$.
\endlist
-\:{\I zùstane 2-souvislý} a vznikne z~nìj nìjaký blok~$B'$ -- tehdy rozebereme, jaké hrany vedou mezi $v$ a $B'$:
+\:{\I zůstane 2-souvislý} a vznikne z~něj nějaký blok~$B'$ -- tehdy rozebereme, jaké hrany vedou mezi $v$ a $B'$:
\numlist\nparen
\finalfix{\rightskip=0.5\rightskip}
-\:{\I více ne¾ dvì hrany} -- minor~$N_2$.
-\:{\I alespoò jedna hrana na \uv{horní} cestu} (to jest na~tu, na~ni¾ nele¾í~$w$) -- minor~$N_3$.
-\:{\I dvì hrany do~$x,y$ nebo na \uv{dolní} cestu} -- a» u¾ jsme vstoupili na~hranici bloku~$B'$
-kteroukoliv hranou, pravidlo~\#2 nám øeklo, ¾e máme pokraèovat vrchem, co¾ je mo¾né jedinì tehdy,
-je-li na~spodní cestì je¹tì jeden externí vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
+\:{\I více než dvě hrany} -- minor~$N_2$.
+\:{\I alespoň jedna hrana na \uv{horní} cestu} (to jest na~tu, na~niž neleží~$w$) -- minor~$N_3$.
+\:{\I dvÄ\9b hrany do~$x,y$ nebo na \uv{dolnÃ} cestu} -- aÅ¥ už jsme vstoupili na~hranici bloku~$B'$
+kteroukoliv hranou, pravidlo~\#2 nám řeklo, že máme pokračovat vrchem, což je možné jedině tehdy,
+je-li na~spodní cestě ještě jeden externí vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
\qeditem
\endlist
\endlist
-\s{Poznámka:} Podle tohoto dùkazu bychom také mohli v~lineárním èase v~ka¾dém nerovinném
-grafu nalézt Kuratowského podgraf, dokonce také v~$O(n)$, jeliko¾ kdy¾ je $m>3n-6$,
-mù¾eme se omezit na~libovolných $3n-5$ hran, které urèitì tvoøí nerovinný podgraf.
+\s{Poznámka:} Podle tohoto důkazu bychom také mohli v~lineárním čase v~každém nerovinném
+grafu nalézt Kuratowského podgraf, dokonce také v~$O(n)$, jelikož když je $m>3n-6$,
+můžeme se omezit na~libovolných $3n-5$ hran, které určitě tvoří nerovinný podgraf.
\references
\bye
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{palatino}
\usetheme{Warsaw}
-\title[Kreslení grafù do roviny]{Kreslení grafù do roviny}
-\author[Martin Mare¹]{Martin Mare¹\\\texttt{mj@ucw.cz}}
+\title[Kreslení grafů do roviny]{Kreslení grafů do roviny}
+\author[Martin Mareš]{Martin Mareš\\\texttt{mj@ucw.cz}}
\institute{Charles University in Prague\\Faculty of Math and Physics\\Department of Applied Mathematics}
\date{}
\begin{document}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamerfont{title page}{family=\rmfamily}
-\begin{frame}{Stavy vrcholù}
+\begin{frame}{Stavy vrcholů}
-Pøi kreslení vrcholu~$v$ budeme oznaèovat vrcholy v~u¾ nakreslené
-èásti takto:
+Při kreslení vrcholu~$v$ budeme označovat vrcholy v~už nakreslené
+části takto:
~
\begin{itemize}
\item
-Vrchol~$w$ je {\bf externí,} pokud z~nìj vede zpìtná hrana do~je¹tì
-nenakreslené èásti grafu (\uv{nad $v$}), nebo pokud je artikulací,
-pod ní¾ je pøipojen podgraf obsahující takový vrchol. Ostatní vrcholy
-jsou {\bf interní.}
+Vrchol~$w$ je {\bf externí,} pokud z~něj vede zpětná hrana do~ještě
+nenakreslené části grafu (\uv{nad $v$}), nebo pokud je artikulací,
+pod níž je připojen podgraf obsahující takový vrchol. Ostatní vrcholy
+jsou {\bf interní.}
\item
-Vrchol~$w$ je {\bf ¾ivý,} pokud z~nìj vede zpìtná hrana do~$v$
-nebo pokud je pod ním pøipojen blok s~¾ivým vrcholem.
+Vrchol~$w$ je {\bf živý,} pokud z~něj vede zpětná hrana do~$v$
+nebo pokud je pod ním připojen blok s~živým vrcholem.
\item
-Podobnì pro bloky (podle koøene) a zpìtné hrany.
+Podobně pro bloky (podle kořene) a zpětné hrany.
\end{itemize}
\end{frame}
-\begin{frame}{Pravidla obcházení}
+\begin{frame}{Pravidla obcházení}
{\bf P1:}
-V~ka¾dém ¾ivém vrcholu zpracováváme:
+V~každém živém vrcholu zpracováváme:
\begin{enumerate}
-\item zpìtné hrany do~$v$
-\item podøízené ¾ivé interní bloky
-\item podøízené ¾ivé externí bloky
+\item zpětné hrany do~$v$
+\item podřízené živé interní bloky
+\item podřízené živé externí bloky
\end{enumerate}
~
{\bf P2:}
-Vstoupíme-li do podøízeného bloku, vybereme si smìr:
+Vstoupíme-li do podřízeného bloku, vybereme si směr:
\begin{enumerate}
-\item k~¾ivému internímu vrcholu
-\item k~¾ivému externímu vrcholu
+\item k~živému internímu vrcholu
+\item k~živému externímu vrcholu
\end{enumerate}
-Pokud se tento smìr li¹í od~dosavadního, podøízený blok a v¹e pod ním
-pøeklopíme.
+Pokud se tento směr liší od~dosavadního, podřízený blok a vše pod ním
+překlopíme.
\end{frame}
\begin{frame}{Algoritmus}
\begin{enumerate}
-\item Pokud má graf více ne¾ $3n-6$ hran $\Rightarrow$ {\sc nerovinný.}
-\item Prohledáme graf do hloubky: {\it Enter, Ancestor, LowPoint.}
-\item<3-> Sestrojíme {\it BlockList}y a setøídíme je.
-\item Pro vrcholy~$v$ v~poøadí klesajících {\it Enter\/}ù kreslíme:
-\item Nakreslíme stromové hrany z~$v$ dolù jako triviální bloky (2-cykly).
+\item Pokud má graf více než $3n-6$ hran $\Rightarrow$ {\sc nerovinný.}
+\item Prohledáme graf do hloubky: {\it Enter, Ancestor, LowPoint.}
+\item<3-> Sestrojíme {\it BlockList}y a setřídíme je.
+\item Pro vrcholy~$v$ v~pořadí klesajících {\it Enter\/}ů kreslíme:
+\item Nakreslíme stromové hrany z~$v$ dolů jako triviální bloky (2-cykly).
\advance\leftskip by 2em
-\item<4-> Oznaèíme ¾ivý podgraf.
-\item Pro ka¾dého syna vrcholu~$v$ obcházíme hranici v~obou smìrech
- a kreslíme zpìtné hrany do~$v$. Øídíme se pravidly {\bf P1} a {\bf P2,}
- za externím vrcholem se zastavíme.
-\item Zbývá-li nìjaká zpìtná hrana do~$v$ $\Rightarrow$ {\sc nerovinný.}
+\item<4-> Označíme živý podgraf.
+\item Pro každého syna vrcholu~$v$ obcházíme hranici v~obou směrech
+ a kreslíme zpětné hrany do~$v$. Řídíme se pravidly {\bf P1} a {\bf P2,}
+ za externím vrcholem se zastavíme.
+\item Zbývá-li nějaká zpětná hrana do~$v$ $\Rightarrow$ {\sc nerovinný.}
\advance\leftskip by -2em
-\item<2-> Zorientujeme seznamy sousedù $\Rightarrow$ hotové nakreslení.
+\item<2-> Zorientujeme seznamy sousedů $\Rightarrow$ hotové nakreslení.
\end{enumerate}
\end{frame}
\input ../sgr.tex
-\prednaska{12}{Pravdìpodobnostní algoritmus na øezy}{}
+\prednaska{12}{Pravděpodobnostní algoritmus na řezy}{}
-Nahlédnìme alespoò jednou kapitolou do~svìta pravdìpodobnostních algoritmù.
-Není toti¾ výjimkou, ¾e s~pomocí generátoru náhodných èísel vyøe¹íme nìkteré
-grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji, ne¾ to dovedeme deterministicky.
-Pravdìpodobnostní pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
-pro hledání minimálního øezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Pøipomeòme,
-¾e s~deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
-pomocí tokù nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.
+Nahlédněme alespoň jednou kapitolou do~světa pravděpodobnostních algoritmů.
+Není totiž výjimkou, že s~pomocí generátoru náhodných čísel vyřešíme některé
+grafové problémy daleko snáze a Ä\8dasto také efektivnÄ\9bji, než to dovedeme deterministicky.
+Pravděpodobnostní přístup si předvedeme na~Kargerově-Steinově algoritmu \cite{karger:mincut}
+pro hledání minimálního řezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Připomeňme,
+že s~deterministickými algoritmy jsme zatÃm dosáhli Ä\8dasové složitosti $\O(n^{5/3}m)$
+pomocí toků nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.
-\h{Náhodné kontrakce}
+\h{Náhodné kontrakce}
-Uva¾ujme nejdøíve následující algoritmus, který náhodnì vybírá
-hrany a kontrahuje je, dokud poèet vrcholù neklesne na~danou hodnotu~$\ell$.
+Uvažujme nejdříve následující algoritmus, který náhodně vybírá
+hrany a kontrahuje je, dokud počet vrcholů neklesne na~danou hodnotu~$\ell$.
\s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
\algo
\:$G \leftarrow G_0$.
\:Dokud $n>\ell$:
-\::Vybereme hranu $e\in E$ rovnomìrnì náhodnì.
-\::$G \leftarrow G/e$ (kontrahujeme hranu~$e$, smyèky odstraòujeme,
- paralelní hrany ponecháme).
-\:Vrátíme jako výsledek graf~$G$.
+\::Vybereme hranu $e\in E$ rovnoměrně náhodně.
+\::$G \leftarrow G/e$ (kontrahujeme hranu~$e$, smyčky odstraňujeme,
+ paralelní hrany ponecháme).
+\:Vrátíme jako výsledek graf~$G$.
\endalgo
-Jaká je pravdìpodobnost, ¾e výsledný graf~$G$ má stejnì velký minimální øez
-jako zadaný graf~$G_0$? V¹imnìme si nejprve, ¾e ka¾dý øez v~grafu $G/e$ je i øezem
-v~grafu~$G$ (a¾ na pøeznaèení hran pøi kontrakci, ale pøedpokládejme, ¾e hrany
-mají nìjaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobnì je-li v~grafu~$G$
-øez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejnì velký øez v~$G/e$. Velikost
-minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne -- mù¾e pouze stoupnout, pokud
-skontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,
-
-Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu~$G_0$ a oznaèíme~$k$ jeho
-velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu le¾ící v~tomto øezu, velikost
-minimálního øezu v~grafu~$G$ bude rovnì¾ rovna~$k$. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e
+Jaká je pravděpodobnost, že výsledný graf~$G$ má stejně velký minimální řez
+jako zadaný graf~$G_0$? Všimněme si nejprve, že každý řez v~grafu $G/e$ je i řezem
+v~grafu~$G$ (až na pÅ\99eznaÄ\8denà hran pÅ\99i kontrakci, ale pÅ\99edpokládejme, že hrany
+mají nějaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobně je-li v~grafu~$G$
+řez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejně velký řez v~$G/e$. Velikost
+minimálnÃho Å\99ezu tedy kontrakcà nikdy neklesne -- může pouze stoupnout, pokud
+skontrahujeme hranu ležící ve~všech minimálních řezech,
+
+Zvolíme nyní pevně jeden z~minimálních řezů~$C$ v~zadaném grafu~$G_0$ a označíme~$k$ jeho
+velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu ležící v~tomto řezu, velikost
+minimálnÃho Å\99ezu v~grafu~$G$ bude rovnÄ\9bž rovna~$k$. Jaká je pravdÄ\9bpodobnost, že
se tak stane?
-Oznaème $G_i$ stav grafu~$G$ pøed $i$-tým prùchodem cyklem a $n_i$ a $m_i$ poèet jeho
-vrcholù a hran. Zøejmì $n_i=n-i+1$ (ka¾dou kontrakcí pøijdeme o~jeden vrchol).
-Navíc ka¾dý vrchol má stupeò alespoò~$k$, jeliko¾ jinak by triviální øez okolo
-tohoto vrcholu byl men¹í ne¾ minimální øez. Proto platí $m_i \ge kn_i/2$. Hranu
-le¾ící v~øezu~$C$ tedy vybereme s~pravdìpodobností nejvý¹e $k/m_i \le k/(kn_i/2) = 2/n_i
-= 2/(n-i+1)$. V¹echny hrany z~øezu~$C$ proto postoupí do výsledného grafu~$G$
-s~pravdìpodobností
+Označme $G_i$ stav grafu~$G$ před $i$-tým průchodem cyklem a $n_i$ a $m_i$ počet jeho
+vrcholů a hran. Zřejmě $n_i=n-i+1$ (každou kontrakcí přijdeme o~jeden vrchol).
+Navíc každý vrchol má stupeň alespoň~$k$, jelikož jinak by triviální řez okolo
+tohoto vrcholu byl menší než minimální řez. Proto platí $m_i \ge kn_i/2$. Hranu
+ležící v~řezu~$C$ tedy vybereme s~pravděpodobností nejvýše $k/m_i \le k/(kn_i/2) = 2/n_i
+= 2/(n-i+1)$. Všechny hrany z~řezu~$C$ proto postoupí do výsledného grafu~$G$
+s~pravděpodobností
$$\eqalign{
p &\ge \prod_{i=1}^{n-\ell} \left( 1 - {2\over n-i+1} \right)
= \prod_{i=1}^{n-\ell} {n-i-1 \over n-i+1} = \cr
= {\ell\cdot(\ell-1) \over n\cdot(n-1)}. \cr
}$$
-Mù¾eme tedy zvolit pevnì~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
-a ve~vzniklém konstantnì velkém grafu pak nalézt minimální øez hrubou silou
-(to je obzvlá¹tì snadné pro $\ell=2$ -- tehdy staèí vzít v¹echny zbylé hrany).
-Takový algoritmus nalezne minimální øez s~pravdìpodobností alespoò $c/n^2$,
-kde~$c$ je konstanta závislá na~$\ell$.
-
-Nabízí se otázka, k~èemu je dobrý algoritmus, který vydá správný výsledek
-s~pravdìpodobností na~øádu $1/n^2$. To opravdu není mnoho, ale stejnì jako
-mnoho jiných randomizovaných algoritmù i tento mù¾eme iterovat: výpoèet
-zopakujeme $K$-krát a pou¾ijeme nejmen¹í z~nalezených øezù. Ten u¾ bude
-minimální s~pravdìpodobností
+Můžeme tedy zvolit pevně~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
+a ve~vzniklém konstantně velkém grafu pak nalézt minimální řez hrubou silou
+(to je obzvláště snadné pro $\ell=2$ -- tehdy stačí vzít všechny zbylé hrany).
+Takový algoritmus nalezne minimální řez s~pravděpodobností alespoň $c/n^2$,
+kde~$c$ je konstanta závislá na~$\ell$.
+
+Nabízí se otázka, k~čemu je dobrý algoritmus, který vydá správný výsledek
+s~pravděpodobností na~řádu $1/n^2$. To opravdu není mnoho, ale stejně jako
+mnoho jiných randomizovaných algoritmů i tento můžeme iterovat: výpočet
+zopakujeme $K$-krát a použijeme nejmenÅ¡Ã z~nalezených Å\99ezů. Ten už bude
+minimální s~pravděpodobností
$$
P_K \ge 1 - (1-c/n^2)^K \ge 1 - e^{-cK/n^2}.
$$
-(Druhá nerovnost platí díky tomu, ¾e $e^{-x} \ge 1-x$ pro v¹echna $x\ge 0$.)
-Pokud tedy nastavíme poèet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, mù¾eme tím pravdìpodobnost
-chyby stlaèit pod libovolnou konstantu, pro $K=\Omega(n^2\log n)$ pod pøevrácenou
-hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ u¾ bude dokonce exponenciálnì malá.
+(Druhá nerovnost platí díky tomu, že $e^{-x} \ge 1-x$ pro všechna $x\ge 0$.)
+Pokud tedy nastavíme počet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, můžeme tím pravděpodobnost
+chyby stlačit pod libovolnou konstantu, pro $K=\Omega(n^2\log n)$ pod převrácenou
+hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ už bude dokonce exponenciálně malá.
\h{Implementace}
-Odboème na chvíli k~implementaèním zále¾itostem. Jak reprezentovat graf, abychom
-stihli rychle provádìt kontrakce? Bude nám staèit obyèejná matice sousednosti,
-v~ní¾ pro ka¾dou dvojici vrcholù budeme udr¾ovat, kolik paralelních hran mezi tìmito vrcholy
-vede. Pokud chceme kontrahovat hranu~$uv$, staèí projít v¹echny hrany vedoucí
-(øeknìme) z~vrcholu~$u$ a zaøadit je k~vrcholu~$v$. To zvládneme v~èase $\O(n)$
+OdboÄ\8dme na chvÃli k~implementaÄ\8dnÃm záležitostem. Jak reprezentovat graf, abychom
+stihli rychle provádět kontrakce? Bude nám stačit obyčejná matice sousednosti,
+v~níž pro každou dvojici vrcholů budeme udržovat, kolik paralelních hran mezi těmito vrcholy
+vede. Pokud chceme kontrahovat hranu~$uv$, stačí projít všechny hrany vedoucí
+(řekněme) z~vrcholu~$u$ a zařadit je k~vrcholu~$v$. To zvládneme v~čase $\O(n)$
na jednu kontrakci.
-Pro náhodný výbìr hrany budeme udr¾ovat pole stupòù vrcholù, vybereme náhodnì
-vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou stupni a poté projitím pøíslu¹ného øádku
-matice sousednosti druhý vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou poètu hran
-mezi $u$ a~$v$. To opìt trvá èas $\O(n)$.
+Pro náhodný výběr hrany budeme udržovat pole stupňů vrcholů, vybereme náhodně
+vrchol~$v$ s~pravděpodobností úměrnou stupni a poté projitím příslušného řádku
+matice sousednosti druhý vrchol~$v$ s~pravděpodobností úměrnou počtu hran
+mezi $u$ a~$v$. To opět trvá čas $\O(n)$.
-Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~èase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
-$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~pøevrácenì
-polynomiální pravdìpodobností chyby, nalezneme minimální øez v~èase $\O(n^4\log n)$.
+Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~čase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
+$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~převráceně
+polynomiální pravděpodobností chyby, nalezneme minimální řez v~čase $\O(n^4\log n)$.
-\h{Kargerùv-Steinùv algoritmus}
+\h{Kargerův-Steinův algoritmus}
-Pøedchozí prostinký algoritmus mù¾eme je¹tì podstatnì vylep¹it.
-V¹imnìme si, ¾e bìhem kontrahování hran pravdìpodobnost toho, ¾e vybereme \uv{¹patnou}
-hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n$ a¾ po obrovské
-$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Pomù¾e tedy zastavit kontrahování døíve
-a~pøejít na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.
+Předchozí prostinký algoritmus můžeme ještě podstatně vylepšit.
+Všimněme si, že během kontrahování hran pravděpodobnost toho, že vybereme \uv{špatnou}
+hranu ležící v~minimálním řezu, postupně rostla z~počátečních $2/n$ až po obrovské
+$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Pomůže tedy zastavit kontrahování dříve
+a~přejít na~spolehlivější způsob hledání řezu.
-Pokud zvolíme $\ell=\lceil n/\sqrt2 +1\rceil$, pak øez~$C$ pøe¾ije kontrahování
-s~pravdìpodobností alespoò
+Pokud zvolíme $\ell=\lceil n/\sqrt2 +1\rceil$, pak řez~$C$ přežije kontrahování
+s~pravděpodobností alespoň
$$
{\ell\cdot (\ell-1) \over n\cdot (n-1)}
\ge {(n/\sqrt2+1)\cdot n/\sqrt2 \over n\cdot (n-1)}
\ge {1\over 2}.
$$
-Jako onen spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu následnì zavoláme stejný algoritmus
-rekurzivnì, pøièem¾ jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~obou
-nalezených øezù vybereme ten men¹í, èím¾ pravdìpodobnost chyby sní¾íme.
+Jako onen spolehlivější způsob hledání řezu následně zavoláme stejný algoritmus
+rekurzivně, přičemž jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~obou
+nalezených řezů vybereme ten menší, čímž pravděpodobnost chyby snížíme.
-Hotový algoritmus bude vypadat následovnì:
+Hotový algoritmus bude vypadat následovně:
\s{Algoritmus} $\hbox{\sc MinCut}(G)$:
\algo
-\:Pokud $n<7$, najdeme minimální øez hrubou silou.
-\:$\ell\leftarrow \lceil n/\sqrt 2 + 1 \rceil$.\foot{To je ménì ne¾~$n$, kdykoliv $n\ge 7$.}
+\:Pokud $n<7$, najdeme minimální řez hrubou silou.
+\:$\ell\leftarrow \lceil n/\sqrt 2 + 1 \rceil$.\foot{To je ménÄ\9b než~$n$, kdykoliv $n\ge 7$.}
\:$C_1 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
\:$C_2 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
-\:Vrátíme men¹í z~øezù $C_1$, $C_2$.
+\:Vrátíme menší z~řezů $C_1$, $C_2$.
\endalgo
-Jakou bude mít tento algoritmus èasovou slo¾itost? Nejprve odhadnìme hloubku
-rekurze: v~ka¾dém kroku se velikost vstupu zmen¹í pøibli¾nì $\sqrt 2$-krát, tak¾e strom
-rekurze bude mít hloubku $\O(\log n)$. Na~$i$-té hladinì zpracováváme $2^i$
-podproblémù velikosti $n/2^{i/2}$. Pøi výpoètu ka¾dého podproblému voláme
-dvakrát proceduru {\sc Contract}, která spotøebuje èas $\O((n/2^{i/2})^2)
-= \O(n^2/2^i)$. Souèet pøes celou hladinu tedy èiní $\O(n^2)$ a pøes v¹echny
-hladiny $\O(n^2\log n)$. Oproti pùvodnímu kontrakènímu algoritmu jsme si tedy
-moc nepohor¹ili.
-
-Zbývá spoèítat, s~jakou pravdìpodobností algoritmus skuteènì nalezne minimální øez.
-Oznaème $p_i$ pravdìpodobnost, ¾e algoritmus na~$i$-té hladinì stromu
-rekurze (poèítáno od~nejhlub¹í, nulté hladiny) vydá správný výsledek
-pøíslu¹ného podproblému. Jistì je $p_0=1$ a platí rekurence
-$p_i \ge 1 - (1 - 1/2 \cdot p_{i-1})^2$. Uva¾ujme posloupnost $g_i$, pro kterou
-jsou tyto nerovnosti splnìny jako rovnosti, a~v¹imnìme si, ¾e $p_i\ge g_i$.
-Víme tedy, ¾e $g_0=1$ a $g_i = 1-(1-1/2\cdot g_{i-1})^2 = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.
-
-Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, èili $g_i=4/(z_i+1)$, a~tak získáme
+Jakou bude mít tento algoritmus časovou složitost? Nejprve odhadněme hloubku
+rekurze: v~každém kroku se velikost vstupu zmenÅ¡Ã pÅ\99ibližnÄ\9b $\sqrt 2$-krát, takže strom
+rekurze bude mít hloubku $\O(\log n)$. Na~$i$-té hladině zpracováváme $2^i$
+podproblémů velikosti $n/2^{i/2}$. Při výpočtu každého podproblému voláme
+dvakrát proceduru {\sc Contract}, která spotřebuje čas $\O((n/2^{i/2})^2)
+= \O(n^2/2^i)$. Součet přes celou hladinu tedy činí $\O(n^2)$ a přes všechny
+hladiny $\O(n^2\log n)$. Oproti původnímu kontrakčnímu algoritmu jsme si tedy
+moc nepohoršili.
+
+Zbývá spočítat, s~jakou pravděpodobností algoritmus skutečně nalezne minimální řez.
+Označme $p_i$ pravděpodobnost, že algoritmus na~$i$-té hladině stromu
+rekurze (počítáno od~nejhlubší, nulté hladiny) vydá správný výsledek
+příslušného podproblému. Jistě je $p_0=1$ a platí rekurence
+$p_i \ge 1 - (1 - 1/2 \cdot p_{i-1})^2$. Uvažujme posloupnost $g_i$, pro kterou
+jsou tyto nerovnosti splnÄ\9bny jako rovnosti, a~vÅ¡imnÄ\9bme si, že $p_i\ge g_i$.
+VÃme tedy, že $g_0=1$ a $g_i = 1-(1-1/2\cdot g_{i-1})^2 = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.
+
+Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, čili $g_i=4/(z_i+1)$, a~tak získáme
novou rekurenci pro~$z_i$:
$$
{4 \over z_i+1} = {4\over z_{i-1}+1} - {4\over (z_{i-1}+1)^2},
$$
-kterou u¾ mù¾eme snadno upravovat:
+kterou už můžeme snadno upravovat:
$$\eqalign{
{1\over z_i+1} &= {z_{i-1} \over (z_{i-1}+1)^2}, \cr
z_i+1 &= {z_{i-1}^2 + 2z_{i-1} + 1 \over z_{i-1}}, \cr
z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + {1\over z_{i-1}}. \cr
}$$
-Jeliko¾ $z_0=3$, a~tím pádem $z_i\ge 3$ pro v¹echna~$i$, získáme z~poslední
-rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudí¾ $z_i \le 2i+3$.
-Zpìtnou substitucí obdr¾íme $g_i \ge 4/(2i+4)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
+Jelikož $z_0=3$, a~tím pádem $z_i\ge 3$ pro všechna~$i$, získáme z~poslední
+rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudÞ $z_i \le 2i+3$.
+Zpětnou substitucí obdržíme $g_i \ge 4/(2i+4)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
-Nyní si staèí vzpomenout, ¾e hloubka rekurze èiní $\O(\log n)$, a ihned získáme
-odhad pro pravdìpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Ná¹ algoritmus
-tedy staèí ziterovat $\O(\log^2 n)$-krát, abychom pravdìpodobnost chyby stlaèili
-pod pøevrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme následující vìtu:
+Nyní si stačí vzpomenout, že hloubka rekurze činí $\O(\log n)$, a ihned získáme
+odhad pro pravděpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Náš algoritmus
+tedy stačí ziterovat $\O(\log^2 n)$-krát, abychom pravděpodobnost chyby stlačili
+pod převrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme následující větu:
-\s{Vìta:} Iterováním algoritmu {\sc MinCut} nalezneme minimální øez v~neohodnoceném
-neorientovaném grafu v~èase $\O(n^2\log^3 n)$ s~pravdìpodobností chyby $\O(1/n^c)$
+\s{Věta:} Iterováním algoritmu {\sc MinCut} nalezneme minimální řez v~neohodnoceném
+neorientovaném grafu v~čase $\O(n^2\log^3 n)$ s~pravděpodobností chyby $\O(1/n^c)$
pro libovolnou konstantu $c>0$.
-\h{Cvièení}
+\h{Cvičení}
\numlist\ndotted
-\:Zvolte lep¹í reprezentaci grafu, abyste prostorovou slo¾itost sní¾ili z~$\Theta(n^2)$ na~$\O(m)$.
- Mù¾e se tím zmen¹it èasová slo¾itost?
-\:Doka¾te, ¾e z~na¹eho rozboru pravdìpodobnosti chyby plyne, ¾e v~ka¾dém grafu je nejvý¹e $\O(n^2)$
- minimálních øezù.
-\:Uka¾te, jak algoritmus upravit pro grafy s~ohodnocenými hranami.
+\:Zvolte lepÅ¡Ã reprezentaci grafu, abyste prostorovou složitost snÞili z~$\Theta(n^2)$ na~$\O(m)$.
+ Může se tÃm zmenÅ¡it Ä\8dasová složitost?
+\:Dokažte, že z~našeho rozboru pravděpodobnosti chyby plyne, že v~každém grafu je nejvýše $\O(n^2)$
+ minimálních řezů.
+\:Ukažte, jak algoritmus upravit pro grafy s~ohodnocenými hranami.
\endlist
\references
\input ../sgr.tex
-\prednaska{13}{Nejkrat¹í cesty}{}
+\prednaska{13}{NejkratĹĄĂ cesty}{}
\def\ppsp{1-1}
\def\sssp{1-$n$}
\def\apsp{$n$-$n$}
\def\astar{A\kern-0.15em *}
-Problém hledání nejkrat¹í cesty v~(obvykle ohodnoceném orientovaném) grafu
-provází teorii grafových algoritmù od~samých poèátkù. Základní algoritmy
-pro hledání cest jsou nedílnou souèástí základních kursù programování
-a algoritmù, my se budeme vìnovat zejména rùzným jejich vylep¹ením.
+ProblĂŠm hledĂĄnĂ nejkratĹĄĂ cesty v~(obvykle ohodnocenĂŠm orientovanĂŠm) grafu
+provĂĄzĂ teorii grafovĂ˝ch algoritmĹŻ od~samĂ˝ch poÄ\8dĂĄtkĹŻ. ZĂĄkladnĂ algoritmy
+pro hledĂĄnĂ cest jsou nedĂlnou souÄ\8dĂĄstĂ zĂĄkladnĂch kursĹŻ programovĂĄnĂ
+a algoritmĹŻ, my se budeme vÄ\9bnovat zejmĂŠna rĹŻznĂ˝m jejich vylepĹĄenĂm.
-Uva¾ujme tedy nìjaký orientovaný graf, jeho¾ ka¾dá hrana~$e$ je opatøena
-{\I délkou} $\ell(e)\in{\bb R}$. Mno¾inì hran (tøeba sledu nebo cestì)
-pak pøiøadíme délku rovnou souètu délek jednotlivých hran.
+UvaĹžujme tedy nÄ\9bjakĂ˝ orientovanĂ˝ graf, jehoĹž kaĹždĂĄ hrana~$e$ je opatĹ\99ena
+{\I dĂŠlkou} $\ell(e)\in{\bb R}$. MnoĹžinÄ\9b hran (tĹ\99eba sledu nebo cestÄ\9b)
+pak pĹ\99iĹ\99adĂme dĂŠlku rovnou souÄ\8dtu dĂŠlek jednotlivĂ˝ch hran.
-Pro vrcholy $u,v$ definujeme jejich {\I vzdálenost} $d(u,v)$ jako nejmen¹í
-mo¾nou délku cesty z~$u$ do~$v$ (jeliko¾ cest je v~grafu koneènì mnoho,
-minimum v¾dy existuje). Pokud z~$u$ do~$v$ ¾ádná cesta nevede, polo¾íme
+Pro vrcholy $u,v$ definujeme jejich {\I vzdĂĄlenost} $d(u,v)$ jako nejmenĹĄĂ
+moĹžnou dĂŠlku cesty z~$u$ do~$v$ (jelikoĹž cest je v~grafu koneÄ\8dnÄ\9b mnoho,
+minimum vĹždy existuje). Pokud z~$u$ do~$v$ ŞådnĂĄ cesta nevede, poloĹžĂme
$d(u,v) := \infty$.
-Obvykle se studují následující tøi problémy:
+Obvykle se studujĂ nĂĄsledujĂcĂ tĹ\99i problĂŠmy:
\itemize\ibull
-\:{\bo 1-1} neboli {\bo P2PSP} (Point to Point Shortest Path) -- chceme nalézt nejkrat¹í
- cestu z~daného vrcholu~$u$ do~daného vrcholu~$v$. (Pokud je nejkrat¹ích cest
- více, tak libovolnou z~nich.)
-\:{\bo 1-n} neboli {\bo SSSP} (Single Source Shortest Paths) -- pro daný vrchol~$u$ chceme
- nalézt nejkrat¹í cesty do~v¹ech ostatních vrcholù.
-\:{\bo n-n} neboli {\bo APSP} (All Pairs Shortest Paths) -- zajímají nás nejkrat¹í cesty
- mezi v¹emi dvojicemi vrcholù.
+\:{\bo 1-1} neboli {\bo P2PSP} (Point to Point Shortest Path) -- chceme nalĂŠzt nejkratĹĄĂ
+ cestu z~danĂŠho vrcholu~$u$ do~danĂŠho vrcholu~$v$. (Pokud je nejkratĹĄĂch cest
+ vĂce, tak libovolnou z~nich.)
+\:{\bo 1-n} neboli {\bo SSSP} (Single Source Shortest Paths) -- pro danĂ˝ vrchol~$u$ chceme
+ nalĂŠzt nejkratĹĄĂ cesty do~vĹĄech ostatnĂch vrcholĹŻ.
+\:{\bo n-n} neboli {\bo APSP} (All Pairs Shortest Paths) -- zajĂmajĂ nĂĄs nejkratĹĄĂ cesty
+ mezi vĹĄemi dvojicemi vrcholĹŻ.
\endlist
-Pøekvapivì, tak obecnì, jak jsme si uvedené problémy definovali, je neumíme
-øe¹it v~polynomiálním èase: pro grafy, které mohou obsahovat hrany záporných
-délek bez jakýchkoliv omezení, je toti¾ hledání nejkrat¹í cesty NP-tì¾ké
-(lze na~nìj snadno pøevést existenci hamiltonovské cesty). V¹echny známé
-polynomiální algoritmy toti¾ místo nejkrat¹í cesty hledají nejkrat¹í sled
--- nijak nekontrolují, zda cesta neprojde jedním vrcholem vícekrát.
-
-Na¹tìstí pro nás je to v~grafech bez cyklù záporné délky toté¾: pokud se
-v~nalezeném sledu vyskytne cyklus, mù¾eme jej \uv{vystøihnout} a tím získat
-sled, který není del¹í a~který má ménì hran. Ka¾dý nejkrat¹í sled tak
-mù¾eme upravit na~stejnì dlouhou cestu.
-V~grafech bez záporných cyklù je tedy jedno, zda hledáme sled nebo cestu;
-naopak vyskytne-li se záporný cyklus dosa¾itelný z~poèáteèního vrcholu,
-nejkrat¹í sled ani neexistuje.
-
-Navíc se nám bude hodit, ¾e ka¾dý prefix nejkrat¹í cesty je opìt nejkrat¹í
-cesta. Jinými slovy pokud nìkterá z~nejkrat¹ích cest z~$u$ do~$v$ vede
-pøes nìjaký vrchol~$w$, pak její èást z~$u$ do~$w$ je jednou z~nejkrat¹ích
-cest z~$u$ do~$w$. (V~opaèném pøípadì bychom mohli úsek $u\ldots w$ vymìnit za~krat¹í.)
-
-Díky této {\I prefixové vlastnosti} mù¾eme pro ka¾dý vrchol~$u$ sestrojit jeho {\I strom
-nejkrat¹ích cest}~${\cal T}(u)$. To je nìjaký podgraf grafu~$G$, který má tvar
-stromu zakoøenìného v~$u$ a orientovaného smìrem od~koøene, a~platí pro nìj, ¾e
-pro ka¾dý vrchol~$v$ je (jediná) cesta z~$u$ do~$v$ v~tomto stromu jednou
-z~nejkrat¹ích cest z~$u$ do~$v$ v~pùvodním grafu.
-
-\s{Pozorování:} Strom nejkrat¹ích cest v¾dy existuje.
+PĹ\99ekvapivÄ\9b, tak obecnÄ\9b, jak jsme si uvedenĂŠ problĂŠmy definovali, je neumĂme
+Ĺ\99eĹĄit v~polynomiĂĄlnĂm Ä\8dase: pro grafy, kterĂŠ mohou obsahovat hrany zĂĄpornĂ˝ch
+dĂŠlek bez jakĂ˝chkoliv omezenĂ, je totiĹž hledĂĄnĂ nejkratĹĄĂ cesty NP-tÄ\9bĹžkĂŠ
+(lze na~nÄ\9bj snadno pĹ\99evĂŠst existenci hamiltonovskĂŠ cesty). VĹĄechny znĂĄmĂŠ
+polynomiĂĄlnĂ algoritmy totiĹž mĂsto nejkratĹĄĂ cesty hledajĂ nejkratĹĄĂ sled
+-- nijak nekontrolujĂ, zda cesta neprojde jednĂm vrcholem vĂcekrĂĄt.
+
+NaĹÄ\84tÃ\84Â\9bstÄ\82 pro nÄ\82Ä\84s je to v~grafech bez cyklĹŻ zÄ\82Ä\84pornÄ\82Å dÄ\82Å lky totÄ\82ŠĹž: pokud se
+v~nalezenĂŠm sledu vyskytne cyklus, mĹŻĹžeme jej \uv{vystĹ\99ihnout} a tĂm zĂskat
+sled, kterĂ˝ nenĂ delĹĄĂ a~kterĂ˝ mĂĄ mĂŠnÄ\9b hran. KaĹždĂ˝ nejkratĹĄĂ sled tak
+mĹŻĹžeme upravit na~stejnÄ\9b dlouhou cestu.
+V~grafech bez zåporných cyklů je tedy jedno, zda hledåme sled nebo cestu;
+naopak vyskytne-li se zĂĄpornĂ˝ cyklus dosaĹžitelnĂ˝ z~poÄ\8dĂĄteÄ\8dnĂho vrcholu,
+nejkratĹĄĂ sled ani neexistuje.
+
+NavĂc se nĂĄm bude hodit, Ĺže kaĹždĂ˝ prefix nejkratĹĄĂ cesty je opÄ\9bt nejkratĹĄĂ
+cesta. JinĂ˝mi slovy pokud nÄ\9bkterĂĄ z~nejkratĹĄĂch cest z~$u$ do~$v$ vede
+pĹ\99es nÄ\9bjakĂ˝ vrchol~$w$, pak jejĂ Ä\8dĂĄst z~$u$ do~$w$ je jednou z~nejkratĹĄĂch
+cest z~$u$ do~$w$. (V~opaÄ\8dnĂŠm pĹ\99ĂpadÄ\9b bychom mohli Ăşsek $u\ldots w$ vymÄ\9bnit za~kratĹĄĂ.)
+
+DĂky tĂŠto {\I prefixovĂŠ vlastnosti} mĹŻĹžeme pro kaĹždĂ˝ vrchol~$u$ sestrojit jeho {\I strom
+nejkratĹĄĂch cest}~${\cal T}(u)$. To je nÄ\9bjakĂ˝ podgraf grafu~$G$, kterĂ˝ mĂĄ tvar
+stromu zakoĹÂ\99enÃ\84Â\9bnÄ\82Å ho v~$u$ a orientovanÄ\82Å ho smÃ\84Â\9brem od~koĹÂ\99ene, a~platÄ\82 pro nÃ\84Â\9bj, Ĺže
+pro kaĹždĂ˝ vrchol~$v$ je (jedinĂĄ) cesta z~$u$ do~$v$ v~tomto stromu jednou
+z~nejkratĹĄĂch cest z~$u$ do~$v$ v~pĹŻvodnĂm grafu.
+
+\s{PozorovÄ\82Ä\84nÄ\82Â:} Strom nejkratĹÄ\84Ä\82Âch cest vĹždy existuje.
\proof
-Nech» $u=v_1,\ldots,v_n$ jsou v¹echny vrcholy grafu~$G$. Indukcí budeme
-dokazovat, ¾e pro ka¾dé~$i$ existuje strom~${\cal T}_i$, v~nìm¾ se nacházejí nejkrat¹í
-cesty z~vrcholu~$u$ do vrcholù $v_1,\ldots,v_i$. Pro $i=1$ staèí uvá¾it
-strom obsahující jediný vrchol~$u$. Ze~stromu ${\cal T}_{i-1}$ pak vyrobíme
-strom ${\cal T}_i$ takto: Nalezneme v~$G$ nejkrat¹í cestu z~$u$ do~$v_i$
-a oznaèíme~$z$ poslední vrchol na~této cestì, který se je¹tì vyskytuje v~${\cal T}_{i-1}$.
-Úsek nejkrat¹í cesty od~$z$ do~$v_i$ pak pøidáme do~${\cal T}_{i-1}$
-a díky prefixové vlastnosti bude i cesta z~$u$ do~$v_i$ v~novém stromu
-nejkrat¹í.
+NechĹĽ $u=v_1,\ldots,v_n$ jsou vĹĄechny vrcholy grafu~$G$. IndukcĂ budeme
+dokazovat, Ĺže pro kaĹždĂŠ~$i$ existuje strom~${\cal T}_i$, v~nÄ\9bmĹž se nachĂĄzejĂ nejkratĹĄĂ
+cesty z~vrcholu~$u$ do vrcholĹŻ $v_1,\ldots,v_i$. Pro $i=1$ staÃ\84Â\8dÄ\82 uvÄ\82Ä\84Ĺžit
+strom obsahujĂcĂ jedinĂ˝ vrchol~$u$. Ze~stromu ${\cal T}_{i-1}$ pak vyrobĂme
+strom ${\cal T}_i$ takto: Nalezneme v~$G$ nejkratĹĄĂ cestu z~$u$ do~$v_i$
+a oznaÄ\8dĂme~$z$ poslednĂ vrchol na~tĂŠto cestÄ\9b, kterĂ˝ se jeĹĄtÄ\9b vyskytuje v~${\cal T}_{i-1}$.
+Ă\9asek nejkratĹĄĂ cesty od~$z$ do~$v_i$ pak pĹ\99idĂĄme do~${\cal T}_{i-1}$
+a dĂky prefixovĂŠ vlastnosti bude i cesta z~$u$ do~$v_i$ v~novĂŠm stromu
+nejkratĹĄĂ.
\qed
-Zbývá se dohodnout, v~jakém tvaru mají na¹e algoritmy vydávat výsledek.
-U~problémù typu \ppsp{} je nejjednodu¹¹í vypsat celou cestu, u~\sssp{} mù¾eme jako výstup
-vydat strom nejkrat¹ích cest z~daného poèátku (v¹imnìte si, ¾e staèí
-uvést pøedchùdce ka¾dého vrcholu), u~\apsp{} vydáme strom nejkrat¹ích cest
-pro ka¾dý ze~zdrojových vrcholù.
+Zbývå se dohodnout, v~jakÊm tvaru majà naťe algoritmy vydåvat výsledek.
+U~problÊmů typu \ppsp{} je nejjednoduťťà vypsat celou cestu, u~\sssp{} můŞeme jako výstup
+vydat strom nejkratĹĄĂch cest z~danĂŠho poÄ\8dĂĄtku (vĹĄimnÄ\9bte si, Ĺže staÄ\8dĂ
+uvĂŠst pĹ\99edchĹŻdce kaĹždĂŠho vrcholu), u~\apsp{} vydĂĄme strom nejkratĹĄĂch cest
+pro kaŞdý ze~zdrojových vrcholů.
-Èasto se ov¹em uká¾e, ¾e podstatná èást problému se skrývá v~samotném
-výpoètu vzdáleností a sestrojení pøedchùdcù je triviálním roz¹íøením algoritmu.
-Budeme tedy obvykle jen poèítat vzdálenosti a samotnou rekonstrukci cest
-ponecháme ètenáøi jako snadné cvièení.
+Ä\8casto se ovĹĄem ukĂĄĹže, Ĺže podstatnĂĄ Ä\8dĂĄst problĂŠmu se skrĂ˝vĂĄ v~samotnĂŠm
+vĂ˝poÄ\8dtu vzdĂĄlenostĂ a sestrojenĂ pĹ\99edchĹŻdcĹŻ je triviĂĄlnĂm rozĹĄĂĹ\99enĂm algoritmu.
+Budeme tedy obvykle jen poÄ\8dĂtat vzdĂĄlenosti a samotnou rekonstrukci cest
+ponechĂĄme Ä\8dtenĂĄĹ\99i jako snadnĂŠ cviÄ\8denĂ.
-\h{Relaxaèní algoritmus}
+\h{RelaxaÄ\8dnĂ algoritmus}
-Zaènìme problémem \sssp{} a oznaème~$u$ výchozí vrchol. Vìt¹ina známých
-algoritmù funguje tak, ¾e pro ka¾dý vrchol~$v$ udr¾ují ohodnocení $h(v)$,
-které v~ka¾dém okam¾iku odpovídá délce nìjakého sledu z~$u$ do~$v$. Postupnì
-toto ohodnocení upravují, a¾ se z~nìj stane vzdálenost $d(u,v)$ a algoritmus
-se mù¾e zastavit.
+ZaÄ\8dnÄ\9bme problĂŠmem \sssp{} a oznaÄ\8dme~$u$ vĂ˝chozĂ vrchol. VÄ\9btĹĄina znĂĄmĂ˝ch
+algoritmĹŻ funguje tak, Ĺže pro kaĹždĂ˝ vrchol~$v$ udrĹžujĂ ohodnocenĂ $h(v)$,
+kterĂŠ v~kaĹždĂŠm okamĹžiku odpovĂdĂĄ dĂŠlce nÄ\9bjakĂŠho sledu z~$u$ do~$v$. PostupnÄ\9b
+toto ohodnocenĂ upravujĂ, aĹž se z~nÄ\9bj stane vzdĂĄlenost $d(u,v)$ a algoritmus
+se mĹŻĹže zastavit.
-Vhodnou operací pro vylep¹ování ohodnocení je takzvaná {\I relaxace.}
-Vybereme si nìjaký vrchol~$v$ a pro v¹echny jeho sousedy~$w$ spoèítáme
-$h(v) + \ell(v,w)$, tedy délku sledu, který vznikne roz¹íøením aktuálního
-sledu do~$v$ o~hranu $(v,w)$. Pokud je tato hodnota men¹í ne¾~$h(w)$,
-tak jí $h(w)$ pøepí¹eme.
+Vhodnou operacĂ pro vylepĹĄovĂĄnĂ ohodnocenĂ je takzvanĂĄ {\I relaxace.}
+Vybereme si nÄ\9bjakĂ˝ vrchol~$v$ a pro vĹĄechny jeho sousedy~$w$ spoÄ\8dĂtĂĄme
+$h(v) + \ell(v,w)$, tedy dĂŠlku sledu, kterĂ˝ vznikne rozĹĄĂĹ\99enĂm aktuĂĄlnĂho
+sledu do~$v$ o~hranu $(v,w)$. Pokud je tato hodnota menĹÄ\84Ä\82 neĹž~$h(w)$,
+tak jĂ $h(w)$ pĹ\99epĂĹĄeme.
-Abychom zabránili opakovaným relaxacím tého¾ vrcholu, které nic nezmìní,
-budeme rozli¹ovat tøi stavy vrcholù: {\I nevidìn} (je¹tì jsme ho nenav¹tívili),
-{\I otevøen} (zmìnilo se ohodnocení, èasem chceme relaxovat) a {\I uzavøen}
-(u¾ jsme relaxovali a není potøeba znovu).
+Abychom zabrĂĄnili opakovanĂ˝m relaxacĂm tĂŠhoĹž vrcholu, kterĂŠ nic nezmÄ\9bnĂ,
+budeme rozliĹĄovat tĹ\99i stavy vrcholĹŻ: {\I nevidÄ\9bn} (jeĹĄtÄ\9b jsme ho nenavĹĄtĂvili),
+{\I otevĹ\99en} (zmÄ\9bnilo se ohodnocenĂ, Ä\8dasem chceme relaxovat) a {\I uzavĹ\99en}
+(uĹž jsme relaxovali a nenĂ potĹ\99eba znovu).
-Ná¹ algoritmus bude fungovat následovnì:
+NĂĄĹĄ algoritmus bude fungovat nĂĄsledovnÄ\9b:
\algo
\:$h(*)\leftarrow \infty$, $h(u)\leftarrow 0$.
-\:$\<stav>(*)\leftarrow\<nevidìn>$, $\<stav>(u)\leftarrow\<otevøen>$.
-\:Dokud existují otevøené vrcholy, opakujeme:
-\::$v\leftarrow\hbox{libovolný otevøený vrchol}$.
-\::$\<stav>(v)\leftarrow\<uzavøen>$.
+\:$\<stav>(*)\leftarrow\<nevidÄ\9bn>$, $\<stav>(u)\leftarrow\<otevĹ\99en>$.
+\:Dokud existujĂ otevĹ\99enĂŠ vrcholy, opakujeme:
+\::$v\leftarrow\hbox{libovolnĂ˝ otevĹ\99enĂ˝ vrchol}$.
+\::$\<stav>(v)\leftarrow\<uzavĹ\99en>$.
\::Relaxujeme~$v$:
-\:::Pro v¹echny hrany $vw$ opakujeme:
+\:::Pro vĹĄechny hrany $vw$ opakujeme:
\::::Je-li $h(w) > h(v) + \ell(v,w)$:
\:::::$h(w)\leftarrow h(v) + \ell(v,w)$.
-\:::::$\<stav>(w)\leftarrow\<otevøen>$.
-\:Vrátíme výsledek $d(u,v)=h(v)$ pro v¹echna~$v$.
+\:::::$\<stav>(w)\leftarrow\<otevĹ\99en>$.
+\:VrĂĄtĂme vĂ˝sledek $d(u,v)=h(v)$ pro vĹĄechna~$v$.
\endalgo
-Podobnì jako u~minimálních koster, i zde se jedná o~meta-algoritmus, proto¾e
-v~kroku~4 nespecifikuje, který z~otevøených vrcholù vybírá. Pøesto
-ale mù¾eme dokázat nìkolik zajímavých tvrzení, která na~konkrétním zpùsobu
-výbìru nezávisejí.
+PodobnÃ\84Â\9b jako u~minimÄ\82Ä\84lnÄ\82Âch koster, i zde se jednÄ\82Ä\84 o~meta-algoritmus, protoĹže
+v~kroku~4 nespecifikuje, kterĂ˝ z~otevĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ vybĂrĂĄ. PĹ\99esto
+ale mĹŻĹžeme dokĂĄzat nÄ\9bkolik zajĂmavĂ˝ch tvrzenĂ, kterĂĄ na~konkrĂŠtnĂm zpĹŻsobu
+vĂ˝bÄ\9bru nezĂĄvisejĂ.
-\s{Vìta:} Spustíme-li meta-algoritmus na graf bez záporných cyklù, pak:
+\s{VÄ\9bta:} SpustĂme-li meta-algoritmus na graf bez zĂĄpornĂ˝ch cyklĹŻ, pak:
\numlist\nparen
-\:Ohodnocení $h(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z~$u$ do~$v$.
-\:$h(v)$ dokonce odpovídá délce nìjaké cesty z~$u$ do~$v$.
-\:Algoritmus se v¾dy zastaví.
-\:Po zastavení jsou oznaèeny jako uzavøené právì ty vrcholy, které jsou dosa¾itelné z~$u$.
-\:Po zastavení mají koneèné~$h(v)$ právì v¹echny uzavøené vrcholy.
-\:Pro ka¾dý dosa¾itelný vrchol je na~konci $h(v)$ rovno $d(u,v)$.
+\:OhodnocenĂ $h(v)$ vĹždy odpovĂdĂĄ dĂŠlce nÄ\9bjakĂŠho sledu z~$u$ do~$v$.
+\:$h(v)$ dokonce odpovĂdĂĄ dĂŠlce nÄ\9bjakĂŠ cesty z~$u$ do~$v$.
+\:Algoritmus se vĹždy zastavĂ.
+\:Po zastavenĂ jsou oznaÄ\8deny jako uzavĹ\99enĂŠ prĂĄvÄ\9b ty vrcholy, kterĂŠ jsou dosaĹžitelnĂŠ z~$u$.
+\:Po zastavenĂ majĂ koneÄ\8dnĂŠ~$h(v)$ prĂĄvÄ\9b vĹĄechny uzavĹ\99enĂŠ vrcholy.
+\:Pro kaĹždĂ˝ dosaĹžitelnĂ˝ vrchol je na~konci $h(v)$ rovno $d(u,v)$.
\endlist
\proof
\numlist\nparen
-\:Doká¾eme indukcí podle poètu krokù algoritmu.
-\:Staèí rozmyslet, v~jaké situaci by vytvoøený sled mohl obsahovat cyklus.
-\:Cest, a~tím pádem i mo¾ných hodnot~$h(v)$ pro ka¾dý~$v$, je koneènì mnoho.
-\:Implikace $\Rightarrow$ je triviální, pro $\Leftarrow$ staèí uvá¾it neuzavøený vrchol,
- který je dosa¾itelný z~$u$ cestou o~co nejmen¹ím poètu hran.
-\:$h(v)$ nastavujeme na~koneènou hodnotu právì v~okam¾icích, kdy se vrchol stává otevøeným.
- Ka¾dý otevøený vrchol je èasem uzavøen.
+\:DokĂĄĹžeme indukcĂ podle poÄ\8dtu krokĹŻ algoritmu.
+\:StaÄ\8dĂ rozmyslet, v~jakĂŠ situaci by vytvoĹ\99enĂ˝ sled mohl obsahovat cyklus.
+\:Cest, a~tĂm pĂĄdem i moĹžnĂ˝ch hodnot~$h(v)$ pro kaĹždĂ˝~$v$, je koneÄ\8dnÄ\9b mnoho.
+\:Implikace $\Rightarrow$ je triviĂĄlnĂ, pro $\Leftarrow$ staÄ\8dĂ uvĂĄĹžit neuzavĹ\99enĂ˝ vrchol,
+ kterĂ˝ je dosaĹžitelnĂ˝ z~$u$ cestou o~co nejmenĹĄĂm poÄ\8dtu hran.
+\:$h(v)$ nastavujeme na~koneÄ\8dnou hodnotu prĂĄvÄ\9b v~okamĹžicĂch, kdy se vrchol stĂĄvĂĄ otevĹ\99enĂ˝m.
+ KaĹždĂ˝ otevĹ\99enĂ˝ vrchol je Ä\8dasem uzavĹ\99en.
\:Kdyby tomu tak nebylo,
- vyberme si ze~\uv{¹patných} vrcholù~$v$ takový, pro nìj¾ obsahuje nejkrat¹í cesta z~$u$ do~$v$
- nejmen¹í mo¾ný poèet hran. Vrchol~$v$ je zajisté rùzný od~$u$, tak¾e má na~této cestì nìjakého
- pøedchùdce~$w$. Pøitom~$w$ u¾ musí být ohodnocen správnì a relaxace, která mu toto ohodnocení
- nastavila, ho musela prohlásit za~otevøený. Jen¾e ka¾dý otevøený vrchol je pozdìji uzavøen,
- tak¾e~$w$ poté musel být je¹tì alespoò jednou relaxován, co¾ muselo sní¾it~$h(v)$ na správnou
- vzdálenost.
+ vyberme si ze~\uv{ĹĄpatnĂ˝ch} vrcholĹŻ~$v$ takovĂ˝, pro nÄ\9bjĹž obsahuje nejkratĹĄĂ cesta z~$u$ do~$v$
+ nejmenĹĄĂ moĹžnĂ˝ poÄ\8det hran. Vrchol~$v$ je zajistĂŠ rĹŻznĂ˝ od~$u$, takĹže mĂĄ na~tĂŠto cestÄ\9b nÄ\9bjakĂŠho
+ pĹ\99edchĹŻdce~$w$. PĹ\99itom~$w$ uĹž musĂ bĂ˝t ohodnocen sprĂĄvnÄ\9b a relaxace, kterĂĄ mu toto ohodnocenĂ
+ nastavila, ho musela prohlĂĄsit za~otevĹ\99enĂ˝. JenĹže kaĹždĂ˝ otevĹ\99enĂ˝ vrchol je pozdÄ\9bji uzavĹ\99en,
+ takĹže~$w$ potĂŠ musel bĂ˝t jeĹĄtÄ\9b alespoĹ\88 jednou relaxovĂĄn, coĹž muselo snĂĹžit~$h(v)$ na sprĂĄvnou
+ vzdĂĄlenost.
\qeditem
\endlist
-\>Dokázali jsme tedy, ¾e meta-algoritmus pro libovolnou implementaci kroku~4
-spoèítá správné vzdálenosti.
+\>DokÄ\82Ä\84zali jsme tedy, Ĺže meta-algoritmus pro libovolnou implementaci kroku~4
+spoÄ\8dĂtĂĄ sprĂĄvnĂŠ vzdĂĄlenosti.
\medskip
-\s{Cvièení:}
+\s{CviÄ\8denĂ:}
\itemize\ibull
-\:Nech» do algoritmu doplníme udr¾ování pøedchùdcù tak, ¾e v~kroku~9
- pøenastavíme pøedchùdce vrcholu~$w$ na vrchol~$v$. Doka¾te, ¾e pøedchùdci
- dosa¾itelných vrcholù budou tvoøit strom a ¾e tento strom bude stromem
- nejkrat¹ích cest z~vrcholu~$u$.
-\:Doka¾te, ¾e pro graf, v~nìm¾ je alespoò jeden záporný cyklus dosa¾itelný
- z~poèáteèního vrcholu, se algoritmus nezastaví a ohodnocení v¹ech vrcholù
- na cyklu postupnì klesnou libovolnì hluboko. Nedosa¾itelné záporné cykly
- chod algoritmu samozøejmì nijak neovlivní.
+\:NechĹĽ do algoritmu doplnÄ\82Âme udrĹžovÄ\82Ä\84nÄ\82 pĹÂ\99edchĹŻdcĹŻ tak, Ĺže v~kroku~9
+ pĹ\99enastavĂme pĹ\99edchĹŻdce vrcholu~$w$ na vrchol~$v$. DokaĹžte, Ĺže pĹ\99edchĹŻdci
+ dosaĹžitelnÄ\82Ë\9dch vrcholĹŻ budou tvoĹÂ\99it strom a Ĺže tento strom bude stromem
+ nejkratĹĄĂch cest z~vrcholu~$u$.
+\:DokaĹžte, Ĺže pro graf, v~nÄ\9bmĹž je alespoĹ\88 jeden zĂĄpornĂ˝ cyklus dosaĹžitelnĂ˝
+ z~poÄ\8dĂĄteÄ\8dnĂho vrcholu, se algoritmus nezastavĂ a ohodnocenĂ vĹĄech vrcholĹŻ
+ na cyklu postupnÄ\9b klesnou libovolnÄ\9b hluboko. NedosaĹžitelnĂŠ zĂĄpornĂŠ cykly
+ chod algoritmu samozĹ\99ejmÄ\9b nijak neovlivnĂ.
\endlist
-\h{Bellmanùv-Fordùv-Mooreùv algoritmus}
+\h{BellmanĹŻv-FordĹŻv-MooreĹŻv algoritmus}
-Bellman \cite{bellman:bfm}, Ford \cite{ford:bfm} a Moore objevili nezávisle na sobì algoritmus (øíkejme mu BFM),
-který lze v~øeèi na¹eho meta-algoritmu formulovat takto: Otevøené vrcholy
-udr¾ujeme ve~frontì (v¾dy relaxujeme vrchol na poèátku fronty, novì otevírané
-zaøazujeme na~konec). Co toto pravidlo zpùsobí?
+Bellman \cite{bellman:bfm}, Ford \cite{ford:bfm} a Moore objevili nezĂĄvisle na sobÄ\9b algoritmus (Ĺ\99Ăkejme mu BFM),
+kterĂ˝ lze v~Ĺ\99eÄ\8di naĹĄeho meta-algoritmu formulovat takto: OtevĹ\99enĂŠ vrcholy
+udrĹžujeme ve~frontÄ\9b (vĹždy relaxujeme vrchol na poÄ\8dĂĄtku fronty, novÄ\9b otevĂranĂŠ
+zaĹ\99azujeme na~konec). Co toto pravidlo zpĹŻsobĂ?
-\s{Vìta:} Èasová slo¾itost algoritmu~BFM èiní $\O(nm)$.
+\s{VÄ\9bta:} Ä\8casovĂĄ sloĹžitost algoritmu~BFM Ä\8dinĂ $\O(nm)$.
\proof
-Bìh algoritmu rozdìlíme na~fáze. Nultá fáze sestává z~vlo¾ení vrcholu~$u$
-do~fronty. V~$(i+1)$-ní fázi relaxujeme ty vrcholy, které byly do~fronty
-ulo¾eny bìhem $i$-té fáze.
-
-Jeliko¾ relaxace vrcholu trvá lineárnì se stupnìm vrcholu a ka¾dý vrchol
-se dané fáze úèastní nejvý¹e jednou, trvá jedna fáze $\O(m)$. Zbývá ukázat,
-¾e fází provedeme nejvý¹e~$n$.
-
-Indukcí doká¾eme, ¾e na konci $i$-té fáze je ka¾dé ohodnocení $h(v)$ shora omezeno
-délkou nejkrat¹ího z~$uv$-sledù o~nejvý¹e~$i$ hranách. Pro $i=0$ to triviálnì
-platí. Uva¾ujme nyní vrchol~$v$ na konci $(i+1)$-ní fáze a nìjaký nejkrat¹í $uv$-sled~$P$
-o~$i+1$ hranách. Oznaème $wv$ poslední hranu tohoto sledu a $P'$ sled bez této hrany,
-který tedy má délku~$i$. Podle indukèního pøedpokladu je na konci $i$-té fáze
-$h(w)\le \ell(P')$. Tuto hodnotu získalo $h(w)$ nejpozdìji v~$i$-té fázi, pøi tom jsme
-vrchol~$w$ otevøeli, tak¾e jsme ho nejpozdìji v~$(i+1)$-ní fázi zavøeli a relaxovali.
-Po této relaxaci je ov¹em $h(v)\le h(w)+\ell(w,v)\le \ell(P') + \ell(w,v) = \ell(P)$.
+BÄ\9bh algoritmu rozdÄ\9blĂme na~fĂĄze. NultĂĄ fĂĄze sestĂĄvĂĄ z~vloĹženĂ vrcholu~$u$
+do~fronty. V~$(i+1)$-nĂ fĂĄzi relaxujeme ty vrcholy, kterĂŠ byly do~fronty
+uloĹženy bÄ\9bhem $i$-tĂŠ fĂĄze.
+
+JelikoĹž relaxace vrcholu trvĂĄ lineĂĄrnÄ\9b se stupnÄ\9bm vrcholu a kaĹždĂ˝ vrchol
+se danĂŠ fĂĄze ĂşÄ\8dastnĂ nejvýťe jednou, trvĂĄ jedna fĂĄze $\O(m)$. ZbĂ˝vĂĄ ukĂĄzat,
+Şe fåzà provedeme nejvýťe~$n$.
+
+IndukcĂ dokĂĄĹžeme, Ĺže na konci $i$-tĂŠ fĂĄze je kaĹždĂŠ ohodnocenĂ $h(v)$ shora omezeno
+dĂŠlkou nejkratĹĄĂho z~$uv$-sledĹŻ o~nejvýťe~$i$ hranĂĄch. Pro $i=0$ to triviĂĄlnÄ\9b
+platĂ. UvaĹžujme nynĂ vrchol~$v$ na konci $(i+1)$-nĂ fĂĄze a nÄ\9bjakĂ˝ nejkratĹĄĂ $uv$-sled~$P$
+o~$i+1$ hranĂĄch. OznaÄ\8dme $wv$ poslednĂ hranu tohoto sledu a $P'$ sled bez tĂŠto hrany,
+kterĂ˝ tedy mĂĄ dĂŠlku~$i$. Podle indukÄ\8dnĂho pĹ\99edpokladu je na konci $i$-tĂŠ fĂĄze
+$h(w)\le \ell(P')$. Tuto hodnotu zĂskalo $h(w)$ nejpozdÄ\9bji v~$i$-tĂŠ fĂĄzi, pĹ\99i tom jsme
+vrchol~$w$ otevĹ\99eli, takĹže jsme ho nejpozdÄ\9bji v~$(i+1)$-nĂ fĂĄzi zavĹ\99eli a relaxovali.
+Po tĂŠto relaxaci je ovĹĄem $h(v)\le h(w)+\ell(w,v)\le \ell(P') + \ell(w,v) = \ell(P)$.
\qed
-\s{Cvièení:}
+\s{CviÄ\8denĂ:}
\itemize\ibull
-\:Uka¾te, ¾e asymptoticky stejné èasové slo¾itosti by dosáhl algoritmus,
- který by vrcholy oèísloval $v_1,\ldots,v_n$ a opakovanì by je v~tomto
- poøadí relaxoval tak dlouho, dokud by se ohodnocení mìnila.
-\:Jak algoritmus upravit, aby v~$i$-té fázi spoèítal minimální délky sledù
- o~právì~$i$ hranách?
-\:Jak lze algoritmus BFM vyu¾ít k~nalezení záporného cyklu?
+\:UkaĹžte, Ĺže asymptoticky stejnĂŠ Ä\8dasovĂŠ sloĹžitosti by dosĂĄhl algoritmus,
+ kterĂ˝ by vrcholy oÄ\8dĂsloval $v_1,\ldots,v_n$ a opakovanÄ\9b by je v~tomto
+ poĹ\99adĂ relaxoval tak dlouho, dokud by se ohodnocenĂ mÄ\9bnila.
+\:Jak algoritmus upravit, aby v~$i$-tĂŠ fĂĄzi spoÄ\8dĂtal minimĂĄlnĂ dĂŠlky sledĹŻ
+ o~prĂĄvÄ\9b~$i$ hranĂĄch?
+\:Jak lze algoritmus BFM vyuĹžĂt k~nalezenĂ zĂĄpornĂŠho cyklu?
\endlist
-\h{Dijkstrùv algoritmus}
+\h{DijkstrĹŻv algoritmus}
-Pokud jsou v¹echny délky hran nezáporné, mù¾eme pou¾ít efektivnìj¹í pravidlo
-pro výbìr vrcholu navr¾ené Dijkstrou \cite{dijkstra:mstandpath}. To øíká, ¾e v¾dy relaxujeme ten z~otevøených
-vrcholù, jeho¾ ohodnocení je nejmen¹í.
+Pokud jsou vĹĄechny dĂŠlky hran nezĂĄpornĂŠ, mĹŻĹžeme pouĹžĂt efektivnÄ\9bjĹĄĂ pravidlo
+pro vĂ˝bÄ\9br vrcholu navrĹženĂŠ Dijkstrou \cite{dijkstra:mstandpath}. To Ĺ\99ĂkĂĄ, Ĺže vĹždy relaxujeme ten z~otevĹ\99enĂ˝ch
+vrcholĹŻ, jehoĹž ohodnocenĂ je nejmenĹĄĂ.
-\s{Vìta:} Dijkstrùv algoritmus uzavírá vrcholy v~poøadí podle neklesající
-vzdálenosti od~$u$ a ka¾dý dosa¾itelný vrchol uzavøe právì jednou.
+\s{VÄ\9bta:} DijkstrĹŻv algoritmus uzavĂrĂĄ vrcholy v~poĹ\99adĂ podle neklesajĂcĂ
+vzdĂĄlenosti od~$u$ a kaĹždĂ˝ dosaĹžitelnĂ˝ vrchol uzavĹ\99e prĂĄvÄ\9b jednou.
\proof
-Indukcí doká¾eme, ¾e v~ka¾dém okam¾iku mají v¹echny uzavøené vrcholy ohodnocení
-men¹í nebo rovné ohodnocením v¹ech otevøených vrcholù. Na~poèátku to jistì platí.
-Nech» nyní uzavíráme vrchol~$v$ s~minimálním $h(v)$ mezi otevøenými. Bìhem jeho
-relaxace nemù¾eme ¾ádnou hodnotu sní¾it pod~$h(v)$, jeliko¾ v~grafu s~nezápornými
-hranami je $h(v) + \ell(v,w) \ge h(v)$. Hodnota zbývajících otevøených vrcholù
-tedy neklesne pod hodnotu tohoto novì uzavøeného. Hodnoty døíve uzavøených vrcholù
-se nemohou nijak zmìnit.
+IndukcĂ dokĂĄĹžeme, Ĺže v~kaĹždĂŠm okamĹžiku majĂ vĹĄechny uzavĹ\99enĂŠ vrcholy ohodnocenĂ
+menĹĄĂ nebo rovnĂŠ ohodnocenĂm vĹĄech otevĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ. Na~poÄ\8dĂĄtku to jistÄ\9b platĂ.
+NechĹĽ nynĂ uzavĂrĂĄme vrchol~$v$ s~minimĂĄlnĂm $h(v)$ mezi otevĹ\99enĂ˝mi. BÄ\9bhem jeho
+relaxace nemĹŻĹžeme Şådnou hodnotu snĂĹžit pod~$h(v)$, jelikoĹž v~grafu s~nezĂĄpornĂ˝mi
+hranami je $h(v) + \ell(v,w) \ge h(v)$. Hodnota zbĂ˝vajĂcĂch otevĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ
+tedy neklesne pod hodnotu tohoto novÄ\9b uzavĹ\99enĂŠho. Hodnoty dĹ\99Ăve uzavĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ
+se nemohou nijak zmÄ\9bnit.
\qed
-Pøímoèará implementace Dijkstrova algoritmu by tedy poka¾dé v~èase $\O(n)$
-vybrala otevøený vrchol s~nejmen¹ím ohodnocením, v~èase $\O(n)$ ho relaxovala
-a toto by se opakovalo nejvý¹e $n$-krát. Algoritmus by tudí¾ dobìhl v~èase $\O(n^2)$,
-co¾ je pro husté grafy zajisté optimální. Zkusíme nyní zrychlit výpoèet
-na~øídkých grafech.
-
-V¹echny relaxace trvají dohromady $\O(\sum_v \deg(v)) = \O(m)$, tak¾e úzkým hrdlem je
-vybírání minima. Pou¾ijeme pro nìj vhodnou datovou strukturu, v~ní¾ budeme udr¾ovat
-mno¾inu v¹ech otevøených vrcholù spolu s~jejich ohodnoceními. Od~datové struktury
-potøebujeme, aby umìla operace \<Insert> (vlo¾ení vrcholu), \<ExtractMin> (nalezení
-a smazání minima) a \<Decrease> (sní¾ení hodnoty vrcholu). První dvì operace pøitom
-voláme nejvý¹e $n$-krát a operaci \<Decrease> nejvý¹e $m$-krát. Celý algoritmus
-tedy dobìhne v~èase
+PĹ\99ĂmoÄ\8darĂĄ implementace Dijkstrova algoritmu by tedy pokaĹždĂŠ v~Ä\8dase $\O(n)$
+vybrala otevĹ\99enĂ˝ vrchol s~nejmenĹĄĂm ohodnocenĂm, v~Ä\8dase $\O(n)$ ho relaxovala
+a toto by se opakovalo nejvýťe $n$-krĂĄt. Algoritmus by tudĂĹž dobÄ\9bhl v~Ä\8dase $\O(n^2)$,
+coĹž je pro hustĂŠ grafy zajistĂŠ optimĂĄlnĂ. ZkusĂme nynĂ zrychlit vĂ˝poÄ\8det
+na~Ĺ\99ĂdkĂ˝ch grafech.
+
+Vťechny relaxace trvajà dohromady $\O(\sum_v \deg(v)) = \O(m)$, takŞe úzkým hrdlem je
+vybÄ\82ÂrÄ\82Ä\84nÄ\82 minima. PouĹžijeme pro nÃ\84Â\9bj vhodnou datovou strukturu, v~nÄ\82ÂĹž budeme udrĹžovat
+mnoĹžinu vĹĄech otevĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ spolu s~jejich ohodnocenĂmi. Od~datovĂŠ struktury
+potĹ\99ebujeme, aby umÄ\9bla operace \<Insert> (vloĹženĂ vrcholu), \<ExtractMin> (nalezenĂ
+a smazĂĄnĂ minima) a \<Decrease> (snĂĹženĂ hodnoty vrcholu). PrvnĂ dvÄ\9b operace pĹ\99itom
+volåme nejvýťe $n$-kråt a operaci \<Decrease> nejvýťe $m$-kråt. Celý algoritmus
+tedy dobÄ\9bhne v~Ä\8dase
$$\O(nT_I(n) + nT_E(n) + mT_D(n)),$$
-kde $T_I(n)$, $T_E(n)$ a $T_D(n)$ jsou èasové slo¾itosti jednotlivých operací
-na~struktuøe o~nejvý¹e~$n$ prvcích (staèí amortizovanì).
+kde $T_I(n)$, $T_E(n)$ a $T_D(n)$ jsou Ä\8dasovĂŠ sloĹžitosti jednotlivĂ˝ch operacĂ
+na~struktuĹ\99e o~nejvýťe~$n$ prvcĂch (staÄ\8dĂ amortizovanÄ\9b).
-\>Jaké mo¾nosti máme pro volbu struktury?
+\>JakĂŠ moĹžnosti mĂĄme pro volbu struktury?
\itemize\ibull
-\:{\I pole} -- \<Insert> a \<Decrease> stojí konstantu, \<ExtractMin> trvá $\O(n)$,
+\:{\I pole} -- \<Insert> a \<Decrease> stojĂ konstantu, \<ExtractMin> trvĂĄ $\O(n)$,
celkem tedy $\O(n^2)$.
-\:{\I (binární) halda} -- v¹echny tøi operace umíme provést v~èase $\O(\log n)$, tak¾e celkem
- $\O(m\log n)$. To je pro husté grafy hor¹í, pro øídké lep¹í.
-\:{\I $k$-regulární halda} -- pokud haldu upravíme tak, ¾e ka¾dý prvek bude mít a¾ $k$ synù,
- hloubka haldy klesne na~$\O(\log_k n)$. Operace \uv{vybublávající} prvky smìrem nahoru,
- co¾ je \<Insert> a \<Decrease>, se zrychlí na~$\O(\log_k n)$. Ov¹em \<ExtractMin> potøebuje
- zkoumat v¹echny syny ka¾dého nav¹tíveného prvku, tak¾e se zpomalí na $\O(k\log_k n)$.
-
- Celková slo¾itost tedy vyjde $\O(nk\log_k n + m\log_k n)$. Oba èleny se vyrovnají
- pro $k=m/n$, èím¾ získáme $\O(m\log_{m/n} n)$. Èlen $\log_{m/n} n$ je pøitom $\O(1)$,
- kdykoliv je $m\ge n^{1+\varepsilon}$ pro nìjaké~$\varepsilon>0$, tak¾e pro dostateènì
- husté grafy jsme získali lineární algoritmus.
-
- (V¹imnìte si, ¾e pro $m\approx n^2$ algoritmus zvolí $k\approx n$, tak¾e halda degeneruje
- na jediné patro, tedy na pole, které se opravdu ukázalo být optimální volbou pro husté grafy.)
-\:{\I Fibonacciho halda} \cite{ft:fibonacci} -- \<Insert> a \<Decrease> stojí $\O(1)$, \<ExtractMin> má slo¾itost
- $\O(\log n)$ [v¹e amortizovanì]. Dijkstrùv algoritmus proto dobìhne v~èase $\O(m + n\log n)$.
- To je lineární pro grafy s~hustotou $\Omega(\log n)$. Té¾e slo¾itosti operací dosahují
- i jiné, ménì známé haldy \cite{haeupler:rankph,elmasry:violheap}, které mohou být v~praxi
- výraznì rychlej¹í.
-\:{\I Monotónní haldy} -- mù¾eme pou¾ít nìjakou jinou haldu, která vyu¾ívá toho,
- ¾e posloupnost odebíraných prvkù je neklesající. Pro celá èísla na~\hbox{RAMu} to mù¾e
- být napøíklad Thorupova halda \cite{thorup:queue} se slo¾itostí $\O(\log\log n)$ u~operace \<ExtractMin>
- a $\O(1)$ u~ostatních operací. Dijkstra tedy bì¾í v~$\O(m + n\log\log n)$.
-\:{\I Datové struktury pro omezené universum} -- prozkoumáme vzápìtí.
+\:{\I (binÄ\82Ä\84rnÄ\82Â) halda} -- vĹÄ\84echny tĹÂ\99i operace umÄ\82Âme provÄ\82Å st v~Ã\84Â\8dase $\O(\log n)$, takĹže celkem
+ $\O(m\log n)$. To je pro hustĂŠ grafy horĹĄĂ, pro Ĺ\99ĂdkĂŠ lepĹĄĂ.
+\:{\I $k$-regulĂĄrnĂ halda} -- pokud haldu upravĂme tak, Ĺže kaĹždĂ˝ prvek bude mĂt aĹž $k$ synĹŻ,
+ hloubka haldy klesne na~$\O(\log_k n)$. Operace \uv{vybublĂĄvajĂcĂ} prvky smÄ\9brem nahoru,
+ coĹž je \<Insert> a \<Decrease>, se zrychlĂ na~$\O(\log_k n)$. OvĹĄem \<ExtractMin> potĹ\99ebuje
+ zkoumat vĹĄechny syny kaĹždĂŠho navĹĄtĂvenĂŠho prvku, takĹže se zpomalĂ na $\O(k\log_k n)$.
+
+ CelkovĂĄ sloĹžitost tedy vyjde $\O(nk\log_k n + m\log_k n)$. Oba Ä\8dleny se vyrovnajĂ
+ pro $k=m/n$, Ä\8dĂmĹž zĂskĂĄme $\O(m\log_{m/n} n)$. Ä\8clen $\log_{m/n} n$ je pĹ\99itom $\O(1)$,
+ kdykoliv je $m\ge n^{1+\varepsilon}$ pro nÄ\9bjakĂŠ~$\varepsilon>0$, takĹže pro dostateÄ\8dnÄ\9b
+ hustĂŠ grafy jsme zĂskali lineĂĄrnĂ algoritmus.
+
+ (VĹÄ\84imnÃ\84Â\9bte si, Ĺže pro $m\approx n^2$ algoritmus zvolÄ\82 $k\approx n$, takĹže halda degeneruje
+ na jedinÊ patro, tedy na pole, kterÊ se opravdu ukåzalo být optimålnà volbou pro hustÊ grafy.)
+\:{\I Fibonacciho halda} \cite{ft:fibonacci} -- \<Insert> a \<Decrease> stojÄ\82 $\O(1)$, \<ExtractMin> mÄ\82Ä\84 sloĹžitost
+ $\O(\log n)$ [vĹĄe amortizovanÄ\9b]. DijkstrĹŻv algoritmus proto dobÄ\9bhne v~Ä\8dase $\O(m + n\log n)$.
+ To je lineĂĄrnĂ pro grafy s~hustotou $\Omega(\log n)$. TĂŠĹže sloĹžitosti operacĂ dosahujĂ
+ i jinĂŠ, mĂŠnÄ\9b znĂĄmĂŠ haldy \cite{haeupler:rankph,elmasry:violheap}, kterĂŠ mohou bĂ˝t v~praxi
+ vĂ˝raznÄ\9b rychlejĹĄĂ.
+\:{\I MonotĂłnnĂ haldy} -- mĹŻĹžeme pouĹžĂt nÄ\9bjakou jinou haldu, kterĂĄ vyuĹžĂvĂĄ toho,
+ Ĺže posloupnost odebÄ\82ÂranÄ\82Ë\9dch prvkĹŻ je neklesajÄ\82ÂcÄ\82Â. Pro celÄ\82Ä\84 Ã\84Â\8dÄ\82Âsla na~\hbox{RAMu} to mĹŻĹže
+ bĂ˝t napĹ\99Ăklad Thorupova halda \cite{thorup:queue} se sloĹžitostĂ $\O(\log\log n)$ u~operace \<ExtractMin>
+ a $\O(1)$ u~ostatnĂch operacĂ. Dijkstra tedy bÄ\9bŞà v~$\O(m + n\log\log n)$.
+\:{\I DatovĂŠ struktury pro omezenĂŠ universum} -- prozkoumĂĄme vzĂĄpÄ\9btĂ.
\endlist
-\s{Cvièení:}
+\s{CviÄ\8denĂ:}
\itemize\ibull
-\:Najdìte pøíklad grafu se zápornými hranami (ale bez záporných cyklù),
- na~kterém Dijkstrùv algoritmus sel¾e.
-\:Rozmyslete si, ¾e pokud nevyu¾ijeme nìjaké speciální vlastnosti èísel (celoèíselnost,
- omezený rozsah), je mez $\O(m+n\log n)$ nejlep¹í mo¾ná, proto¾e Dijkstrovým algoritmem
- mù¾eme tøídit $n$-tici èísel. Thorup dokonce dokázal \cite{thorup:equiv}, ¾e z~ka¾dého tøídícího algoritmu
- se slo¾itostí $\O(nT(n))$ mù¾eme odvodit haldu se slo¾itostí mazání $\O(T(n))$.
-\:Jsou-li délky hran celoèíselné, mù¾eme se na Dijkstrùv algoritmus dívat i takto:
- Pøedstavme si, ¾e ka¾dou hranu nahradíme cestou tvoøenou pøíslu¹ným poètem hran jednotkové délky
- a na vzniklý neohodnocený graf spustíme prohledávání do~¹íøky. To samozøejmì vydá
- správný výsledek, ale pomìrnì pomalu, proto¾e bude vìt¹inu èasu trávit posouváním
- vlny \uv{uvnitø} pùvodních hran. Mù¾eme si tedy pro ka¾dou pùvodní hranu naøídit
- \uv{budík}, který nám øekne, za~kolik posunutí vlny dospìjeme na~její konec.
- Doka¾te, ¾e tento algoritmus je ekvivalentní s~Dijkstrovým.
+\:NajdÄ\9bte pĹ\99Ăklad grafu se zĂĄpornĂ˝mi hranami (ale bez zĂĄpornĂ˝ch cyklĹŻ),
+ na~kterÄ\82Å m DijkstrĹŻv algoritmus selĹže.
+\:Rozmyslete si, Ĺže pokud nevyuĹžijeme nÄ\9bjakĂŠ speciĂĄlnĂ vlastnosti Ä\8dĂsel (celoÄ\8dĂselnost,
+ omezený rozsah), je mez $\O(m+n\log n)$ nejlepťà moŞnå, protoŞe Dijkstrovým algoritmem
+ mĹŻĹžeme tĹ\99Ădit $n$-tici Ä\8dĂsel. Thorup dokonce dokĂĄzal \cite{thorup:equiv}, Ĺže z~kaĹždĂŠho tĹ\99ĂdĂcĂho algoritmu
+ se sloĹžitostĂ $\O(nT(n))$ mĹŻĹžeme odvodit haldu se sloĹžitostĂ mazĂĄnĂ $\O(T(n))$.
+\:Jsou-li dĂŠlky hran celoÄ\8dĂselnĂŠ, mĹŻĹžeme se na DijkstrĹŻv algoritmus dĂvat i takto:
+ PĹ\99edstavme si, Ĺže kaĹždou hranu nahradĂme cestou tvoĹ\99enou pĹ\99ĂsluĹĄnĂ˝m poÄ\8dtem hran jednotkovĂŠ dĂŠlky
+ a na vzniklĂ˝ neohodnocenĂ˝ graf spustĂme prohledĂĄvĂĄnĂ do~ĹĄĂĹ\99ky. To samozĹ\99ejmÄ\9b vydĂĄ
+ sprĂĄvnĂ˝ vĂ˝sledek, ale pomÄ\9brnÄ\9b pomalu, protoĹže bude vÄ\9btĹĄinu Ä\8dasu trĂĄvit posouvĂĄnĂm
+ vlny \uv{uvnitĹ\99} pĹŻvodnĂch hran. MĹŻĹžeme si tedy pro kaĹždou pĹŻvodnĂ hranu naĹ\99Ădit
+ \uv{budĂk}, kterĂ˝ nĂĄm Ĺ\99ekne, za~kolik posunutĂ vlny dospÄ\9bjeme na~jejĂ konec.
+ DokaŞte, Şe tento algoritmus je ekvivalentnà s~Dijkstrovým.
\endlist
-\h{Celoèíselné délky}
-
-Uva¾ujme nyní grafy, v~nich¾ jsou v¹echny délky hran nezáporná celá èísla omezená
-nìjakou konstantou~$L$. V¹echny vzdálenosti jsou tedy omezeny èíslem~$nL$, tak¾e
-nám staèí datová struktura schopná uchovávat takto omezená celá èísla.
-
-Pou¾ijeme jednoduchou pøihrádkovou strukturu: pole indexované hodnotami od~0 do~$nL$,
-jeho $i$-tý prvek bude obsahovat seznam vrcholù, jejich¾ ohodnocení je rovno~$i$.
-Operace \<Insert> a \<Decrease> zvládneme v~konstantním èase, budeme-li si u~ka¾dého
-prvku pamatovat jeho polohu v~seznamu. Operace \<ExtractMin> potøebuje najít první
-neprázdnou pøihrádku, ale jeliko¾ víme, ¾e posloupnost odebíraných minim je monotónní,
-staèí hledat od místa, kde se hledání zastavilo minule. V¹echna hledání pøihrádek
-tedy zaberou dohromady $\O(nL)$ a celý Dijkstrùv algoritmus bude trvat $\O(nL + m)$.
-
-Prostorová slo¾itost $\O(nL+m)$ je nevalná, ale mù¾eme ji jednoduchým trikem
-sní¾it: V¹imneme si, ¾e v¹echna koneèná ohodnocení vrcholù nemohou být vìt¹í
-ne¾ aktuální minimum zvìt¹ené o~$L$. Jinými slovy v¹echny neprázdné pøihrádky
-se nacházejí v~úseku pole dlouhém~$L+1$, tak¾e staèí indexovat modulo~$L+1$.
-Pouze si musíme dávat pozor, abychom správnì poznali, kdy se struktura
-vyprázdnila, co¾ zjistíme napøíklad pomocí poèítadla otevøených vrcholù. Èas si
-asymptoticky nezhor¹íme, prostor klesne na~$\O(L+m)$.
-
-Podobný trik mù¾eme pou¾ít i pro libovolnou jinou datovou strukturu: rozsah èísel
-rozdìlíme na~\uv{okna} velikosti~$L$ (v~$i$-tém oknì jsou èísla $iL,iL+1,\ldots,(i+1)L-1$).
-V~libovolné chvíli mohou tedy být neprázdná nejvý¹e dvì okna. Staèí nám proto
-poøídit si dvì struktury pro ukládání èísel v~rozsahu $0,\ldots,L-1$ -- jedna
-z~nich bude reprezentovat aktuální okno (to, v~nìm¾ le¾elo minulé minimum),
-druhá okno bezprostøednì následující. Minimum ma¾eme z~první struktury; pokud
-u¾ je prázdná, obì struktury prohodíme. Operace \<Insert> podle hodnoty urèí,
-do~které struktury se má vkládat. S~operací \<Decrease> je to slo¾itìj¹í --
-hodnota z~vy¹¹í struktury mù¾e pøeskoèit do té ni¾¹í, ale v~takovém pøípadì
-ji ve~vy¹¹í struktuøe vyma¾eme (to je \<Decrease> na $-\infty$ následovaný
-\<ExtractMin>em) a do~té ni¾¹í vlo¾íme. To se ka¾dému prvku mù¾e pøihodit nejvý¹e
-jednou, tak¾e stále platí, ¾e se ka¾dý prvek úèastní $\O(1)$ vlo¾ení a $\O(1)$
-extrakcí minima.
-
-Ukázali jsme tedy, ¾e pro na¹e potøeby postaèuje struktura schopná uchovávání
-èísel men¹ích nebo rovných~$L$.
-
-Nabízí se pou¾ít van Emde-Boasùv strom z~kapitoly o~výpoèetních modelech.
-Ten dosahuje slo¾itosti $\O(\log\log L)$ pro operace \<Insert> a \<ExtractMin>,
-operaci \<Decrease> musíme pøekládat na \<Delete> a \<Insert>. Celková
-slo¾itost Dijkstrova algoritmu vyjde $\O(L+m\log\log L)$, pøièem¾ èas~$L$
-spotøebujeme na inicializaci struktury (té se lze za jistých podmínek vyhnout,
-viz zmínìná kapitola).
-
-Vra»me se ale je¹tì k~vyu¾ití pøihrádek\dots
-
-\h{Víceúrovòové pøihrádky}
-
-Podobnì jako u~tøídìní èísel, i~zde se vyplácí stavìt pøihrádkové struktury
-víceúrovòovì (pùvodnì popsáno Goldbergem a Silversteinem \cite{goldberg:mlb}).
-Jednotlivé hodnoty budeme zapisovat v~soustavì o~základu~$B$,
-který zvolíme jako nìjakou mocninu dvojky, abychom mohli s~èíslicemi tohoto
-zápisu snadno zacházet pomocí bitových operací. Ka¾dé èíslo tedy zabere nejvý¹e
-$d=1+\lfloor\log_B L\rfloor$ èíslic; pokud bude krat¹í, doplníme ho zleva nulami.
-
-Nejvy¹¹í patro struktury bude tvoøeno polem $B$~pøihrádek, v~$i$-té z~nich
-budou ulo¾ena ta èísla, jejich¾ èíslice nejvy¹¹ího øádu je rovna~$i$. Za~{\I aktivní}
-prohlásíme tu pøihrádku, která obsahuje aktuální minimum. Pøihrádky s~men¹ími
-indexy jsou prázdné a zùstanou takové a¾ do~konce výpoètu, proto¾e halda
-je monotónní. Pokud v~pøihrádce obsahující minimum bude více prvkù, budeme
-ji rozkládat podle druhého nejvy¹¹ího øádu na dal¹ích~$B$ pøihrádek atd.
-Celkem tak vznikne a¾~$d$ úrovní.
-
-\>Struktura bude obsahovat následující data:
+\h{CeloÄ\8dĂselnĂŠ dĂŠlky}
+
+UvaĹžujme nynĂ grafy, v~nichĹž jsou vĹĄechny dĂŠlky hran nezĂĄpornĂĄ celĂĄ Ä\8dĂsla omezenĂĄ
+nÃ\84Â\9bjakou konstantou~$L$. VĹÄ\84echny vzdÄ\82Ä\84lenosti jsou tedy omezeny Ã\84Â\8dÄ\82Âslem~$nL$, takĹže
+nĂĄm staÄ\8dĂ datovĂĄ struktura schopnĂĄ uchovĂĄvat takto omezenĂĄ celĂĄ Ä\8dĂsla.
+
+PouĹžijeme jednoduchou pĹ\99ihrĂĄdkovou strukturu: pole indexovanĂŠ hodnotami od~0 do~$nL$,
+jeho $i$-tĂ˝ prvek bude obsahovat seznam vrcholĹŻ, jejichĹž ohodnocenĂ je rovno~$i$.
+Operace \<Insert> a \<Decrease> zvlĂĄdneme v~konstantnĂm Ä\8dase, budeme-li si u~kaĹždĂŠho
+prvku pamatovat jeho polohu v~seznamu. Operace \<ExtractMin> potĹ\99ebuje najĂt prvnĂ
+neprĂĄzdnou pĹ\99ihrĂĄdku, ale jelikoĹž vĂme, Ĺže posloupnost odebĂranĂ˝ch minim je monotĂłnnĂ,
+staÄ\8dĂ hledat od mĂsta, kde se hledĂĄnĂ zastavilo minule. VĹĄechna hledĂĄnĂ pĹ\99ihrĂĄdek
+tedy zaberou dohromady $\O(nL)$ a celĂ˝ DijkstrĹŻv algoritmus bude trvat $\O(nL + m)$.
+
+Prostorovå sloŞitost $\O(nL+m)$ je nevalnå, ale můŞeme ji jednoduchým trikem
+snĂĹžit: VĹĄimneme si, Ĺže vĹĄechna koneÄ\8dnĂĄ ohodnocenĂ vrcholĹŻ nemohou bĂ˝t vÄ\9btĹĄĂ
+neĹž aktuĂĄlnĂ minimum zvÄ\9btĹĄenĂŠ o~$L$. JinĂ˝mi slovy vĹĄechny neprĂĄzdnĂŠ pĹ\99ihrĂĄdky
+se nachĂĄzejĂ v~Ăşseku pole dlouhĂŠm~$L+1$, takĹže staÄ\8dĂ indexovat modulo~$L+1$.
+Pouze si musĂme dĂĄvat pozor, abychom sprĂĄvnÄ\9b poznali, kdy se struktura
+vyprĂĄzdnila, coĹž zjistĂme napĹ\99Ăklad pomocĂ poÄ\8dĂtadla otevĹ\99enĂ˝ch vrcholĹŻ. Ä\8cas si
+asymptoticky nezhorĹĄĂme, prostor klesne na~$\O(L+m)$.
+
+PodobnĂ˝ trik mĹŻĹžeme pouĹžĂt i pro libovolnou jinou datovou strukturu: rozsah Ä\8dĂsel
+rozdÄ\9blĂme na~\uv{okna} velikosti~$L$ (v~$i$-tĂŠm oknÄ\9b jsou Ä\8dĂsla $iL,iL+1,\ldots,(i+1)L-1$).
+V~libovolnĂŠ chvĂli mohou tedy bĂ˝t neprĂĄzdnĂĄ nejvýťe dvÄ\9b okna. StaÄ\8dĂ nĂĄm proto
+poĹ\99Ădit si dvÄ\9b struktury pro uklĂĄdĂĄnĂ Ä\8dĂsel v~rozsahu $0,\ldots,L-1$ -- jedna
+z~nich bude reprezentovat aktuĂĄlnĂ okno (to, v~nÄ\9bmĹž leĹželo minulĂŠ minimum),
+druhĂĄ okno bezprostĹ\99ednÄ\9b nĂĄsledujĂcĂ. Minimum maĹžeme z~prvnĂ struktury; pokud
+uĹž je prĂĄzdnĂĄ, obÄ\9b struktury prohodĂme. Operace \<Insert> podle hodnoty urÄ\8dĂ,
+do~kterĂŠ struktury se mĂĄ vklĂĄdat. S~operacĂ \<Decrease> je to sloĹžitÄ\9bjĹĄĂ --
+hodnota z~vyĹĄĹĄĂ struktury mĹŻĹže pĹ\99eskoÄ\8dit do tĂŠ niŞťĂ, ale v~takovĂŠm pĹ\99ĂpadÄ\9b
+ji ve~vyĹĄĹĄĂ struktuĹ\99e vymaĹžeme (to je \<Decrease> na $-\infty$ nĂĄsledovanĂ˝
+\<ExtractMin>em) a do~tĂŠ niŞťà vloĹžĂme. To se kaĹždĂŠmu prvku mĹŻĹže pĹ\99ihodit nejvýťe
+jednou, takĹže stĂĄle platĂ, Ĺže se kaĹždĂ˝ prvek ĂşÄ\8dastnĂ $\O(1)$ vloĹženĂ a $\O(1)$
+extrakcĂ minima.
+
+UkĂĄzali jsme tedy, Ĺže pro naĹĄe potĹ\99eby postaÄ\8duje struktura schopnĂĄ uchovĂĄvĂĄnĂ
+Ä\8dĂsel menĹĄĂch nebo rovnĂ˝ch~$L$.
+
+NabĂzĂ se pouĹžĂt van Emde-BoasĹŻv strom z~kapitoly o~vĂ˝poÄ\8detnĂch modelech.
+Ten dosahuje sloĹžitosti $\O(\log\log L)$ pro operace \<Insert> a \<ExtractMin>,
+operaci \<Decrease> musĂme pĹ\99eklĂĄdat na \<Delete> a \<Insert>. CelkovĂĄ
+sloĹžitost Dijkstrova algoritmu vyjde $\O(L+m\log\log L)$, pĹ\99iÄ\8demĹž Ä\8das~$L$
+spotĹ\99ebujeme na inicializaci struktury (tĂŠ se lze za jistĂ˝ch podmĂnek vyhnout,
+viz zmĂnÄ\9bnĂĄ kapitola).
+
+VraĹĽme se ale jeĹĄtÄ\9b k~vyuĹžitĂ pĹ\99ihrĂĄdek\dots
+
+\h{VĂceĂşrovĹ\88ovĂŠ pĹ\99ihrĂĄdky}
+
+PodobnÄ\9b jako u~tĹ\99ĂdÄ\9bnĂ Ä\8dĂsel, i~zde se vyplĂĄcĂ stavÄ\9bt pĹ\99ihrĂĄdkovĂŠ struktury
+vĂceĂşrovĹ\88ovÄ\9b (pĹŻvodnÄ\9b popsĂĄno Goldbergem a Silversteinem \cite{goldberg:mlb}).
+JednotlivĂŠ hodnoty budeme zapisovat v~soustavÄ\9b o~zĂĄkladu~$B$,
+kterĂ˝ zvolĂme jako nÄ\9bjakou mocninu dvojky, abychom mohli s~Ä\8dĂslicemi tohoto
+zĂĄpisu snadno zachĂĄzet pomocĂ bitovĂ˝ch operacĂ. KaĹždĂŠ Ä\8dĂslo tedy zabere nejvýťe
+$d=1+\lfloor\log_B L\rfloor$ Ä\8dĂslic; pokud bude kratĹĄĂ, doplnĂme ho zleva nulami.
+
+NejvyĹĄĹĄĂ patro struktury bude tvoĹ\99eno polem $B$~pĹ\99ihrĂĄdek, v~$i$-tĂŠ z~nich
+budou uloĹžena ta Ä\8dĂsla, jejichĹž Ä\8dĂslice nejvyĹĄĹĄĂho Ĺ\99ĂĄdu je rovna~$i$. Za~{\I aktivnĂ}
+prohlĂĄsĂme tu pĹ\99ihrĂĄdku, kterĂĄ obsahuje aktuĂĄlnĂ minimum. PĹ\99ihrĂĄdky s~menĹĄĂmi
+indexy jsou prÄ\82Ä\84zdnÄ\82Å a zĹŻstanou takovÄ\82Å aĹž do~konce vÄ\82Ë\9dpoÃ\84Â\8dtu, protoĹže halda
+je monotĂłnnĂ. Pokud v~pĹ\99ihrĂĄdce obsahujĂcĂ minimum bude vĂce prvkĹŻ, budeme
+ji rozklĂĄdat podle druhĂŠho nejvyĹĄĹĄĂho Ĺ\99ĂĄdu na dalĹĄĂch~$B$ pĹ\99ihrĂĄdek atd.
+Celkem tak vznikne aĹž~$d$ ĂşrovnĂ.
+
+\>Struktura bude obsahovat nĂĄsledujĂcĂ data:
\itemize\ibull
\:Parametry $L$, $B$ a~$d$.
-\:Pole úrovní (nejvy¹¹í má èíslo~$d-1$, nejni¾¹í~0), ka¾dá úroveò je buïto prázdná
- (a pak jsou prázdné i~v¹echny ni¾¹í), nebo obsahuje pole~$U_i$ o~$B$ pøihrádkách
- a v~ka¾dé z~nich seznam prvkù. Pole úrovní pou¾íváme jako zásobník, udr¾ujeme
- si èíslo nejni¾¹í neprázdné úrovnì.
-\:Hodnotu~$\mu$ pøedchozího odebraného minima.
+\:Pole ĂşrovnĂ (nejvyĹĄĹĄĂ mĂĄ Ä\8dĂslo~$d-1$, nejniŞťĂ~0), kaĹždĂĄ ĂşroveĹ\88 je buÄ\8fto prĂĄzdnĂĄ
+ (a pak jsou prĂĄzdnĂŠ i~vĹĄechny niŞťĂ), nebo obsahuje pole~$U_i$ o~$B$ pĹ\99ihrĂĄdkĂĄch
+ a v~kaĹždÄ\82Å z~nich seznam prvkĹŻ. Pole Ä\82Å\9frovnÄ\82 pouĹžÄ\82ÂvÄ\82Ä\84me jako zÄ\82Ä\84sobnÄ\82Âk, udrĹžujeme
+ si Ä\8dĂslo nejniŞťà neprĂĄzdnĂŠ ĂşrovnÄ\9b.
+\:Hodnotu~$\mu$ pĹ\99edchozĂho odebranĂŠho minima.
\endlist
-Operace \<Insert> vlo¾í hodnotu do~nejhlub¹í mo¾né pøihrádky. Podívá se tedy
-na~nejvy¹¹í úroveò: pokud hodnota patøí do pøihrádky, která není aktivní, vlo¾í
-ji pøímo. Jinak pøejde o~úroveò ní¾e a zopakuje stejný postup. To v¹e lze provést
-v~konstantním èase: staèí se podívat, jaký je nejvy¹¹í jednièkový bit ve~{\sc xor}u
-nové hodnoty s~èíslem~$\mu$ (opìt viz kapitola o~výpoèetních modelech), a tím zjistit
-èíslo úrovnì, kam hodnota patøí.
+Operace \<Insert> vloŞà hodnotu do~nejhlubĹĄĂ moĹžnĂŠ pĹ\99ihrĂĄdky. PodĂvĂĄ se tedy
+na~nejvyĹĄĹĄĂ ĂşroveĹ\88: pokud hodnota patĹ\99Ă do pĹ\99ihrĂĄdky, kterĂĄ nenĂ aktivnĂ, vloĹžĂ
+ji pĹ\99Ămo. Jinak pĹ\99ejde o~ĂşroveĹ\88 nĂĹže a zopakuje stejnĂ˝ postup. To vĹĄe lze provĂŠst
+v~konstantnĂm Ä\8dase: staÄ\8dĂ se podĂvat, jakĂ˝ je nejvyĹĄĹĄĂ jedniÄ\8dkovĂ˝ bit ve~{\sc xor}u
+novĂŠ hodnoty s~Ä\8dĂslem~$\mu$ (opÄ\9bt viz kapitola o~vĂ˝poÄ\8detnĂch modelech), a tĂm zjistit
+Ä\8dĂslo ĂşrovnÄ\9b, kam hodnota patĹ\99Ă.
-Pokud chceme provést \<Decrease>, odstraníme hodnotu z~pøihrádky, ve~které se
-právì nachází (polohu si mù¾eme u~ka¾dé hodnoty pamatovat zvlá¹»), a znovu ji
-vlo¾íme.
+Pokud chceme provĂŠst \<Decrease>, odstranĂme hodnotu z~pĹ\99ihrĂĄdky, ve~kterĂŠ se
+prĂĄvÄ\9b nachĂĄzĂ (polohu si mĹŻĹžeme u~kaĹždĂŠ hodnoty pamatovat zvlĂĄĹĄĹĽ), a znovu ji
+vloĹžĂme.
-Vìt¹inu práce samozøejmì pøenecháme funkci \<ExtractMin>. Ta zaène prohledávat
-nejni¾¹í obsazenou úroveò od~aktivní pøihrádky dál (to, která pøihrádka je na
-které úrovni aktivní, poznáme z~èíslic hodnoty~$\mu$). Pokud pøihrádky na~této
-úrovni dojdou, prázdnou úroveò zru¹íme a pokraèujeme o~patro vý¹e.
+VÄ\9btĹĄinu prĂĄce samozĹ\99ejmÄ\9b pĹ\99enechĂĄme funkci \<ExtractMin>. Ta zaÄ\8dne prohledĂĄvat
+nejniŞťà obsazenou ĂşroveĹ\88 od~aktivnĂ pĹ\99ihrĂĄdky dĂĄl (to, kterĂĄ pĹ\99ihrĂĄdka je na
+kterĂŠ Ăşrovni aktivnĂ, poznĂĄme z~Ä\8dĂslic hodnoty~$\mu$). Pokud pĹ\99ihrĂĄdky na~tĂŠto
+Ăşrovni dojdou, prĂĄzdnou ĂşroveĹ\88 zruĹĄĂme a pokraÄ\8dujeme o~patro výťe.
-Jakmile najdeme neprázdnou pøihrádku, nalezneme v~ní minimum a to se stane novým~$\mu$.
-Pokud v~pøihrádce nebyly ¾ádné dal¹í prvky, skonèíme. V~opaèném pøípadì zbývající
-prvky rozprostøeme do~pøihrádek na~bezprostøednì ni¾¹í úrovni, kterou tím zalo¾íme.
+Jakmile najdeme neprĂĄzdnou pĹ\99ihrĂĄdku, nalezneme v~nĂ minimum a to se stane novĂ˝m~$\mu$.
+Pokud v~pĹ\99ihrĂĄdce nebyly ŞådnĂŠ dalĹĄĂ prvky, skonÄ\8dĂme. V~opaÄ\8dnĂŠm pĹ\99ĂpadÄ\9b zbĂ˝vajĂcĂ
+prvky rozprostĹ\99eme do~pĹ\99ihrĂĄdek na~bezprostĹ\99ednÄ\9b niŞťà úrovni, kterou tĂm zaloĹžĂme.
-Èas strávený hledáním minima mù¾eme rozdìlit na~nìkolik èástí:
+Ä\8cas strĂĄvenĂ˝ hledĂĄnĂm minima mĹŻĹžeme rozdÄ\9blit na~nÄ\9bkolik Ä\8dĂĄstĂ:
\itemize\ibull
-\:$\O(B)$ na inicializaci nové úrovnì -- to naúètujeme prvku, který jsme
- právì mazali;
-\:hledání neprázdných pøihrádek -- prozkoumání ka¾dé prázdné pøihrádky
- naúètujeme jejímu vytvoøení, co¾ se rozpustí v~$\O(B)$ na inicializaci
- úrovnì;
-\:zru¹ení úrovnì -- opìt naúètujeme jejímu vzniku;
-\:rozhazování prvkù do pøihrádek -- jeliko¾ prvky v~hierarchii pøihrádek
- putují bìhem operací pouze doleva a dolù (jejich hodnoty se nikdy nezvìt¹ují),
- klesne ka¾dý prvek nejvý¹e~$d$-krát, tak¾e staèí, kdy¾ na v¹echna rozhazování
- pøispìje èasem $\O(d)$.
+\:$\O(B)$ na inicializaci novĂŠ ĂşrovnÄ\9b -- to naĂşÄ\8dtujeme prvku, kterĂ˝ jsme
+ prĂĄvÄ\9b mazali;
+\:hledĂĄnĂ neprĂĄzdnĂ˝ch pĹ\99ihrĂĄdek -- prozkoumĂĄnĂ kaĹždĂŠ prĂĄzdnĂŠ pĹ\99ihrĂĄdky
+ naĂşÄ\8dtujeme jejĂmu vytvoĹ\99enĂ, coĹž se rozpustĂ v~$\O(B)$ na inicializaci
+ ĂşrovnÄ\9b;
+\:zruĹĄenĂ ĂşrovnÄ\9b -- opÄ\9bt naĂşÄ\8dtujeme jejĂmu vzniku;
+\:rozhazovĂĄnĂ prvkĹŻ do pĹ\99ihrĂĄdek -- jelikoĹž prvky v~hierarchii pĹ\99ihrĂĄdek
+ putujĂ bÄ\9bhem operacĂ pouze doleva a dolĹŻ (jejich hodnoty se nikdy nezvÄ\9btĹĄujĂ),
+ klesne kaĹždĂ˝ prvek nejvýťe~$d$-krĂĄt, takĹže staÄ\8dĂ, kdyĹž na vĹĄechna rozhazovĂĄnĂ
+ pĹ\99ispÄ\9bje Ä\8dasem $\O(d)$.
\endlist
-\>Staèí tedy, aby ka¾dý prvek pøi \<Insert>u zaplatil èas $\O(B+d)$ a jak \<Decrease>,
-tak \<ExtractMin> budou mít konstantní amortizovanou slo¾itost. Dijkstrùv
-algoritmus pak pobì¾í v~$\O(m + n(B+d))$.
+\>StaÄ\8dĂ tedy, aby kaĹždĂ˝ prvek pĹ\99i \<Insert>u zaplatil Ä\8das $\O(B+d)$ a jak \<Decrease>,
+tak \<ExtractMin> budou mĂt konstantnĂ amortizovanou sloĹžitost. DijkstrĹŻv
+algoritmus pak pobÄ\9bŞà v~$\O(m + n(B+d))$.
-Zbývá nastavit parametry tak, abychom minimalizovali výraz $B+d = B + \log L/\log B$.
-Vhodná volba je $B=\log L/\log\log L$. Pøi ní platí
+Zbývå nastavit parametry tak, abychom minimalizovali výraz $B+d = B + \log L/\log B$.
+VhodnĂĄ volba je $B=\log L/\log\log L$. PĹ\99i nĂ platĂ
$$
{\log L\over\log B} = {\log L \over \log\left(\log L/\log\log L\right) }
= {\log L\over \log\log L - \log\log\log L} = \Theta(B).
$$
-Tehdy Dijkstra vydá výsledek v~èase $\O(m + n\cdot{\log L\over\log\log L})$.
-
-\h{HOT Queue -- kombinace pøihrádek s~haldou}
-
-Cherkassky, Goldberg a Silverstein \cite{cherkassky:hotq} si v¹imli, ¾e ve~víceúrovòových pøihrádkových strukturách
-platíme pøíli¹ mnoho za~úrovnì, ve~kterých se za~dobu jejich existence objeví jen malé
-mno¾ství prvkù. Navrhli tedy ukládat prvky z~\uv{malých} úrovní do~spoleèné haldy.
-Výsledné struktuøe se øíká HOT (Heap-on-Top) Queue. My si pøedvedeme její upravenou
-variantu (v~té pùvodní se skrývá nìkolik chyb).
-
-Poøídíme si haldu, øeknìme Fibonacciho, a~navíc ke~ka¾dé úrovni poèítadlo udávající,
-kolik prvkù z~této úrovnì jsme ulo¾ili do~haldy. Dokud toto poèítadlo nepøeroste nìjaký
-parametr~$H$, pøihrádky nebudeme zakládat a prvky poputují do~haldy. Èas $\O(B)$ na
-zalo¾ení úrovnì a její procházení proto mù¾eme rozpoèítat mezi~$H$ prvkù, které se musely
-na~dané úrovni objevit, ne¾ byla rozpøihrádkována. (Pov¹imnìte si, ¾e poèítadlo nikdy
-nesni¾ujeme, pouze ho vynulujeme, kdy¾ je úroveò zru¹ena. Proto vùbec nemusí odpovídat
-skuteènému poètu prvkù z~pøíslu¹né úrovnì, které jsou právì ulo¾eny v~haldì. To ov¹em
-vùbec nevadí -- poèítadlo pouze hlídá, aby se úroveò nevytvoøila pøíli¹ brzy, tedy abychom
-mìli dost prvkù k~rozúètování èasu.)
-
-Promìnnou~$\mu$ necháme ukazovat na~místo, kde jsme se pøi hledání minima v~pøihrádkách
-zastavili. Souèasné globální minimum struktury mù¾e být ni¾¹í, nachází-li se minimum
-zrovna v~haldì. Stále je v¹ak zaruèeno, ¾e pøed~$\mu$ se nenachází ¾ádná
-neprázdná pøihrádka.
+Tehdy Dijkstra vydĂĄ vĂ˝sledek v~Ä\8dase $\O(m + n\cdot{\log L\over\log\log L})$.
+
+\h{HOT Queue -- kombinace pĹ\99ihrĂĄdek s~haldou}
+
+Cherkassky, Goldberg a Silverstein \cite{cherkassky:hotq} si vĹĄimli, Ĺže ve~vĂceĂşrovĹ\88ovĂ˝ch pĹ\99ihrĂĄdkovĂ˝ch strukturĂĄch
+platĂme pĹ\99ĂliĹĄ mnoho za~ĂşrovnÄ\9b, ve~kterĂ˝ch se za~dobu jejich existence objevĂ jen malĂŠ
+mnoĹžstvĂ prvkĹŻ. Navrhli tedy uklĂĄdat prvky z~\uv{malĂ˝ch} ĂşrovnĂ do~spoleÄ\8dnĂŠ haldy.
+VĂ˝slednĂŠ struktuĹ\99e se Ĺ\99ĂkĂĄ HOT (Heap-on-Top) Queue. My si pĹ\99edvedeme jejĂ upravenou
+variantu (v~tĂŠ pĹŻvodnĂ se skrĂ˝vĂĄ nÄ\9bkolik chyb).
+
+PoĹ\99ĂdĂme si haldu, Ĺ\99eknÄ\9bme Fibonacciho, a~navĂc ke~kaĹždĂŠ Ăşrovni poÄ\8dĂtadlo udĂĄvajĂcĂ,
+kolik prvkĹŻ z~tĂŠto ĂşrovnÄ\9b jsme uloĹžili do~haldy. Dokud toto poÄ\8dĂtadlo nepĹ\99eroste nÄ\9bjakĂ˝
+parametr~$H$, pĹ\99ihrĂĄdky nebudeme zaklĂĄdat a prvky poputujĂ do~haldy. Ä\8cas $\O(B)$ na
+zaloĹženĂ ĂşrovnÄ\9b a jejĂ prochĂĄzenĂ proto mĹŻĹžeme rozpoÄ\8dĂtat mezi~$H$ prvkĹŻ, kterĂŠ se musely
+na~danĂŠ Ăşrovni objevit, neĹž byla rozpĹ\99ihrĂĄdkovĂĄna. (PovĹĄimnÄ\9bte si, Ĺže poÄ\8dĂtadlo nikdy
+nesniĹžujeme, pouze ho vynulujeme, kdyĹž je ĂşroveĹ\88 zruĹĄena. Proto vĹŻbec nemusĂ odpovĂdat
+skuteÄ\8dnĂŠmu poÄ\8dtu prvkĹŻ z~pĹ\99ĂsluĹĄnĂŠ ĂşrovnÄ\9b, kterĂŠ jsou prĂĄvÄ\9b uloĹženy v~haldÄ\9b. To ovĹĄem
+vĹŻbec nevadĂ -- poÄ\8dĂtadlo pouze hlĂdĂĄ, aby se ĂşroveĹ\88 nevytvoĹ\99ila pĹ\99ĂliĹĄ brzy, tedy abychom
+mÄ\9bli dost prvkĹŻ k~rozĂşÄ\8dtovĂĄnĂ Ä\8dasu.)
+
+PromÄ\9bnnou~$\mu$ nechĂĄme ukazovat na~mĂsto, kde jsme se pĹ\99i hledĂĄnĂ minima v~pĹ\99ihrĂĄdkĂĄch
+zastavili. SouÄ\8dasnĂŠ globĂĄlnĂ minimum struktury mĹŻĹže bĂ˝t niŞťĂ, nachĂĄzĂ-li se minimum
+zrovna v~haldÄ\9b. StĂĄle je vĹĄak zaruÄ\8deno, Ĺže pĹ\99ed~$\mu$ se nenachĂĄzà ŞådnĂĄ
+neprĂĄzdnĂĄ pĹ\99ihrĂĄdka.
Operace budou fungovat takto:
\>\<Insert>:
\algo
-\:Spoèítáme, do~které úrovnì~$i$ má prvek padnout (bitovými operacemi).
-\:Pokud je poèítadlo této úrovnì men¹í ne¾~$H$, zvý¹íme ho, vlo¾íme prvek do~haldy a skoèíme.
-\:Nebyly-li je¹tì pro tuto úroveò zalo¾eny pøihrádky, vyrobíme prázdné.
-\:Vlo¾íme prvek do~pøíslu¹né pøihrádky.
+\:SpoÄ\8dĂtĂĄme, do~kterĂŠ ĂşrovnÄ\9b~$i$ mĂĄ prvek padnout (bitovĂ˝mi operacemi).
+\:Pokud je poÄ\8dĂtadlo tĂŠto ĂşrovnÄ\9b menĹĄĂ neĹž~$H$, zvýťĂme ho, vloĹžĂme prvek do~haldy a skoÄ\8dĂme.
+\:Nebyly-li jeĹĄtÄ\9b pro tuto ĂşroveĹ\88 zaloĹženy pĹ\99ihrĂĄdky, vyrobĂme prĂĄzdnĂŠ.
+\:VloĹžĂme prvek do~pĹ\99ĂsluĹĄnĂŠ pĹ\99ihrĂĄdky.
\endalgo
\>\<Decrease>:
\algo
-\:Pokud se prvek nachází v~haldì (to si u~ka¾dého prvku pamatujeme), provedeme
- \<Decrease> v~haldì a skonèíme.
-\:Sma¾eme prvek z~jeho pøihrádky a provedeme \<Insert> s~novou hodnotou.
+\:Pokud se prvek nachĂĄzĂ v~haldÄ\9b (to si u~kaĹždĂŠho prvku pamatujeme), provedeme
+ \<Decrease> v~haldÄ\9b a skonÄ\8dĂme.
+\:SmaĹžeme prvek z~jeho pĹ\99ihrĂĄdky a provedeme \<Insert> s~novou hodnotou.
\endalgo
\>\<ExtractMin>:
\algo
-\:Dokud je~$\mu$ men¹í ne¾ aktuální minimum haldy, opakujeme:
-\::Najdeme pøihrádku odpovídající hodnotì~$\mu$.
-\::Je-li tato pøihrádka prázdná, pøejdeme na~dal¹í (upravíme~$\mu$). Jsme-li na konci úrovnì,
- zru¹íme ji, vynulujeme její poèítadlo a pokraèujeme o~úroveò vý¹.
-\::Není-li prázdná, rozprostøeme ji o~úroveò ní¾ (stejným zpùsobem jako pøi \<Insert>u,
- tak¾e prvních~$H$ prvkù vlo¾íme do~haldy).
-\:Sma¾eme minimum z~haldy a vrátíme ho jako výsledek.
+\:Dokud je~$\mu$ menĹĄĂ neĹž aktuĂĄlnĂ minimum haldy, opakujeme:
+\::Najdeme pĹ\99ihrĂĄdku odpovĂdajĂcĂ hodnotÄ\9b~$\mu$.
+\::Je-li tato pĹ\99ihrĂĄdka prĂĄzdnĂĄ, pĹ\99ejdeme na~dalĹĄĂ (upravĂme~$\mu$). Jsme-li na konci ĂşrovnÄ\9b,
+ zruĹĄĂme ji, vynulujeme jejĂ poÄ\8dĂtadlo a pokraÄ\8dujeme o~ĂşroveĹ\88 výť.
+\::NenĂ-li prĂĄzdnĂĄ, rozprostĹ\99eme ji o~ĂşroveĹ\88 nĂĹž (stejnĂ˝m zpĹŻsobem jako pĹ\99i \<Insert>u,
+ takĹže prvnĂch~$H$ prvkĹŻ vloĹžĂme do~haldy).
+\:SmaĹžeme minimum z~haldy a vrĂĄtĂme ho jako vĂ˝sledek.
\endalgo
-\>Pustíme se do~analýzy slo¾itosti. Jako parametry si zvolíme poèet hladin~$d$ (tak¾e
-poèet pøihrádek~$B$ na jedné úrovni je roven $L^{1/d}$) a \uv{haldovou konstantu}~$H$.
+\>PustÄ\82Âme se do~analÄ\82Ë\9dzy sloĹžitosti. Jako parametry si zvolÄ\82Âme poÃ\84Â\8det hladin~$d$ (takĹže
+poÄ\8det pĹ\99ihrĂĄdek~$B$ na jednĂŠ Ăşrovni je roven $L^{1/d}$) a \uv{haldovou konstantu}~$H$.
-Nejprve si v¹imneme, ¾e ne¾ poèítadlo nìjaké úrovnì vynulujeme, jsou bezpeènì
-z~haldy pryè v¹echny prvky patøící do~této úrovnì. Celkem se tedy v~haldì
-vyskytuje nejvý¹e $\O(dH)$ prvkù. \<ExtractMin> v~haldì proto trvá $\O(\log(dH))$,
-ostatní haldové operace $\O(1)$.
+Nejprve si vĹĄimneme, Ĺže neĹž poÄ\8dĂtadlo nÄ\9bjakĂŠ ĂşrovnÄ\9b vynulujeme, jsou bezpeÄ\8dnÄ\9b
+z~haldy pryÄ\8d vĹĄechny prvky patĹ\99ĂcĂ do~tĂŠto ĂşrovnÄ\9b. Celkem se tedy v~haldÄ\9b
+vyskytuje nejvýťe $\O(dH)$ prvkĹŻ. \<ExtractMin> v~haldÄ\9b proto trvĂĄ $\O(\log(dH))$,
+ostatnĂ haldovĂŠ operace $\O(1)$.
-Nyní rozúètujeme èas operací mezi jednotlivé prvky (opìt si v¹e pøedplatíme
-v~\<Insert>u a ostatní operace pobì¾í v~amortizovanì konstantním èase):
+NynĂ rozĂşÄ\8dtujeme Ä\8das operacĂ mezi jednotlivĂŠ prvky (opÄ\9bt si vĹĄe pĹ\99edplatĂme
+v~\<Insert>u a ostatnĂ operace pobÄ\9bŞà v~amortizovanÄ\9b konstantnĂm Ä\8dase):
\itemize\ibull
-\:Ka¾dý prvek mù¾e být nejvý¹e jednou za~dobu svého ¾ivota vlo¾en do~haldy
- a nejvý¹e jednou z~ní vyjmut. Na~obojí dohromady pøispìje $\O(\log dH)$.
-\:Prvek se úèastní nejvý¹e~$d$ pøehození do~ni¾¹í úrovnì. Pokud byl pøihozen
- do~haldy, u¾ tam setrvá, jinak poka¾dé zaplatí $\O(1)$ za~zaøazení do~pøihrádky,
+\:KaĹždÄ\82Ë\9d prvek mĹŻĹže bÄ\82Ë\9dt nejvÄ\82Ë\9dĹÄ\84e jednou za~dobu svÄ\82Å ho Ĺživota vloĹžen do~haldy
+ a nejvýťe jednou z~nĂ vyjmut. Na~obojĂ dohromady pĹ\99ispÄ\9bje $\O(\log dH)$.
+\:Prvek se ĂşÄ\8dastnĂ nejvýťe~$d$ pĹ\99ehozenĂ do~niŞťà úrovnÄ\9b. Pokud byl pĹ\99ihozen
+ do~haldy, uĹž tam setrvĂĄ, jinak pokaĹždĂŠ zaplatĂ $\O(1)$ za~zaĹ\99azenĂ do~pĹ\99ihrĂĄdky,
celkem tedy $\O(d)$ na prvek.
-\:Vytvoøení, projití a smazání pøihrádek na~jedné úrovni nastane a¾ tehdy, co bylo
- $H$~prvkù patøících do~této úrovnì vlo¾eno do~haldy. Staèí tedy, aby ka¾dý
- prvek pøispìl èasem $\O(B/H) = \O(L^{1/d}/H)$.
+\:VytvoĹÂ\99enÄ\82Â, projitÄ\82 a smazÄ\82Ä\84nÄ\82 pĹÂ\99ihrÄ\82Ä\84dek na~jednÄ\82Å Ä\82Å\9frovni nastane aĹž tehdy, co bylo
+ $H$~prvkĹŻ patĹ\99ĂcĂch do~tĂŠto ĂşrovnÄ\9b vloĹženo do~haldy. StaÄ\8dĂ tedy, aby kaĹždĂ˝
+ prvek pĹ\99ispÄ\9bl Ä\8dasem $\O(B/H) = \O(L^{1/d}/H)$.
\endlist
-\>Ka¾dý prvek tedy platí $\O(d + \log dH + L^{1/d}/H) = \O(d + \log H + L^{1/d}/H)$.
-Pojïme najít nastavení parametrù, které tento výraz minimalizuje.
+\>KaĹždĂ˝ prvek tedy platĂ $\O(d + \log dH + L^{1/d}/H) = \O(d + \log H + L^{1/d}/H)$.
+PojÄ\8fme najĂt nastavenĂ parametrĹŻ, kterĂŠ tento vĂ˝raz minimalizuje.
Nejprve zvolme~$H$ tak, aby se~$d$ vyrovnalo s~$L^{1/d}/H$. Tedy $H = L^{1/d}/d$.
-Celý výraz tím zjednodu¹íme na $\O(d + \log\,(L^{1/d}/d))$ =
-$\O(d + 1/d\cdot\log L - \log d) = \O(d + 1/d\cdot\log L)$. Oba sèítance volbou
-$d=\sqrt{\log L}$ vyrovnáme.
+CelĂ˝ vĂ˝raz tĂm zjednoduĹĄĂme na $\O(d + \log\,(L^{1/d}/d))$ =
+$\O(d + 1/d\cdot\log L - \log d) = \O(d + 1/d\cdot\log L)$. Oba sÄ\8dĂtance volbou
+$d=\sqrt{\log L}$ vyrovnĂĄme.
-HOT Queue tedy zvládne \<Insert> s~amortizovanou èasovou slo¾itostí $\O(\sqrt{\log L})$
-a ostatní operace v~èase amortizovanì konstantním. Pou¾ijeme-li tuto strukturu
-v~Dijkstrovì algoritmu, spoète vzdálenosti v~èase $\O(m + n\sqrt{\log L})$.
+HOT Queue tedy zvlĂĄdne \<Insert> s~amortizovanou Ä\8dasovou sloĹžitostĂ $\O(\sqrt{\log L})$
+a ostatnÄ\82 operace v~Ã\84Â\8dase amortizovanÃ\84Â\9b konstantnÄ\82Âm. PouĹžijeme-li tuto strukturu
+v~DijkstrovÄ\9b algoritmu, spoÄ\8dte vzdĂĄlenosti v~Ä\8dase $\O(m + n\sqrt{\log L})$.
-\h{Dinicùv algoritmus}
+\h{DinicĹŻv algoritmus}
-Zajímavé vylep¹ení Dijkstrova algoritmu navrhl Dinic. V¹iml si, ¾e pokud
-je ka¾dá hrana dlouhá alespoò~$\delta$, mù¾eme uzavírat nejen
-vrchol s~minimálním ohodnocením~$\mu$, ale i v¹echny s~ohodnocením
-men¹ím ne¾ $\mu+\delta$.
+ZajÄ\82ÂmavÄ\82Å vylepĹÄ\84enÄ\82 Dijkstrova algoritmu navrhl Dinic. VĹÄ\84iml si, Ĺže pokud
+je kaĹždĂĄ hrana dlouhĂĄ alespoĹ\88~$\delta$, mĹŻĹžeme uzavĂrat nejen
+vrchol s~minimĂĄlnĂm ohodnocenĂm~$\mu$, ale i vĹĄechny s~ohodnocenĂm
+menĹÄ\84Ä\82Âm neĹž $\mu+\delta$.
-Pro takto upravený Dijkstrùv algoritmus bude stále platit, ¾e pøi uzavírání
-vrcholu odpovídá ohodnocení skuteèné vzdálenosti, tak¾e uzavøené vrcholy ji¾
-nejsou znovu otevírány.
+Pro takto upravenĂ˝ DijkstrĹŻv algoritmus bude stĂĄle platit, Ĺže pĹ\99i uzavĂrĂĄnĂ
+vrcholu odpovÄ\82ÂdÄ\82Ä\84 ohodnocenÄ\82 skuteÃ\84Â\8dnÄ\82Å vzdÄ\82Ä\84lenosti, takĹže uzavĹÂ\99enÄ\82Å vrcholy jiĹž
+nejsou znovu otevĂrĂĄny.
-O~monotonii vzdáleností jsme sice pøi¹li, ale v~pøihrádkové struktuøe nebo
-haldì mù¾eme klíèe nahradit hodnotami $h'(v) := \lfloor h(v)/\delta \rfloor$.
-Tyto hodnoty se toti¾ chovají monotónnì a vrcholy se stejným $h'(v)$ mù¾eme
-libovolnì zamìòovat.
+O~monotonii vzdĂĄlenostĂ jsme sice pĹ\99iĹĄli, ale v~pĹ\99ihrĂĄdkovĂŠ struktuĹ\99e nebo
+haldÄ\9b mĹŻĹžeme klĂÄ\8de nahradit hodnotami $h'(v) := \lfloor h(v)/\delta \rfloor$.
+Tyto hodnoty se totiĹž chovajÄ\82 monotÄ\82Å\82nnÃ\84Â\9b a vrcholy se stejnÄ\82Ë\9dm $h'(v)$ mĹŻĹžeme
+libovolnÄ\9b zamÄ\9bĹ\88ovat.
-Kteroukoli z~popsaných pøihrádkových struktur mù¾eme tedy pou¾ít, pouze
-v~rozboru èasové slo¾itosti nahradíme~$L$ výrazem $L/\delta$. Tento pøístup
-pøitom funguje i pro neceloèíselné délky hran, pouze potøebujeme mít pøedem
-k~dispozici netriviální dolní odhad na~v¹echny délky.
+Kteroukoli z~popsanĂ˝ch pĹ\99ihrĂĄdkovĂ˝ch struktur mĹŻĹžeme tedy pouĹžĂt, pouze
+v~rozboru Ä\8dasovĂŠ sloĹžitosti nahradĂme~$L$ vĂ˝razem $L/\delta$. Tento pĹ\99Ăstup
+pĹ\99itom funguje i pro neceloÄ\8dĂselnĂŠ dĂŠlky hran, pouze potĹ\99ebujeme mĂt pĹ\99edem
+k~dispozici netriviĂĄlnĂ dolnĂ odhad na~vĹĄechny dĂŠlky.
-\h{Potenciály}
+\h{PotenciĂĄly}
-Vidìli jsme, ¾e v~grafech s~nezápornými délkami hran se nejkrat¹í cesty
-hledají snáze. Nabízí se nalézt nìjakou transformaci, která by
-dovedla délky hran upravit tak, aby byly nejkrat¹í cesty zachovány (samozøejmì
-ne jejich délky, ale alespoò to, které cesty jsou nejkrat¹í). Nabízí se
-následující fyzikální inspirace:
+VidÄ\9bli jsme, Ĺže v~grafech s~nezĂĄpornĂ˝mi dĂŠlkami hran se nejkratĹĄĂ cesty
+hledajĂ snĂĄze. NabĂzĂ se nalĂŠzt nÄ\9bjakou transformaci, kterĂĄ by
+dovedla dĂŠlky hran upravit tak, aby byly nejkratĹĄĂ cesty zachovĂĄny (samozĹ\99ejmÄ\9b
+ne jejich dĂŠlky, ale alespoĹ\88 to, kterĂŠ cesty jsou nejkratĹĄĂ). NabĂzĂ se
+nĂĄsledujĂcĂ fyzikĂĄlnĂ inspirace:
-\s{Definice:} {\I Potenciál} budeme øíkat libovolné funkci $\psi: V\rightarrow {\bb R}$.
-Pro ka¾dý potenciál zavedeme {\I redukované délky hran} $\ell_\psi(u,v) := \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v)$.
-Potenciál nazveme {\I pøípustný,} pokud ¾ádná hrana nemá zápornou redukovanou délku.
+\s{Definice:} {\I PotenciĂĄl} budeme Ĺ\99Ăkat libovolnĂŠ funkci $\psi: V\rightarrow {\bb R}$.
+Pro kaĹždĂ˝ potenciĂĄl zavedeme {\I redukovanĂŠ dĂŠlky hran} $\ell_\psi(u,v) := \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v)$.
+PotenciĂĄl nazveme {\I pĹ\99ĂpustnĂ˝,} pokud ŞådnĂĄ hrana nemĂĄ zĂĄpornou redukovanou dĂŠlku.
-\s{Pozorování:} Pro redukovanou délku libovolné cesty~$P$ z~$u$ do~$v$ platí: $\ell_\psi(P) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v)$.
+\s{PozorovĂĄnĂ:} Pro redukovanou dĂŠlku libovolnĂŠ cesty~$P$ z~$u$ do~$v$ platĂ: $\ell_\psi(P) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v)$.
\proof
-Nech» cesta~$P$ prochází pøes vrcholy $u=w_1,\ldots,w_k=v$. Potom:
+NechĹĽ cesta~$P$ prochĂĄzĂ pĹ\99es vrcholy $u=w_1,\ldots,w_k=v$. Potom:
$$
\ell_\psi(P) = \sum_i \ell_\psi(w_i,w_{i+1}) = \sum_i \left( \ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_i) - \psi(w_{i+1}) \right).
$$
-Tato suma je ov¹em teleskopická, tak¾e z~ní zbude
+Tato suma je ovĹĄem teleskopickĂĄ, takĹže z~nĂ zbude
$$
\sum_i\ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_1) - \psi(w_k) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v).
$$
\vskip-\baselineskip
\qed
-\s{Dùsledek:} Potenciálovou redukcí se délky v¹ech cest mezi~$u$ a~$v$
-zmìní o~tuté¾ konstantu, tak¾e struktura nejkrat¹ích cest zùstane nezmìnìna.
+\s{DĹŻsledek:} PotenciĂĄlovou redukcĂ se dĂŠlky vĹĄech cest mezi~$u$ a~$v$
+zmÄ\9bnĂ o~tutĂŠĹž konstantu, takĹže struktura nejkratĹĄĂch cest zĹŻstane nezmÄ\9bnÄ\9bna.
-Zbývá pøijít na~to, kde si obstarat nìjaký pøípustný potenciál. Pøidejme do~grafu
-nový vrchol~$z$, pøiveïme z~nìj hrany nulové délky do~v¹ech ostatních vrcholù
-a~oznaème~$\psi(v)$ vzdálenost ze~$z$ do~$v$ v~tomto grafu. Aby byl tento potenciál
-pøípustný, musí pro ka¾dou hranu $uv$ platit $\ell_\psi(u,v) = \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v) \ge 0$.
-Tuto nerovnost mù¾eme upravit na $\ell(u,v) + d(z,u) - d(z,v) \ge 0$, èili
-$d(z,u) + \ell(u,v) \ge d(z,v)$, co¾ je ale obyèejná trojúhelníková nerovnost
-pro vzdálenost v~grafu, která jistì platí.
+ZbĂ˝vĂĄ pĹ\99ijĂt na~to, kde si obstarat nÄ\9bjakĂ˝ pĹ\99ĂpustnĂ˝ potenciĂĄl. PĹ\99idejme do~grafu
+novĂ˝ vrchol~$z$, pĹ\99iveÄ\8fme z~nÄ\9bj hrany nulovĂŠ dĂŠlky do~vĹĄech ostatnĂch vrcholĹŻ
+a~oznaÄ\8dme~$\psi(v)$ vzdĂĄlenost ze~$z$ do~$v$ v~tomto grafu. Aby byl tento potenciĂĄl
+pĹÂ\99Ä\82ÂpustnÄ\82Ë\9d, musÄ\82 pro kaĹždou hranu $uv$ platit $\ell_\psi(u,v) = \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v) \ge 0$.
+Tuto nerovnost mĹŻĹžeme upravit na $\ell(u,v) + d(z,u) - d(z,v) \ge 0$, Ä\8dili
+$d(z,u) + \ell(u,v) \ge d(z,v)$, coĹž je ale obyÄ\8dejnĂĄ trojĂşhelnĂkovĂĄ nerovnost
+pro vzdĂĄlenost v~grafu, kterĂĄ jistÄ\9b platĂ.
-Jedním výpoètem nejkrat¹ích cest v~grafu se zápornými hranami (tøeba algoritmem BFM)
-tedy doká¾eme spoèítat potenciál, který nám poslou¾í k~redukci v¹ech hran na~nezáporné
-délky. To nám samozøejmì nepomù¾e, chceme-li jednorázovì hledat nejkrat¹í cestu,
-ale mù¾e nám to výraznì zjednodu¹it dal¹í, slo¾itìj¹í práci s~grafem. Jak uvidíme
-v~pøí¹tí kapitole, mù¾eme tak napøíklad nalézt vzdálenosti mezi v¹emi dvojicemi
-vrcholù v~èase $\O(nm + n^2\log n)$.
+JednĂm vĂ˝poÄ\8dtem nejkratĹĄĂch cest v~grafu se zĂĄpornĂ˝mi hranami (tĹ\99eba algoritmem BFM)
+tedy dokĂĄĹžeme spoÄ\8dĂtat potenciĂĄl, kterĂ˝ nĂĄm poslouŞà k~redukci vĹĄech hran na~nezĂĄpornĂŠ
+dĂŠlky. To nĂĄm samozĹ\99ejmÄ\9b nepomĹŻĹže, chceme-li jednorĂĄzovÄ\9b hledat nejkratĹĄĂ cestu,
+ale mĹŻĹže nĂĄm to vĂ˝raznÄ\9b zjednoduĹĄit dalĹĄĂ, sloĹžitÄ\9bjĹĄĂ prĂĄci s~grafem. Jak uvidĂme
+v~pĹ\99ĂĹĄtĂ kapitole, mĹŻĹžeme tak napĹ\99Ăklad nalĂŠzt vzdĂĄlenosti mezi vĹĄemi dvojicemi
+vrcholĹŻ v~Ä\8dase $\O(nm + n^2\log n)$.
-Na~závìr tohoto oddílu doká¾eme jedno pomocné tvrzení o~potenciálech, které
-nám pomù¾e v~konstrukci algoritmù typu \ppsp:
+Na~zĂĄvÄ\9br tohoto oddĂlu dokĂĄĹžeme jedno pomocnĂŠ tvrzenĂ o~potenciĂĄlech, kterĂŠ
+nĂĄm pomĹŻĹže v~konstrukci algoritmĹŻ typu \ppsp:
-\s{Lemma:} Pokud $f$ a~$g$ jsou pøípustné potenciály, pak jsou jimi i:
+\s{Lemma:} Pokud $f$ a~$g$ jsou pĹ\99ĂpustnĂŠ potenciĂĄly, pak jsou jimi i:
\numlist\ndotted
-\:konvexní kombinace $f$ a~$g$, tedy $\alpha f + \beta g$ pro libovolné $\alpha,\beta\ge 0, \alpha+\beta=1$;
+\:konvexnĂ kombinace $f$ a~$g$, tedy $\alpha f + \beta g$ pro libovolnĂŠ $\alpha,\beta\ge 0, \alpha+\beta=1$;
\:$\min(f,g)$;
\:$\max(f,g)$.
\endlist
-\proof Buï $uv$ hrana. Potom z~definice pøípustnosti platí $\ell(u,v) \ge f(v) - f(u)$ a $\ell(u,v) \ge g(v) - g(u)$.
-Jednotlivé èásti tvrzení doká¾eme takto:
+\proof BuÄ\8f $uv$ hrana. Potom z~definice pĹ\99Ăpustnosti platĂ $\ell(u,v) \ge f(v) - f(u)$ a $\ell(u,v) \ge g(v) - g(u)$.
+JednotlivÄ\82Å Ã\84Â\8dÄ\82Ä\84sti tvrzenÄ\82 dokÄ\82Ä\84Ĺžeme takto:
\numlist\ndotted
-\:Pokud obì strany nerovnosti pro~$f$ vynásobíme konstantou~$\alpha$, u~nerovnosti pro~$g$
- konstantou~$\beta$ a obì nerovnosti seèteme, dostaneme:
+\:Pokud obÄ\9b strany nerovnosti pro~$f$ vynĂĄsobĂme konstantou~$\alpha$, u~nerovnosti pro~$g$
+ konstantou~$\beta$ a obÄ\9b nerovnosti seÄ\8dteme, dostaneme:
$$
(\alpha+\beta) \cdot \ell(u,v) \ge (\alpha f(v) + \beta g(v)) - (\alpha f(u) + \beta g(u)),
$$
- co¾ je pøesnì po¾adovaná nerovnost pro pøípustnost funkce $\alpha f+\beta g$.
-\:Oznaème $h := \min(f,g)$. Nech» bez újmy na obecnosti $f(u)\le g(u)$. Pokud také platí $f(v)\le g(v)$,
- shoduje se minimum s~funkcí~$f$ a není co dokazovat. V~opaèném pøípadì je $h(u) = f(u)$, $h(v) = g(v)$.
- Tehdy si staèí v¹imnout, ¾e $h(v) - h(u) = g(v) - f(u) < f(v) - f(u) \le \ell(u,v)$, tak¾e
- potenciál~$h$ je pøípustný.
-\:Doká¾eme analogicky.
+ coĹž je pĹ\99esnÄ\9b poĹžadovanĂĄ nerovnost pro pĹ\99Ăpustnost funkce $\alpha f+\beta g$.
+\:OznaÄ\8dme $h := \min(f,g)$. NechĹĽ bez Ăşjmy na obecnosti $f(u)\le g(u)$. Pokud takĂŠ platĂ $f(v)\le g(v)$,
+ shoduje se minimum s~funkcĂ~$f$ a nenĂ co dokazovat. V~opaÄ\8dnĂŠm pĹ\99ĂpadÄ\9b je $h(u) = f(u)$, $h(v) = g(v)$.
+ Tehdy si staÃ\84Â\8dÄ\82 vĹÄ\84imnout, Ĺže $h(v) - h(u) = g(v) - f(u) < f(v) - f(u) \le \ell(u,v)$, takĹže
+ potenciĂĄl~$h$ je pĹ\99ĂpustnĂ˝.
+\:DokÄ\82Ä\84Ĺžeme analogicky.
\qeditem
\endlist
-\h{Algoritmy pro problém typu \ppsp}
-
-Zamìøme se nyní na~pøípad, kdy chceme hledat nejkrat¹í cesty mezi zadanou dvojicí
-vrcholù $s$,~$t$. Obvykle se i v~této situaci pou¾ívají algoritmy \sssp{} (SSSP) a v~obecném
-pøípadì ani není efektivnìj¹í øe¹ení známo. Existuje ov¹em velké mno¾ství heuristik, kterými
-lze obvykle výpoèet zrychlit. Nìkteré z~nich si pøedvedeme na Dijkstrovì algoritmu.
-
-Dijkstrùv algoritmus ve~své klasické podobì neví vùbec nic o~cílovém vrcholu a
-prohledá celý graf. Hned se nabízí vyu¾ít toho, ¾e od~okam¾iku uzavøení
-kteréhokoliv vrcholu se ji¾ jeho ohodnocení nezmìní. Pokud tedy uzavøeme cílový
-vrchol, mù¾eme se zastavit.
-
-Jakou èást grafu prohledáváme teï? V~metrice dané vzdálenostmi v~grafu je to nejmen¹í
-koule se støedem ve~vrcholu~$u$, která obsahuje nejkrat¹í cestu (dobøe se to
-pøedstavuje na~hledání v~silnièní síti na~rovinné mapì).
-
-Také mù¾eme spustit prohledávání z~obou koncù zároveò, tedy zkombinovat hledání
-od~$s$ v~pùvodním grafu s~hledáním od~$t$ v~grafu s~obrácenou orientací hran.
-Oba postupy mù¾eme libovolnì støídat a zastavíme se v~okam¾iku, kdy jsme jeden
-vrchol uzavøeli v~obou smìrech. Pozor ov¹em na to, ¾e souèet obou ohodnocení
-tohoto vrcholu nemusí být roven $d(v,u)$ -- zkuste vymyslet protipøíklad.
-Nejkrat¹í cesta je¹tì mù¾e vypadat tak, ¾e pøechází po nìjaké hranì mezi vrcholem
-uzavøeným v~jednom smìru a vrcholem uzavøeným ve~smìru druhém (ponechme bez dùkazu).
-Staèí tedy bìhem relaxace zjistit, zda je konec hrany uzavøený v~opaèném
-smìru prohledávání, a~pokud ano, zapoèítat cestu do~prùbì¾ného minima.
-
-Obousmìrný Dijkstrùv algoritmus projde sjednocení nìjaké koule okolo~$s$ s~nìjakou
-koulí okolo~$t$, které obsahuje nejkrat¹í cestu. Prùmìry koulí pøitom závisí na tom,
-jak budeme bìhem výpoètu støídat oba smìry prohledávání. V~nejhor¹ím pøípadì samozøejmì
-mù¾eme prohledat celý graf.
+\h{Algoritmy pro problĂŠm typu \ppsp}
+
+ZamÄ\9bĹ\99me se nynĂ na~pĹ\99Ăpad, kdy chceme hledat nejkratĹĄĂ cesty mezi zadanou dvojicĂ
+vrcholĹŻ $s$,~$t$. Obvykle se i v~tĂŠto situaci pouĹžĂvajĂ algoritmy \sssp{} (SSSP) a v~obecnĂŠm
+pĹ\99ĂpadÄ\9b ani nenĂ efektivnÄ\9bjĹĄĂ Ĺ\99eĹĄenĂ znĂĄmo. Existuje ovĹĄem velkĂŠ mnoĹžstvĂ heuristik, kterĂ˝mi
+lze obvykle vĂ˝poÄ\8det zrychlit. NÄ\9bkterĂŠ z~nich si pĹ\99edvedeme na DijkstrovÄ\9b algoritmu.
+
+DijkstrĹŻv algoritmus ve~svĂŠ klasickĂŠ podobÄ\9b nevĂ vĹŻbec nic o~cĂlovĂŠm vrcholu a
+prohledĂĄ celĂ˝ graf. Hned se nabĂzĂ vyuĹžĂt toho, Ĺže od~okamĹžiku uzavĹ\99enĂ
+kterĂŠhokoliv vrcholu se jiĹž jeho ohodnocenĂ nezmÄ\9bnĂ. Pokud tedy uzavĹ\99eme cĂlovĂ˝
+vrchol, mĹŻĹžeme se zastavit.
+
+Jakou Ä\8dĂĄst grafu prohledĂĄvĂĄme teÄ\8f? V~metrice danĂŠ vzdĂĄlenostmi v~grafu je to nejmenĹĄĂ
+koule se stĹ\99edem ve~vrcholu~$u$, kterĂĄ obsahuje nejkratĹĄĂ cestu (dobĹ\99e se to
+pĹ\99edstavuje na~hledĂĄnĂ v~silniÄ\8dnĂ sĂti na~rovinnĂŠ mapÄ\9b).
+
+TakĂŠ mĹŻĹžeme spustit prohledĂĄvĂĄnĂ z~obou koncĹŻ zĂĄroveĹ\88, tedy zkombinovat hledĂĄnĂ
+od~$s$ v~pĹŻvodnĂm grafu s~hledĂĄnĂm od~$t$ v~grafu s~obrĂĄcenou orientacĂ hran.
+Oba postupy mĹŻĹžeme libovolnÃ\84Â\9b stĹÂ\99Ä\82Âdat a zastavÄ\82Âme se v~okamĹžiku, kdy jsme jeden
+vrchol uzavĹ\99eli v~obou smÄ\9brech. Pozor ovĹĄem na to, Ĺže souÄ\8det obou ohodnocenĂ
+tohoto vrcholu nemusĂ bĂ˝t roven $d(v,u)$ -- zkuste vymyslet protipĹ\99Ăklad.
+NejkratĹĄĂ cesta jeĹĄtÄ\9b mĹŻĹže vypadat tak, Ĺže pĹ\99echĂĄzĂ po nÄ\9bjakĂŠ hranÄ\9b mezi vrcholem
+uzavĹ\99enĂ˝m v~jednom smÄ\9bru a vrcholem uzavĹ\99enĂ˝m ve~smÄ\9bru druhĂŠm (ponechme bez dĹŻkazu).
+StaÄ\8dĂ tedy bÄ\9bhem relaxace zjistit, zda je konec hrany uzavĹ\99enĂ˝ v~opaÄ\8dnĂŠm
+smÄ\9bru prohledĂĄvĂĄnĂ, a~pokud ano, zapoÄ\8dĂtat cestu do~prĹŻbÄ\9bĹžnĂŠho minima.
+
+ObousmÄ\9brnĂ˝ DijkstrĹŻv algoritmus projde sjednocenĂ nÄ\9bjakĂŠ koule okolo~$s$ s~nÄ\9bjakou
+koulĂ okolo~$t$, kterĂŠ obsahuje nejkratĹĄĂ cestu. PrĹŻmÄ\9bry koulĂ pĹ\99itom zĂĄvisĂ na tom,
+jak budeme bÄ\9bhem vĂ˝poÄ\8dtu stĹ\99Ădat oba smÄ\9bry prohledĂĄvĂĄnĂ. V~nejhorĹĄĂm pĹ\99ĂpadÄ\9b samozĹ\99ejmÄ\9b
+mĹŻĹžeme prohledat celĂ˝ graf.
\h{Algoritmus \astar}
-V~umìlé inteligenci se èasto pro hledání nejkrat¹í cesty v~rozsáhlých grafech
-(obvykle stavových prostorech úloh) pou¾ívá algoritmus nazývaný~\astar{} \cite{hart:astar}.
-Jedná se o~modifikaci Dijkstrova algoritmu, která vyu¾ívá heuristickou funkci
-pro dolní odhad vzdálenosti do~cíle; oznaème si ji $\psi(v)$. V~ka¾dém kroku pak uzavíra
-vrchol~$v$ s~nejmen¹ím mo¾ným souètem $h(v)+\psi(v)$ aktuálního ohodnocení s~heuristikou.
+V~umÄ\9blĂŠ inteligenci se Ä\8dasto pro hledĂĄnĂ nejkratĹĄĂ cesty v~rozsĂĄhlĂ˝ch grafech
+(obvykle stavovĂ˝ch prostorech Ăşloh) pouĹžĂvĂĄ algoritmus nazĂ˝vanĂ˝~\astar{} \cite{hart:astar}.
+JednĂĄ se o~modifikaci Dijkstrova algoritmu, kterĂĄ vyuĹžĂvĂĄ heuristickou funkci
+pro dolnĂ odhad vzdĂĄlenosti do~cĂle; oznaÄ\8dme si ji $\psi(v)$. V~kaĹždĂŠm kroku pak uzavĂra
+vrchol~$v$ s~nejmenĹĄĂm moĹžnĂ˝m souÄ\8dtem $h(v)+\psi(v)$ aktuĂĄlnĂho ohodnocenĂ s~heuristikou.
-Intuice za tímto algoritmem je jasná: pokud víme, ¾e nìjaký vrchol je blízko
-od~poèátaèního vrcholu~$s$, ale bude z~nìj urèitì daleko do cíle~$t$, zatím ho
-odlo¾íme a budeme zkoumat nadìjnìj¹í varianty.
+Intuice za tĂmto algoritmem je jasnĂĄ: pokud vĂme, Ĺže nÄ\9bjakĂ˝ vrchol je blĂzko
+od~poÄ\8dĂĄtaÄ\8dnĂho vrcholu~$s$, ale bude z~nÄ\9bj urÄ\8ditÄ\9b daleko do cĂle~$t$, zatĂm ho
+odloĹžĂme a budeme zkoumat nadÄ\9bjnÄ\9bjĹĄĂ varianty.
-Heuristika se pøitom volí podle konkrétního problému -- napø. hledáme-li cestu
-v~mapì, mù¾eme pou¾ít vzdálenost do~cíle vzdu¹nou èarou.
+Heuristika se pĹ\99itom volĂ podle konkrĂŠtnĂho problĂŠmu -- napĹ\99. hledĂĄme-li cestu
+v~mapÄ\9b, mĹŻĹžeme pouĹžĂt vzdĂĄlenost do~cĂle vzduĹĄnou Ä\8darou.
-Je u~tohoto algoritmu zaruèeno, ¾e v¾dy najde nejkrat¹í cestu? Na to nám dá odpovìï
-teorie potenciálù:
+Je u~tohoto algoritmu zaruÄ\8deno, Ĺže vĹždy najde nejkratĹĄĂ cestu? Na to nĂĄm dĂĄ odpovÄ\9bÄ\8f
+teorie potenciĂĄlĹŻ:
-\s{Vìta:} Bìh algoritmu \astar{} odpovídá prùbìhu Dijkstrova algoritmu
-na~grafu redukovaném potenciálem~$-\psi$. Pøesnìji,
-pokud oznaèíme $h^*$ aktuální ohodnocení v~\astar{} a $h$ aktuální ohodnocení
-v~synchronnì bì¾ícím Dijkstrovi, bude v¾dy platit $h(v) = h^*(v) - \psi(s) + \psi(v)$.
+\s{VÄ\9bta:} BÄ\9bh algoritmu \astar{} odpovĂdĂĄ prĹŻbÄ\9bhu Dijkstrova algoritmu
+na~grafu redukovanĂŠm potenciĂĄlem~$-\psi$. PĹ\99esnÄ\9bji,
+pokud oznaÄ\8dĂme $h^*$ aktuĂĄlnĂ ohodnocenĂ v~\astar{} a $h$ aktuĂĄlnĂ ohodnocenĂ
+v~synchronnÃ\84Â\9b bÃ\84Â\9bĹžÄ\82ÂcÄ\82Âm Dijkstrovi, bude vĹždy platit $h(v) = h^*(v) - \psi(s) + \psi(v)$.
\proof
-Indukcí podle doby bìhu obou algoritmù. Na poèátku je $h^*(s)$ i $h(s)$ nulové
-a v¹echna ostatní $h^*$ a~$h$ jsou nekoneèná, tak¾e tvrzení platí. V~ka¾dém dal¹ím
-kroku \astar{} vybere vrchol~$v$ s~nejmen¹ím $h^*(v) + \psi(v)$, co¾ je tentý¾ vrchol,
-který vybere Dijkstra ($\psi(s)$ je stále stejné).
-
-Uva¾ujme, co se stane bìhem relaxace hrany $vw$: Dijkstra se pokusí sní¾it ohodnocení $h(w)$
-o~$\delta = h(w) - h(v) - \ell_{-\psi}(v,w)$ a provede to, pokud $\delta>0$. Uká¾eme,
-¾e \astar{} udìlá toté¾:
+IndukcĂ podle doby bÄ\9bhu obou algoritmĹŻ. Na poÄ\8dĂĄtku je $h^*(s)$ i $h(s)$ nulovĂŠ
+a vĹĄechna ostatnĂ $h^*$ a~$h$ jsou nekoneÄ\8dnĂĄ, takĹže tvrzenĂ platĂ. V~kaĹždĂŠm dalĹĄĂm
+kroku \astar{} vybere vrchol~$v$ s~nejmenĹÄ\84Ä\82Âm $h^*(v) + \psi(v)$, coĹž je tentÄ\82Ë\9dĹž vrchol,
+kterĂ˝ vybere Dijkstra ($\psi(s)$ je stĂĄle stejnĂŠ).
+
+UvaĹžujme, co se stane bÄ\9bhem relaxace hrany $vw$: Dijkstra se pokusĂ snĂĹžit ohodnocenĂ $h(w)$
+o~$\delta = h(w) - h(v) - \ell_{-\psi}(v,w)$ a provede to, pokud $\delta>0$. UkÄ\82Ä\84Ĺžeme,
+Ĺže \astar{} udÃ\84Â\9blÄ\82Ä\84 totÄ\82ŠĹž:
$$\eqalign{
\delta &= (h^*(w) - \psi(s) + \psi(w)) - (h^*(v) - \psi(s) + \psi(v)) - (\ell(v,w) - \psi(v) + \psi(w)) \cr
&= h^*(w) - \psi(s) + \psi(w) - h^*(v) + \psi(s) - \psi(v) - \ell(v,w) + \psi(v) - \psi(w) \cr
&= h^*(w) - h^*(v) - \ell(v,w).
}$$
-Oba algoritmy tedy a¾ na~posunutí dané potenciálem poèítají toté¾.
+Oba algoritmy tedy aĹž na~posunutÄ\82 danÄ\82Å potenciÄ\82Ä\84lem poÃ\84Â\8dÄ\82ÂtajÄ\82 totÄ\82ŠĹž.
\qed
-\s{Dùsledek:} Algoritmus \astar{} funguje jen tehdy, je-li potenciál $-\psi$ pøípustný.
+\s{DĹŻsledek:} Algoritmus \astar{} funguje jen tehdy, je-li potenciĂĄl $-\psi$ pĹ\99ĂpustnĂ˝.
-Napøíklad pro rovinnou mapu to heuristika daná euklidovskou vzdáleností~$\varrho$, tedy $\psi(v) := \varrho(v,t)$, splòuje:
-Pøípustnost po¾aduje pro ka¾dou hranu $uv$ nerovnost
+NapĹ\99Ăklad pro rovinnou mapu to heuristika danĂĄ euklidovskou vzdĂĄlenostĂ~$\varrho$, tedy $\psi(v) := \varrho(v,t)$, splĹ\88uje:
+PĹÂ\99Ä\82Âpustnost poĹžaduje pro kaĹždou hranu $uv$ nerovnost
$\ell(u,v) - \psi(v) + \psi(u) \ge 0$,
tedy $\ell(u,v) - \varrho(v,t) + \varrho(u,t) \ge 0$.
-Jeliko¾ $\ell(u,v) \ge \varrho(u,v)$,
-staèí dokázat, ¾e $\varrho(u,v) - \varrho(v,t) + \varrho(u,t) \ge 0$,
-co¾ je ov¹em trojúhelníková nerovnost pro metriku~$\varrho$.
+JelikoĹž $\ell(u,v) \ge \varrho(u,v)$,
+staÃ\84Â\8dÄ\82 dokÄ\82Ä\84zat, Ĺže $\varrho(u,v) - \varrho(v,t) + \varrho(u,t) \ge 0$,
+coĹž je ovĹĄem trojĂşhelnĂkovĂĄ nerovnost pro metriku~$\varrho$.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{14}{Transitivní uzávìry}{}
-
-V~pøedchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkrat¹ích
-cest z~daného poèáteèního vrcholu. Nyní se zamìøíme na pøípady, kdy nás
-zajímají vzdálenosti, pøípadnì pouhá dosa¾itelnost, mezi v¹emi dvojicemi
-vrcholù.
-
-Výstupem takového algoritmu bude {\I matice vzdáleností} (pøípadnì
-{\I matice dosa¾itelnosti}). Na ni se také mu¾eme dívat jako na {\I transitivní
-uzávìr} zadaného grafu -- to je graf na~té¾e mno¾inì vrcholù, jeho¾ hrany
-odpovídají nejkrat¹ím cestám v~grafu pùvodním.
-
-Jeden zpùsob, jak transitivní uzávìr spoèítat, se ihned nabízí: postupnì
-spustit Dijkstrùv algoritmus pro v¹echny mo¾né volby poèáteèního vrcholu,
-pøípadnì se pøed tím je¹tì zbavit záporných hran pomocí potenciálù. Tak
-dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$. To je pro øídké grafy
-nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát pomalej¹í, ne¾ je velikost
-výstupu.
-
-Je-li graf hustý, pracují obvykle rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích, zejména
-na jejich násobení. Nìkolik algoritmù tohoto druhu si nyní pøedvedeme,
-a to jak pro výpoèet vzdáleností, tak pro dosa¾itelnost.
-
-Graf na vstupu bude v¾dy zadán maticí délek hran -- to je matice $n\times n$,
-její¾ øádky i sloupce jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází
-délka hrany $ij$; pøípadné chybìjící hrany doplníme s~délkou~$+\infty$.
-
-\h{Floydùv-Warshallùv algoritmus}
-
-Zaènìme algoritmem, který nezávisle na sobì objevili Floyd a Warshall.
-Funguje pro libovolný orientovaný graf bez záporných cyklù.
-
-Oznaème $D^k_{ij}$ délku nejkrat¹í cesty z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$ pøes
-vrcholy 1 a¾~$k$ (tím myslíme, ¾e v¹echny vnitøní vrcholy cesty le¾í v~mno¾inì $\{1,\ldots,k\}$).
-Jako obvykle polo¾íme $D^k_{ij}=+\infty$, pokud ¾ádná taková cesta neexistuje.
-Pak platí:
+\prednaska{14}{Transitivní uzávěry}{}
+
+V~předchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkratších
+cest z~daného počátečního vrcholu. Nyní se zaměříme na případy, kdy nás
+zajímají vzdálenosti, případně pouhá dosažitelnost, mezi všemi dvojicemi
+vrcholů.
+
+Výstupem takového algoritmu bude {\I matice vzdáleností} (případně
+{\I matice dosažitelnosti}). Na ni se také mužeme dívat jako na {\I transitivní
+uzávÄ\9br} zadaného grafu -- to je graf na~téže množinÄ\9b vrcholů, jehož hrany
+odpovídají nejkratším cestám v~grafu původním.
+
+Jeden způsob, jak transitivní uzávěr spočítat, se ihned nabízí: postupně
+spustit Dijkstrův algoritmus pro všechny možné volby počátečního vrcholu,
+případně se před tím ještě zbavit záporných hran pomocí potenciálů. Tak
+dosáhneme časové složitosti $\O(mn + n^2\log n)$. To je pro řídké grafy
+nejlepÅ¡Ã známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát pomalejÅ¡Ã, než je velikost
+výstupu.
+
+Je-li graf hustý, pracují obvykle rychleji algoritmy založené na maticích, zejména
+na jejich násobení. Několik algoritmů tohoto druhu si nyní předvedeme,
+a to jak pro výpoÄ\8det vzdálenostÃ, tak pro dosažitelnost.
+
+Graf na vstupu bude vždy zadán maticí délek hran -- to je matice $n\times n$,
+jejíž řádky i sloupce jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází
+délka hrany $ij$; případné chybějící hrany doplníme s~délkou~$+\infty$.
+
+\h{Floydův-Warshallův algoritmus}
+
+Začněme algoritmem, který nezávisle na sobě objevili Floyd a Warshall.
+Funguje pro libovolný orientovaný graf bez záporných cyklů.
+
+Označme $D^k_{ij}$ délku nejkratší cesty z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$ přes
+vrcholy 1 až~$k$ (tím myslíme, že všechny vnitřní vrcholy cesty leží v~množině $\{1,\ldots,k\}$).
+Jako obvykle položíme $D^k_{ij}=+\infty$, pokud žádná taková cesta neexistuje.
+Pak platí:
$$\eqalign{
-D^0_{ij} &= \hbox{délka hrany $ij$,} \cr
-D^n_{ij} &= \hbox{hledaná vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
+D^0_{ij} &= \hbox{délka hrany $ij$,} \cr
+D^n_{ij} &= \hbox{hledaná vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
D^k_{ij} &= \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} ). \cr
}$$
-První dvì rovnosti plynou pøímo z~definice. Tøetí rovnost dostaneme rozdìlením
-cest z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k$ na ty, které se vrcholu~$k$ vyhnou (a~jsou tedy
-cestami pøes 1 a¾~$k-1$), a ty, které ho pou¾ijí -- ka¾dou takovou mù¾eme slo¾it
-z~cesty z~$i$ do~$k$ a cesty z~$k$ do~$j$, obojí pøes 1 a¾~$k-1$.
+První dvě rovnosti plynou přímo z~definice. Třetí rovnost dostaneme rozdělením
+cest z~$i$ do~$j$ přes 1 až~$k$ na ty, které se vrcholu~$k$ vyhnou (a~jsou tedy
+cestami pÅ\99es 1 až~$k-1$), a ty, které ho použijà -- každou takovou můžeme složit
+z~cesty z~$i$ do~$k$ a cesty z~$k$ do~$j$, obojà pÅ\99es 1 až~$k-1$.
-Zbývá vyøe¹it jednu malièkost: slo¾ením cesty z~$i$ do~$k$ s~cestou z~$k$ do~$j$
-nemusí nutnì vzniknout cesta, proto¾e se nìjaký vrchol mù¾e opakovat. V~grafech
-bez záporných cyklù nicménì takový sled nemù¾e být krat¹í ne¾ nejkrat¹í cesta,
-tak¾e tím fale¹né øe¹ení nevyrobíme. (Pøesnìji: ze sledu $i\alpha v\beta k\gamma v\delta j$,
-kde $v\not\in\beta,\gamma$, mù¾eme vypu¹tìním èásti $v\beta k\gamma v$ nezáporné
-délky získat sled z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k-1$, jeho¾ délka nemù¾e být men¹í
-ne¾~$D^{k-1}_{ij}$.)
+Zbývá vyřešit jednu maličkost: složením cesty z~$i$ do~$k$ s~cestou z~$k$ do~$j$
+nemusà nutnÄ\9b vzniknout cesta, protože se nÄ\9bjaký vrchol může opakovat. V~grafech
+bez záporných cyklů nicméně takový sled nemůže být kratší než nejkratší cesta,
+takže tím falešné řešení nevyrobíme. (Přesněji: ze sledu $i\alpha v\beta k\gamma v\delta j$,
+kde $v\not\in\beta,\gamma$, můžeme vypuštěním části $v\beta k\gamma v$ nezáporné
+délky získat sled z~$i$ do~$j$ přes 1 až~$k-1$, jehož délka nemůže být menší
+než~$D^{k-1}_{ij}$.)
-Samotný algoritmus postupnì poèítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$ podle uvedeného pøedpisu:
+Samotný algoritmus postupně počítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$ podle uvedeného předpisu:
\algo
-\:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$.
+\:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$.
\:Pro $k=1,\ldots,n$:
\::Pro $i,j=1,\ldots,n$:
\:::$D^k_{ij} \leftarrow \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} )$.
-\:$\hbox{Matice vzdáleností} \leftarrow D^n.$
+\:$\hbox{Matice vzdáleností} \leftarrow D^n.$
\endalgo
-Èasová slo¾itost tohoto algoritmu èiní $\Theta(n^3)$. Kubickou prostorovou
-slo¾itost mù¾eme snadno sní¾it na~kvadratickou: Buï si uvìdomíme, ¾e v~ka¾dém
-okam¾iku potøebujeme jen aktuální matici~$D^k$ a pøedchozí~$D^{k-1}$. Anebo
-nahlédneme, ¾e mù¾eme $D^{k-1}$ na~$D^k$ pøepisovat na místì. U~hodnot $D_{ik}$
-a~$D_{kj}$ je toti¾ podle definice stará i nová hodnota stejná. Algoritmu tedy
-staèí jediné pole velikosti $n\times n$, které na~poèátku výpoètu obsahuje
-vstup a na~konci výstup.
+Časová složitost tohoto algoritmu činí $\Theta(n^3)$. Kubickou prostorovou
+složitost můžeme snadno snížit na~kvadratickou: Buď si uvědomíme, že v~každém
+okamžiku potřebujeme jen aktuální matici~$D^k$ a předchozí~$D^{k-1}$. Anebo
+nahlédneme, že můžeme $D^{k-1}$ na~$D^k$ přepisovat na místě. U~hodnot $D_{ik}$
+a~$D_{kj}$ je totiž podle definice stará i nová hodnota stejná. Algoritmu tedy
+stačí jediné pole velikosti $n\times n$, které na~počátku výpočtu obsahuje
+vstup a na~konci výstup.
-\h{Regulární výrazy}
+\h{Regulární výrazy}
-Pøedchozí algoritmus lze zajímavì zobecnit, toti¾ tak, aby pro ka¾dou dvojici
-vrcholù sestrojil vhodnou reprezentaci mno¾iny v¹ech sledù vedoucích mezi nimi.
-Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazùm známým z~UNIXu
-a z~teorie automatù. Budeme pøipou¹tìt orientované multigrafy se smyèkami
-a násobnými hranami.
+PÅ\99edchozà algoritmus lze zajÃmavÄ\9b zobecnit, totiž tak, aby pro každou dvojici
+vrcholů sestrojil vhodnou reprezentaci množiny všech sledů vedoucích mezi nimi.
+Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazům známým z~UNIXu
+a z~teorie automatů. Budeme připouštět orientované multigrafy se smyčkami
+a násobnými hranami.
-\s{Definice:} {\I Svazek} je mno¾ina sledù, které mají spoleèný poèáteèní
-a koncový vrchol. {\I Typem} svazku nazveme uspoøádanou dvojici tìchto vrcholù.
-Místo \uv{svazek typu $(u,v)$} budeme obvykle øíkat prostì {\I $uv$-svazek.}
+\s{Definice:} {\I Svazek} je množina sledů, které mají společný počáteční
+a koncový vrchol. {\I Typem} svazku nazveme uspořádanou dvojici těchto vrcholů.
+Místo \uv{svazek typu $(u,v)$} budeme obvykle říkat prostě {\I $uv$-svazek.}
-Triviálními pøípady svazkù jsou prázdná mno¾ina~$\emptyset$, samotná hrana~$uv$ a pro
-$u=v$ také sled~$\varepsilon_u$ nulové délky. Svazky mù¾eme kombinovat
-tìmito operacemi:
+Triviálními případy svazků jsou prázdná množina~$\emptyset$, samotná hrana~$uv$ a pro
+$u=v$ také sled~$\varepsilon_u$ nulové délky. Svazky můžeme kombinovat
+těmito operacemi:
\itemize\ibull
-\:$A\cup B$ -- {\I sjednocení} dvou svazkù tého¾ typu,
-\:$AB$ nebo $A\cdot B$ -- {\I zøetìzení} $uv$-svazku~$A$ s~$vw$-svazkem~$B$: výsledkem je $uw$-svazek
-obsahující v¹echna spojení sledu z~$A$ se sledem z~$B$,
-\:$A^*$ -- {\I iterace} $uu$-svazku: výsledkem je $uu$-svazek
-$\varepsilon \cup A \cup AA \cup AAA \cup \ldots$ (tedy v¹echna mo¾ná
-spojení koneènì mnoha sledù z~$A$).
+\:$A\cup B$ -- {\I sjednocenÃ} dvou svazků téhož typu,
+\:$AB$ nebo $A\cdot B$ -- {\I zřetězení} $uv$-svazku~$A$ s~$vw$-svazkem~$B$: výsledkem je $uw$-svazek
+obsahující všechna spojení sledu z~$A$ se sledem z~$B$,
+\:$A^*$ -- {\I iterace} $uu$-svazku: výsledkem je $uu$-svazek
+$\varepsilon \cup A \cup AA \cup AAA \cup \ldots$ (tedy všechna možná
+spojení konečně mnoha sledů z~$A$).
\endlist
-\>Ve~výrazu definujícím~$A^*$ jsme vyu¾ili, ¾e operace sjednocení a zøetìzení
-jsou asociativní, tak¾e je nemusíme závorkovat. Navíc sjednocení má ve~výrazech
-ni¾¹í prioritu ne¾ zøetìzení.
+\>Ve~výrazu definujícím~$A^*$ jsme využili, že operace sjednocení a zřetězení
+jsou asociativní, takže je nemusíme závorkovat. Navíc sjednocení má ve~výrazech
+nižší prioritu než zřetězení.
-\>Svazky budeme obvykle reprezentovat {\I sledovými výrazy,} co¾ jsou
-výrazy koneèné délky sestávající z~triviálních svazkù a vý¹e uvedených
-operací.
+\>Svazky budeme obvykle reprezentovat {\I sledovými výrazy,} což jsou
+výrazy konečné délky sestávající z~triviálních svazků a výše uvedených
+operací.
-\s{Pozorování:} Sledy mù¾eme reprezentovat øetìzci nad abecedou, její¾
-symboly jsou identifikátory hran. Sledové výrazy pak odpovídají regulárním
-výrazùm nad touto abecedou.
+\s{PozorovánÃ:} Sledy můžeme reprezentovat Å\99etÄ\9bzci nad abecedou, jejÞ
+symboly jsou identifikátory hran. Sledové výrazy pak odpovídají regulárním
+výrazům nad touto abecedou.
-Uká¾eme, jak pro v¹echny dvojice vrcholu $i,j$ sestrojit sledový výraz $R_{ij}$
-popisující svazek v¹ech sledù z~$i$ do~$j$. Podobnì jako u~Floydova-Warshallova
-algoritmu zavedeme $R^k_{ij}$ coby výraz popisující sledy z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k$
-a nahlédneme, ¾e platí:
+Ukážeme, jak pro všechny dvojice vrcholu $i,j$ sestrojit sledový výraz $R_{ij}$
+popisující svazek všech sledů z~$i$ do~$j$. Podobně jako u~Floydova-Warshallova
+algoritmu zavedeme $R^k_{ij}$ coby výraz popisujÃcà sledy z~$i$ do~$j$ pÅ\99es 1 až~$k$
+a nahlédneme, že platí:
$$\eqalign{
R^0_{ij} &= \cases{
- \hbox{mno¾ina v¹ech hran z~$i$ do~$j$} & \hbox{pokud $i\ne j$} \cr
+ \hbox{množina všech hran z~$i$ do~$j$} & \hbox{pokud $i\ne j$} \cr
\varepsilon_i & \hbox{pokud $i=j$} \cr
} \cr
-R^n_{ij} &= \hbox{hledané $R_{ij}$}, \cr
+R^n_{ij} &= \hbox{hledané $R_{ij}$}, \cr
R^k_{ij} &= R^{k-1}_{ij} \cup R^{k-1}_{ik}(R^{k-1}_{kk})^*R^{k-1}_{kj}. \cr
}$$
-První dvì rovnosti opìt plynou pøímo z~definice (mno¾inu v¹ech hran zapí¹eme
-buï jako prázdnou nebo ji vytvoøíme sjednocováním z~jednoprvkových mno¾in). Tøetí
-rovnost vychází z~toho, ¾e ka¾dý sled z~$i$ do~$j$ buï neobsahuje~$k$, nebo ho
-mù¾eme rozdìlit na~èásti mezi jednotlivými náv¹tìvami vrcholu~$k$.
-
-Algoritmus tedy bude postupnì budovat matice $R^0, R^1, \ldots, R^n$ podle tìchto
-pravidel. Provedeme pøi tom $\Theta(n^3)$ operací, ov¹em s~výrazy, jejich¾ délka
-mù¾e být a¾ øádovì~$4^n$. Radìji ne¾ jako øetìzce je proto budeme ukládat v~podobì
-acyklických orientovaných grafù: vrcholy budou operace, hrany je budou pøipojovat
-k~operandùm.
-
-K~pøímému pou¾ití se takový exponenciálnì dlouhý výraz hodí málokdy, ale mù¾e
-nám pomoci odpovídat na rùzné otázky týkající se sledù s~danými koncovými vrcholy.
-Máme-li nìjakou funkci~$f$ ohodnocující mno¾iny sledù kódované sledovými
-výrazy, staèí umìt vyhodnotit:
+První dvě rovnosti opět plynou přímo z~definice (množinu všech hran zapíšeme
+buď jako prázdnou nebo ji vytvoříme sjednocováním z~jednoprvkových množin). Třetí
+rovnost vychází z~toho, že každý sled z~$i$ do~$j$ buď neobsahuje~$k$, nebo ho
+můžeme rozdělit na~části mezi jednotlivými návštěvami vrcholu~$k$.
+
+Algoritmus tedy bude postupně budovat matice $R^0, R^1, \ldots, R^n$ podle těchto
+pravidel. Provedeme při tom $\Theta(n^3)$ operací, ovšem s~výrazy, jejichž délka
+může být až řádově~$4^n$. Raději než jako řetězce je proto budeme ukládat v~podobě
+acyklických orientovaných grafů: vrcholy budou operace, hrany je budou připojovat
+k~operandům.
+
+K~pÅ\99Ãmému použità se takový exponenciálnÄ\9b dlouhý výraz hodà málokdy, ale může
+nám pomoci odpovídat na různé otázky týkající se sledů s~danými koncovými vrcholy.
+Máme-li nějakou funkci~$f$ ohodnocující množiny sledů kódované sledovými
+výrazy, stačí umět vyhodnotit:
\itemize\ibull
-\:výsledek pro triviální výrazy $f(\emptyset)$, $f(\varepsilon)$ a $f(e)$ pro hranu~$e$,
-\:hodnoty $f(\alpha\cup\beta)$, $f(\alpha\beta)$ a $f(\alpha^*)$, známe-li ji¾ $f(\alpha)$ a $f(\beta)$.
+\:výsledek pro triviální výrazy $f(\emptyset)$, $f(\varepsilon)$ a $f(e)$ pro hranu~$e$,
+\:hodnoty $f(\alpha\cup\beta)$, $f(\alpha\beta)$ a $f(\alpha^*)$, známe-li již $f(\alpha)$ a $f(\beta)$.
\endlist
-\>Pro výpoèet v¹ech $f(R_{ij})$ nám pak staèí $\Theta(n^3)$ vyhodnocení funkce~$f$.
+\>Pro výpočet všech $f(R_{ij})$ nám pak stačí $\Theta(n^3)$ vyhodnocení funkce~$f$.
-\s{Poznámka pro ctitele algebry:} Vý¹e uvedená konstrukce není nic jiného, ne¾ popis
+\s{Poznámka pro ctitele algebry:} Výše uvedená konstrukce nenà nic jiného, než popis
homomorfismu~$f$ z~algebry $({\cal S},\emptyset,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n,
-e_1,\ldots,e_m,\cup,\cdot,{}^*)$ nad mno¾inou~${\cal S}$ v¹ech svazkù do~nìjaké
-algebry $(X,{\bf 0},c_1,\ldots,c_n,h_1,\ldots,h_m,\oplus,\otimes,\circledast)$, kde~$X$ je mno¾ina
-v¹ech ohodnocení sledù, {\bf 0}, $c_1,\ldots,c_n$ a $h_1,\ldots,h_m$ jsou konstanty,
-$\oplus$ a~$\otimes$ binární operace a $\circledast$ unární operace. Prùbìh výpoètu
-upraveného algoritmu je pak homomorfním obrazem prùbìhu výpoètu pùvodního algoritmu
-pracujícího pøímo se svazky.
+e_1,\ldots,e_m,\cup,\cdot,{}^*)$ nad množinou~${\cal S}$ všech svazků do~nějaké
+algebry $(X,{\bf 0},c_1,\ldots,c_n,h_1,\ldots,h_m,\oplus,\otimes,\circledast)$, kde~$X$ je množina
+všech ohodnocení sledů, {\bf 0}, $c_1,\ldots,c_n$ a $h_1,\ldots,h_m$ jsou konstanty,
+$\oplus$ a~$\otimes$ binární operace a $\circledast$ unární operace. Průběh výpočtu
+upraveného algoritmu je pak homomorfním obrazem průběhu výpočtu původního algoritmu
+pracujícího přímo se svazky.
-\s{Pøíklady:}
+\s{Příklady:}
-\>{\I Nejkrat¹í sled:}
+\>{\I Nejkratší sled:}
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=+\infty \cr
f(\varepsilon)&=0 \cr
-f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany~$e$)} \cr
+f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= f(\alpha) + f(\beta) \cr
f(\alpha^*) &= \cases{0 & \hbox{pro $f(\alpha)\ge 0$} \cr -\infty & \hbox{pro $f(\alpha)<0$} \cr} \cr
}$$
-(Pokud pøedpokládáme, ¾e v~grafu nejsou záporné cykly, je $f(\alpha^*)$ v¾dy nulové
-a dostaneme pøesnì Floydùv-Warshallùv algoritmus.)
+(Pokud předpokládáme, že v~grafu nejsou záporné cykly, je $f(\alpha^*)$ vždy nulové
+a dostaneme přesně Floydův-Warshallův algoritmus.)
-\>{\I Nej¹ir¹í cesta} (hranám jsou pøiøazeny ¹íøky, ¹íøka cesty je minimum z~¹íøek hran):
+\>{\I Nejširší cesta} (hranám jsou přiřazeny šířky, šířka cesty je minimum z~šířek hran):
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=0 \cr
f(\varepsilon)&=\infty \cr
-f(e)&=w(e) \hbox{\quad (¹íøka hrany~$e$)} \cr
+f(e)&=w(e) \hbox{\quad (šířka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \max(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha^*) &= \infty \cr
}$$
-\>{\I Pøevod koneèného automatu na regulární výraz:} Vrcholy multigrafu budou odpovídat
-stavùm automatu, hrany mo¾ným pøechodùm mezi stavy. Ka¾dou hranu ohodnotíme symbolem
-abecedy, po jeho¾ pøeètení automat pøechod provede. Funkce~$f$ pak pøiøadí $uv$-svazku~$\psi$
-regulární výraz popisující mno¾inu v¹ech øetìzcù, po jejich¾ pøeètení automat pøejde
-ze~stavu~$u$ do stavu~$v$ po pøechodech z~mno¾iny~$\psi$. Vyhodnocování funkce~$f$
-odpovídá pøímoèarým operacím s~øetìzci.
+\>{\I Převod konečného automatu na regulární výraz:} Vrcholy multigrafu budou odpovídat
+stavům automatu, hrany možným přechodům mezi stavy. Každou hranu ohodnotíme symbolem
+abecedy, po jehož přečtení automat přechod provede. Funkce~$f$ pak přiřadí $uv$-svazku~$\psi$
+regulární výraz popisující množinu všech řetězců, po jejichž přečtení automat přejde
+ze~stavu~$u$ do stavu~$v$ po přechodech z~množiny~$\psi$. Vyhodnocování funkce~$f$
+odpovídá přímočarým operacím s~řetězci.
-\h{Násobení matic}
+\h{Násobení matic}
-Øe¹íme-li grafové problémy pomocí matic, nabízí se pou¾ít známé subkubické algoritmy
-pro lineárnì algebraické úlohy. Ty jsou obvykle zalo¾eny na efektivním násobení
-matic -- dvì matice $n\times n$ mù¾eme vynásobit v~èase:
+Řešíme-li grafové problémy pomocí matic, nabízí se použít známé subkubické algoritmy
+pro lineárně algebraické úlohy. Ty jsou obvykle založeny na efektivním násobení
+matic -- dvě matice $n\times n$ můžeme vynásobit v~čase:
\itemize\ibull
\:$\O(n^3)$ podle definice,
-\:$\O(n^{2.808})$ Strassenovým algoritmem~\cite{strassen:matmult},
+\:$\O(n^{2.808})$ Strassenovým algoritmem~\cite{strassen:matmult},
\:$\O(n^{2.376})$ algoritmem Coppersmithe a Winograda~\cite{coppersmith:matmult},
-\:$\O(n^{2.373})$ algoritmem Williamsové~\cite{williams:matmult}.
+\:$\O(n^{2.373})$ algoritmem Williamsové~\cite{williams:matmult}.
\endlist
-Obecnì pøijímaná hypotéza øíká, ¾e pro ka¾dé $\omega>2$ existuje algoritmus
-násobící matice se slo¾itostí $\O(n^\omega)$. Jediný známý dolní odhad je pøitom
-$\Omega(n^2\log n)$ pro aritmetické obvody s~omezenou velikostí konstant~\cite{raz:mmlower}.
-Blí¾e se o~tomto fascinujícím tématu mù¾ete doèíst v~Szegedyho èlánku \cite{szegedy:matmult}.
+Obecně přijímaná hypotéza říká, že pro každé $\omega>2$ existuje algoritmus
+násobící matice se složitostí $\O(n^\omega)$. Jediný známý dolní odhad je přitom
+$\Omega(n^2\log n)$ pro aritmetické obvody s~omezenou velikostí konstant~\cite{raz:mmlower}.
+Blíže se o~tomto fascinujícím tématu můžete dočíst v~Szegedyho článku \cite{szegedy:matmult}.
-Pøedpokládejme tedy, ¾e umíme násobit matice v~èase $\O(n^\omega)$ pro nìjaké $\omega < 3$.
+Předpokládejme tedy, že umíme násobit matice v~čase $\O(n^\omega)$ pro nějaké $\omega < 3$.
-Co se stane, kdy¾ mocníme matici sousednosti~$A$ grafu? V~matici $A^k$ se na pozici
-$i,j$ nachází poèet sledù délky~$k$, které vedou z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$.
-(Snadný dùkaz indukcí vynecháváme.) Pro libovolné $k\ge n-1$ jsou tedy v~$(A+E)^k$
-(kde $E$ znaèí jednotkovou matici; doplnili jsme tedy do grafu smyèky) nenuly
-pøesnì tam, kde z~$i$ do~$j$ vede cesta.
+Co se stane, když mocníme matici sousednosti~$A$ grafu? V~matici $A^k$ se na pozici
+$i,j$ nachází počet sledů délky~$k$, které vedou z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$.
+(Snadný důkaz indukcí vynecháváme.) Pro libovolné $k\ge n-1$ jsou tedy v~$(A+E)^k$
+(kde $E$ značí jednotkovou matici; doplnili jsme tedy do grafu smyčky) nenuly
+přesně tam, kde z~$i$ do~$j$ vede cesta.
-To nám dává jednoduchý algoritmus pro výpoèet matice dosa¾itelnosti~$R$ ($R_{ij}$
-je 1 nebo~0 podle toho, zda z~$i$ do~$j$ vede cesta). Do~matice~$A$ doplníme
-na diagonálu jednièky a poté ji $\lceil \log_2 n\rceil$-krát umocníme na~druhou.
-Abychom se vyhnuli velkým èíslùm, nahradíme po ka¾dém umocnìní nenuly jednièkami.
-Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic, co¾ trvá $\O(n^\omega\log n)$.
+To nám dává jednoduchý algoritmus pro výpoÄ\8det matice dosažitelnosti~$R$ ($R_{ij}$
+je 1 nebo~0 podle toho, zda z~$i$ do~$j$ vede cesta). Do~matice~$A$ doplníme
+na diagonálu jedničky a poté ji $\lceil \log_2 n\rceil$-krát umocníme na~druhou.
+Abychom se vyhnuli velkým číslům, nahradíme po každém umocnění nenuly jedničkami.
+Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic, což trvá $\O(n^\omega\log n)$.
-Na~tento postup se mù¾eme dívat i~obecnìji:
+Na~tento postup se můžeme dívat i~obecněji:
-\s{Definice:} {\I $(\oplus,\otimes)$-souèin} matic~$A,B \in X^{n\times n}$,
-kde $\oplus$ a~$\otimes$ jsou dvì asociativní binární operace na~mno¾inì~$X$,
-je matice~$C$ taková, ¾e
+\s{Definice:} {\I $(\oplus,\otimes)$-součin} matic~$A,B \in X^{n\times n}$,
+kde $\oplus$ a~$\otimes$ jsou dvě asociativní binární operace na~množině~$X$,
+je matice~$C$ taková, že
$$
C_{ij} = \bigoplus_{k=1}^n A_{ik}\otimes B_{kj}.
$$
-Klasické násobení matic je tedy $(+,\cdot)$-souèin.
-
-\s{Pozorování:} Pokud $A$ a~$B$ jsou matice svazkù ($A_{ij}$ a $B_{ij}$
-jsou $ij$-svazky) a $C$ jejich $(\cup,\cdot)$-souèin, pak $C_{ij}$ je
-svazek v¹ech sledù vzniklých spojením nìjakého sledu z~$A$ zaèínajícího
-v~$i$ a nìjakého sledu z~$B$ konèícího v~$j$.
-
-Podobnì jako v~pøedchozí sekci si tedy mù¾eme poøídit funkci~$f$ pøiøazující
-svazkùm hodnoty z~nìjaké mno¾iny~$X$ a operace $\oplus$ a $\otimes$ na~$X$,
-pro nì¾ platí $f(\alpha\cup\beta) = f(\alpha) \oplus f(\beta)$ a $f(\alpha\beta)
-= f(\alpha) \otimes f(\beta)$. Pak staèí vzít matici popisující ohodnocení
-v¹ech sledù délky 0 nebo~1 (to je obdoba matice sousednosti), a provést $\O(\log n)$
-$(\oplus,\otimes)$-souèinù k~tomu, abychom znali ohodnocení svazkù sledù délky
-právì~$k$ pro nìjaké $k\ge n$.
-
-S~$(\lor,\land)$-souèiny a maticí sousednosti s~jednièkami na diagonále získáme
-algoritmus pro výpoèet dosa¾itelnosti. Ka¾dý souèin pøitom mù¾eme provést jako
-obyèejné násobení matic následované pøepsáním nenul na jednièky, tak¾e celý
-výpoèet bì¾í v~èase $\O(n^\omega\log n)$.
-
-Podobnì mù¾eme poèítat i matici vzdáleností: zaèneme s~maticí délek hran doplnìnou o~nuly na~diagonále
-a pou¾ijeme $(\min,+)$-souèiny. Tyto souèiny ale bohu¾el neumíme pøevést na klasické násobení matic.
-Pøesto je známo nìkolik algoritmù efektivnìj¹ích ne¾ $\Theta(n^3)$, by» pouze o~málo:
-napøíklad Zwickùv \cite{zwick:apsp} v~èase $\O(n^3\sqrt{\log\log n}/\log n)$
-(zalo¾ený na dekompozici a pøedpoèítání malých blokù) nebo Chanùv \cite{chan:apsp} v~$\O(n^3/\log n)$
-(pou¾ívající geometrické techniky). Abychom porazili Floydùv-Warshallùv algoritmus,
-potøebovali bychom ov¹em vìt¹í ne¾ logaritmické zrychlení, proto¾e souèinù potøebujeme
-vypoèítat logaritmicky mnoho.
-
-Dodejme je¹tì, ¾e pro grafy ohodnocené malými celými èísly je mo¾né vyu¾ít
-celou øadu dal¹ích trikù. Zájemce o~tento druh algoritmù odkazujeme na Zwickùv
-èlánek~\cite{zwick:apspint}.
-
-\h{Rozdìl a panuj}
-
-Pøedchozí pøevod je ov¹em trochu marnotratný. ©ikovným pou¾itím metody Rozdìl a panuj
-mù¾eme èasovou slo¾itost je¹tì sní¾it. Postup pøedvedeme pro dosa¾itelnost: na vstupu
-tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávìr~$A^*$
-(matice dosa¾itelnosti). V¹echny souèiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.
-
-Vrcholy grafu rozdìlíme na dvì mno¾iny $X$ a~$Y$ pøibli¾nì stejné velikosti,
-bez újmy na obecnosti tak, aby matice~$A$ mìla následující blokový tvar:
+Klasické násobení matic je tedy $(+,\cdot)$-součin.
+
+\s{Pozorování:} Pokud $A$ a~$B$ jsou matice svazků ($A_{ij}$ a $B_{ij}$
+jsou $ij$-svazky) a $C$ jejich $(\cup,\cdot)$-součin, pak $C_{ij}$ je
+svazek všech sledů vzniklých spojením nějakého sledu z~$A$ začínajícího
+v~$i$ a nějakého sledu z~$B$ končícího v~$j$.
+
+Podobně jako v~předchozí sekci si tedy můžeme pořídit funkci~$f$ přiřazující
+svazkům hodnoty z~nÄ\9bjaké množiny~$X$ a operace $\oplus$ a $\otimes$ na~$X$,
+pro něž platí $f(\alpha\cup\beta) = f(\alpha) \oplus f(\beta)$ a $f(\alpha\beta)
+= f(\alpha) \otimes f(\beta)$. Pak stačí vzít matici popisující ohodnocení
+všech sledů délky 0 nebo~1 (to je obdoba matice sousednosti), a provést $\O(\log n)$
+$(\oplus,\otimes)$-součinů k~tomu, abychom znali ohodnocení svazků sledů délky
+právě~$k$ pro nějaké $k\ge n$.
+
+S~$(\lor,\land)$-součiny a maticí sousednosti s~jedničkami na diagonále získáme
+algoritmus pro výpočet dosažitelnosti. Každý součin přitom můžeme provést jako
+obyčejné násobení matic následované přepsáním nenul na jedničky, takže celý
+výpočet běží v~čase $\O(n^\omega\log n)$.
+
+Podobně můžeme počítat i matici vzdáleností: začneme s~maticí délek hran doplněnou o~nuly na~diagonále
+a použijeme $(\min,+)$-součiny. Tyto součiny ale bohužel neumíme převést na klasické násobení matic.
+Přesto je známo několik algoritmů efektivnějších než $\Theta(n^3)$, byť pouze o~málo:
+například Zwickův \cite{zwick:apsp} v~čase $\O(n^3\sqrt{\log\log n}/\log n)$
+(založený na dekompozici a předpočítání malých bloků) nebo Chanův \cite{chan:apsp} v~$\O(n^3/\log n)$
+(používající geometrické techniky). Abychom porazili Floydův-Warshallův algoritmus,
+potřebovali bychom ovšem větší než logaritmické zrychlení, protože součinů potřebujeme
+vypočítat logaritmicky mnoho.
+
+Dodejme ještě, že pro grafy ohodnocené malými celými čísly je možné využít
+celou řadu dalších triků. Zájemce o~tento druh algoritmů odkazujeme na Zwickův
+článek~\cite{zwick:apspint}.
+
+\h{Rozděl a panuj}
+
+Předchozí převod je ovšem trochu marnotratný. Šikovným použitím metody Rozděl a panuj
+můžeme Ä\8dasovou složitost jeÅ¡tÄ\9b snÞit. Postup pÅ\99edvedeme pro dosažitelnost: na vstupu
+tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávěr~$A^*$
+(matice dosažitelnosti). Všechny součiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.
+
+Vrcholy grafu rozdělíme na dvě množiny $X$ a~$Y$ přibližně stejné velikosti,
+bez újmy na obecnosti tak, aby matice~$A$ měla následující blokový tvar:
$$A = \pmatrix{ P & Q \cr R & S \cr },$$
kde podmatice~$P$ popisuje hrany z~$X$ do~$X$, podmatice~$Q$ hrany z~$X$ do~$Y$, atd.
-\s{Vìta:} Pokud matici~$A^*$ zapí¹eme rovnì¾ v~blokovém tvaru:
+\s{Věta:} Pokud matici~$A^*$ zapíšeme rovněž v~blokovém tvaru:
$$A^* = \pmatrix{ I & J \cr K & L \cr },$$
bude platit:
$$\eqalign{
}$$
\proof
-Jednotlivé rovnosti mù¾eme èíst takto:
+Jednotlivé rovnosti můžeme číst takto:
\def\nIJKL{\count0=`H\advance\count0 by\itemcount{\bf\char\count0:}}
\numlist\nIJKL
-\:Sled z~$X$ do~$X$ vznikne opakováním èástí, z~nich¾ ka¾dá je buïto
-hrana uvnitø~$X$ nebo pøechod po hranì z~$X$ do~$Y$ následovaný sledem
-uvnitø~$Y$ a pøechodem zpìt do~$X$.
-\:Sled z~$X$ do~$Y$ mù¾eme rozdìlit v~místì, kdy naposledy pøechází
-po~hranì z~$X$ do~$Y$. První èást pøitom bude sled z~$X$ do~$X$,
-druhá sled uvnitø~$Y$.
-\:Se sledem z~$Y$ do~$X$ nalo¾íme symetricky.
-\:Sled z~$Y$ do~$Y$ vede buïto celý uvnitø~$Y$, nebo ho mù¾eme rozdìlit
-na~prvním pøechodu z~$Y$ do~$X$ a posledním pøechodu z~$X$ do~$Y$.
-Èást pøed prvním pøechodem povede celá uvnitø~$Y$, èást mezi pøechody
-bude tvoøit sled z~$X$ do~$X$ a koneènì èást za~posledním pøechodem zùstane
-opìt uvnitø~$Y$.
+\:Sled z~$X$ do~$X$ vznikne opakováním částí, z~nichž každá je buďto
+hrana uvnitř~$X$ nebo přechod po hraně z~$X$ do~$Y$ následovaný sledem
+uvnitř~$Y$ a přechodem zpět do~$X$.
+\:Sled z~$X$ do~$Y$ můžeme rozdělit v~místě, kdy naposledy přechází
+po~hraně z~$X$ do~$Y$. První část přitom bude sled z~$X$ do~$X$,
+druhá sled uvnitř~$Y$.
+\:Se sledem z~$Y$ do~$X$ naložíme symetricky.
+\:Sled z~$Y$ do~$Y$ vede buďto celý uvnitř~$Y$, nebo ho můžeme rozdělit
+na~prvním přechodu z~$Y$ do~$X$ a posledním přechodu z~$X$ do~$Y$.
+Část před prvním přechodem povede celá uvnitř~$Y$, část mezi přechody
+bude tvořit sled z~$X$ do~$X$ a konečně část za~posledním přechodem zůstane
+opět uvnitř~$Y$.
\qeditem
\endlist
\s{Algoritmus:}
-Výpoèet matice~$A^*$ provedeme podle pøedchozí vìty. Spoèítáme 2~tranzitivní uzávìry
-matic polovièní velikosti rekurzivním voláním, dále pak $\O(1)$ $(\lor,\land)$-souèinù
-a $\O(1)$ souètù matic.
+Výpočet matice~$A^*$ provedeme podle předchozí věty. Spočítáme 2~tranzitivní uzávěry
+matic poloviční velikosti rekurzivním voláním, dále pak $\O(1)$ $(\lor,\land)$-součinů
+a $\O(1)$ součtů matic.
-Èasová slo¾itost $t(n)$ tohoto algoritmu bude splòovat následující rekurenci:
+Časová složitost $t(n)$ tohoto algoritmu bude splňovat následující rekurenci:
$$t(1)=\Theta(1), \quad t(n) = 2t(n/2) + \Theta(1)\cdot\mu(n/2) + \Theta(n^2),$$
-kde $\mu(k)$ znaèí èas potøebný na jeden $(\lor,\land)$-souèin
-matic $k\times k$. Jeliko¾ jistì platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
-má tato rekurence podle kuchaøkové vìty øe¹ení $t(n) = \mu(n)$.
-
-Ukázali jsme tedy, ¾e výpoèet matice dosa¾itelnosti je nejvý¹e stejnì
-nároèný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- mù¾eme ho proto provést
-v~èase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje pøímoèarý pøevod v~opaèném smìru,
-tak¾e oba problémy jsou asymptoticky stejnì tì¾ké.
-
-Podobnì nalézt matici vzdáleností je stejnì tì¾ké jako $(\min,+)$-souèin,
-tak¾e na to staèí èas $\O(n^3/\log n)$.
-
-\h{Seidelùv algoritmus}
-
-Pro neorientované neohodnocené grafy mù¾eme dosáhnout je¹tì lep¹ích
-výsledkù. Matici vzdáleností lze spoèítat v~èase $\O(n^\omega\log n)$
-Seidelovým algoritmem~\cite{seidel:unitlength}. Ten funguje následovnì:
-
-\s{Definice:} {\I Druhá mocnina grafu~$G$} je graf~$G^2$ na té¾e mno¾inì vrcholù,
-v~nìm¾ jsou vrcholy~$i$ a~$j$ spojeny hranou právì tehdy, existuje-li v~$G$ sled
-délky nejvý¹e~2 vedoucí z~$i$ do~$j$.
-
-\s{Pozorování:} Matici sousednosti grafu~$G^2$ získáme z~matice sousednosti
-grafu~$G$ jedním $(\lor,\land)$-souèinem, tedy v~èase $\O(n^\omega)$.
-
-Seidelùv algoritmus bude postupovat rekurzivnì: Sestrojí graf~$G^2$, rekurzí
-spoèítá jeho matici vzdáleností~$D'$ a z~ní pak rekonstruuje matici vzdáleností~$D$
-zadaného grafu. Rekurze konèí, pokud $G^2=G$ -- tehdy je ka¾dá komponenta
-souvislosti zahu¹tìna na~úplný graf, tak¾e matice vzdáleností je rovna matici sousednosti.
-
-Zbývá ukázat, jak z~matice~$D'$ spoèítat matici~$D$. Zvolme pevnì~$i$ a zamìøme
-se na funkce $d(v)=D_{iv}$ a $d'(v)=D'_{iv}$. Jistì platí $d'(v) = \lceil d(v)/2 \rceil$,
-proèe¾ $d(v)$ je buï rovno $2d'(v)$ nebo o~1 ni¾¹í. Nauèíme se rozpoznat, jestli
-$d(v)$ má být sudé nebo liché, a~z~toho v¾dy poznáme, jestli je potøeba jednièku odeèíst.
-
-Jak vypadá funkce~$d$ na sousedech vrcholu~$v\ne i$? Pro alespoò jednoho souseda~$u$ je
-$d(u) = d(v)-1$ (to platí pro sousedy, kteøí le¾í na nìkteré z~nejkrat¹ích cest z~$v$ do~$i$).
-Pro v¹echny ostatní sousedy je $d(u)=d(v)$ nebo $d(u)=d(v)+1$.
-
-Pokud je $d(v)$ sudé, vyjde pro sousedy le¾ící na nejkrat¹ích cestách $d'(u)=d'(v)$
-a pro ostatní sousedy $d'(u)\ge d'(v)$, tak¾e prùmìr z~$d'(u)$ pøes sousedy je
-alespoò~$d'(v)$. Je-li naopak $d(v)$ liché, musí být pro sousedy na nejkrat¹ích cestách
-$d'(u) < d(v)$ a pro v¹echny ostatní $d'(u) = d(v)$, tak¾e prùmìr klesne pod~$d'(v)$.
-
-Prùmìry pøes sousedy pøitom mù¾eme spoèítat násobením matic: vynásobíme matici
-vzdáleností~$D'$ maticí sousednosti grafu~$G$. Na pozici~$i,j$ se objeví souèet
-hodnot $D'_{ik}$ pøes v¹echny sousedy~$k$ vrcholu~$j$. Ten staèí vydìlit stupnìm
-vrcholu~$j$ a hledaný prùmìr je na svìtì.
-
-Po~provedení jednoho násobení matic tedy dovedeme pro ka¾dou dvojici vrcholù
-v~konstantním èase spoèítat $D_{ij}$ z~$D'_{ij}$. Jedna úroveò rekurze proto
-trvá $\O(n^\omega)$ a jeliko¾ prùmìr grafu poka¾dé klesne alespoò dvakrát,
-je úrovní $\O(\log n)$ a celý algoritmus dobìhne ve~slíbeném èase $\O(n^\omega\log n)$.
+kde $\mu(k)$ značí čas potřebný na jeden $(\lor,\land)$-součin
+matic $k\times k$. Jelikož jistě platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
+má tato rekurence podle kuchařkové věty řešení $t(n) = \mu(n)$.
+
+Ukázali jsme tedy, že výpočet matice dosažitelnosti je nejvýše stejně
+náročný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- můžeme ho proto provést
+v~čase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje přímočarý převod v~opačném směru,
+takže oba problémy jsou asymptoticky stejně těžké.
+
+Podobně nalézt matici vzdáleností je stejně těžké jako $(\min,+)$-součin,
+takže na to stačí čas $\O(n^3/\log n)$.
+
+\h{Seidelův algoritmus}
+
+Pro neorientované neohodnocené grafy můžeme dosáhnout ještě lepších
+výsledků. Matici vzdáleností lze spočítat v~čase $\O(n^\omega\log n)$
+Seidelovým algoritmem~\cite{seidel:unitlength}. Ten funguje následovně:
+
+\s{Definice:} {\I Druhá mocnina grafu~$G$} je graf~$G^2$ na téže množině vrcholů,
+v~němž jsou vrcholy~$i$ a~$j$ spojeny hranou právě tehdy, existuje-li v~$G$ sled
+délky nejvýše~2 vedoucí z~$i$ do~$j$.
+
+\s{Pozorování:} Matici sousednosti grafu~$G^2$ získáme z~matice sousednosti
+grafu~$G$ jedním $(\lor,\land)$-součinem, tedy v~čase $\O(n^\omega)$.
+
+Seidelův algoritmus bude postupovat rekurzivně: Sestrojí graf~$G^2$, rekurzí
+spočítá jeho matici vzdáleností~$D'$ a z~ní pak rekonstruuje matici vzdáleností~$D$
+zadaného grafu. Rekurze končí, pokud $G^2=G$ -- tehdy je každá komponenta
+souvislosti zahuštěna na~úplný graf, takže matice vzdáleností je rovna matici sousednosti.
+
+Zbývá ukázat, jak z~matice~$D'$ spočítat matici~$D$. Zvolme pevně~$i$ a zaměřme
+se na funkce $d(v)=D_{iv}$ a $d'(v)=D'_{iv}$. Jistě platí $d'(v) = \lceil d(v)/2 \rceil$,
+pročež $d(v)$ je buď rovno $2d'(v)$ nebo o~1 nižší. Naučíme se rozpoznat, jestli
+$d(v)$ má být sudé nebo liché, a~z~toho vždy poznáme, jestli je potřeba jedničku odečíst.
+
+Jak vypadá funkce~$d$ na sousedech vrcholu~$v\ne i$? Pro alespoň jednoho souseda~$u$ je
+$d(u) = d(v)-1$ (to platí pro sousedy, kteří leží na některé z~nejkratších cest z~$v$ do~$i$).
+Pro všechny ostatní sousedy je $d(u)=d(v)$ nebo $d(u)=d(v)+1$.
+
+Pokud je $d(v)$ sudé, vyjde pro sousedy ležící na nejkratších cestách $d'(u)=d'(v)$
+a pro ostatní sousedy $d'(u)\ge d'(v)$, takže průměr z~$d'(u)$ přes sousedy je
+alespoň~$d'(v)$. Je-li naopak $d(v)$ liché, musí být pro sousedy na nejkratších cestách
+$d'(u) < d(v)$ a pro všechny ostatní $d'(u) = d(v)$, takže průměr klesne pod~$d'(v)$.
+
+Průměry přes sousedy přitom můžeme spočítat násobením matic: vynásobíme matici
+vzdáleností~$D'$ maticí sousednosti grafu~$G$. Na pozici~$i,j$ se objeví součet
+hodnot $D'_{ik}$ přes všechny sousedy~$k$ vrcholu~$j$. Ten stačí vydělit stupněm
+vrcholu~$j$ a hledaný průměr je na světě.
+
+Po~provedení jednoho násobení matic tedy dovedeme pro každou dvojici vrcholů
+v~konstantním čase spočítat $D_{ij}$ z~$D'_{ij}$. Jedna úroveň rekurze proto
+trvá $\O(n^\omega)$ a jelikož průměr grafu pokaždé klesne alespoň dvakrát,
+je úrovní $\O(\log n)$ a celý algoritmus doběhne ve~slíbeném čase $\O(n^\omega\log n)$.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{2}{Dinicùv algoritmus a jeho varianty}{}
+\prednaska{2}{Dinicův algoritmus a jeho varianty}{}
-Maximální tok v~síti u¾ umíme najít pomocí Fordova-Fulkersonova algoritmu
-z~minulé kapitoly. Nyní pojednáme o~efektivnìj¹ím Dinicovì algoritmu
-a o~rùzných jeho variantách pro sítì ve~speciálním tvaru.
+Maximální tok v~síti už umíme najít pomocí Fordova-Fulkersonova algoritmu
+z~minulé kapitoly. Nyní pojednáme o~efektivnějším Dinicově algoritmu
+a o~různých jeho variantách pro sítě ve~speciálním tvaru.
-\h{Dinicùv algoritmus}
+\h{Dinicův algoritmus}
-Dinicùv algoritmus je zalo¾en na~následující my¹lence: Ve~Fordovì-Fulkersonovì algoritmu
-nemusíme pøièítat jen zlep¹ující cesty, ale je mo¾né pøièítat rovnou zlep¹ující
-toky. Nejlépe toky takové, aby je nebylo obtí¾né najít, a~pøitom aby pùvodní tok
-dostateènì obohatily. Vhodnými objekty k~tomuto úèelu jsou blokující toky:
+Dinicův algoritmus je založen na~následující myšlence: Ve~Fordově-Fulkersonově algoritmu
+nemusíme přičítat jen zlepšující cesty, ale je možné přičítat rovnou zlepšující
+toky. Nejlépe toky takové, aby je nebylo obtížné najít, a~přitom aby původní tok
+dostatečně obohatily. Vhodnými objekty k~tomuto účelu jsou blokující toky:
-\s{Definice:} {\I Blokující tok} je tok takový, ¾e ka¾dá orientovaná $st$-cesta
-obsahuje alespoò jednu nasycenou hranu. [Tj. takový tok, který by na¹el F-F algoritmus,
-kdyby neuva¾oval rezervy v~protismìru.]
+\s{Definice:} {\I Blokující tok} je tok takový, že každá orientovaná $st$-cesta
+obsahuje alespoň jednu nasycenou hranu. [Tj. takový tok, který by našel F-F algoritmus,
+kdyby neuvažoval rezervy v~protisměru.]
\s{Algoritmus (Dinic):}
\algo
-\:Zaèneme s~libovolným tokem~$f$, napøíklad prázdným (v¹ude nulovým).
-\:Iterativnì vylep¹ujeme tok pomocí zlep¹ujících tokù: {\I (vnìj¹í cyklus)}
-\::Sestrojíme sí» rezerv: vrcholy a hrany jsou tyté¾, kapacity jsou urèeny rezervami v~pùvodní síti.
-Dále budeme pracovat s~ní.
-\::Najdeme nejkrat¹í $st$-cestu. Kdy¾ ¾ádná neexistuje, skonèíme.
-\::Proèistíme sí», tj. ponecháme v ní pouze vrcholy a hrany na nejkrat¹ích $st$-cestách.
-\::Najdeme v~proèi¹tìné síti blokující tok $f_B$:
-\:::$f_B \leftarrow \<prázdný tok>$
-\:::Postupnì pøidáváme $st$-cesty: {\I (vnitøní cyklus)}
-\::::Najdeme $st$-cestu. Napø. hladovì -- \uv{rovnou za nosem}.
-\::::Po¹leme co nejvíce po~nalezené cestì.
-\::::Sma¾eme nasycené hrany. (Pozor, smazáním hran mohou vzniknout slepé ulièky,
-èím¾ se zneèistí sí» a nebude fungovat hladové hledání cest.)
-\::::Doèistíme sí».
-\::Zlep¹íme $f$ podle $f_B$
+\:Začneme s~libovolným tokem~$f$, například prázdným (všude nulovým).
+\:Iterativně vylepšujeme tok pomocí zlepšujících toků: {\I (vnější cyklus)}
+\::Sestrojíme síť rezerv: vrcholy a hrany jsou tytéž, kapacity jsou určeny rezervami v~původní síti.
+Dále budeme pracovat s~ní.
+\::Najdeme nejkratší $st$-cestu. Když žádná neexistuje, skončíme.
+\::Pročistíme síť, tj. ponecháme v ní pouze vrcholy a hrany na nejkratších $st$-cestách.
+\::Najdeme v~pročištěné síti blokující tok $f_B$:
+\:::$f_B \leftarrow \<prázdný tok>$
+\:::Postupně přidáváme $st$-cesty: {\I (vnitřní cyklus)}
+\::::Najdeme $st$-cestu. Např. hladově -- \uv{rovnou za nosem}.
+\::::Pošleme co nejvíce po~nalezené cestě.
+\::::Smažeme nasycené hrany. (Pozor, smazáním hran mohou vzniknout slepé uličky,
+čímž se znečistí síť a nebude fungovat hladové hledání cest.)
+\::::Dočistíme síť.
+\::Zlepšíme $f$ podle $f_B$
\endalgo
\finalfix{\vskip-3pt}
-\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do vrstev}{0.4\hsize}
+\figure{dinic-cistasit.eps}{Pročištěná síť rozdělená do vrstev}{0.4\hsize}
\finalfix{\vskip-6pt}
-\s{Slo¾itost algoritmu:}
-Oznaème $l$ délku nejkrat¹í $st$-cesty, $n$ poèet vrcholù sítì a $m$ poèet hran sítì.
+\s{Složitost algoritmu:}
+Označme $l$ délku nejkratší $st$-cesty, $n$ počet vrcholů sítě a $m$ počet hran sítě.
\itemize\ibull
-\:Jeden prùchod vnitøním cyklem trvá $\O(l)$, co¾ mù¾eme odhadnout jako $\O(n)$, proto¾e v¾dy platí $l \leq n$.
-\:Vnitøní cyklus se provede maximálnì $m$-krát, proto¾e se v¾dy alespoò jedna hrana nasytí
- a ze sítì vypadne, tak¾e krok~6 mimo podkroku~12 bude trvat $\O(mn)$.
-\:Èi¹tìní a doèi¹»ování sítì dohromady provedeme takto:
+\:Jeden průchod vnitřním cyklem trvá $\O(l)$, což můžeme odhadnout jako $\O(n)$, protože vždy platí $l \leq n$.
+\:Vnitřní cyklus se provede maximálně $m$-krát, protože se vždy alespoň jedna hrana nasytí
+ a ze sÃtÄ\9b vypadne, takže krok~6 mimo podkroku~12 bude trvat $\O(mn)$.
+\:Čištění a dočišťování sítě dohromady provedeme takto:
\itemize\ibull
- \:Rozvrstvíme vrcholy podle vzdálenosti od $s$.
- \:Zaøízneme dlouhé cesty (del¹í, ne¾ do vrstvy obsahující $t$).
- \:Dr¾íme si frontu vrcholù, které mají $\deg^+ = 0$ èi $\deg^- = 0$.
- \:Vrcholy z~fronty vybíráme a zahazujeme vèetnì hran, které vedou do/z nich.
- A pøípadnì pøidáváme do~fronty vrcholy, kterým pøi tom klesl jeden ze stupòù na 0.
- Vyma¾ou se tím slepé ulièky, které by vadily v podkroku~9.
+ \:Rozvrstvíme vrcholy podle vzdálenosti od $s$.
+ \:Zařízneme dlouhé cesty (delší, než do vrstvy obsahující $t$).
+ \:Držíme si frontu vrcholů, které mají $\deg^+ = 0$ či $\deg^- = 0$.
+ \:Vrcholy z~fronty vybíráme a zahazujeme včetně hran, které vedou do/z nich.
+ A případně přidáváme do~fronty vrcholy, kterým při tom klesl jeden ze stupňů na 0.
+ Vymažou se tím slepé uličky, které by vadily v podkroku~9.
\endlist
- Takto kroky 5 a 12 dohromady spotøebují èas $\O(m)$.
- \:Jeden prùchod vnìj¹ím cyklem tedy trvá $\O(mn)$.
- \:Jak za chvíli doká¾eme, ka¾dým prùchodem vnìj¹ím cyklem $l$ vzroste, tak¾e prùchodù
- bude maximálnì~$n$ a celý algoritmus tak pobì¾í v~èase $\O(n^2m)$.
+ Takto kroky 5 a 12 dohromady spotřebují čas $\O(m)$.
+ \:Jeden průchod vnějším cyklem tedy trvá $\O(mn)$.
+ \:Jak za chvíli dokážeme, každým průchodem vnějším cyklem $l$ vzroste, takže průchodů
+ bude maximálně~$n$ a celý algoritmus tak poběží v~čase $\O(n^2m)$.
\endlist
\s{Korektnost algoritmu:}
-Kdy¾ se Dinicùv algoritmus zastaví, nemù¾e u¾ existovat ¾ádná zlep¹ující cesta
-(viz krok~4) a tehdy, jak u¾ víme z~analýzy F-F algoritmu, je nalezený tok maximální.
+Když se Dinicův algoritmus zastaví, nemůže už existovat žádná zlepšující cesta
+(viz krok~4) a tehdy, jak už víme z~analýzy F-F algoritmu, je nalezený tok maximální.
-\s{Vìta:}
-V~ka¾dém prùchodu Dinicova algoritmu vzroste $l$ alespoò~o~1.
+\s{Věta:}
+V~každém průchodu Dinicova algoritmu vzroste $l$ alespoň~o~1.
\proof
-Podíváme se na~prùbìh jednoho prùchodu vnìj¹ím cyklem.
-Délku aktuálnì nejkrat¹í $st$-cesty oznaème~$l$.
-V¹echny pùvodní cesty délky~$l$ se bìhem prùchodu zaruèenì nasytí, proto¾e
-tok~$f_B$ je blokující. Musíme v¹ak dokázat, ¾e nemohou vzniknout ¾ádné
-nové cesty délky~$l$ nebo men¹í. V~síti rezerv toti¾ mohou hrany nejen
-ubývat, ale i pøibývat: pokud po¹leme tok po~hranì, po~které je¹tì nic
-neteklo, tak v~protismìru z~dosud nulové rezervy vyrobíme nenulovou.
-Rozmysleme si tedy, jaké hrany mohou pøibývat:
-
-Vnìj¹í cyklus zaèíná s neproèi¹tìnou sítí. Pøíklad takové sítì je na~následujícím obrázku.
-Po~proèi¹tìní zùstanou v~síti jen èerné hrany, tedy hrany vedoucí z~$i$-té
-vrstvy do~$(i+1)$-ní. Èervené a modré\foot{Modré jsou ty, které vedou v rámci jedné vrstvy,
-èervené vedou zpìt èi za~spotøebiè èi do~slepých ulièek. Pøi vyti¹tìní na papír vypadají v¹echny èernì.}
-se zahodí.
-
-Nové hrany mohou vznikat výhradnì jako opaèné k~èerným hranám (hrany ostatních barev
-padly za obì» proèi¹tìní). Jsou to tedy v¾dy zpìtné hrany vedoucí z~$i$-té vrstvy do~$(i-1)$-ní.
-Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové $st$-cesty, které pou¾ívají
-zpìtné hrany. Jen¾e $st$-cesta, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit
-o~vrstvu zpìt a nikdy nemù¾e skoèit o~více ne¾ jednu vrstvu dopøedu, a~proto je její
-délka alespoò $l+2$. Tím je vìta dokázána. \qed
-
-% posunut dále, aby vy¹la sazba
-\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a slepé ulièky.}{0.45\hsize}
+Podíváme se na~průběh jednoho průchodu vnějším cyklem.
+Délku aktuálně nejkratší $st$-cesty označme~$l$.
+VÅ¡echny původnà cesty délky~$l$ se bÄ\9bhem průchodu zaruÄ\8denÄ\9b nasytÃ, protože
+tok~$f_B$ je blokující. Musíme však dokázat, že nemohou vzniknout žádné
+nové cesty délky~$l$ nebo menÅ¡Ã. V~sÃti rezerv totiž mohou hrany nejen
+ubývat, ale i přibývat: pokud pošleme tok po~hraně, po~které ještě nic
+neteklo, tak v~protisměru z~dosud nulové rezervy vyrobíme nenulovou.
+Rozmysleme si tedy, jaké hrany mohou přibývat:
+
+Vnější cyklus začíná s nepročištěnou sítí. Příklad takové sítě je na~následujícím obrázku.
+Po~pročištění zůstanou v~síti jen černé hrany, tedy hrany vedoucí z~$i$-té
+vrstvy do~$(i+1)$-ní. Červené a modré\foot{Modré jsou ty, které vedou v rámci jedné vrstvy,
+červené vedou zpět či za~spotřebič či do~slepých uliček. Při vytištění na papír vypadají všechny černě.}
+se zahodí.
+
+Nové hrany mohou vznikat výhradně jako opačné k~černým hranám (hrany ostatních barev
+padly za oběť pročištění). Jsou to tedy vždy zpětné hrany vedoucí z~$i$-té vrstvy do~$(i-1)$-ní.
+Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové $st$-cesty, které používají
+zpětné hrany. Jenže $st$-cesta, která použije zpětnou hranu, musí alespoň jednou skočit
+o~vrstvu zpět a nikdy nemůže skočit o~více než jednu vrstvu dopředu, a~proto je její
+délka alespoň $l+2$. Tím je věta dokázána. \qed
+
+% posunut dále, aby vyšla sazba
+\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Nepročištěná síť. Obsahuje zpětné hrany, hrany uvnitř vrstvy a slepé uličky.}{0.45\hsize}
% HACK
\vskip -10pt
-\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta u¾ívající novou zpìtnou hranu}{0.4\hsize}
+\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta užívající novou zpětnou hranu}{0.4\hsize}
-\h{Poznámky}
+\h{Poznámky}
\itemize\ibull
-\:Není potøeba tak puntièkáøské èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
- nevadí -- stejnì se do nich nedostaneme. Vadí jen vrcholy s výstupním stupnìm 0, kde by mohl
+\:Není potřeba tak puntičkářské čištění. Vrcholy se vstupním stupněm 0 nám
+ nevadí -- stejně se do nich nedostaneme. Vadí jen vrcholy s výstupním stupněm 0, kde by mohl
havarovat postup v podkroku 9.
-\:Je mo¾né dìlat prohledávání a èi¹tìní souèasnì. Jednodu¹e prohledáváním do~hloubky:
- \uv{Hrrr na nì!} a kdy¾
- to nevyjde (dostaneme se do slepé ulièky), kus ustoupíme a pøi ústupu èistíme sí»
- odstraòováním slepé ulièky.
-\:U¾ pøi prohledávání si rovnou udr¾ujeme minimum z rezerv a pøi zpáteèní cestì
- opravujeme kapacity. Snadno zkombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
-\:V prùbìhu výpoètu udr¾ujeme jen sí» rezerv a tok vypoèteme a¾ nakonec z rezerv a kapacit.
-\:Kdy¾ budeme chtít hledat minimální øez, spustíme po~Dinicovu algoritmu je¹tì jednu iterací F-F
+\:Je možné dělat prohledávání a čištění současně. Jednoduše prohledáváním do~hloubky:
+ \uv{Hrrr na nÄ\9b!} a když
+ to nevyjde (dostaneme se do slepé uličky), kus ustoupíme a při ústupu čistíme síť
+ odstraňováním slepé uličky.
+\:Už při prohledávání si rovnou udržujeme minimum z rezerv a při zpáteční cestě
+ opravujeme kapacity. Snadno zkombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
+\:V průbÄ\9bhu výpoÄ\8dtu udržujeme jen sÃÅ¥ rezerv a tok vypoÄ\8dteme až nakonec z rezerv a kapacit.
+\:Když budeme chtít hledat minimální řez, spustíme po~Dinicovu algoritmu ještě jednu iterací F-F
algoritmu.
\endlist
-\h{Speciální sítì (ubíráme na obecnosti)}
-
-Pøi pøevodu rùzných úloh na~hledání maximálního toku èasto dostaneme sí» v~nìjakém
-speciálním tvaru -- tøeba s~omezenými kapacitami èi stupni vrcholù. Podíváme se
-proto podrobnìji na~chování Dinicova algoritmu v~takových pøípadech a uká¾eme,
-¾e èasto pracuje pøekvapivì efektivnì.
-
-\s{Jednotkové kapacity:}
-Pokud sí» neobsahuje cykly délky~2 (dvojice navzájem opaèných hran), v¹echny rezervy
-jsou jen 0 nebo~1. Pokud obsahuje, mohou rezervy být i dvojky, a~proto sí» upravíme tak,
-¾e ke~ka¾dé hranì pøidáme hranu opaènou s~nulovou kapacitou a rezervu proti smìru
-toku pøiøkneme jí. Vzniknou tím sice paralelní hrany, ale to tokovým algoritmùm
-nikterak nevadí.%
-\foot{Èasto se to implementuje tak, ¾e protismìrné hrany vùbec nevytvoøíme a kdy¾
-hranu nasytíme, tak v~síti rezerv prostì obrátíme její orientaci.}
-
-Pøi hledání blokujícího toku tedy budou mít v¹echny hrany na~nalezené $st$-cestì
-stejnou, toti¾ jednotkovou, rezervu, tak¾e v¾dy z~grafu odstraníme celou cestu.
-Kdy¾ máme $m$ hran, poèet zlep¹ení po cestách délky $l$ bude maximálnì $m/l$.
-Proto slo¾itost podkrokù 9, 10 a 11 bude $m/l \cdot \O(l) = \O(m)$.%
-\foot{Nebo by ¹lo argumentovat, tím ¾e ka¾dou hranu pou¾ijeme jen $1\times$.}
-Tedy pro jednotkové kapacity dostáváme slo¾itost $\O(nm)$.
-
-\s{Jednotkové kapacity znovu a lépe:}
-Vnitøní cyklus lépe udìlat nepùjde. Je potøeba alespoò lineární èas pro èi¹tìní.
-Mù¾eme se ale pokusit lépe odhadnout poèet iterací vnìj¹ího cyklu.
-
-Sledujme stav sítì po $k$ iteracích vnìj¹ího cyklu a pokusme se odhadnout, kolik iterací
-je¹tì algoritmus udìlá. Oznaème~$l$ délku nejkrat¹í $st$-cesty.
-Víme, ¾e $l>k$, proto¾e v ka¾dé iteraci vzroste $l$ alespoò o 1.
-
-Máme tok $f_k$ a chceme dostat maximální tok $f$. Rozdíl $f-f_k$ je tok v~síti rezerv
-(tok v~pùvodní síti to ov¹em být nemusí!), oznaème si ho~$f_R$.
-Ka¾dá iterace velkého cyklu zlep¹í $f_k$ alespoò o 1. Tedy nám zbývá je¹tì
-nejvý¹e $\vert f_R \vert$ iterací.
-Proto bychom chtìli omezit velikost toku $f_R$. Napøíklad øezem.
-
-Najdeme v síti rezerv nìjaký dost malý øez $C$. Kde ho vzít?\foot{Pøeci v øeznictví. Kdepak, spí¹e v cukrárnì.
-Myslíte, ¾e v cukrárnì mají Dinicovy øezy? Myslím, ¾e v cukrárnì je vìt¹ina øezù minimální. {\sl (odposlechnuto na~pøedná¹ce)}}
-Poèítejme jen hrany zleva doprava. Tìch je jistì nejvý¹e $m$ a tvoøí alespoò $k$ rozhraní mezi
-vrstvami. Tedy existuje rozhraní vrstev
-s~nejvý¹e $m/k$ hranami\foot{Princip holubníku a nìjaká ta $\pm1$.}.
-Toto rozhraní je øez. Tedy existuje øez~$C$, pro nìj¾ $\vert C\vert \leq m/k$,
-a~algoritmu zbývá maximálnì $m/k$ dal¹ích krokù.
-Celkový poèet krokù je nejvý¹ $k + m/k$, tak¾e staèí zvolit $k = \sqrt{m}$ a získáme
-odhad na~poèet krokù $\O(\sqrt{m})$.
-
-Tím jsme dokázali, ¾e celková slo¾itost Dinicova algoritmu pro jednotkové
-kapacity je $\O(m^{3/2})$. Tím jsme si pomohli pro øídké grafy.
+\h{Speciální sítě (ubíráme na obecnosti)}
+
+Při převodu různých úloh na~hledání maximálního toku často dostaneme síť v~nějakém
+speciálním tvaru -- třeba s~omezenými kapacitami či stupni vrcholů. Podíváme se
+proto podrobnÄ\9bji na~chovánà Dinicova algoritmu v~takových pÅ\99Ãpadech a ukážeme,
+že často pracuje překvapivě efektivně.
+
+\s{Jednotkové kapacity:}
+Pokud síť neobsahuje cykly délky~2 (dvojice navzájem opačných hran), všechny rezervy
+jsou jen 0 nebo~1. Pokud obsahuje, mohou rezervy být i dvojky, a~proto síť upravíme tak,
+že ke~každé hraně přidáme hranu opačnou s~nulovou kapacitou a rezervu proti směru
+toku přiřkneme jí. Vzniknou tím sice paralelní hrany, ale to tokovým algoritmům
+nikterak nevadí.%
+\foot{Ä\8casto se to implementuje tak, že protismÄ\9brné hrany vůbec nevytvoÅ\99Ãme a když
+hranu nasytíme, tak v~síti rezerv prostě obrátíme její orientaci.}
+
+Při hledání blokujícího toku tedy budou mít všechny hrany na~nalezené $st$-cestě
+stejnou, totiž jednotkovou, rezervu, takže vždy z~grafu odstraníme celou cestu.
+Když máme $m$ hran, počet zlepšení po cestách délky $l$ bude maximálně $m/l$.
+Proto složitost podkroků 9, 10 a 11 bude $m/l \cdot \O(l) = \O(m)$.%
+\foot{Nebo by Å¡lo argumentovat, tÃm že každou hranu použijeme jen $1\times$.}
+Tedy pro jednotkové kapacity dostáváme složitost $\O(nm)$.
+
+\s{Jednotkové kapacity znovu a lépe:}
+Vnitřní cyklus lépe udělat nepůjde. Je potřeba alespoň lineární čas pro čištění.
+Můžeme se ale pokusit lépe odhadnout počet iterací vnějšího cyklu.
+
+Sledujme stav sítě po $k$ iteracích vnějšího cyklu a pokusme se odhadnout, kolik iterací
+ještě algoritmus udělá. Označme~$l$ délku nejkratší $st$-cesty.
+Víme, že $l>k$, protože v každé iteraci vzroste $l$ alespoň o 1.
+
+Máme tok $f_k$ a chceme dostat maximální tok $f$. Rozdíl $f-f_k$ je tok v~síti rezerv
+(tok v~původní síti to ovšem být nemusí!), označme si ho~$f_R$.
+Každá iterace velkého cyklu zlepší $f_k$ alespoň o 1. Tedy nám zbývá ještě
+nejvýše $\vert f_R \vert$ iterací.
+Proto bychom chtěli omezit velikost toku $f_R$. Například řezem.
+
+Najdeme v síti rezerv nějaký dost malý řez $C$. Kde ho vzít?\foot{Přeci v řeznictví. Kdepak, spíše v cukrárně.
+Myslíte, že v cukrárně mají Dinicovy řezy? Myslím, že v cukrárně je většina řezů minimální. {\sl (odposlechnuto na~přednášce)}}
+Počítejme jen hrany zleva doprava. Těch je jistě nejvýše $m$ a tvoří alespoň $k$ rozhraní mezi
+vrstvami. Tedy existuje rozhraní vrstev
+s~nejvýše $m/k$ hranami\foot{Princip holubníku a nějaká ta $\pm1$.}.
+Toto rozhranà je Å\99ez. Tedy existuje Å\99ez~$C$, pro nÄ\9bjž $\vert C\vert \leq m/k$,
+a~algoritmu zbývá maximálně $m/k$ dalších kroků.
+Celkový počet kroků je nejvýš $k + m/k$, takže stačí zvolit $k = \sqrt{m}$ a získáme
+odhad na~počet kroků $\O(\sqrt{m})$.
+
+Tím jsme dokázali, že celková složitost Dinicova algoritmu pro jednotkové
+kapacity je $\O(m^{3/2})$. Tím jsme si pomohli pro řídké grafy.
\vbox{
\inlinefig{dinic-vrcholrez.eps}{0.2\hsize}
-\s{Jednotkové kapacity a jeden ze stupòù roven 1:}
-Úlohu hledání maximálního párování v~bipartitním grafu, pøípadnì hledání
-vrcholovì disjunktních cest v~obecném grafu lze pøevést (viz pøedchozí kapitola)
-na~hledání maximálního toku v~síti, v~ní¾ má ka¾dý vrchol~$v\ne s,t$ buïto vstupní
-nebo výstupní stupeò roven jedné.
-Pro takovou sí» mù¾eme pøedchozí odhad je¹tì tro¹ku upravit. Pokusíme
-se nalézt v síti po~$k$~krocích nìjaký malý øez. Místo rozhraní budeme hledat jednu malou
-vrstvu a z~malé vrstvy vytvoøíme malý øez tak, ¾e pro ka¾dý vrchol z~vrstvy vezmeme tu hranu,
-která je ve~svém smìru sama.
+\s{Jednotkové kapacity a jeden ze stupňů roven 1:}
+Úlohu hledání maximálního párování v~bipartitním grafu, případně hledání
+vrcholově disjunktních cest v~obecném grafu lze převést (viz předchozí kapitola)
+na~hledání maximálního toku v~síti, v~níž má každý vrchol~$v\ne s,t$ buďto vstupní
+nebo výstupní stupeň roven jedné.
+Pro takovou síť můžeme předchozí odhad ještě trošku upravit. Pokusíme
+se nalézt v síti po~$k$~krocích nějaký malý řez. Místo rozhraní budeme hledat jednu malou
+vrstvu a z~malé vrstvy vytvoříme malý řez tak, že pro každý vrchol z~vrstvy vezmeme tu hranu,
+která je ve~svém směru sama.
}
-Po $k$ krocích máme alespoò $k$ vrstev, a~proto existuje vrstva $\delta$ s nejvý¹e $n/k$ vrcholy.
-Tedy existuje øez $C$ o~velikosti $\vert C\vert \leq n/k$ (získáme z vrstvy $\delta$ vý¹e popsaným postupem).
-Algoritmu zbývá do konce $\leq n/k$ iterací vnìj¹ího cyklu, celkem tedy udìlá $k + n/k$ iterací.
-Nyní staèí zvolit $k = \sqrt{n}$ a slo¾itost
-celého algoritmu vyjde $\O(\sqrt{n}\cdot m)$.
-
-Mimochodem, hledání maximálního párování pomocí Dinicova algoritmu je také ekvivalentní
-známému Hopcroft-Karpovì algoritmu \cite{hopcroft:matching}. Ten je zalo¾en na~støídavých
-cestách z~pøedchozí kapitoly a v~ka¾dé iteraci nalezne mno¾inu vrcholovì disjuktních
-nejkrat¹ích støidavých cest, která je maximální vzhledem k~inkluzi.
-Touto mno¾inou pak aktuální párování pøexoruje, èím¾ ho zvìt¹í. V¹imnìte si, ¾e tyto
-mno¾iny cest odpovídají právì blokujícím tokùm v~proèi¹tìné síti rezerv, tak¾e mù¾eme
-i~zde pou¾ít ná¹ odhad na~poèet iterací.
-
-\s{Tøetí pokus pro jednotkové kapacity bez omezení na stupnì vrcholù v síti:}
-Hlavní my¹lenkou je opìt po $k$ krocích najít nìjaký malý øez. Najdeme dvì malé
-sousední vrstvy a v¹echny hrany mezi nimi budou tvoøit námi hledaný malý øez.
-Budeme tentokrát pøedpokládat, ¾e na¹e sí» není multigraf, pøípadnì ¾e
-násobnost hran je alespoò omezena konstantou.
-
-Oznaème $s_i$ poèet vrcholù v $i$-té vrstvì. Souèet poètu vrcholù ve dvou
-sousedních vrstvách oznaèíme $t_i = s_i + s_{i+1}$. Bude tedy platit nerovnost:
+Po $k$ krocích máme alespoň $k$ vrstev, a~proto existuje vrstva $\delta$ s nejvýše $n/k$ vrcholy.
+Tedy existuje řez $C$ o~velikosti $\vert C\vert \leq n/k$ (získáme z vrstvy $\delta$ výše popsaným postupem).
+Algoritmu zbývá do konce $\leq n/k$ iterací vnějšího cyklu, celkem tedy udělá $k + n/k$ iterací.
+Nynà staÄ\8dà zvolit $k = \sqrt{n}$ a složitost
+celého algoritmu vyjde $\O(\sqrt{n}\cdot m)$.
+
+Mimochodem, hledání maximálního párování pomocí Dinicova algoritmu je také ekvivalentní
+známému Hopcroft-Karpově algoritmu \cite{hopcroft:matching}. Ten je založen na~střídavých
+cestách z~předchozí kapitoly a v~každé iteraci nalezne množinu vrcholově disjuktních
+nejkratších střidavých cest, která je maximální vzhledem k~inkluzi.
+Touto množinou pak aktuálnà párovánà pÅ\99exoruje, Ä\8dÃmž ho zvÄ\9btÅ¡Ã. VÅ¡imnÄ\9bte si, že tyto
+množiny cest odpovÃdajà právÄ\9b blokujÃcÃm tokům v~proÄ\8diÅ¡tÄ\9bné sÃti rezerv, takže můžeme
+i~zde použít náš odhad na~počet iterací.
+
+\s{Třetí pokus pro jednotkové kapacity bez omezení na stupně vrcholů v síti:}
+Hlavní myšlenkou je opět po $k$ krocích najít nějaký malý řez. Najdeme dvě malé
+sousední vrstvy a všechny hrany mezi nimi budou tvořit námi hledaný malý řez.
+Budeme tentokrát pÅ\99edpokládat, že naÅ¡e sÃÅ¥ nenà multigraf, pÅ\99ÃpadnÄ\9b že
+násobnost hran je alespoň omezena konstantou.
+
+Označme $s_i$ počet vrcholů v $i$-té vrstvě. Součet počtu vrcholů ve dvou
+sousedních vrstvách označíme $t_i = s_i + s_{i+1}$. Bude tedy platit nerovnost:
$$\sum_i t_i \leq 2\sum_i s_i \leq 2n.$$
-Podle holubníkového principu existuje $i$ takové, ¾e $t_i \leq 2n/k$, èili
-$s_i + s_{i+1} \leq 2n/k$. Poèet hran mezi $s_i$ a $s_{i+1}$ je velikost øezu
-$C$, a to je shora omezeno $s_i \cdot s_{i+1}$. Nejhor¹í pøípad nastane, kdy¾ $s_i = s_{i+1} = n/k$,
+Podle holubníkového principu existuje $i$ takové, že $t_i \leq 2n/k$, čili
+$s_i + s_{i+1} \leq 2n/k$. Počet hran mezi $s_i$ a $s_{i+1}$ je velikost řezu
+$C$, a to je shora omezeno $s_i \cdot s_{i+1}$. NejhorÅ¡Ã pÅ\99Ãpad nastane, když $s_i = s_{i+1} = n/k$,
a~proto $\vert C\vert \leq {(n/k)}^2$.
-Proto poèet iterací velkého cyklu je $\leq k + {(n/k)}^2$.
-Chytøe zvolíme $k = n^{2/3}$. Slo¾itost celého algoritmu pak bude $\O(n^{2/3}m)$.
-
-\s{Obecný odhad pro celoèíselné kapacity:}
-Tento odhad je zalo¾en na velikosti
-maximálního toku $f$ a pøedpokladu celoèíselných kapacit.
-Za jednu iteraci velkého cyklu projdeme malým cyklem maximálnì tolikrát,
-o kolik se v nìm zvedl tok, proto¾e ka¾dá zlep¹ující cesta ho zvedne alespoò o $1$.
-Zlep¹ující cesta se tedy hledá maximálnì $\vert f\vert$-krát za celou dobu bìhu algoritmu.
-Cestu najdeme v èase $\O(n)$. Celkem na~hledání
-cest spotøebujeme $\O(\vert f\vert\cdot n)$ za celou dobu bìhu algoritmu.
-
-Nesmíme ale zapomenout na èi¹tìní. V jedné iteraci velkého cyklu nás stojí èi¹tìní $\O(m)$ a velkých
-iterací je $\leq n$. Proto celková slo¾itost algoritmu èiní $\O(\vert f\vert n + nm)$
-
-Pokud navíc budeme pøedpokládat, ¾e kapacita hran je nejvý¹e~$C$ a $G$ není multigraf,
-mù¾eme vyu¾ít toho, ¾e $\vert f\vert \le Cn$ (omezeno øezem okolo~$s$) a získat odhad
+Proto počet iterací velkého cyklu je $\leq k + {(n/k)}^2$.
+Chytře zvolíme $k = n^{2/3}$. Složitost celého algoritmu pak bude $\O(n^{2/3}m)$.
+
+\s{Obecný odhad pro celočíselné kapacity:}
+Tento odhad je založen na velikosti
+maximálního toku $f$ a předpokladu celočíselných kapacit.
+Za jednu iteraci velkého cyklu projdeme malým cyklem maximálně tolikrát,
+o kolik se v něm zvedl tok, protože každá zlepšující cesta ho zvedne alespoň o $1$.
+Zlepšující cesta se tedy hledá maximálně $\vert f\vert$-krát za celou dobu běhu algoritmu.
+Cestu najdeme v čase $\O(n)$. Celkem na~hledání
+cest spotřebujeme $\O(\vert f\vert\cdot n)$ za celou dobu běhu algoritmu.
+
+Nesmíme ale zapomenout na čištění. V jedné iteraci velkého cyklu nás stojí čištění $\O(m)$ a velkých
+iterací je $\leq n$. Proto celková složitost algoritmu činí $\O(\vert f\vert n + nm)$
+
+Pokud navíc budeme předpokládat, že kapacita hran je nejvýše~$C$ a $G$ není multigraf,
+můžeme využít toho, že $\vert f\vert \le Cn$ (omezeno řezem okolo~$s$) a získat odhad
$\O(Cn^2 + nm)$.
-\h{©kálování kapacit}
+\h{Škálování kapacit}
-Pokud jsou kapacity hran vìt¹í celá èísla omezená nìjakou konstantou~$C$, mù¾eme si pomoci následujícím algoritmem.
-Jeho základní my¹lenka je podobná, jako u~tøídìní èísel postupnì po øádech pomocí
-radix-sortu neboli pøihrádkového tøídìní. Pro jistotu si ho pøipomeòme. Algoritmus nejprve setøídí èísla podle poslední
-(nejménì významné) cifry, poté podle pøedposlední, pøedpøedposlední a tak dále.
+Pokud jsou kapacity hran větší celá čísla omezená nějakou konstantou~$C$, můžeme si pomoci následujícím algoritmem.
+Jeho základní myšlenka je podobná, jako u~třídění čísel postupně po řádech pomocí
+radix-sortu neboli přihrádkového třídění. Pro jistotu si ho připomeňme. Algoritmus nejprve setřídí čísla podle poslední
+(nejméně významné) cifry, poté podle předposlední, předpředposlední a tak dále.
-%\figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného tøídìní podle øádù}{0.4\hsize}
+%\figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného třídění podle řádů}{0.4\hsize}
-V na¹em pøípadì budeme postupnì budovat sítì èím dál podobnìj¹í zadané
-síti a v~nich poèítat toky, a¾ nakonec získáme tok pro ni.
+V našem případě budeme postupně budovat sítě čím dál podobnější zadané
+síti a v~nich počítat toky, až nakonec získáme tok pro ni.
-Pøesnìji: Maximální tok v síti $G$ budeme hledat tak, ¾e hranám postupnì
-budeme zvìt¹ovat kapacity bit po bitu v~binárním zápisu a¾ k~jejich skuteèné kapacitì.
-Pøitom po~ka¾dém posunu zavoláme Dinicùv algoritmus, aby dopoèítal maximální tok.
-Pomocí pøedchozího odhadu uká¾eme, ¾e jeden takový krok nebude pøíli¹ drahý.
+Přesněji: Maximální tok v síti $G$ budeme hledat tak, že hranám postupně
+budeme zvětšovat kapacity bit po bitu v~binárním zápisu až k~jejich skutečné kapacitě.
+Přitom po~každém posunu zavoláme Dinicův algoritmus, aby dopočítal maximální tok.
+Pomocí předchozího odhadu ukážeme, že jeden takový krok nebude příliš drahý.
-\figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.3\hsize}
+\figure{dinic-scaling-original.eps}{Původní síť, na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.3\hsize}
-Oznaème $k$ index nejvy¹¹ího bitu v~zápisu kapacit v~zadané síti ($k = \lfloor \log_2C \rfloor$).
-Postupnì budeme budovat sítì $G_i$ s~kapacitami $c_i(e) = \lfloor {c(e) / 2^{k-i}} \rfloor$.
-$G_0$ je nejoøezanìj¹í sí», kde ka¾dá hrana má kapacitu rovnou nejvy¹¹ímu bitu v~binárním zápisu
-její skuteèné kapacity, a¾ $G_k$ je pùvodní sí» $G$.
+Označme $k$ index nejvyššího bitu v~zápisu kapacit v~zadané síti ($k = \lfloor \log_2C \rfloor$).
+Postupně budeme budovat sítě $G_i$ s~kapacitami $c_i(e) = \lfloor {c(e) / 2^{k-i}} \rfloor$.
+$G_0$ je nejořezanější síť, kde každá hrana má kapacitu rovnou nejvyššímu bitu v~binárním zápisu
+její skutečné kapacity, až $G_k$ je původní síť $G$.
-\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítì $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro sí» z~pøedchozího obrázku}{0.9\hsize}
+\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítě $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro síť z~předchozího obrázku}{0.9\hsize}
-\>Pøitom pro kapacity v~jednotlivých sítích platí:
+\>Přitom pro kapacity v~jednotlivých sítích platí:
$$ c_{i+1}(e) = \left\{
\eqalign{
- 2c_i(e), &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 0,} \cr
- 2c_i(e)+1, &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 1.} \cr}
+ 2c_i(e), &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 0,} \cr
+ 2c_i(e)+1, &\hbox{\quad pokud $(k-i-1)$-tý bit je 1.} \cr}
\right.
$$
-Na spoètení maximálního toku $f_i$ v síti $G_i$ zavoláme Dinicùv algoritmus,
-ov¹em do zaèátku nepou¾ijeme nulový tok, nýbr¾ tok $2f_{i-1}$. Rozdíl toku z inicializace
-a výsledného bude malý, toti¾:
+Na spočtení maximálního toku $f_i$ v síti $G_i$ zavoláme Dinicův algoritmus,
+ovšem do začátku nepoužijeme nulový tok, nýbrž tok $2f_{i-1}$. Rozdíl toku z inicializace
+a výsledného bude malý, totiž:
\s{Lemma:} $\vert f_i\vert - \vert 2f_{i-1}\vert \leq m.$
\proof
-Vezmeme minimální øez $R$ v~$G_{i-1}$. Podle F-F vìty víme, ¾e $\vert f_{i-1}\vert = \vert R\vert$.
-Øez $R$ obsahuje $\leq m$ hran, a~tedy v~$G_{i}$ má tentý¾ øez kapacitu maximálnì $2\vert R\vert+m$.
-Maximální tok je omezen ka¾dým øezem, tedy i øezem $R$, a~proto tok vzroste nejvý¹e o~$m$.
+Vezmeme minimálnà Å\99ez $R$ v~$G_{i-1}$. Podle F-F vÄ\9bty vÃme, že $\vert f_{i-1}\vert = \vert R\vert$.
+Řez $R$ obsahuje $\leq m$ hran, a~tedy v~$G_{i}$ má tentýž řez kapacitu maximálně $2\vert R\vert+m$.
+Maximální tok je omezen každým řezem, tedy i řezem $R$, a~proto tok vzroste nejvýše o~$m$.
\qed
-Podle pøedchozího odhadu pro celoèíselné kapacity výpoèet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$.
-Takový tok se bude poèítat $k$-krát, proèe¾ celková slo¾itost vyjde $\O(mn\log C)$.
+Podle předchozího odhadu pro celočíselné kapacity výpočet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$.
+Takový tok se bude poÄ\8dÃtat $k$-krát, proÄ\8dež celková složitost vyjde $\O(mn\log C)$.
-\h{Algoritmus tøí Indù}
+\h{Algoritmus tří Indů}
-Pøekvapení na~konec: Dinicùv algoritmus lze pomìrnì snadno zrychlit i ve~zcela obecném
-pøípadì. Malhotra, Kumar a Maheshwari vymysleli efektivnìj¹í algoritmus \cite{threeinds}
-na~hledání blokujícího toku ve~vrstevnaté síti, který bì¾í v~èase $\O(n^2)$ a pou¾ijeme-li
-ho v~Dinicovì algoritmu, zrychlíme hledání maximálního toku na~$\O(n^3)$.
-Tento algoritmus ve¹el do~dìjin pod názvem Metoda tøí Indù.
+Překvapení na~konec: Dinicův algoritmus lze poměrně snadno zrychlit i ve~zcela obecném
+případě. Malhotra, Kumar a Maheshwari vymysleli efektivnější algoritmus \cite{threeinds}
+na~hledánà blokujÃcÃho toku ve~vrstevnaté sÃti, který bÄ\9bžà v~Ä\8dase $\O(n^2)$ a použijeme-li
+ho v~Dinicově algoritmu, zrychlíme hledání maximálního toku na~$\O(n^3)$.
+Tento algoritmus vešel do~dějin pod názvem Metoda tří Indů.
-Mìjme tedy nìjakou vrstevnatou sí». Zaèneme s~nulovým tokem a budeme ho postupnì zlep¹ovat.
-Prùbì¾nì si budeme udr¾ovat rezervy hran~$r(e)$\foot{poèítáme pouze rezervu ve~smìru hrany, nebo»
-nám staèí najít blokující tok, ne~nutnì maximální} a také následující rezervy vrcholù:
+Mějme tedy nějakou vrstevnatou síť. Začneme s~nulovým tokem a budeme ho postupně zlepšovat.
+Průběžně si budeme udržovat rezervy hran~$r(e)$\foot{počítáme pouze rezervu ve~směru hrany, neboť
+nám stačí najít blokující tok, ne~nutně maximální} a také následující rezervy vrcholů:
-\s{Definice:} $r^+(v)$ je souèet rezerv v¹ech hran vstupujících do~$v$, $r^-(v)$ souèet
-rezerv hran vystupujících z~$v$ a koneènì $r(v):=\min(r^+(v),r^-(v))$.
+\s{Definice:} $r^+(v)$ je součet rezerv všech hran vstupujících do~$v$, $r^-(v)$ součet
+rezerv hran vystupujících z~$v$ a konečně $r(v):=\min(r^+(v),r^-(v))$.
-V~ka¾dé iteraci algoritmu nalezneme vrchol s~nejni¾¹ím~$r(v)$ a zvìt¹íme tok tak, aby se
-tato rezerva vynulovala. Za~tímto úèelem nejdøíve pøepravíme $r(v)$ jednotek toku ze~zdroje
-do~$v$: u~ka¾dého vrcholu~$w$ si budeme pamatovat {\I plán} $p(w)$, co¾ bude mno¾ství
-tekutiny, které potøebujeme dostat ze~zdroje do~$w$. Nejdøíve budou plány v¹ude nulové
-a¾ na~$p(v)=r(v)$. Pak budeme postupovat po~vrstvách smìrem ke~zdroji a plány v¹ech
-vrcholù splníme tak, ¾e je pøevedeme na~plány vrcholù v~následující vrstvì, a¾ doputujeme
-ke~zdroji, jeho¾ plán je splnìn triviálnì. Nakonec analogickým zpùsobem protlaèíme $r(v)$
-jednotek z~$v$ do~spotøebièe.
+V~každé iteraci algoritmu nalezneme vrchol s~nejnižším~$r(v)$ a zvětšíme tok tak, aby se
+tato rezerva vynulovala. Za~tímto účelem nejdříve přepravíme $r(v)$ jednotek toku ze~zdroje
+do~$v$: u~každého vrcholu~$w$ si budeme pamatovat {\I plán} $p(w)$, což bude množství
+tekutiny, které potřebujeme dostat ze~zdroje do~$w$. Nejdříve budou plány všude nulové
+až na~$p(v)=r(v)$. Pak budeme postupovat po~vrstvách směrem ke~zdroji a plány všech
+vrcholů splnÃme tak, že je pÅ\99evedeme na~plány vrcholů v~následujÃcà vrstvÄ\9b, až doputujeme
+ke~zdroji, jehož plán je splněn triviálně. Nakonec analogickým způsobem protlačíme $r(v)$
+jednotek z~$v$ do~spotřebiče.
-Bìhem výpoètu prùbì¾nì pøepoèítáváme v¹echna $r^+$, $r^-$ a~$r$ podle toho, jak se mìní
-rezervy jednotlivých hran (pøi ka¾dé úpravì rezervy to zvládneme v~konstantním èase)
-a sí» èistíme stejnì jako u~Dinicova algoritmu.
+Během výpočtu průběžně přepočítáváme všechna $r^+$, $r^-$ a~$r$ podle toho, jak se mění
+rezervy jednotlivých hran (při každé úpravě rezervy to zvládneme v~konstantním čase)
+a síť čistíme stejně jako u~Dinicova algoritmu.
\finalfix{\goodbreak}
-\s{Algoritmus:} (hledání blokujícího toku ve~vrstevnaté síti podle tøí Indù)
+\s{Algoritmus:} (hledání blokujícího toku ve~vrstevnaté síti podle tří Indů)
\algo
-\:$f_B\leftarrow\<prázdný tok>$.
-\:Spoèítáme rezervy v¹ech hran a $r^+$, $r^-$ a $r$ v¹ech vrcholù. (Tyto hodnoty
- budeme posléze udr¾ovat pøi ka¾dé zmìnì toku po~hranì.)
-\:Dokud v~síti existují vrcholy s~nenulovou rezervou, vezmeme vrchol $v$ s~nejmen¹ím $r(v)$
- a provedeme pro nìj: {\I (vnìj¹í cyklus)}
-\::Pøevedeme $r(v)$ jednotek toku z~$s$ do~$v$ následovnì:
-\:::Polo¾íme $p(v)\leftarrow r(v)$, $p(\cdot)=0$.
-\:::Procházíme vrcholy sítì po~vrstvách od~$v$ smìrem k~$s$. Pro ka¾dý vrchol~$w$ provedeme:
+\:$f_B\leftarrow\<prázdný tok>$.
+\:Spočítáme rezervy všech hran a $r^+$, $r^-$ a $r$ všech vrcholů. (Tyto hodnoty
+ budeme posléze udržovat při každé změně toku po~hraně.)
+\:Dokud v~síti existují vrcholy s~nenulovou rezervou, vezmeme vrchol $v$ s~nejmenším $r(v)$
+ a provedeme pro něj: {\I (vnější cyklus)}
+\::Převedeme $r(v)$ jednotek toku z~$s$ do~$v$ následovně:
+\:::Položíme $p(v)\leftarrow r(v)$, $p(\cdot)=0$.
+\:::Procházíme vrcholy sítě po~vrstvách od~$v$ směrem k~$s$. Pro každý vrchol~$w$ provedeme:
\::::Dokud $p(w)>0$:
-\:::::Vezmeme libovolnou hranu $uw$ a tok po~ní zvý¹íme o~$\delta=\min(r(uw), p(w))$. Tím se
- $p(w)$ sní¾í~o~$\delta$ a $p(u)$ zvý¹í~o~$\delta$.
-\:::::Pokud se hrana~$uw$ nasytila, odstraníme jí ze sítì a sí» doèistíme.
-\::Analogicky pøevedeme $r(v)$ jednotek z~$v$ do~$t$.
+\:::::Vezmeme libovolnou hranu $uw$ a tok po~ní zvýšíme o~$\delta=\min(r(uw), p(w))$. Tím se
+ $p(w)$ sníží~o~$\delta$ a $p(u)$ zvýší~o~$\delta$.
+\:::::Pokud se hrana~$uw$ nasytila, odstraníme jí ze sítě a síť dočistíme.
+\::Analogicky převedeme $r(v)$ jednotek z~$v$ do~$t$.
\endalgo
-\s{Analýza:} Nejprve si v¹imneme, ¾e cyklus v~kroku~8 opravdu doká¾e vynulovat $p(w)$.
-Souèet v¹ech $p(w)$ pøes ka¾dou vrstvu je toti¾ nejvý¹e roven $r(v)$, tak¾e speciálnì ka¾dé
-$p(w)\le r(v)$. Jen¾e $r(v)$ jsme vybrali jako nejmen¹í, tak¾e $p(w)\le r(v)\le r(w)\le r^+(w)$,
-a~proto je plánovaný tok kudy pøivést. Proto se algoritmus zastaví a vydá blokující tok.
-
-Zbývá odhadnout èasovou slo¾itost: Kdy¾ oddìlíme pøevádìní plánù po~hranách (kroky 7--9),
-zbytek jedné iterace vnìj¹ího cyklu trvá~$\O(n)$ a tìchto iterací je nejvý¹e~$n$. V¹echna pøevedení
-plánu si rozdìlíme na~ta, kterými se nìjaká hrana nasytila, a~ta, která skonèila vynulováním $p(w)$.
-Tìch prvních je $\O(m)$, proto¾e ka¾dou takovou hranu vzápìtí odstraníme a èi¹tìní, jak u¾ víme,
-trvá také lineárnì dlouho. Druhý pøípad nastane pro ka¾dý vrchol nejvý¹e jednou za~iteraci.
-Dohromady tedy trvají v¹echna pøevedení $\O(n^2)$, stejnì jako zbytek algoritmu.
+\s{Analýza:} Nejprve si všimneme, že cyklus v~kroku~8 opravdu dokáže vynulovat $p(w)$.
+Součet všech $p(w)$ přes každou vrstvu je totiž nejvýše roven $r(v)$, takže speciálně každé
+$p(w)\le r(v)$. Jenže $r(v)$ jsme vybrali jako nejmenÅ¡Ã, takže $p(w)\le r(v)\le r(w)\le r^+(w)$,
+a~proto je plánovaný tok kudy přivést. Proto se algoritmus zastaví a vydá blokující tok.
+
+Zbývá odhadnout časovou složitost: Když oddělíme převádění plánů po~hranách (kroky 7--9),
+zbytek jedné iterace vnějšího cyklu trvá~$\O(n)$ a těchto iterací je nejvýše~$n$. Všechna převedení
+plánu si rozdělíme na~ta, kterými se nějaká hrana nasytila, a~ta, která skončila vynulováním $p(w)$.
+Těch prvních je $\O(m)$, protože každou takovou hranu vzápětí odstraníme a čištění, jak už víme,
+trvá také lineárně dlouho. Druhý případ nastane pro každý vrchol nejvýše jednou za~iteraci.
+Dohromady tedy trvají všechna převedení $\O(n^2)$, stejně jako zbytek algoritmu.
\qed
-\h{Pøehled variant Dinicova algoritmu}
+\h{Přehled variant Dinicova algoritmu}
\medskip
\centerline{\vbox{\halign{# \hfil \quad &# \hfil \cr
-\it varianta &\it èas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
-standardní &$\O(n^2m)$ \cr
-jednotkové kapacity &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$ \cr
-jednotkové kapacity, 1 stupeò $\leq 1$ &$\O(\sqrt{n}\cdot m)$ \cr
-jednotkové kapacity, prostý graf &$\O(n^{2/3}m)$ \cr
-celoèíselné kapacity &$\O(\vert f\vert\cdot n + nm)$ \cr
-celoèíselné kapacity $ \leq C$ &$\O(Cn^2 + mn)$ \cr
-celoèíselné kapacity $ \leq C$ (¹kálování)&$\O(mn\log C)$ \cr
-tøi Indové &$\O(n^3)$ \cr
+\it varianta &\it čas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
+standardní &$\O(n^2m)$ \cr
+jednotkové kapacity &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$ \cr
+jednotkové kapacity, 1 stupeň $\leq 1$ &$\O(\sqrt{n}\cdot m)$ \cr
+jednotkové kapacity, prostý graf &$\O(n^{2/3}m)$ \cr
+celočíselné kapacity &$\O(\vert f\vert\cdot n + nm)$ \cr
+celočíselné kapacity $ \leq C$ &$\O(Cn^2 + mn)$ \cr
+celočíselné kapacity $ \leq C$ (škálování)&$\O(mn\log C)$ \cr
+tři Indové &$\O(n^3)$ \cr
}}}
\references
\input ../sgr.tex
-\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{}
-
-V~pøede¹lých kapitolách jsme se zabývali aplikacemi tokù na~hledání maximálního párování
-a minimálního $st$-øezu. Nyní si pøedvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
-které se obejdou bez tokù.
-
-\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
-
-Nejprve si nadefinujme operaci {\I ¹tìpení grafu,} která zadaný graf $G=(V,E)$
-se v¹emi vrcholy sudého stupnì a sudým poètem hran v~ka¾dé komponentì souvislosti
-rozlo¾í na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$,
-v~nich¾ bude pro ka¾dý vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm
-deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$. Tuto operaci mù¾eme snadno
-provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf rozdìlíme na~komponenty, v~ka¾dé
-nalezneme eulerovský tah a jeho hrany budeme pøidávat støídavì do~$G_1$ a do~$G_2$.
-
-©tìpení nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
-bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta).}
-Komponenty takového grafu mají urèitì sudý poèet hran, tak¾e jej mù¾eme
-roz¹tìpit na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy. Libovolný jeden z~nich pak opìt roz¹tìpíme
-atd., a¾ dostaneme $1$-regulární graf, který je perfektním párováním v~$G$.
-To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase, jeliko¾ velikosti grafù, které
-¹tìpíme, exponenciálnì klesají. Také bychom mohli rekurzivnì zpracovávat obì
-èásti a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat ke~kompletní 1-faktorizaci
-zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní perfektní párování
-a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}
-
-Pokud zadaný graf nebude $2^t$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
-doplníme na $2^t$-regulární a pak si pøi ¹tìpeních budeme vybírat ten podgraf,
-do~kterého padlo ménì nových hran, a uká¾eme, ¾e nakonec v¹echny zmizí.
-Abychom graf pøíli¹ nezvìt¹ili, budeme se sna¾it místo pøidávání úplnì nových
-hran pouze zvy¹ovat násobnost hran existujících. Pro ka¾dou hranu $e$ si tedy
-budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
-
-{\I ©tìpení grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$
-s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$ i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2
-\rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
-$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude graf bez násobností, v~nìm¾ mají
-v¹echny vrcholy sudý stupeò, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní ¹tìpící algoritmus
-a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.
-
-Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Obì jeho partity jsou stejnì velké,
-oznaème si poèet vrcholù v~ka¾dé z~nich~$n$. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
-Zvolme dále parametry
+\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{}
+
+V~předešlých kapitolách jsme se zabývali aplikacemi toků na~hledání maximálního párování
+a minimálního $st$-řezu. Nyní si předvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
+které se obejdou bez toků.
+
+\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
+
+Nejprve si nadefinujme operaci {\I štěpení grafu,} která zadaný graf $G=(V,E)$
+se všemi vrcholy sudého stupně a sudým počtem hran v~každé komponentě souvislosti
+rozloží na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$,
+v~nichž bude pro každý vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm
+deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$. Tuto operaci můžeme snadno
+provést v~lineárním čase tak, že si graf rozdělíme na~komponenty, v~každé
+nalezneme eulerovský tah a jeho hrany budeme přidávat střídavě do~$G_1$ a do~$G_2$.
+
+Štěpení nám pomůže ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
+bipartitním grafu.\foot{Všimněte si, že takové párování bude vždy perfektní (viz Hallova věta).}
+Komponenty takového grafu majà urÄ\8ditÄ\9b sudý poÄ\8det hran, takže jej můžeme
+rozštěpit na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy. Libovolný jeden z~nich pak opět rozštěpíme
+atd., až dostaneme $1$-regulární graf, který je perfektním párováním v~$G$.
+To vše jsme schopni stihnout v~lineárním čase, jelikož velikosti grafů, které
+štěpíme, exponenciálně klesají. Také bychom mohli rekurzivně zpracovávat obě
+části a tak se v~čase $\O(m\log n)$ dobrat ke~kompletní 1-faktorizaci
+zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní perfektní párování
+a má ho každý regulární bipartitní graf.}
+
+Pokud zadaný graf nebude $2^t$-regulární, pomůžeme si tím, že ho novými hranami
+doplníme na $2^t$-regulární a pak si při štěpeních budeme vybírat ten podgraf,
+do~kterého padlo méně nových hran, a ukážeme, že nakonec všechny zmizí.
+Abychom graf příliš nezvětšili, budeme se snažit místo přidávání úplně nových
+hran pouze zvyÅ¡ovat násobnost hran existujÃcÃch. Pro každou hranu $e$ si tedy
+budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
+
+{\I Štěpení grafu s~násobnostmi} pak budeme provádět následovně: hranu~$e$
+s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$ i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2
+\rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, přidáme hranu do~pomocného grafu
+$G^\prime$. Všimněte si, že $G^\prime$ bude graf bez násobností, v~němž mají
+všechny vrcholy sudý stupeň, takže na~něj můžeme aplikovat původní štěpící algoritmus
+a $G^\prime_i$ přiřadit ke~$G_i$. To~vše zvládneme v~čase $\O(m)$.
+
+Mějme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Obě jeho partity jsou stejně velké,
+označme si počet vrcholů v~každé z~nich~$n$. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
+Zvolme dále parametry
$\alpha := \lfloor 2^t/k \rfloor$ a
$\beta := 2^t \bmod k$.
-Ka¾dé pùvodní hranì nastavíme násobnost~$\alpha$ a pøidáme triviální párování~$F$
-($i$-tý vrchol vlevo se spojí s~$i$-tým vrcholem vpravo) s~násobností~$\beta$.
-V¹imnìte si, ¾e $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (vèetnì násobností) bude ménì ne¾ $2^t$.
+Každé původní hraně nastavíme násobnost~$\alpha$ a přidáme triviální párování~$F$
+($i$-tý vrchol vlevo se spojí s~$i$-tým vrcholem vpravo) s~násobností~$\beta$.
+VÅ¡imnÄ\9bte si, že $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (vÄ\8detnÄ\9b násobnostÃ) bude ménÄ\9b než $2^t$.
-Takto získáme $2^t$-regulární graf, jeho¾ reprezentace bude lineárnì velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
-¹tìpení a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
-a jeliko¾ se~v~ka¾dém kroku zbavíme alespoò poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat ¾ádnou takovou hranu
-a navíc nebude obsahovat ani násobné hrany, tak¾e bude podgrafem zadaného grafu, jak potøebujeme.
+Takto získáme $2^t$-regulární graf, jehož reprezentace bude lineárně velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
+štěpení a budeme si vybírat vždy tu polovinu, kde bude méně hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospějeme k~párování
+a jelikož se~v~každém kroku zbavíme alespoň poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat žádnou takovou hranu
+a navíc nebude obsahovat ani násobné hrany, takže bude podgrafem zadaného grafu, jak potřebujeme.
-Èasová slo¾itost algoritmu je $\O(m \log n)$, jeliko¾ provádíme inicializaci v~èase
-$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
+Časová složitost algoritmu je $\O(m \log n)$, jelikož provádíme inicializaci v~čase
+$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
-\h{Stupeò souvislosti grafu}
+\h{Stupeň souvislosti grafu}
-Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
-který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
-Pokud chceme najít minimum ze~v¹ech øezù v~grafu, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
-To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z~vrcholù (tøeba $s$) mù¾eme zvolit
-pevnì: vezmeme-li libovolný øez $C$, pak jistì najdeme alespoò jedno~$t$, které padne
-do~jiné komponenty ne¾ pevnì zvolené~$s$, tak¾e minimální $st$-øez bude nejvý¹e tak velký jako~$C$.
-V~orientovaném grafu musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
-Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.
+Problém zjištění {\I stupně hranové souvislosti} grafu lze převést na problém hledání minimálního řezu,
+který již pro zadanou dvojici vrcholů umíme řešit pomocí Dinicova algoritmu v~čase $\O(n^{2/3}m)$.
+Pokud chceme najít minimum ze~všech řezů v~grafu, můžeme vyzkoušet všechny dvojice $(s,t)$.
+To vÅ¡ak lze snadno zrychlit, pokud si uvÄ\9bdomÃme, že jeden z~vrcholů (tÅ\99eba $s$) můžeme zvolit
+pevně: vezmeme-li libovolný řez $C$, pak jistě najdeme alespoň jedno~$t$, které padne
+do~jiné komponenty než pevně zvolené~$s$, takže minimální $st$-řez bude nejvýše tak velký jako~$C$.
+V~orientovaném grafu musíme projít jak řezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
+Algoritmus bude mÃt složitost $\O(n^{{5/3}}m)$.
-U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
-minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí jako
-$s$ postupnì zvolit více vrcholù, ne¾ je velikost minimálního separátoru. Algoritmus si tedy bude pamatovat, kolik
-vrcholù u¾ pro¹el a nejmen¹í zatím nalezený $st$-separátor, a jakmile poèet vrcholù pøekroèí velikost separátoru,
-prohlásí separátor za~minimální. To zvládne v~èase $\O(\kappa (G) \cdot n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je nalezený stupeò souvislosti~$G$.
+U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ovšem tak snadno nepůjde. Pokud by totiž fixovaný vrchol byl součástí nějakého
+minimálního separátoru, algoritmus může selhat. Přesto ale nemusíme procházet všechny dvojice vrcholů. Stačí jako
+$s$ postupně zvolit více vrcholů, než je velikost minimálního separátoru. Algoritmus si tedy bude pamatovat, kolik
+vrcholů už prošel a nejmenší zatím nalezený $st$-separátor, a jakmile počet vrcholů překročí velikost separátoru,
+prohlásí separátor za~minimální. To zvládne v~čase $\O(\kappa (G) \cdot n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je nalezený stupeň souvislosti~$G$.
-Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje následující rychlej¹í algoritmus:
+Pro minimální řezy v~neorientovaných grafech ovšem existuje následující rychlejší algoritmus:
-\h{Globálnì minimální øez (Nagamochi, Ibaraki \cite{nagaiba:conn})}
+\h{Globálně minimální řez (Nagamochi, Ibaraki \cite{nagaiba:conn})}
-Buï $G$ neorientovaný multigraf s~nezáporným ohodnocením hran. Oznaèíme si:
+Buď $G$ neorientovaný multigraf s~nezáporným ohodnocením hran. Označíme si:
-\s{Znaèení:}
+\s{Značení:}
\itemize\ibull
-\:$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu,
-\:$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q \subseteq V$,
-\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buï kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
-\:$d(v) = d(\{v\})$ buï kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeò~$v$),
+\:$r(u,v)$ buď kapacita minimálního $uv$-řezu,
+\:$d(P,Q)$ buÄ\8f kapacita hran vedoucÃch mezi množinami $P,Q \subseteq V$,
+\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buď kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
+\:$d(v) = d(\{v\})$ buď kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeň~$v$),
\:analogicky zavedeme $d(v,w)$ a $d(v,P)$.
\endlist
\s{Definice:}
-{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1 \ldots v_n$ takové, ¾e platí
-$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro ka¾dé $1 \leq i<j\leq n$.
+{\it Legálním uspořádáním vrcholů} (LU) budeme nazývat lineární uspořádání vrcholů $v_1 \ldots v_n$ takové, že platí
+$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro každé $1 \leq i<j\leq n$.
\s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.
-\proof Buï $C$ libovolný øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$.
-Doká¾eme, ¾e jeho velikost je alespoò~$d(v_n)$.
-Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
+\proof Buď $C$ libovolný řez oddělující $v_{n-1}$ a $v_n$.
+Dokážeme, že jeho velikost je alespoň~$d(v_n)$.
+Utvořme posloupnost vrcholů $u_i$ takto:
\algo
\:$u_0 := v_1$
-\:$u_i := v_j$ tak, ¾e $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou oddìleny øezem $C$ a $j$ je minimální takové.
-[Tedy $v_j$ je nejbli¾¹í vrchol na~druhé stranì øezu.]
+\:$u_i := v_j$ tak, že $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou odděleny řezem $C$ a $j$ je minimální takové.
+[Tedy $v_j$ je nejbližší vrchol na~druhé straně řezu.]
\endalgo
-Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï rovno $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo rovno $v_i$, pokud
-jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na~stranách opaèných. Z~toho dostáváme, ¾e $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
-v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_{i-1}=u_i$, a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_{i-1}=v_i$ a
-nerovnost plyne z~legálnosti uspoøádání.
+Každé $u_{i-1}$ je tedy buď rovno $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné straně řezu, nebo rovno $v_i$, pokud
+jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na~stranách opaÄ\8dných. Z~toho dostáváme, že $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
+v_{i-1}\},u_{i-1})$, protože buďto $u_{i-1}=u_i$, a pak je nerovnost splněna jako rovnost, nebo je $u_{i-1}=v_i$ a
+nerovnost plyne z~legálnosti uspořádání.
-Chceme ukázat, ¾e velikost na¹eho øezu~$C$ je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
-V¹imneme si, ¾e $\vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Hrany mezi $v_i$ a $u_i$ jsou toti¾ navzájem
-rùzné a ka¾dá z~nich je souèástí øezu~$C$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
+Chceme ukázat, že velikost našeho řezu~$C$ je alespoň taková, jako velikost řezu kolem vrcholu $v_n$.
+Všimneme si, že $\vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Hrany mezi $v_i$ a $u_i$ jsou totiž navzájem
+různé a každá z~nich je součástí řezu~$C$. Ukážeme, že pravá strana je alespoň $d(v_n)$:
$$\eqalign{
\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \cr
&\geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
}$$
\qed
-Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je alespoò tak velký jako jednoduchý øez skládající se jen z hran
-kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez
-$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ kontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální
-øez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$, a potom je øez
-kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme
-rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
-
-Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$, prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.
-
-Zde se hodí datová struktura, která doká¾e rychle hledat maxima a zvy¹ovat hodnoty prvkù,
-napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
-amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
-
-Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøihrádkové struktury. Budeme
-si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
-seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
-mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku bude znamenat pouze podívat se na
-první prvek seznamu a z nìj odebrat jeden vrchol, pøípadnì celý prvek ze seznamu
-odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
-malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
-\<DeleteMax> proto bude mít slo¾itost $\O(1)$, v¹echny \<Increase> dohromady $\O(m)$,
-jeliko¾ za~ka¾dou hranu pøeskakujeme maximálnì jednu pøihrádku, a celý algoritmus $\O(mn)$.
+Dokázali jsme, že libovolný řez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je alespoň tak velký jako jednoduchý řez skládající se jen z hran
+kolem~$v_n$. Když tedy sestavíme nějakou LU posloupnost vrcholů, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální řez
+$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následně vytvoříme graf $G'$, v němž $v_{n-1}$ a $v_n$ kontrahujeme. Rekurzivně najdeme minimální
+řez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální řez poté buďto odděluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$, a potom je řez
+kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neodděluje, a v takovém případě jej najdeme
+rekurzivně. Hledaný řez je tedy menší z rekurzivně nalezeného řezu a řezu kolem $v_n$.
+
+Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postačí hladově: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v)$, označme ji $z_v$. V každém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$, prohlásíme ho za $v_i$ a přepočítáme~$z_v$.
+
+Zde se hodí datová struktura, která dokáže rychle hledat maxima a zvyšovat hodnoty prvků,
+například Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~čase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
+amortizovaně. Celkem pak náš algoritmus bude mít složitost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
+
+Pokud jsou kapacity malá celá čísla, můžeme využít přihrádkové struktury. Budeme
+si udržovat obousměrný seznam zatím použitých hodnot $z_v$, každý prvek takového
+seznamu bude obsahovat vÅ¡echny vrcholy se spoleÄ\8dnou hodnotou $z_v$. Když budeme
+mít seznam seřazený, vybrání minimálního prvku bude znamenat pouze podívat se na
+první prvek seznamu a z něj odebrat jeden vrchol, případně celý prvek ze seznamu
+odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze přesunutí vrcholu o
+malý počet přihrádek, případně založení nové přihrádky na správném místě.
+\<DeleteMax> proto bude mít složitost $\O(1)$, všechny \<Increase> dohromady $\O(m)$,
+jelikož za~každou hranu přeskakujeme maximálně jednu přihrádku, a celý algoritmus $\O(mn)$.
\references
\bye
\def\st{$st$}
\def\rr{$r_1r_2$}
\def\GHT{GHT}
-\def\PGHT{ÈGHT}
+\def\PGHT{ČGHT}
\input ../sgr.tex
\prednaska{4}{Gomory-Hu Trees}{}
-Cílem této kapitoly je popsat datovou strukturu, která velice kompaktnì
-popisuje minimální $st$-øezy pro v¹echny dvojice vrcholù $s,t$ v~daném
-neorientovaném grafu. Tuto strukturu poprvé popsali Gomory a Hu v~èlánku \cite{gomoryhu}.
+Cílem této kapitoly je popsat datovou strukturu, která velice kompaktně
+popisuje minimální $st$-řezy pro všechny dvojice vrcholů $s,t$ v~daném
+neorientovaném grafu. Tuto strukturu poprvé popsali Gomory a Hu v~článku \cite{gomoryhu}.
-Zatím umíme nalézt minimální \st-øez pro zadanou dvojici vrcholù v~neorientovaném
-grafu v~èase $\tau=\O(n^{2/3}m)$ pro~jednotkové kapacity, $\O(n^2m)$ pro obecné.
-Nalézt minimální \st-øez pro ka¾dou dvojici vrcholù
-bychom tedy dokázali v~èase $\O(n^2\tau)$. Tento výsledek budeme
-chtít zlep¹it.
+Zatím umíme nalézt minimální \st-řez pro zadanou dvojici vrcholů v~neorientovaném
+grafu v~čase $\tau=\O(n^{2/3}m)$ pro~jednotkové kapacity, $\O(n^2m)$ pro obecné.
+Nalézt minimální \st-řez pro každou dvojici vrcholů
+bychom tedy dokázali v~čase $\O(n^2\tau)$. Tento výsledek budeme
+chtít zlepšit.
-\s{Znaèení:} Máme\li{} graf $(V,E)$ a $U\subseteq V$, $\d(U)$ znaèí hrany vedoucí
-mezi $U$ a $\overline U$, formálnì tedy $\d(U)=E \cap ((U \times \overline U) \cup (\overline U \times U))$.
-Kapacitu øezu $\d(W)$ budeme znaèit $d(W)$ a $r(s,t)$ bude kapacita nejmen¹ího \st-øezu.
+\s{Značení:} Máme\li{} graf $(V,E)$ a $U\subseteq V$, $\d(U)$ značí hrany vedoucí
+mezi $U$ a $\overline U$, formálně tedy $\d(U)=E \cap ((U \times \overline U) \cup (\overline U \times U))$.
+Kapacitu řezu $\d(W)$ budeme značit $d(W)$ a $r(s,t)$ bude kapacita nejmenšího \st-řezu.
-\s{Pozorování:} Minimální øez rozdìluje graf jen na~dvì komponenty (v¹imnìte si, ¾e pro
-separátory nic takového neplatí) a ka¾dý minimální øez je tím pádem v¾dy mo¾né zapsat jako $\d(W)$
-pro nìjakou mno¾inu $W\subset V$.
+\s{PozorovánÃ:} Minimálnà Å\99ez rozdÄ\9bluje graf jen na~dvÄ\9b komponenty (vÅ¡imnÄ\9bte si, že pro
+separátory nic takového neplatí) a každý minimální řez je tím pádem vždy možné zapsat jako $\d(W)$
+pro nÄ\9bjakou množinu $W\subset V$.
\h{Gomory-Hu Tree}
-\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný nezápornì ohodnocený graf $G=(V,E)$
-je strom $T=(V,F)$ takový, ¾e pro ka¾dou hranu $st\in F$ platí: Oznaèíme-li $K_1$ a $K_2$
-komponenty lesa $T\setminus st$, je $\d(K_1)=\d(K_2)$ minimální \st-øez.
-[Pozor, $F$ nemusí být podmno¾ina pùvodních hran $E$.]
+\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný nezáporně ohodnocený graf $G=(V,E)$
+je strom $T=(V,F)$ takový, že pro každou hranu $st\in F$ platí: Označíme-li $K_1$ a $K_2$
+komponenty lesa $T\setminus st$, je $\d(K_1)=\d(K_2)$ minimální \st-řez.
+[Pozor, $F$ nemusí být podmnožina původních hran $E$.]
-\s{Dal¹í znaèení:} Pro $e\in F$ budeme øezem $\d(e)$ oznaèovat øez $\d(K_1)=\d(K_2)$ a $r(e)$ bude jeho kapacita.
+\s{Další značení:} Pro $e\in F$ budeme řezem $\d(e)$ označovat řez $\d(K_1)=\d(K_2)$ a $r(e)$ bude jeho kapacita.
-\>K~èemu takový \GHT{} je (existuje-li)? To nám poví následující vìta:
+\>K~čemu takový \GHT{} je (existuje-li)? To nám poví následující věta:
-\s{Vìta (o~vyu¾ití \GHT):} Buï $T$ libovolný \GHT{} pro graf~$G$ a mìjme dva vrcholy $s$ a $t$. Dále
-nech» $P$ je cesta v~$T$ mezi vrcholy $s$ a $t$ a $e$ je hrana na cestì $P$ s~minimálním $r(e)$.
-Pak $\d(e)$ je minimální \st-øez v~$G$.
+\s{Věta (o~využití \GHT):} Buď $T$ libovolný \GHT{} pro graf~$G$ a mějme dva vrcholy $s$ a $t$. Dále
+nechť $P$ je cesta v~$T$ mezi vrcholy $s$ a $t$ a $e$ je hrana na cestě $P$ s~minimálním $r(e)$.
+Pak $\d(e)$ je minimální \st-řez v~$G$.
-\proof Nejprve si doká¾eme jedno drobné lemmátko:
+\proof Nejprve si dokážeme jedno drobné lemmátko:
{\advance\leftskip by 2em\advance\rightskip by 2em
-\s{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e:
+\s{Lemmátko:} Pro každou trojici vrcholů $x,y,z$ platÃ, že:
$$r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z)).$$
-\proof Buï $W$ minimální $xz$-øez.
+\proof Buď $W$ minimální $xz$-řez.
\fig{4-ght-rez.eps}{\epsfxsize}
-\noindent Vrchol $y$ musí být v~jedné z~komponent, Pokud je v~komponentì s~$x$, pak $r(y,z) \le d(W)$,
-proto¾e $\d(W)$ je také $yz$-øez. Pokud v~té druhé, analogicky platí $r(x,y) \le d(W)$.
+\noindent Vrchol $y$ musí být v~jedné z~komponent, Pokud je v~komponentě s~$x$, pak $r(y,z) \le d(W)$,
+protože $\d(W)$ je také $yz$-řez. Pokud v~té druhé, analogicky platí $r(x,y) \le d(W)$.
\qed
}
-\noindent Zpìt k~dùkazu vìty:
-Chceme dokázat, ¾e $\d(e)$ je minimální \st-øez. To, ¾e je to nìjaký øez, plyne z~definice \GHT.
-Minimalitu doká¾eme indukcí podle délky cesty $P$:
+\noindent Zpět k~důkazu věty:
+Chceme dokázat, že $\d(e)$ je minimální \st-řez. To, že je to nějaký řez, plyne z~definice \GHT.
+Minimalitu dokážeme indukcí podle délky cesty $P$:
\itemize\ibull
-\:$\vert\,P\,\vert = 1$: Hrana $e$ je v~tomto pøípadì pøímo $st$, tak¾e i minimalita plyne z~definice \GHT.
-\:$\vert\,P\,\vert > 1$: Cesta $P$ spojuje vrcholy $s$ a $t$, její první hranu oznaème $sx$.
-Na¹e právì dokázané lemmátko øíká, ¾e $r(s,t) \ge \min (r(s,x),r(x,t))$.
-Urèitì je pravda, ¾e $r(s,x) \ge r(e)$, proto¾e $e$ byla hrana cesty $P$ s~nejmen¹ím $r(e)$.
-To, ¾e $r(x,t) \ge r(e)$, plyne z~indukèního pøedpokladu, proto¾e cesta mezi $x$ a $t$
-je krat¹í ne¾ cesta $P$. Dostáváme tak, ¾e $r(s,t) \ge \min(r(s,x),r(x,t)) \ge r(e)$.
+\:$\vert\,P\,\vert = 1$: Hrana $e$ je v~tomto pÅ\99ÃpadÄ\9b pÅ\99Ãmo $st$, takže i minimalita plyne z~definice \GHT.
+\:$\vert\,P\,\vert > 1$: Cesta $P$ spojuje vrcholy $s$ a $t$, její první hranu označme $sx$.
+NaÅ¡e právÄ\9b dokázané lemmátko Å\99Ãká, že $r(s,t) \ge \min (r(s,x),r(x,t))$.
+Určitě je pravda, že $r(s,x) \ge r(e)$, protože $e$ byla hrana cesty $P$ s~nejmenším $r(e)$.
+To, že $r(x,t) \ge r(e)$, plyne z~indukÄ\8dnÃho pÅ\99edpokladu, protože cesta mezi $x$ a $t$
+je kratšà než cesta $P$. Dostáváme tak, že $r(s,t) \ge \min(r(s,x),r(x,t)) \ge r(e)$.
\qeditem
\endlist
-Pokud doká¾eme \GHT{} sestrojit, nalézt minimální \st-øez pro libovolnou dvojici vrcholù
-doká¾eme stejnì rychle jako nalézt hranu s~nejmen¹í kapacitou na cestì mezi $s$ a $t$ v~\GHT.
-K~tomu mù¾eme pou¾ít napøíklad Sleator-Tarjanovy stromy, které tuto operaci
-doká¾ou provést v~amortizovaném èase $\O(\log n)$, nebo mù¾eme vyu¾ít toho,
-¾e máme spoustu èasu na~pøedvýpoèet, a minimální hrany si pro ka¾dou dvojici
-prostì pøichystat pøedem. Také lze vymyslet redukci na problém nalezení spoleèného
-pøedchùdce vrcholù ve stromì (nebude to \GHT) a pou¾ít jedno z~øe¹ení tohoto problému.
+Pokud dokážeme \GHT{} sestrojit, nalézt minimální \st-řez pro libovolnou dvojici vrcholů
+dokážeme stejně rychle jako nalézt hranu s~nejmenší kapacitou na cestě mezi $s$ a $t$ v~\GHT.
+K~tomu můžeme použít například Sleator-Tarjanovy stromy, které tuto operaci
+dokážou provést v~amortizovaném čase $\O(\log n)$, nebo můžeme využít toho,
+že máme spoustu Ä\8dasu na~pÅ\99edvýpoÄ\8det, a minimálnà hrany si pro každou dvojici
+prostě přichystat předem. Také lze vymyslet redukci na problém nalezení společného
+předchůdce vrcholů ve stromě (nebude to \GHT) a použít jedno z~řešení tohoto problému.
\h{Konstrukce GHT}
-Nyní se nauèíme \GHT{} konstruovat, èím¾ také rozptýlíme obavy o~jejich existenci.
-Nejprve v¹ak budeme potøebovat jedno u¾iteèné lemma s~hnusnì technickým dùkazem:
+Nyní se naučíme \GHT{} konstruovat, čímž také rozptýlíme obavy o~jejich existenci.
+Nejprve však budeme potřebovat jedno užitečné lemma s~hnusně technickým důkazem:
-\s{Hnusnì technické lemma (HTL):} Buïte¾ $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-øez a $u\ne v$ dva rùzné
-vrcholy z~$U$. Pak existuje mno¾ina vrcholù $W \subseteq U$ taková, ¾e $\d(W)$ je minimální $uv$-øez.
-\foot{To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.}
+\s{Hnusně technické lemma (HTL):} Buďtež $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-řez a $u\ne v$ dva různé
+vrcholy z~$U$. Pak existuje množina vrcholů $W \subseteq U$ taková, že $\d(W)$ je minimální $uv$-řez.
+\foot{To důležité a netriviální je, že celá $W$ leží v~$U$.}
\fig{4-ght-htl.eps}{\epsfxsize}
-\proof Nech» je $\d(X)$ minimální $uv$-øez.
-BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e $s\in U$ a $t\not\in U$, $u\in X$ a $v\not\in X$ a $s\in X$.
-Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme vrcholy pøeznaèit nebo nìkterou z~mno¾in nahradit jejím doplòkem.
+\proof Nechť je $\d(X)$ minimální $uv$-řez.
+BÃ\9aNO můžeme pÅ\99edpokládat, že $s\in U$ a $t\not\in U$, $u\in X$ a $v\not\in X$ a $s\in X$.
+Pokud by tomu tak nebylo, můžeme vrcholy přeznačit nebo některou z~množin nahradit jejím doplňkem.
\checkroom{40pt}
-Nyní mohou nastat následující dva pøípady:\numlist\nalpha
+Nyní mohou nastat následující dva případy:\numlist\nalpha
\vbox to 0pt{\vskip 10pt\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-\:$t\not\in X$. Tehdy si v¹imneme, ¾e platí:
+\:$t\not\in X$. Tehdy si všimneme, že platí:
\hangindent=-14em\hangafter=-100
$$\eqalignno{
d(U \cup X) &\ge d(U),&(1) \cr
d(U \cap X) + d(U \cup X) &\le d(U) + d(X)&(2)}$$
-První nerovnost plyne z toho, ¾e $\d(U \cup X)$ je nìjaký \st-øez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-øez.
-Druhou doká¾eme rozborem pøípadù.
-
-Mno¾inu vrcholù si disjunktnì rozdìlíme na $X\setminus U$, $X \cap U$, $U \setminus X$ a $\<ostatní>$.
-Ka¾dý z~øezù vystupujících v~nerovnosti $(2)$ mù¾eme zapsat jako sjednocení hran mezi nìkterými
-z~tìchto skupin vrcholù.
-Vytvoøíme tedy tabulku hran mezi ètyømi oznaèenými skupinami vrcholù a ka¾dému
-øezu z~$(2)$ oznaèíme jemu odpovídající hrany. Proto¾e je graf neorientovaný,
-staèí nám jen horní trojúhelník tabulky.
-Pro pøehlednosti si oznaèíme $L_1=\d(U \cap X), L_2=\d(U \cup X), P_1=\d(U)$ a $P_2=\d(X)$.
-$$\matrix{&X\setminus U&X \cap U&U \setminus X&\<ostatní>\cr\noalign{\smallskip}
+První nerovnost plyne z toho, že $\d(U \cup X)$ je nějaký \st-řez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-řez.
+Druhou dokážeme rozborem případů.
+
+Množinu vrcholů si disjunktně rozdělíme na $X\setminus U$, $X \cap U$, $U \setminus X$ a $\<ostatní>$.
+Každý z~řezů vystupujících v~nerovnosti $(2)$ můžeme zapsat jako sjednocení hran mezi některými
+z~těchto skupin vrcholů.
+Vytvoříme tedy tabulku hran mezi čtyřmi označenými skupinami vrcholů a každému
+řezu z~$(2)$ označíme jemu odpovídající hrany. Protože je graf neorientovaný,
+stačí nám jen horní trojúhelník tabulky.
+Pro přehlednosti si označíme $L_1=\d(U \cap X), L_2=\d(U \cup X), P_1=\d(U)$ a $P_2=\d(X)$.
+$$\matrix{&X\setminus U&X \cap U&U \setminus X&\<ostatní>\cr\noalign{\smallskip}
X\setminus U&\hbox{---}&L_1,P_1&P_1,P_2&L_2,P_2\cr
X \cap U&&\hbox{---}&L_1,P_2&L_1,L_2,P_1,P_2\cr
U \setminus X&&&\hbox{---}&L_2,P_1\cr
-\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
+\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
}$$
-Vidíme, ¾e ke ka¾dé hranì øezu na levé stranì nerovnosti máme vpravo její protìj¹ek
-a navíc hrany mezi $U\setminus X$ a $X \setminus U$ poèítáme jenom vpravo. Nerovnost
-$(2)$ tedy platí.
+Vidíme, že ke každé hraně řezu na levé straně nerovnosti máme vpravo její protějšek
+a navíc hrany mezi $U\setminus X$ a $X \setminus U$ počítáme jenom vpravo. Nerovnost
+$(2)$ tedy platí.
-Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme: $$d(U \cap X) \le d(X),$$
-co¾ spolu s~obrázkem dokazuje, ¾e $\d(U \cap X)$ je také minimální $uv$-øez.
+Nyní stačí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odečíst, čímž získáme: $$d(U \cap X) \le d(X),$$
+což spolu s~obrázkem dokazuje, že $\d(U \cap X)$ je také minimální $uv$-řez.
\vbox to 0pt{\vskip 20pt\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-b.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-\:$t\in X$. Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Tentokrát se budou
+\:$t\in X$. Postupovat budeme obdobně jako v~předchozím případě. Tentokrát se budou
hodit tyto nerovnosti:
\hangindent=-14em\hangafter=-100
$$\eqalignno{d(X \setminus U) &\ge d(U)&(3)\cr
d(U \setminus X) + d(X \setminus U) &\le d(U) + d(X)&(4)}$$
-První platí proto, ¾e $\d(X \setminus U)$ je nìjaký \st-øez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-øez, druhou
-doká¾eme opìt dùkladným rozborem pøípadù.
+První platí proto, že $\d(X \setminus U)$ je nějaký \st-řez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-řez, druhou
+dokážeme opět důkladným rozborem případů.
-Oznaème $L_1=\d(U \setminus X), L_2=\d(X \setminus U), P_1=\d(U)$ a $P_2=\d(X)$ a vytvoøme tabulku:
-$$\matrix{&X\setminus U&X \cap U&U \setminus X&\<ostatní>\cr\noalign{\smallskip}
+Označme $L_1=\d(U \setminus X), L_2=\d(X \setminus U), P_1=\d(U)$ a $P_2=\d(X)$ a vytvořme tabulku:
+$$\matrix{&X\setminus U&X \cap U&U \setminus X&\<ostatní>\cr\noalign{\smallskip}
X\setminus U&\hbox{---}&L_2,P_1&L_1,L_2,P_1,P_2&L_2,P_2\cr
X \cap U&&\hbox{---}&L_1,P_2&P_1,P_2\cr
U \setminus X&&&\hbox{---}&L_1,P_1\cr
-\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
+\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
}$$
-Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme:
+Stejně jako v~předchozím případě nerovnost $(4)$ platí. Odečtením $(4)$ a $(3)$ získáme:
$$d(U \setminus X) \le d(X),$$
-z~èeho¾ opìt dostaneme, ¾e $\d(U \setminus X)$ je také minimální $uv$-øez.
+z~čehož opět dostaneme, že $\d(U \setminus X)$ je také minimální $uv$-řez.
\qeditem
\endlist
\bigskip
-\>Nyní se koneènì dostáváme ke konstrukci \GHT{}. Abychom mohli pou¾ívat
-indukci, zavedeme si trochu obecnìj¹í \GHT{}.
-
-\s{Definice:} Mìjme neorientovaný graf $(V,E)$. {\I Èásteèný Gomory-Hu Tree} (alias \PGHT{}) pro podmno¾inu vrcholù $R \subseteq V$ je dvojice $((R,F),C)$,
-kde $(R,F)$ je strom a mno¾ina $C=\{C(r) \;\vert\; r\in R\}$ je rozklad mno¾iny vrcholù $V$. Tento rozklad
-nám øíká, k~jakým vrcholùm \PGHT{} máme pøilepit které vrcholy pùvodního grafu.
-Navíc musí platit, ¾e:\numlist\ndotted
-\:$\forall r: r\in C(r)$, neboli ka¾dý vrchol \PGHT{} je pøilepen sám k~sobì, a
+\>Nyní se konečně dostáváme ke konstrukci \GHT{}. Abychom mohli používat
+indukci, zavedeme si trochu obecnější \GHT{}.
+
+\s{Definice:} Mějme neorientovaný graf $(V,E)$. {\I Částečný Gomory-Hu Tree} (alias \PGHT{}) pro podmnožinu vrcholů $R \subseteq V$ je dvojice $((R,F),C)$,
+kde $(R,F)$ je strom a množina $C=\{C(r) \;\vert\; r\in R\}$ je rozklad množiny vrcholů $V$. Tento rozklad
+nám říká, k~jakým vrcholům \PGHT{} máme přilepit které vrcholy původního grafu.
+NavÃc musà platit, že:\numlist\ndotted
+\:$\forall r: r\in C(r)$, neboli každý vrchol \PGHT{} je přilepen sám k~sobě, a
\:$\forall st \in F: \d\left(\bigcup_{r\in K_1} C(r)\right)=\d\left(\bigcup_{r\in K_2} C(r)\right)$
-je minimální \st-øez, kde $K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $(R,F) \setminus st$.
+je minimální \st-řez, kde $K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $(R,F) \setminus st$.
\endlist
-\s{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný nezápornì ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
+\s{Věta (o~existenci \PGHT{}):} Buď $(V,E)$ neorientovaný nezáporně ohodnocený graf. Pro každou podmnožinu vrcholů $R$
existuje \PGHT{}.
-\proof Doká¾eme indukcí podle velikosti mno¾iny $R$.\itemize\ibull
-\:$\vert R \vert = 1$: \PGHT{} má jediný vrchol $r\in R$ a $C(r)=V$.
-\:$\vert R \vert > 1$: Najdeme dvojici vrcholù $s,t\in R$ takovou, ¾e jejich minimální \st-øez $\d(W)$
-je nejmen¹í mo¾ný. Nyní vytvoøíme graf $G_1$ z~grafu $G$ kontrahováním
-v¹ech vrcholù mno¾iny~$W$ do~jednoho vrcholu, který oznaèíme~$v_1$, a vytvoøíme graf $G_2$ z~$G$ kontrahováním
-v¹ech vrcholù z~$\overline W$ do jednoho vrcholu $v_2$.\foot{
-Proè to dìláme \uv{tak slo¾itì} a pøidáváme do $G_1$ vrchol $v_1$? Na první pohled to pøeci vypadá zbyteènì.
-Problém je v~tom, ¾e i kdy¾ dle HTL le¾í v¹echny minimální øezy oddìlující vrcholy z~$W$ v~mno¾inì vrcholù
-$W$, \<hrany> tìchto øezù celé v~podgrafu indukovaném~$W$ le¾et nemusí. K~tìmto øezùm toti¾ patøí i hrany, které
-mají ve $W$ jenom jeden konec. Proto jsme do $G_1$ pøidali $v_1$ -- do~nìj vedou v¹echny zajímavé
-hrany, které mají ve $W$ jeden konec. Tím {\I zajímavé} myslíme to, ¾e z~ka¾dého vrcholu $w\in W$ vede
-do $v_1$ \<nejlevnìj¹í> hrana, která z~nìj vedla do mno¾iny $V\setminus W$, pøípadnì ¾ádná, pokud
-do této mno¾iny ¾ádná hrana nevedla.}
+\proof Dokážeme indukcà podle velikosti množiny $R$.\itemize\ibull
+\:$\vert R \vert = 1$: \PGHT{} má jediný vrchol $r\in R$ a $C(r)=V$.
+\:$\vert R \vert > 1$: Najdeme dvojici vrcholů $s,t\in R$ takovou, že jejich minimální \st-řez $\d(W)$
+je nejmenší možný. Nyní vytvoříme graf $G_1$ z~grafu $G$ kontrahováním
+všech vrcholů množiny~$W$ do~jednoho vrcholu, který označíme~$v_1$, a vytvoříme graf $G_2$ z~$G$ kontrahováním
+všech vrcholů z~$\overline W$ do jednoho vrcholu $v_2$.\foot{
+Proč to děláme \uv{tak složitě} a přidáváme do $G_1$ vrchol $v_1$? Na první pohled to přeci vypadá zbytečně.
+Problém je v~tom, že i když dle HTL leží všechny minimální řezy oddělující vrcholy z~$W$ v~množině vrcholů
+$W$, \<hrany> těchto řezů celé v~podgrafu indukovaném~$W$ ležet nemusí. K~těmto řezům totiž patří i hrany, které
+mají ve $W$ jenom jeden konec. Proto jsme do $G_1$ přidali $v_1$ -- do~něj vedou všechny zajímavé
+hrany, které mají ve $W$ jeden konec. Tím {\I zajímavé} myslíme to, že z~každého vrcholu $w\in W$ vede
+do $v_1$ \<nejlevnější> hrana, která z~něj vedla do množiny $V\setminus W$, případně žádná, pokud
+do této množiny žádná hrana nevedla.}
\fig{4-ght-g1g2-before.eps}{0.45\hsize}
\fig{4-ght-g1g2-after.eps}{0.9\hsize}
\finalfix{\bigskip}
-Dále vytvoøíme mno¾iny vrcholù $R_1=R \cap \overline W$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukèního
-pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
+Dále vytvoříme množiny vrcholů $R_1=R \cap \overline W$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukčního
+pÅ\99edpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou menÅ¡Ã než $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
pro $R_1$ na $G_1$ a $T_2=((R_2,F_2),C_2)$ pro $R_2$ na $G_2$.
-Nyní vytvoøíme \PGHT{} pro pùvodní graf. Oznaème $r_1$ ten vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C_1(r_1)$,
-a~obdobnì $r_2$. Oba \PGHT{} $T_1$ a $T_2$ spojíme hranou $r_1r_2$, tak¾e \PGHT{} pro $G$
-bude $T=((R_1 \cup R_2,F_1 \cup F_2 \cup {r_1r_2}),C)$. Tøídy rozkladu~$C$ zvolíme tak, ¾e pro $r\in R_1$ bude $C(r)=C_1(r)\setminus\{v_1\}$
+Nyní vytvoříme \PGHT{} pro původní graf. Označme $r_1$ ten vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C_1(r_1)$,
+a~obdobnÄ\9b $r_2$. Oba \PGHT{} $T_1$ a $T_2$ spojÃme hranou $r_1r_2$, takže \PGHT{} pro $G$
+bude $T=((R_1 \cup R_2,F_1 \cup F_2 \cup {r_1r_2}),C)$. TÅ\99Ãdy rozkladu~$C$ zvolÃme tak, že pro $r\in R_1$ bude $C(r)=C_1(r)\setminus\{v_1\}$
a pro $r\in R_2$ bude $C(r)=C_2(r)\setminus\{v_2\}$ [odebrali jsme vrcholy $v_1$ a $v_2$ z~rozkladu~$C$].
-Chceme ukázat, ¾e tento $T$ je opravdu \PGHT. $C$ je urèitì rozklad v¹ech vrcholù a ka¾dé
-$r\in C(r)$ z~indukèního pøedpokladu, tak¾e podmínka~1 je splnìna. Co se týèe podmínky~2, tak:
+Chceme ukázat, že tento $T$ je opravdu \PGHT. $C$ je určitě rozklad všech vrcholů a každé
+$r\in C(r)$ z~indukčního předpokladu, takže podmínka~1 je splněna. Co se týče podmínky~2, tak:
\itemize\ibull
-\:pro hranu \rr\ je $\d(W)$ urèitì minimální \rr-øez, proto¾e øez mezi $s$ a $t$ je souèasnì
-i \rr-øezem a je ze v¹ech mo¾ných minimálních øezù na $R$ nejmen¹í,
-\:pro hranu $e\ne r_1r_2$ je $\d(e)$ z~indukce minimální øez na jednom z~grafù $G_1$, $G_2$.
-Tento øez také pøesnì odpovídá øezu v~grafu~$G$, proto¾e v~$G_1$ i v~$G_2$ jsme poèítali
-s~hranami vedoucími do~$v_1$, $v_2$ a proto¾e jsme \PGHT{} napojili pøes vrcholy,
-k~nim¾ byly $v_1$ a $v_2$ pøilepeny.
-
-HTL nám navíc øíká, ¾e existuje minimální øez, který ¾ije pouze v~pøíslu¹ném z~grafù $G_1$, $G_2$,
-tak¾e nalezený øez je minimální pro celý graf $G$.
+\:pro hranu \rr\ je $\d(W)$ určitě minimální \rr-řez, protože řez mezi $s$ a $t$ je současně
+i \rr-řezem a je ze všech možných minimálních řezů na $R$ nejmenší,
+\:pro hranu $e\ne r_1r_2$ je $\d(e)$ z~indukce minimální řez na jednom z~grafů $G_1$, $G_2$.
+Tento řez také přesně odpovídá řezu v~grafu~$G$, protože v~$G_1$ i v~$G_2$ jsme počítali
+s~hranami vedoucími do~$v_1$, $v_2$ a protože jsme \PGHT{} napojili přes vrcholy,
+k~nimž byly $v_1$ a $v_2$ přilepeny.
+
+HTL nám navíc říká, že existuje minimální řez, který žije pouze v~příslušném z~grafů $G_1$, $G_2$,
+takže nalezený řez je minimální pro celý graf $G$.
\qeditem
\endlist
\endlist
-Nyní víme, ¾e \GHT{} existují, a také víme, jak by se daly konstruovat. Nicménì nalezení
-vrcholù $s,t$ tak, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný, je èasovì nároèné.
-Proto si poslední vìtu je¹tì o~nìco vylep¹íme.
+Nyní víme, že \GHT{} existují, a také víme, jak by se daly konstruovat. Nicméně nalezení
+vrcholů $s,t$ tak, aby byl minimální \st-řez nejmenší možný, je časově náročné.
+Proto si poslední větu ještě o~něco vylepšíme.
-\s{Vylep¹ení vìty o~existenci \PGHT{}:} Na zaèátku dùkazu není nutné hledat vrcholy $s$~a~$t$
-takové, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný. Staèí zvolit \<libovolné> vrcholy $s,t\in R$
-a zvolit $\d(W)$ jako minimální \st-øez.
+\s{Vylepšení věty o~existenci \PGHT{}:} Na začátku důkazu není nutné hledat vrcholy $s$~a~$t$
+takové, aby byl minimální \st-řez nejmenší možný. Stačí zvolit \<libovolné> vrcholy $s,t\in R$
+a zvolit $\d(W)$ jako minimální \st-řez.
-\proof Nejprve si uvìdomme, proè jsme v~pøedchozím dùkazu potøebovali, aby byl $\d(W)$ nejmen¹í ze v¹ech
-mo¾ných \st-øezù. Bylo to jenom proto, ¾e jsme jím v~\PGHT{} nakonec separovali vrcholy $r_1$ a $r_2$
-a potøebovali jsme záruku, aby byl $\d(W)$ opravdu minimální \rr-øez. Nyní musíme ukázat,
-¾e námi nalezený \st-øez $\d(W)$ je také minimálním \rr-øezem.
+\proof Nejprve si uvědomme, proč jsme v~předchozím důkazu potřebovali, aby byl $\d(W)$ nejmenší ze všech
+možných \st-řezů. Bylo to jenom proto, že jsme jím v~\PGHT{} nakonec separovali vrcholy $r_1$ a $r_2$
+a potřebovali jsme záruku, aby byl $\d(W)$ opravdu minimální \rr-řez. Nyní musíme ukázat,
+že námi nalezený \st-řez $\d(W)$ je také minimálním \rr-řezem.
-Pro spor tedy pøedpokládejme, ¾e nìjaký \rr-øez $\d(X)$ má men¹í kapacitu ne¾ $\d(W)$.
-Navíc vezmìme ten pøípad, kdy se to stalo \uv{poprvé}, tak¾e pro ka¾dé men¹í $R$ je
-v¹echno v~poøádku (to mù¾eme, proto¾e pro $\vert R \vert=1$ v¹echno v~poøádku bylo).
+Pro spor tedy pÅ\99edpokládejme, že nÄ\9bjaký \rr-Å\99ez $\d(X)$ má menÅ¡Ã kapacitu než $\d(W)$.
+Navíc vezměme ten případ, kdy se to stalo \uv{poprvé}, takže pro každé menší $R$ je
+všechno v~pořádku (to můžeme, protože pro $\vert R \vert=1$ všechno v~pořádku bylo).
-Proto¾e $\d(W)$ je minimální \st-øez a $\d(X)$ má men¹í kapacitu, $\d(X)$ nemù¾e separovat
-$s$ a $t$. Pøitom ale separuje $r_1$ a $r_2$, tak¾e musí separovat buï $s$ a $r_1$, nebo $t$ a $r_2$.
-BÚNO nech» $X$ separuje $s$ a $r_1$.
+Protože $\d(W)$ je minimálnà \st-Å\99ez a $\d(X)$ má menÅ¡Ã kapacitu, $\d(X)$ nemůže separovat
+$s$ a $t$. Přitom ale separuje $r_1$ a $r_2$, takže musí separovat buď $s$ a $r_1$, nebo $t$ a $r_2$.
+BÚNO nechť $X$ separuje $s$ a $r_1$.
\fig{4-ght-rezx.eps}{12cm}
-Podívejme se nyní na \PGHT{} $T_1$ (víme, ¾e ten je korektní) a naleznìme v~nìm nejlevnìj¹í hranu $e$ na cestì spojující $s$ a $r_1$.
-Tato hrana definuje øez $\d(U)$, co¾ je minimální $sr_1$-øez, podle HTL i v~celém~$G$. Proto¾e $\d(X)$ je $sr_1$-øez,
-je $d(U) \le d(X) < d(W)$. Teï si staèí uvìdomit, ¾e $v_1\in C(r_1)$, tak¾e $\d(U)$
-separuje nejenom $s$ a $r_1$, ale také $s$ a $v_1$. Tím pádem ale separuje také $s$ a $t$.
-To je spor, proto¾e $d(U) < d(W)$, a pøitom $\d(W)$ mìl být minimální.
+Podívejme se nyní na \PGHT{} $T_1$ (víme, že ten je korektní) a nalezněme v~něm nejlevnější hranu $e$ na cestě spojující $s$ a $r_1$.
+Tato hrana definuje řez $\d(U)$, což je minimální $sr_1$-řez, podle HTL i v~celém~$G$. Protože $\d(X)$ je $sr_1$-řez,
+je $d(U) \le d(X) < d(W)$. TeÄ\8f si staÄ\8dà uvÄ\9bdomit, že $v_1\in C(r_1)$, takže $\d(U)$
+separuje nejenom $s$ a $r_1$, ale také $s$ a $v_1$. Tím pádem ale separuje také $s$ a $t$.
+To je spor, protože $d(U) < d(W)$, a přitom $\d(W)$ měl být minimální.
\qed
-Teï u¾ doká¾eme \GHT{} konstruovat efektivnì -- v~ka¾dém kroku vybereme dva vrcholy $s$ a $t$,
-nalezneme v~èase $\O(\tau)$ minimální \st-øez a výsledné komponenty s~pøidanými $v_1,v_2$
-zpracujeme rekurzivnì. Celou výstavbu tedy zvládneme v~èase $\O(n\tau)$, èili $\O(n^{5/3}m)$
-pro neohodnocené grafy.
+Teď už dokážeme \GHT{} konstruovat efektivně -- v~každém kroku vybereme dva vrcholy $s$ a $t$,
+nalezneme v~čase $\O(\tau)$ minimální \st-řez a výsledné komponenty s~přidanými $v_1,v_2$
+zpracujeme rekurzivně. Celou výstavbu tedy zvládneme v~čase $\O(n\tau)$, čili $\O(n^{5/3}m)$
+pro neohodnocené grafy.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\prednaska{5}{Minimální kostry}{}
+\prednaska{5}{Minimální kostry}{}
\def\Tmin{T_{min}}
-\>Tato kapitola uvede problém minimální kostry, základní vìty o~kostrách a klasické
-algoritmy na~hledání minimálních koster. Budeme se inspirovat Tarjanovým pøístupem
-z~knihy~\cite{tarjan:dsna}. V¹echny grafy v~této kapitole budou neorientované multigrafy
+\>Tato kapitola uvede problém minimální kostry, základní věty o~kostrách a klasické
+algoritmy na~hledání minimálních koster. Budeme se inspirovat Tarjanovým přístupem
+z~knihy~\cite{tarjan:dsna}. Všechny grafy v~této kapitole budou neorientované multigrafy
a jejich hrany budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
-\h{Minimální kostry a jejich vlastnosti}
+\h{Minimální kostry a jejich vlastnosti}
\s{Definice:}
\itemize\ibull
-\:{\I Podgrafem} budeme v~této kapitole mínit libovolnou podmno¾inu hran, vrcholy
-v¾dy zùstanou zachovány.
-\:{\I Pøidání a odebrání hrany} budeme znaèit $T+e:=T\cup \{e\}$, $T-e:=T\setminus \{e\}$.
-\:{\I Kostra} (Spanning Tree) souvislého grafu $G$ je libovolný jeho podgraf, který je strom.
-Kostru nesouvislého grafu definujeme jako sjednocení koster jednotlivých komponent.
-[Alternativnì: kostra je minimální podgraf, který má komponenty s~tými¾ vrcholy
+\:{\I Podgrafem} budeme v~této kapitole mÃnit libovolnou podmnožinu hran, vrcholy
+vždy zůstanou zachovány.
+\:{\I Přidání a odebrání hrany} budeme značit $T+e:=T\cup \{e\}$, $T-e:=T\setminus \{e\}$.
+\:{\I Kostra} (Spanning Tree) souvislého grafu $G$ je libovolný jeho podgraf, který je strom.
+Kostru nesouvislého grafu definujeme jako sjednocení koster jednotlivých komponent.
+[AlternativnÄ\9b: kostra je minimálnà podgraf, který má komponenty s~týmiž vrcholy
jako komponenty~$G$.]
-\:{\I Váha} podgrafu $F\subseteq E$ je $w(F) := \sum_{e\in F} w(e)$.
-\:{\I Minimální kostra} (Minimum Spanning Tree, mezi pøáteli té¾ MST) budeme øíkat
-ka¾dé kostøe, její¾ váha je mezi v¹emi kostrami daného grafu minimální.
+\:{\I Váha} podgrafu $F\subseteq E$ je $w(F) := \sum_{e\in F} w(e)$.
+\:{\I Minimální kostra} (Minimum Spanning Tree, mezi přáteli též MST) budeme říkat
+každé kostře, jejíž váha je mezi všemi kostrami daného grafu minimální.
\endlist
-Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
-aby bylo váhy mo¾né sèítat. Uká¾eme, ¾e to není potøeba.
+Toto je sice standardnà definice MST, ale jinak je dosti nešikovná, protože vyžaduje,
+aby bylo váhy možné sčítat. Ukážeme, že to není potřeba.
\s{Definice:}
-Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak:
+Buď $T \subseteq G$ nějaká kostra grafu~$G$. Pak:
\itemize\ibull
-\:$T[x,y]$ bude znaèit cestu v~$T$, která spojuje $x$ a $y$. (Cestou opìt míníme mno¾inu hran.)
-\:$T[e]:=T[x,y]$ pro hranu $e=xy$. Této cestì budeme øíkat {\I cesta pokrytá hranou~$e$.}
-\:Hrana $e\in E \setminus T$ je {\I lehká vzhledem k~$T$} $\equiv \exists e^\prime \in T[e]: w(e)<w(e^\prime)$.
- Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
+\:$T[x,y]$ bude znaÄ\8dit cestu v~$T$, která spojuje $x$ a $y$. (Cestou opÄ\9bt mÃnÃme množinu hran.)
+\:$T[e]:=T[x,y]$ pro hranu $e=xy$. Této cestě budeme říkat {\I cesta pokrytá hranou~$e$.}
+\:Hrana $e\in E \setminus T$ je {\I lehká vzhledem k~$T$} $\equiv \exists e^\prime \in T[e]: w(e)<w(e^\prime)$.
+ Ostatním hranám neležícím v~kostře budeme říkat {\I těžké.}
\endlist
-\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
+\s{Věta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
-Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
-pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí lineární (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
-k~jejímu dùkazu, prozkoumejme nejdøíve, jak se dá mezi jednotlivými kostrami pøecházet.
+Tato věta nám dává pěknou alternativní definici MST, která místo sčítání vah váhy
+pouze porovnává, Ä\8dili jà mÃsto Ä\8dÃsel staÄ\8dà lineárnà (kvazi)uspoÅ\99ádánà na~hranách. Než se dostaneme
+k~jejímu důkazu, prozkoumejme nejdříve, jak se dá mezi jednotlivými kostrami přecházet.
\s{Definice:} Pro kostru~$T$ a hrany $e, e'$
-zaveïme $\<swap>(T,e,e^\prime) := T-e+e'$.
+zaveďme $\<swap>(T,e,e^\prime) := T-e+e'$.
-\s{Pozorování:}
-Pokud $e^\prime \not\in T$ a $e\in T[e^\prime]$, je $\<swap>(T,e,e^\prime)$ opìt kostra.
-Staèí si uvìdomit, ¾e pøidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kru¾nice (konkrétnì $T[e^\prime] + e^\prime$)
-a vynecháním libovolné hrany z~této kru¾nice získáme opìt kostru.
+\s{Pozorování:}
+Pokud $e^\prime \not\in T$ a $e\in T[e^\prime]$, je $\<swap>(T,e,e^\prime)$ opět kostra.
+Stačí si uvědomit, že přidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kružnice (konkrétně $T[e^\prime] + e^\prime$)
+a vynecháním libovolné hrany z~této kružnice získáme opět kostru.
-\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e',e)$}{\epsfxsize}
+\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e',e)$}{\epsfxsize}
-\figure{mst1.eps}{Jeden krok dùkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
+\figure{mst1.eps}{Jeden krok důkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
-\s{Lemma o~swapování:}
-Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
+\s{Lemma o~swapování:}
+Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ konečným počtem operací \<swap>.
\proof
-Pokud $T \ne T'$, musí existovat hrana $e' \in T'\setminus T$, proto¾e $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
-Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T'$, tak¾e existuje hrana
+Pokud $T \ne T'$, musà existovat hrana $e' \in T'\setminus T$, protože $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
+Kružnice $T[e']+e'$ nemůže být celá obsažena v~$T'$, takže existuje hrana
$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
pro kterou $\vert \check{T} \symdiff T' \vert = \vert T \symdiff T' \vert -2$.
-Po~koneèném poètu tìchto krokù tedy musíme dojít k~$T'$.
+Po~konečném počtu těchto kroků tedy musíme dojít k~$T'$.
\qed
-\s{Monotónní lemma o~swapování:}
-Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
-pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
+\s{Monotónní lemma o~swapování:}
+Je-li $T$ kostra, k~níž neexistují žádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
+pak lze od~$T$ k~$T'$ přejít posloupností swapů, při které váha kostry neklesá.
\proof
-Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
-Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e']\setminus T'$, musí
-$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bli¾¹í k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
-jeliko¾ $e'$ nemù¾e být lehká vzhledem k~$T$, tak¾e speciálnì $w(e')\ge w(e)$.
-
-Aby mohla indukce pokraèovat, potøebujeme je¹tì dokázat, ¾e ani k~nové kostøe neexistují
-lehké hrany v~$T'\setminus \check{T}$. K~tomu nám pomù¾e zvolit si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$ tu s~nejmen¹í vahou.
-Uva¾me nyní hranu~$f\in T'\setminus \check{T}$.
-Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou v~nové kostøe je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
-nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e'$. První pøípad je triviální,
-ve~druhém si staèí uvìdomit, ¾e $w(f)\ge w(e')$ a ostatní hrany na~$C$ jsou lehèí
-ne¾~$e'$.
+Podobně jako u~předchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
+Pokud zvolíme libovolně hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e']\setminus T'$, musí
+$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bližší k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
+jelikož $e'$ nemůže být lehká vzhledem k~$T$, takže speciálně $w(e')\ge w(e)$.
+
+Aby mohla indukce pokračovat, potřebujeme ještě dokázat, že ani k~nové kostře neexistují
+lehké hrany v~$T'\setminus \check{T}$. K~tomu nám pomůže zvolit si ze~všech možných hran~$e'$ tu s~nejmenší vahou.
+Uvažme nyní hranu~$f\in T'\setminus \check{T}$.
+Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou v~nové kostře je buďto původní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
+nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kružnice $T[e']+e'$. První případ je triviální,
+ve~druhém si stačí uvědomit, že $w(f)\ge w(e')$ a ostatní hrany na~$C$ jsou lehčí
+než~$e'$.
\qed
-\s{Dùkaz vìty:}
+\s{Důkaz věty:}
\itemize\ibull
-\:$\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
+\:$\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
-Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z~definice lehké hrany).
-Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je lehèí ne¾~$T$.
+Nechť $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z~definice lehké hrany).
+Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je lehÄ\8dà než~$T$.
\medskip
-\:K~$T$ neexistuje lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ je minimální.
+\:K~$T$ neexistuje lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ je minimální.
-Uva¾me nìjakou minimální kostru $\Tmin$ a pou¾ijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $\Tmin$. Z~nìj plyne $w(T)\le w(\Tmin)$,
+Uvažme nějakou minimální kostru $\Tmin$ a použijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $\Tmin$. Z~něj plyne $w(T)\le w(\Tmin)$,
a~tedy $w(T)=w(\Tmin)$.
\qeditem
\endlist
-\s{Vìta:}
-Jsou-li v¹echny váhy hran navzájem rùzné, je MST urèena jednoznaènì.
+\s{Věta:}
+Jsou-li všechny váhy hran navzájem různé, je MST určena jednoznačně.
\proof
-Máme-li dvì MST $T_1$ a $T_2$, neobsahují podle pøedchozí vìty lehké hrany, tak¾e podle monotónního
-lemmatu mezi nimi lze pøeswapovat bez poklesu váhy. Pokud jsou ale váhy rùzné, musí ka¾dé swapnutí
-ostøe zvý¹it váhu, a~proto k~¾ádnému nemohlo dojít.
+Máme-li dvě MST $T_1$ a $T_2$, neobsahují podle předchozí věty lehké hrany, takže podle monotónního
+lemmatu mezi nimi lze přeswapovat bez poklesu váhy. Pokud jsou ale váhy různé, musí každé swapnutí
+ostře zvýšit váhu, a~proto k~žádnému nemohlo dojít.
\qed
-\s{Poznámka:} Èasto se nám bude hodit, aby kostra, kterou hledáme, byla urèena jednoznaènì.
-Tehdy mù¾eme vyu¾ít pøedchozí vìty a váhy zmìnit o~vhodné epsilony, respektive kvaziuspoøádání
-roz¹íøit na~lineární uspoøádání.
+\s{Poznámka:} Často se nám bude hodit, aby kostra, kterou hledáme, byla určena jednoznačně.
+Tehdy můžeme využít předchozí věty a váhy změnit o~vhodné epsilony, respektive kvaziuspořádání
+rozšířit na~lineární uspořádání.
-\h{Èervenomodrý meta-algoritmus}
+\h{Červenomodrý meta-algoritmus}
-V¹echny tradièní algoritmy na~hledání MST lze popsat jako speciální pøípady následujícího
-meta-algoritmu. Rozeberme si tedy rovnou ten. Formulujeme ho pro pøípad, kdy jsou v¹echny
-váhy hran navzájem rùzné.
+Všechny tradiční algoritmy na~hledání MST lze popsat jako speciální případy následujícího
+meta-algoritmu. Rozeberme si tedy rovnou ten. Formulujeme ho pro případ, kdy jsou všechny
+váhy hran navzájem různé.
\s{Meta-algoritmus:}
\algo
-\:Na poèátku jsou v¹echny hrany bezbarvé.
-\:Dokud to lze, pou¾ijeme jedno z~následujících pravidel:
-\::{\I Modré pravidlo:} Vyber øez takový, ¾e jeho nejlehèí hrana není modrá,\foot{Za
-touto podmínkou nehledejte ¾ádná kouzla, je tu pouze proto, aby se algoritmus nemohl
-zacyklit neustálým provádìním pravidel, která nic nezmìní.} a obarvi ji na~modro.
-\::{\I Èervené pravidlo:} Vyber cyklus takový, ¾e jeho nejtì¾¹í hrana není èervená, a obarvi ji na~èerveno.
+\:Na počátku jsou všechny hrany bezbarvé.
+\:Dokud to lze, použijeme jedno z~následujících pravidel:
+\::{\I Modré pravidlo:} Vyber řez takový, že jeho nejlehčí hrana není modrá,\foot{Za
+touto podmínkou nehledejte žádná kouzla, je tu pouze proto, aby se algoritmus nemohl
+zacyklit neustálým prováděním pravidel, která nic nezmění.} a obarvi ji na~modro.
+\::{\I Červené pravidlo:} Vyber cyklus takový, že jeho nejtěžší hrana není červená, a obarvi ji na~červeno.
\endalgo
-\s{Vìta:}
-Pro Èervenomodrý meta-algoritmus spu¹tìný na~libovolném grafu s~hranami lineárnì uspoøádanými
-podle vah platí:
+\s{Věta:}
+Pro Červenomodrý meta-algoritmus spuštěný na~libovolném grafu s~hranami lineárně uspořádanými
+podle vah platí:
\algo
-\:V¾dy se zastaví.
-\:Po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené.
-\:Modøe obarvené hrany tvoøí minimální kostru.
+\:Vždy se zastaví.
+\:Po zastavení jsou všechny hrany obarvené.
+\:Modře obarvené hrany tvoří minimální kostru.
\endalgo
\proof
-Nejdøíve si doká¾eme nìkolik lemmat. Jeliko¾ hrany mají navzájem rùzné váhy,
-mù¾eme pøedpokládat, ¾e algoritmus má sestrojit jednu konkrétní minimální kostru~$\Tmin$.
+Nejdříve si dokážeme několik lemmat. Jelikož hrany mají navzájem různé váhy,
+můžeme předpokládat, že algoritmus má sestrojit jednu konkrétní minimální kostru~$\Tmin$.
-\s{Modré lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~modro, pak $e\in \Tmin$.
+\s{Modré lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~modro, pak $e\in \Tmin$.
-\proof Sporem: Hrana~$e$ byla omodøena jako nejlehèí hrana nìjakého øezu~$C$.
-Pokud $e\not\in \Tmin$, musí cesta $\Tmin[e]$ obsahovat nìjakou jinou
-hranu~$e'$ øezu~$C$. Jen¾e $e'$ je tì¾¹í ne¾~$e$, tak¾e operací $\<swap>(\Tmin,e',e)$
-získáme je¹tì lehèí kostru, co¾ není mo¾né.
+\proof Sporem: Hrana~$e$ byla omodřena jako nejlehčí hrana nějakého řezu~$C$.
+Pokud $e\not\in \Tmin$, musí cesta $\Tmin[e]$ obsahovat nějakou jinou
+hranu~$e'$ řezu~$C$. Jenže $e'$ je těžší než~$e$, takže operací $\<swap>(\Tmin,e',e)$
+získáme ještě lehčí kostru, což není možné.
\qed
-\figure{mst-rb.eps}{Situace v~dùkazu Modrého a Èerveného lemmatu}{\epsfxsize}
+\figure{mst-rb.eps}{Situace v~důkazu Modrého a Červeného lemmatu}{\epsfxsize}
-\s{Èervené lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~èerveno,
+\s{Červené lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~červeno,
pak $e\not\in \Tmin$.
-\proof Opìt sporem: Pøedpokládejme, ¾e~$e$ byla obarvena èervenì jako nejtì¾¹í na~nìjaké kru¾nici~$C$
-a ¾e $e\in \Tmin$. Odebráním~$e$ se nám $\Tmin$ rozpadne na~dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
-Nìkteré vrcholy kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$, ostatní do~$T_y$. Na~$C$ ale musí
-existovat nìjaká hrana $e'\ne e$, její¾ krajní vrcholy le¾í v~rùzných komponentách,
-a~jeliko¾ hrana~$e$ byla na~kru¾nici nejtì¾¹í, je $w(e') < w(e)$. Pomocí $\<swap>(\Tmin,e,e')$
-proto získáme lehèí kostru, a~to je spor.
+\proof OpÄ\9bt sporem: PÅ\99edpokládejme, že~$e$ byla obarvena Ä\8dervenÄ\9b jako nejtÄ\9bžšà na~nÄ\9bjaké kružnici~$C$
+a že $e\in \Tmin$. Odebráním~$e$ se nám $\Tmin$ rozpadne na~dvě komponenty $T_x$ a $T_y$.
+Některé vrcholy kružnice připadnou do komponenty $T_x$, ostatní do~$T_y$. Na~$C$ ale musí
+existovat nějaká hrana $e'\ne e$, jejíž krajní vrcholy leží v~různých komponentách,
+a~jelikož hrana~$e$ byla na~kružnici nejtěžší, je $w(e') < w(e)$. Pomocí $\<swap>(\Tmin,e,e')$
+proto získáme lehčí kostru, a~to je spor.
\qed
-\s{Bezbarvé lemma:} Pokud existuje nìjaká neobarvená hrana, lze je¹tì pou¾ít nìkteré
+\s{Bezbarvé lemma:} Pokud existuje nějaká neobarvená hrana, lze ještě použít některé
z~pravidel.
-\proof Nech» existuje hrana~$e=xy$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si $M$ mno¾inu vrcholù,
-do~nich¾ se lze z~$x$ dostat po~modrých hranách. Nyní mohou nastat dvì mo¾nosti:
+\proof Nechť existuje hrana~$e=xy$, která je stále bezbarvá. Označíme si $M$ množinu vrcholů,
+do~nichž se lze z~$x$ dostat po~modrých hranách. Nynà mohou nastat dvÄ\9b možnosti:
\itemize\ibull
-\:$y \in M$ (tj. existuje modrá cesta z~$x$ do~$y$): Modrá cesta je v~minimální kostøe a k~minimální kostøe
-neexistují ¾ádné lehké hrany, tak¾e hrana $e$ je nejdra¾¹í na~cyklu tvoøeném modrou cestou a~touto hranou
-a mohu na ni pou¾ít èervené pravidlo.
+\:$y \in M$ (tj. existuje modrá cesta z~$x$ do~$y$): Modrá cesta je v~minimální kostře a k~minimální kostře
+neexistují žádné lehké hrany, takže hrana $e$ je nejdražší na~cyklu tvořeném modrou cestou a~touto hranou
+a mohu na ni použít červené pravidlo.
-\figure{mst-bez.eps}{Situace v~dùkazu Bezbarvého lemmatu}{\epsfxsize}
+\figure{mst-bez.eps}{Situace v~důkazu Bezbarvého lemmatu}{\epsfxsize}
-\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany, tak¾e na~tento øez
-mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
+\:$y \notin M$: Tehdy řez $\delta(M)$ neobsahuje žádné modré hrany, takže na~tento řez
+můžeme použít modré pravidlo.
\qeditem
\endlist
-\ss{Dùkaz vìty:}
+\ss{Důkaz věty:}
\itemize\ibull
-\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme. Ka¾dým krokem pøibude
- alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus po~nejvý¹e $m$~krocích zastaví.
-\:{\I Obarví v¹e:} Pokud existuje alespoò jedna neobarvená hrana, pak podle bezbarvého lemmatu algoritmus pokraèuje.
-\:{\I Najde modrou MST:} Podle èerveného a modrého lemmatu le¾í v~$\Tmin$ právì modré hrany.
+\:{\I Zastaví se:} Z~červeného a modrého lemmatu plyne, že žádnou hranu nikdy nepřebarvíme. Každým krokem přibude
+ alespoň jedna obarvená hrana, takže se algoritmus po~nejvýše $m$~krocích zastaví.
+\:{\I Obarví vše:} Pokud existuje alespoň jedna neobarvená hrana, pak podle bezbarvého lemmatu algoritmus pokračuje.
+\:{\I Najde modrou MST:} Podle červeného a modrého lemmatu leží v~$\Tmin$ právě modré hrany.
\qeditem
\endlist
-\s{Poznámka:}
-Èervené a modré pravidlo jsou v~jistém smyslu duální. Pro rovinné grafy je na~sebe pøevede obyèejná rovinná
-dualita (staèí si uvìdomit, ¾e kostra duálního grafu je komplement duálu kostry primárního grafu), obecnìji
-je to dualita mezi matroidy, která prohazuje øezy a cykly.
+\s{Poznámka:}
+Červené a modré pravidlo jsou v~jistém smyslu duální. Pro rovinné grafy je na~sebe převede obyčejná rovinná
+dualita (stačí si uvědomit, že kostra duálního grafu je komplement duálu kostry primárního grafu), obecněji
+je to dualita mezi matroidy, která prohazuje řezy a cykly.
-\h{Klasické algoritmy na hledání MST}
+\h{Klasické algoritmy na hledání MST}
-\ss{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
-v¹ech ostatních hladových algoritmù, tak mu tu èest pøejme.}}
+\ss{Kruskalův neboli Hladový:\foot{\rm Možná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradědečkem
+všech ostatních hladových algoritmů, tak mu tu čest přejme.}}
\algo
-\:Setøídíme hrany podle vah vzestupnì.
-\:Zaèneme s~prázdnou kostrou (ka¾dý vrchol je v~samostatné komponentì souvislosti).
-\:Bereme hrany ve vzestupném poøadí.
-\::Pro ka¾dou hranu $e$ se podíváme, zda spojuje dvì rùzné komponenty -- pokud ano, pøidáme ji do~kostry,
- jinak ji zahodíme.
+\:Setřídíme hrany podle vah vzestupně.
+\:Začneme s~prázdnou kostrou (každý vrchol je v~samostatné komponentě souvislosti).
+\:Bereme hrany ve vzestupném pořadí.
+\::Pro každou hranu $e$ se podíváme, zda spojuje dvě různé komponenty -- pokud ano, přidáme ji do~kostry,
+ jinak ji zahodíme.
\endalgo
-Èervenomodrý pohled: pìstujeme modrý les. Pokud hrana spojuje dva stromeèky, je~urèitì minimální v~øezu mezi
-jedním ze~stromeèkù a zbytkem grafu (ostatní hrany tého¾ øezu jsme je¹tì nezpracovali). Pokud nespojuje,
-je maximální na~nìjakém cyklu tvoøeném touto hranou a nìjakými døíve pøidanými.
+Červenomodrý pohled: pěstujeme modrý les. Pokud hrana spojuje dva stromečky, je~určitě minimální v~řezu mezi
+jedním ze~stromečků a zbytkem grafu (ostatní hrany téhož řezu jsme ještě nezpracovali). Pokud nespojuje,
+je maximální na~nějakém cyklu tvořeném touto hranou a nějakými dříve přidanými.
-Potøebujeme èas $\O(m \log n)$ na~setøídìní hran a dále datovou strukturu pro udr¾ování komponent souvislosti
-(Union-Find Problem), se~kterou provedeme $m$~operací \<Find> a $n$ operací \<Union>. Nejlep¹í známá implementace
-této struktury dává slo¾itost obou operací $\O(\alpha(n))$ amortizovanì, tak¾e celkovì hladový algoritmus
-dobìhne v~èase $\O(m \log n + m \alpha(n))$.
+Potřebujeme čas $\O(m \log n)$ na~setřídění hran a dále datovou strukturu pro udržování komponent souvislosti
+(Union-Find Problem), se~kterou provedeme $m$~operací \<Find> a $n$ operací \<Union>. Nejlepší známá implementace
+této struktury dává složitost obou operací $\O(\alpha(n))$ amortizovaně, takže celkově hladový algoritmus
+doběhne v~čase $\O(m \log n + m \alpha(n))$.
-\ss{Borùvkùv:}
+\ss{Borůvkův:}
-Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
-a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
-tím nevznikne.
+Opět si budeme pěstovat modrý les, avšak tentokrát jej budeme rozšiřovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke každému stromečku nejlevnější incidentní hranu
+a všechny tyto nalezené hrany naráz přidáme (aplikujeme několik modrých pravidel najednou). Pokud jsou všechny váhy různé, cyklus
+tím nevznikne.
-Poèet stromeèkù klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
-implementujeme lineárním prùchodem celého grafu, dostaneme slo¾itost $\O(m\log n)$.
-Mimo to lze ka¾dou fázi výteènì paralelizovat.
+Počet stromečků klesá exponenciálně $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud každou fázi
+implementujeme lineárnÃm průchodem celého grafu, dostaneme složitost $\O(m\log n)$.
+Mimo to lze každou fázi výtečně paralelizovat.
-\ss{Jarníkùv:}
+\ss{Jarníkův:}
-Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~ka¾dém
-okam¾iku nalezneme nejlevnìj¹í hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a pøidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
-hrany vedoucí uvnitø stromu prùbì¾nì zahazujeme (èervené pravidlo). Kroky opakujeme, dokud se strom nerozroste pøes v¹echny vrcholy.
-Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
+Jarníkův algoritmus je podobný Borůvkovi, ale s tím rozdílem, že nenecháme růst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~každém
+okamžiku nalezneme nejlevnější hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a přidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
+hrany vedoucí uvnitř stromu průběžně zahazujeme (červené pravidlo). Kroky opakujeme, dokud se strom nerozroste přes všechny vrcholy.
+Při šikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme časové složitosti $\O(m\log n)$, v~příští kapitole ukážeme implementaci ještě šikovnější.
-\s{Cvièení:}
-Naleznìte jednoduchý algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$
+\s{Cvičení:}
+Nalezněte jednoduchý algoritmus pro výpočet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se složitostí $\O(mk)$
nebo dokonce~$\O(m+nk)$.
\references
\input ../sgr.tex
-\prednaska{6}{Rychlej¹í algoritmy na minimální kostry}{}
+\prednaska{6}{Rychlejší algoritmy na minimální kostry}{}
-V~této kapitole popí¹eme nìkolik pokroèilej¹ích algoritmù pro problém minimální
-kostry. Vesmìs to budou rùzná vylep¹ení klasických algoritmù z~minulé kapitoly.
+V~této kapitole popíšeme několik pokročilejších algoritmů pro problém minimální
+kostry. Vesměs to budou různá vylepšení klasických algoritmů z~minulé kapitoly.
-\h{Upravená verze Borùvkova algoritmu pro rovinné grafy}
+\h{Upravená verze Borůvkova algoritmu pro rovinné grafy}
-Vyjdeme z my¹lenky, ¾e mù¾eme po ka¾dém kroku pùvodního Borùvkova algoritmu vzniklé komponenty
-souvislosti grafu kontrahovat do jednoho vrcholu a tím získat men¹í graf, který mù¾eme
-znovu rekurzivnì zmen¹ovat. To funguje obecnì, ale uká¾eme, ¾e pro rovinné grafy tak dosáhneme
-lineární èasové slo¾itosti.
+Vyjdeme z myšlenky, že můžeme po každém kroku původního Borůvkova algoritmu vzniklé komponenty
+souvislosti grafu kontrahovat do jednoho vrcholu a tÃm zÃskat menÅ¡Ã graf, který můžeme
+znovu rekurzivně zmenšovat. To funguje obecně, ale ukážeme, že pro rovinné grafy tak dosáhneme
+lineárnà Ä\8dasové složitosti.
-\s{Pozorování:}
-Pokud $F \subseteq {\rm MST}(G)$ (kde ${\rm MST}(G)$ je minimální kostra grafu~$G$), $G'$~je graf vzniklý
-z~$G$ kontrakcí podél hran z~$F$, pak kostra grafu~$G$, která vznikne z~${\rm MST}(G')$ zpìtným
-expandováním kontrahovaných vrcholù, je ${\rm MST}(G)$. Pokud kontrakcí vzniknou
-smyèky, mù¾eme je ihned odstraòovat; pokud paralelní hrany, ponecháme z~nich v¾dy tu nejlehèí.
-To nás vede k následujícímu algoritmu:
+\s{Pozorování:}
+Pokud $F \subseteq {\rm MST}(G)$ (kde ${\rm MST}(G)$ je minimální kostra grafu~$G$), $G'$~je graf vzniklý
+z~$G$ kontrakcí podél hran z~$F$, pak kostra grafu~$G$, která vznikne z~${\rm MST}(G')$ zpětným
+expandováním kontrahovaných vrcholů, je ${\rm MST}(G)$. Pokud kontrakcí vzniknou
+smyčky, můžeme je ihned odstraňovat; pokud paralelní hrany, ponecháme z~nich vždy tu nejlehčí.
+To nás vede k následujícímu algoritmu:
-\s{Algoritmus: MST v rovinných grafech} \cite{mm:mst}
+\s{Algoritmus: MST v rovinných grafech} \cite{mm:mst}
\algo
-\:Ke ka¾dému vrcholu najdeme nejlevnìj¹í incidentní hranu -- dostaneme mno¾inu hran $F \subseteq E$.
-\:Graf kontrahujeme podle $F$ následovnì:
-\::Prohledáme do ¹íøky graf $(V, F)$ a pøiøadíme ka¾dému vrcholu èíslo komponenty, v~ní¾ se nachází.
-\::Pøeèíslujeme hrany v~$G$ podle èísel komponent.
-\:Odstraníme násobné hrany:
-\::Setøídíme hrany lexikograficky pøihrádkovým tøídìním (násobné hrany jsou nyní pospolu).
-\::Projdeme posloupnost hran a z~ka¾dého úseku multihran odstraníme v¹echny a¾ na nejlevnìj¹í hranu.
-Také odstraníme smyèky.
-\:Pokud stále máme netriviální graf, opakujeme pøedchozí kroky.
-\:Vrátíme jako MST v¹echny hrany, které se v~prùbìhu algoritmu dostaly do~$F$.
+\:Ke každému vrcholu najdeme nejlevnÄ\9bjÅ¡Ã incidentnà hranu -- dostaneme množinu hran $F \subseteq E$.
+\:Graf kontrahujeme podle $F$ následovně:
+\::Prohledáme do šířky graf $(V, F)$ a přiřadíme každému vrcholu číslo komponenty, v~níž se nachází.
+\::Přečíslujeme hrany v~$G$ podle čísel komponent.
+\:Odstraníme násobné hrany:
+\::Setřídíme hrany lexikograficky přihrádkovým tříděním (násobné hrany jsou nyní pospolu).
+\::Projdeme posloupnost hran a z~každého úseku multihran odstraníme všechny až na nejlevnější hranu.
+Také odstraníme smyčky.
+\:Pokud stále máme netriviální graf, opakujeme předchozí kroky.
+\:Vrátíme jako MST všechny hrany, které se v~průběhu algoritmu dostaly do~$F$.
\endalgo
-\s{Èasová slo¾itost:}
-Oznaème si $n_i$ a $m_i$ poèet vrcholù a hran na~poèátku $i$-té iterace.
-Ka¾dý z~krokù 1--7 trvá $\O(m_i)$, proto i celý cyklus algoritmu trvá $\O(m_i)$.
-Poèet vrcholù grafu klesá s~ka¾dým cyklem exponenciálnì: $n_i \leq n / 2^i$.
-Na~zaèátku ka¾dého cyklu je graf rovinný (kontrakcí hrany v~rovinném grafu se rovinnost
-zachovává) a není to multigraf, tak¾e poèet jeho hran je lineární v poètu vrcholù:
-$m_i < 3n_i$. Celkovou èasovou slo¾itost dostaneme jako souèet dob trvání
-v¹ech cyklù: $\O(\sum_i m_i) = \O(\sum_i n_i) = \O(n)$.
+\s{Ä\8casová složitost:}
+Označme si $n_i$ a $m_i$ počet vrcholů a hran na~počátku $i$-té iterace.
+Každý z~kroků 1--7 trvá $\O(m_i)$, proto i celý cyklus algoritmu trvá $\O(m_i)$.
+Počet vrcholů grafu klesá s~každým cyklem exponenciálně: $n_i \leq n / 2^i$.
+Na~začátku každého cyklu je graf rovinný (kontrakcí hrany v~rovinném grafu se rovinnost
+zachovává) a není to multigraf, takže počet jeho hran je lineární v počtu vrcholů:
+$m_i < 3n_i$. Celkovou časovou složitost dostaneme jako součet dob trvání
+všech cyklů: $\O(\sum_i m_i) = \O(\sum_i n_i) = \O(n)$.
-\h{Minorovì uzavøené tøídy}
+\h{Minorově uzavřené třídy}
-Pøedchozí algoritmus ve~skuteènosti funguje v~lineárním èase i pro obecnìj¹í tøídy grafù,
-ne¾ jsou grafy rovinné. Tím správným universem jsou minorovì uzavøené tøídy:
+Předchozí algoritmus ve~skutečnosti funguje v~lineárním čase i pro obecnější třídy grafů,
+než jsou grafy rovinné. Tím správným universem jsou minorově uzavřené třídy:
\s{Definice:}
-Graf $H$ je {\I minorem} grafu $G$ (znaèíme $H \preceq G$), pokud lze $H$ získat z~$G$
-mazáním vrcholù èi hran a kontrahováním hran (s~odstranìním smyèek a násobných hran).
+Graf $H$ je {\I minorem} grafu $G$ (značíme $H \preceq G$), pokud lze $H$ získat z~$G$
+mazáním vrcholů či hran a kontrahováním hran (s~odstraněním smyček a násobných hran).
-\s{Pozorování:}
-Relace $\preceq$ je èásteèné uspoøádání na tøídì v¹ech grafù
-(reflexivita a tranzitivita plynou pøímo z~definice, pro antisymetrii si staèí
-v¹imnout, ¾e jak mazáním, tak kontrakcemi klesá souèet poètu vrcholù s~poètem hran).
+\s{Pozorování:}
+Relace $\preceq$ je částečné uspořádání na třídě všech grafů
+(reflexivita a tranzitivita plynou přímo z~definice, pro antisymetrii si stačí
+všimnout, že jak mazáním, tak kontrakcemi klesá součet počtu vrcholů s~počtem hran).
-\s{Pozorování:}
-Pokud je graf~$H$ podgrafem grafu~$G$, pak je také jeho minorem.
-Opaènì to neplatí: napøíklad $C_3$ je minorem libovolné del¹í kru¾nice,
-ale urèitì ne jejím podgrafem.
+\s{Pozorování:}
+Pokud je graf~$H$ podgrafem grafu~$G$, pak je také jeho minorem.
+OpaÄ\8dnÄ\9b to neplatÃ: napÅ\99Ãklad $C_3$ je minorem libovolné delÅ¡Ã kružnice,
+ale určitě ne jejím podgrafem.
\s{Definice:}
-Tøída grafù $\cal C$ je {\I minorovì uzavøená,} pokud kdykoliv $G\in {\cal C}$
-a $H\preceq G$, platí také $H \in {\cal C}$.
+Třída grafů $\cal C$ je {\I minorově uzavřená,} pokud kdykoliv $G\in {\cal C}$
+a $H\preceq G$, platí také $H \in {\cal C}$.
-\s{Pøíklady:}
-Tøída v¹ech grafù a prázdná tøída jsou jistì minorovì uzavøené. Tìm øíkáme {\I triviální}
-tøídy. Mezi ty netriviální patøí tøeba lesy, rovinné grafy, grafy nakreslitelné na dal¹í
-plochy, grafy nakreslitelné do ${\bb R}^3$ tak, ¾e ¾ádná kru¾nice netvoøí uzel.
+\s{Příklady:}
+Třída všech grafů a prázdná třída jsou jistě minorově uzavřené. Těm říkáme {\I triviální}
+třídy. Mezi ty netriviální patří třeba lesy, rovinné grafy, grafy nakreslitelné na další
+plochy, grafy nakreslitelné do ${\bb R}^3$ tak, že žádná kružnice netvoří uzel.
\def\Forb{{\rm Forb}}
\s{Definice:}
-Pro tøídu grafù ${\cal C}$ definujeme $\Forb({\cal C})$ jako tøídu v¹ech grafù,
-jejich¾ minorem není ¾ádný graf z~${\cal C}$. Pro zjednodu¹ení znaèení budeme pro
-koneèné tøídy psát $\Forb(G_1,\ldots,G_k)$ namísto $\Forb(\{G_1,\ldots,G_k\})$.
-
-\s{Pøíklady:}
-$\Forb(K_2)$ je tøída v¹ech grafù, které neobsahují ¾ádnou hranu.
-$\Forb(C_3)$ je tøída v¹ech lesù.
-$\Forb(K_5,K_{3,3})$ jsou v¹echny rovinné grafy -- to je minorová analogie
-Kuratowského vìty (pokud graf~$G$ obsahuje dìlení grafu~$H$, pak je $H\preceq G$;
-opaènì to obecnì není pravda, ale zrovna pro dvojici $K_5$ a $K_{3,3}$ to funguje;
+Pro třídu grafů ${\cal C}$ definujeme $\Forb({\cal C})$ jako třídu všech grafů,
+jejichž minorem není žádný graf z~${\cal C}$. Pro zjednodušení značení budeme pro
+konečné třídy psát $\Forb(G_1,\ldots,G_k)$ namísto $\Forb(\{G_1,\ldots,G_k\})$.
+
+\s{Příklady:}
+$\Forb(K_2)$ je třída všech grafů, které neobsahují žádnou hranu.
+$\Forb(C_3)$ je třída všech lesů.
+$\Forb(K_5,K_{3,3})$ jsou všechny rovinné grafy -- to je minorová analogie
+Kuratowského věty (pokud graf~$G$ obsahuje dělení grafu~$H$, pak je $H\preceq G$;
+opačně to obecně není pravda, ale zrovna pro dvojici $K_5$ a $K_{3,3}$ to funguje;
zkuste si sami).
-Lze ka¾dou minorovì uzavøenou tøídu~${\cal C}$ zapsat jako $\Forb({\cal F})$
-pro nìjakou tøídu~${\cal F}$ zakázaných minorù? Zajisté ano, staèí napøíklad
-zvolit~${\cal F}$ jako doplnìk tøídy~${\cal C}$. Slavná Robertsonova-Seymourova
-vìta \cite{rs:wagner} dokonce zaruèuje existenci {\I koneèné} tøídy zakázaných minorù.
-To není samo sebou, dokazuje se to dosti obtí¾nì (a~je to jedna z~nejslavnìj¹ích kombinatorických
-vìt za~posledních mnoho let), ale plyne z~toho spousta zajímavých dùsledkù.
-My si vystaèíme s~daleko jednodu¹¹ími prostøedky a zájemce o~hlub¹í studium minorové
-teorie odká¾eme na Diestelovu knihu~\cite{diestel:gt}.
-
-Ve~zbytku této sekce doká¾eme následující vìtu, která je zobecnìním klasického
-tvrzení o~hustotì rovinných grafù na minorovì uzavøené tøídy:
-
-\s{Definice:} {\I Hustotou} neprázdného grafu~$G$ nazveme $\varrho(G) = \vert E(G) \vert
-/ \vert V(G) \vert$. Hustotou tøídy $\varrho({\cal C})$ pak nazveme supremum z~hustot v¹ech
-neprázdných grafù le¾ících v~této tøídì.
-
-\s{Vìta (o hustotì minorovì uzavøených tøíd):}
-Pokud je tøída grafù $\cal C$ minorovì uzavøená a netriviální (alespoò jeden graf v~ní le¾í
-a alespoò jeden nele¾í), pak má koneènou hustotu.
-
-\s{Dùsledek:}
-Pokud pou¾íváme kontrahující Borùvkùv algoritmus na grafy le¾ící v~nìjaké netriviální
-minorovì uzavøené tøídì, pak v¹echny grafy, které algoritmus v~prùbìhu výpoètu sestrojí,
-le¾í také v~této tøídì, tak¾e na odhad jejich hustoty mù¾eme pou¾ít pøedchozí vìtu.
-Opìt vyjde, ¾e èasová slo¾itost algoritmu je lineární.
-
-\>{\I Dùkaz vìty:}
-Uká¾eme nejprve, ¾e pro ka¾dou tøídu $\cal C$ existuje nìjaké~$k$ takové, ¾e
+Lze každou minorově uzavřenou třídu~${\cal C}$ zapsat jako $\Forb({\cal F})$
+pro nějakou třídu~${\cal F}$ zakázaných minorů? Zajisté ano, stačí například
+zvolit~${\cal F}$ jako doplněk třídy~${\cal C}$. Slavná Robertsonova-Seymourova
+věta \cite{rs:wagner} dokonce zaručuje existenci {\I konečné} třídy zakázaných minorů.
+To není samo sebou, dokazuje se to dosti obtížně (a~je to jedna z~nejslavnějších kombinatorických
+vět za~posledních mnoho let), ale plyne z~toho spousta zajímavých důsledků.
+My si vystačíme s~daleko jednoduššími prostředky a zájemce o~hlubší studium minorové
+teorie odkážeme na Diestelovu knihu~\cite{diestel:gt}.
+
+Ve~zbytku této sekce dokážeme následující větu, která je zobecněním klasického
+tvrzení o~hustotě rovinných grafů na minorově uzavřené třídy:
+
+\s{Definice:} {\I Hustotou} neprázdného grafu~$G$ nazveme $\varrho(G) = \vert E(G) \vert
+/ \vert V(G) \vert$. Hustotou třídy $\varrho({\cal C})$ pak nazveme supremum z~hustot všech
+neprázdných grafů ležících v~této třídě.
+
+\s{Věta (o hustotě minorově uzavřených tříd):}
+Pokud je třída grafů $\cal C$ minorově uzavřená a netriviální (alespoň jeden graf v~ní leží
+a alespoň jeden neleží), pak má konečnou hustotu.
+
+\s{Důsledek:}
+Pokud používáme kontrahující Borůvkův algoritmus na grafy ležící v~nějaké netriviální
+minorově uzavřené třídě, pak všechny grafy, které algoritmus v~průběhu výpočtu sestrojí,
+leží také v~této třídě, takže na odhad jejich hustoty můžeme použít předchozí větu.
+Opět vyjde, že časová složitost algoritmu je lineární.
+
+\>{\I Důkaz věty:}
+Ukážeme nejprve, že pro každou tÅ\99Ãdu $\cal C$ existuje nÄ\9bjaké~$k$ takové, že
${\cal C} \subseteq \Forb(K_k)$.
-U¾ víme, ¾e ${\cal C}$ lze zapsat jako $\Forb({\cal F})$ pro nìjakou tøídu~${\cal F}$.
-Oznaème~$F$ graf z~${\cal F}$ s~nejmen¹ím poètem vrcholù; pokud existuje více takových,
-vybereme libovolný. Hledané~$k$ zvolíme jako poèet vrcholù tohoto grafu.
+Už víme, že ${\cal C}$ lze zapsat jako $\Forb({\cal F})$ pro nějakou třídu~${\cal F}$.
+Označme~$F$ graf z~${\cal F}$ s~nejmenším počtem vrcholů; pokud existuje více takových,
+vybereme libovolný. Hledané~$k$ zvolíme jako počet vrcholů tohoto grafu.
-Inkluze tvaru ${\cal A}\subseteq {\cal B}$ je ekvivalentní tomu, ¾e kdykoliv nìjaký graf~$G$
-nele¾í v~${\cal B}$, pak nele¾í ani v~${\cal A}$. Mìjme tedy nìjaký graf $G\not\in\Forb(K_k)$.
-Proto $K_k \preceq G$. Ov¹em triviálnì platí $F\preceq K_k$ a relace \uv{být minorem}
-je tranzitivní, tak¾e $F\preceq G$, a~proto $G\not\in {\cal C}$.
+Inkluze tvaru ${\cal A}\subseteq {\cal B}$ je ekvivalentní tomu, že kdykoliv nějaký graf~$G$
+neleží v~${\cal B}$, pak neleží ani v~${\cal A}$. Mějme tedy nějaký graf $G\not\in\Forb(K_k)$.
+Proto $K_k \preceq G$. Ovšem triviálně platí $F\preceq K_k$ a relace \uv{být minorem}
+je tranzitivnÃ, takže $F\preceq G$, a~proto $G\not\in {\cal C}$.
-Víme tedy, ¾e ${\cal C} \subseteq \Forb(K_k)$. Proto musí platit $\varrho({\cal C}) \le
-\varrho(\Forb(K_k))$. Tak¾e postaèuje omezit hustotu tøíd s~jedním zakázaným minorem,
-který je úplným grafem, a~to plyne z~následující Maderovy vìty.
+Víme tedy, že ${\cal C} \subseteq \Forb(K_k)$. Proto musí platit $\varrho({\cal C}) \le
+\varrho(\Forb(K_k))$. Takže postačuje omezit hustotu tříd s~jedním zakázaným minorem,
+který je úplným grafem, a~to plyne z~následující Maderovy věty.
\qed
-\s{Vìta (Maderova):}
-Pro ka¾dé~$k\ge 2$ existuje $c(k)$ takové, ¾e kdykoliv má graf hustotu alespoò $c(k)$,
-obsahuje jako podgraf nìjaké dìlení grafu~$K_k$.
+\s{Věta (Maderova):}
+Pro každé~$k\ge 2$ existuje $c(k)$ takové, že kdykoliv má graf hustotu alespoň $c(k)$,
+obsahuje jako podgraf nějaké dělení grafu~$K_k$.
\proof
Viz Diestel \cite{diestel:gt}.
-\h{Jarníkùv algoritmus s Fibonacciho haldou}
+\h{Jarníkův algoritmus s Fibonacciho haldou}
-Pùvodní Jarníkùv algoritmus s~haldou má díky ní slo¾itost $\O(m\log n)$, to zlep¹íme pou¾itím
-Fibonacciho haldy $H$, do~které si pro ka¾dý vrchol sousedící se zatím vybudovaným stromem~$T$
-ulo¾íme nejlevnìj¹í z~hran vedoucích mezi tímto vrcholem a stromem~$T$. Tyto hrany bude halda
-udr¾ovat uspoøádané podle vah.
+Původní Jarníkův algoritmus s~haldou má díky ní složitost $\O(m\log n)$, to zlepšíme použitím
+Fibonacciho haldy $H$, do~které si pro každý vrchol sousedící se zatím vybudovaným stromem~$T$
+uložíme nejlevnější z~hran vedoucích mezi tímto vrcholem a stromem~$T$. Tyto hrany bude halda
+udržovat uspořádané podle vah.
\newcount\algcnt
-\s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#2 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
+\s{Algoritmus: Jarníkův algoritmus~\#2 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
\algo
-\:Zaèneme libovolným vrcholem $v_0$, $T\leftarrow \{v_0\}$.
-\:Do~haldy $H$ umístíme v¹echny hrany vedoucí z~$v_0$.
+\:Začneme libovolným vrcholem $v_0$, $T\leftarrow \{v_0\}$.
+\:Do~haldy $H$ umístíme všechny hrany vedoucí z~$v_0$.
\:Opakujeme, dokud $H\neq\emptyset$:
-\::$vw\leftarrow \<ExtractMin>(H)$, pøièem¾ $v\not\in T, w\in T$.
+\::$vw\leftarrow \<ExtractMin>(H)$, pÅ\99iÄ\8demž $v\not\in T, w\in T$.
\::$T\leftarrow T\cup\{vw\}$
-\::Pro v¹echny sousedy $u$ vrcholu $v$, kteøí dosud nejsou v~$T$, upravíme haldu:
-\:::Pokud je¹tì v~$H$ není hrana incidentní s~$u$, pøidáme hranu~$uv$.
-\:::Pokud u¾ tam nìjaká taková hrana je a je-li tì¾¹í ne¾ $uv$, nahradíme ji
+\::Pro všechny sousedy $u$ vrcholu $v$, kteří dosud nejsou v~$T$, upravíme haldu:
+\:::Pokud ještě v~$H$ není hrana incidentní s~$u$, přidáme hranu~$uv$.
+\:::Pokud už tam nějaká taková hrana je a je-li těžší než $uv$, nahradíme ji
hranou~$uv$ a provedeme \<DecreaseKey>.
\global\algcnt=\itemcount
\endalgo
-\>Správnost algoritmu pøímo plyne ze~správnosti Jarníkova algoritmu.
+\>Správnost algoritmu přímo plyne ze~správnosti Jarníkova algoritmu.
-\s{Èasová slo¾itost:}
-Slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, nebo» vnìj¹í cyklus se provede
-nanejvý¹ $n$-krát, za~\<ExtractMin> v~nìm tedy zaplatíme celkem $\O(n\log n)$, za~pøidávání
-vrcholù do~$H$ a~nalézání nejlevnìj¹ích hran zaplatíme celkem $\O(m)$ (na~ka¾dou hranu takto
-sáhneme nanejvý¹ dvakrát), za~sni¾ování vah vrcholù v~haldì rovnì¾ pouze $\O(m)$
-(nanejvý¹ $m$-krát provedu porovnání vah a \<DecreaseKey> v~kroku~\the\algcnt\ za~$\O(1)$).
+\s{Ä\8casová složitost:}
+Složitost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, neboť vnější cyklus se provede
+nanejvýš $n$-krát, za~\<ExtractMin> v~něm tedy zaplatíme celkem $\O(n\log n)$, za~přidávání
+vrcholů do~$H$ a~nalézánà nejlevnÄ\9bjÅ¡Ãch hran zaplatÃme celkem $\O(m)$ (na~každou hranu takto
+sáhneme nanejvýš dvakrát), za~snižovánà vah vrcholů v~haldÄ\9b rovnÄ\9bž pouze $\O(m)$
+(nanejvýš $m$-krát provedu porovnání vah a \<DecreaseKey> v~kroku~\the\algcnt\ za~$\O(1)$).
-Toto zlep¹ení je dùle¾itìj¹í, ne¾ by se mohlo zdát, proto¾e nám pro grafy s~mnoha hranami
-(konkrétnì pro grafy s~$m=\Omega(n\log n)$) dává lineární algoritmus.
+Toto zlepšení je důležitější, než by se mohlo zdát, protože nám pro grafy s~mnoha hranami
+(konkrétně pro grafy s~$m=\Omega(n\log n)$) dává lineární algoritmus.
-\h{Kombinace Jarníkova a Borùvkova algoritmu}
+\h{Kombinace Jarníkova a Borůvkova algoritmu}
-K~dal¹ímu zlep¹ení dojde, kdy¾ pøed pøedchozím algoritmem spustíme $\log\log n$ cyklù Borùvkova
-algoritmu s~kontrahováním vrcholù, èím¾ graf zahustíme.
+K~dalšímu zlepšení dojde, když před předchozím algoritmem spustíme $\log\log n$ cyklů Borůvkova
+algoritmu s~kontrahováním vrcholů, čímž graf zahustíme.
-\s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#3 (pùvod neznámý)}
+\s{Algoritmus: Jarníkův algoritmus~\#3 (původ neznámý)}
\algo
-\:Provedeme $\log\log n$ cyklù upraveného Borùvkova algoritmu s~kontrahováním hran popsaného vý¹e.
-\:Pokraèujeme Jarníkovým algoritmem~\#2.
+\:Provedeme $\log\log n$ cyklů upraveného Borůvkova algoritmu s~kontrahováním hran popsaného výše.
+\:Pokračujeme Jarníkovým algoritmem~\#2.
\endalgo
-\s{Èasová slo¾itost:}
-Slo¾itost první èásti je $\O(m\log\log n)$.
-Poèet vrcholù se po~první èásti algoritmu sní¾í na~$n'\leq n/\log n$ a slo¾itost druhé èásti bude
-tedy nanejvý¹ $\O(m+n'\log n')=\O(m)$.
+\s{Ä\8casová složitost:}
+Složitost první části je $\O(m\log\log n)$.
+Počet vrcholů se po~první části algoritmu sníží na~$n'\leq n/\log n$ a složitost druhé části bude
+tedy nanejvýš $\O(m+n'\log n')=\O(m)$.
-\h{Jarníkùv algoritmus s~omezením velikosti haldy}
+\h{Jarníkův algoritmus s~omezením velikosti haldy}
-Je¹tì vìt¹ího zrychlení dosáhneme, omezíme-li Jarníkovu algoritmu \#2 vhodnì
-velikost haldy, tak¾e nám nalezne jednotlivé podkostøièky zastavené v~rùstu
-pøeteèením haldy. Podle tìchto podkostøièek graf následnì skontrahujeme
-a budeme pokraèovat s~mnohem men¹ím grafem.
+Ještě většího zrychlení dosáhneme, omezíme-li Jarníkovu algoritmu \#2 vhodně
+velikost haldy, takže nám nalezne jednotlivé podkostřičky zastavené v~růstu
+přetečením haldy. Podle těchto podkostřiček graf následně skontrahujeme
+a budeme pokračovat s~mnohem menším grafem.
-\s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#4 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
+\s{Algoritmus: Jarníkův algoritmus~\#4 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
\algo
-\:Opakujeme, dokud máme netriviální $G$ (s alespoò jednou hranou):
+\:Opakujeme, dokud máme netriviální $G$ (s alespoň jednou hranou):
\::$t\leftarrow\vert V(G)\vert$.
-\::Zvolíme $k\leftarrow 2^{2m/t}$ (velikost haldy).
+\::Zvolíme $k\leftarrow 2^{2m/t}$ (velikost haldy).
\::$T\leftarrow\emptyset$.
-\::Opakujeme, dokud existují vrcholy mimo $T$:
+\::Opakujeme, dokud existují vrcholy mimo $T$:
\:::Najdeme vrchol $v_0$ mimo $T$.
-\:::Spustíme Jarníkùv alg. \#2 pro celý graf od $v_0$. Zastavíme ho, pokud:
+\:::Spustíme Jarníkův alg. \#2 pro celý graf od $v_0$. Zastavíme ho, pokud:
\global\algcnt=\itemcount
-\::::$\vert H\vert\geq k$ (byla pøekroèena velikost haldy) nebo
-\::::$H=\emptyset$ (do¹li sousedé) nebo
-\::::do $T$ jsme pøidali hranu oboustrannì incidentní s~hranami v~$T$ (pøipojili
-jsme novou podkostru k~nìjaké u¾ nalezené).
-\::Kontrahujeme $G$ podle podkoster nalezených v~$T$.
+\::::$\vert H\vert\geq k$ (byla překročena velikost haldy) nebo
+\::::$H=\emptyset$ (došli sousedé) nebo
+\::::do $T$ jsme přidali hranu oboustranně incidentní s~hranami v~$T$ (připojili
+jsme novou podkostru k~nějaké už nalezené).
+\::Kontrahujeme $G$ podle podkoster nalezených v~$T$.
\endalgo
-\s{Pozorování:}
-Pokud algoritmus je¹tì neskonèil, je ka¾dá z~nalezených podkoster v~$T$ incidentní s~alespoò $k$ hranami
-(do toho poèítáme i vnitøní hrany vedoucí mezi vrcholy podkostry).
-Jak to vypadá pro jednotlivá ukonèení:
+\s{Pozorování:}
+Pokud algoritmus ještě neskončil, je každá z~nalezených podkoster v~$T$ incidentní s~alespoň $k$ hranami
+(do toho počítáme i vnitřní hrany vedoucí mezi vrcholy podkostry).
+Jak to vypadá pro jednotlivá ukončení:
\numlist\ndotted
\itemcount=\algcnt
-\:$\vert H\vert\geq k$ -- v¹echny hrany v~haldì jsou incidentní s~$T$ a navzájem rùzné, tak¾e incidentních je dost.
-\:$H=\emptyset$ -- nemù¾e nastat, algoritmus by skonèil.
-\:Pøipojím se k~u¾ existující podkostøe -- jen ji zvìt¹ím.
+\:$\vert H\vert\geq k$ -- všechny hrany v~haldě jsou incidentní s~$T$ a navzájem různé, takže incidentních je dost.
+\:$H=\emptyset$ -- nemůže nastat, algoritmus by skončil.
+\:Připojím se k~už existující podkostře -- jen ji zvětším.
\endlist
-\s{Èasová slo¾itost:}
-Dùsledkem pøedchozího pozorování je, ¾e poèet podkoster v~jednom prùchodu je nanejvý¹
-$2m/k$. Pro $t'$ a $k'$ v následujícím kroku potom platí $t'\leq 2m/k$ a $k'=2^{2m/t'}\geq 2^k$.
-Prùchodù bude tedy nanejvý¹ $\log^* n$\foot{$\log^* n$ je inverzní funkce k~\uv{vì¾i
-z~mocnin}, èili $\min\{i:\log^{(i)} n<1 \}$, kde $\log^{(i)} n$ je $i$-krát iterovaný
-logaritmus.}, proto¾e prùchod s~$k>n$ bude u¾ urèitì poslední.
-Pøitom jeden vnìj¹í prùchod trvá $\O(m+t\log k)$, co¾ je pro $k=2^{2m/t}$
-rovno $\O(m)$. Celkovì tedy algoritmus pobì¾í v~èase $\O(m\log^{*}n)$.
+\s{Ä\8casová složitost:}
+Důsledkem předchozího pozorování je, že počet podkoster v~jednom průchodu je nanejvýš
+$2m/k$. Pro $t'$ a $k'$ v následujícím kroku potom platí $t'\leq 2m/k$ a $k'=2^{2m/t'}\geq 2^k$.
+Průchodů bude tedy nanejvýš $\log^* n$\foot{$\log^* n$ je inverznà funkce k~\uv{vÄ\9bži
+z~mocnin}, čili $\min\{i:\log^{(i)} n<1 \}$, kde $\log^{(i)} n$ je $i$-krát iterovaný
+logaritmus.}, protože průchod s~$k>n$ bude už určitě poslední.
+PÅ\99itom jeden vnÄ\9bjÅ¡Ã průchod trvá $\O(m+t\log k)$, což je pro $k=2^{2m/t}$
+rovno $\O(m)$. Celkově tedy algoritmus poběží v~čase $\O(m\log^{*}n)$.
-I~odhad $\log^* n$ je ale pøíli¹ hrubý, proto¾e nezaèínáme s~haldou velikosti~1, nýbr¾
-$2^{2m/n}$. Mù¾eme tedy poèet prùchodù pøesnìji omezit funkcí $\beta(m,n)=\min\{i:\log^{(i)}n<m/n\}$
-a èasovou slo¾itost odhadnout jako $\O(m\beta(m,n))$. To nám dává lineární algoritmus
-pro grafy s~$m\geq n\log^{(k)}n$ pro libovolnou konstantu $k$, jeliko¾ $\beta(m,n)$ tehdy vyjde
-omezená konstantou.
+I~odhad $\log^* n$ je ale pÅ\99ÃliÅ¡ hrubý, protože nezaÄ\8dÃnáme s~haldou velikosti~1, nýbrž
+$2^{2m/n}$. Můžeme tedy počet průchodů přesněji omezit funkcí $\beta(m,n)=\min\{i:\log^{(i)}n<m/n\}$
+a časovou složitost odhadnout jako $\O(m\beta(m,n))$. To nám dává lineární algoritmus
+pro grafy s~$m\geq n\log^{(k)}n$ pro libovolnou konstantu $k$, jelikož $\beta(m,n)$ tehdy vyjde
+omezená konstantou.
-\h{Dal¹í výsledky}
+\h{Další výsledky}
\itemize\ibull
-\:$\O(m\alpha(m,n))$, kde $\alpha(m,n)$ je obdoba inverzní
- Ackermannovy funkce definovaná podobnì, jako je $\beta(m,n)$ obdobou $\log^*$.
+\:$\O(m\alpha(m,n))$, kde $\alpha(m,n)$ je obdoba inverzní
+ Ackermannovy funkce definovaná podobně, jako je $\beta(m,n)$ obdobou $\log^*$.
\cite{chazelle:ackermann}, \cite{pettie:ackermann}
-\:$\O({\cal T}(m,n))$, kde ${\cal T}(m,n)$ je hloubka optimálního rozhodovacího stromu
- pro nalezení minimální kostry v~grafech s~patøièným poètem hran a vrcholù
+\:$\O({\cal T}(m,n))$, kde ${\cal T}(m,n)$ je hloubka optimálního rozhodovacího stromu
+ pro nalezení minimální kostry v~grafech s~patřičným počtem hran a vrcholů
\cite{pettie:optimal}.
- Jeliko¾ ka¾dý deterministický algoritmus zalo¾ený na~porovnávání vah lze popsat rozhodovacím stromem,
- je tento algoritmus zaruèenì optimální. Jen bohu¾el nevíme, jak optimální stromy vypadají, tak¾e
- je stále otevøeno, zda lze MST nalézt v~lineárním èase. Nicménì tento algoritmus
- pracuje i na~Pointer Machine, proèe¾ víme, ¾e pokud je lineární slo¾itosti mo¾né dosáhnout, není k~tomu
- potøeba výpoèetní síla RAMu.\foot{O výpoèetních modelech viz pøí¹tí kapitola.}
-\:$\O(m)$ pro grafy s~celoèíselnými vahami (na~RAMu) \cite{fw90trans} -- uká¾eme v~jedné
- z~následujících kapitol.
-\:$\O(m)$, pokud u¾ máme hrany setøídìné podle vah: jeliko¾ víme, ¾e zále¾í jen na~uspoøádání,
- mù¾eme váhy pøeèíslovat na~$1\ldots m$ a pou¾ít pøedchozí algoritmus.
-\:$\O(m)$ prùmìrnì: randomizovaný algoritmus, který pro libovolný vstupní graf dobìhne v~oèekávaném
- lineárním èase~\cite{karger:randomized}.
-\:Na~zji¹tìní, zda je zadaná kostra minimální, staèí $\O(m)$ porovnání \cite{komlos:verify} a dokonce
- lze v~lineárním èase zjistit, která to jsou \cite{king:verify}. Z~toho ostatnì vychází pøedchozí
- randomizovaný algoritmus.
+ Jelikož každý deterministický algoritmus založený na~porovnávání vah lze popsat rozhodovacím stromem,
+ je tento algoritmus zaruÄ\8denÄ\9b optimálnÃ. Jen bohužel nevÃme, jak optimálnà stromy vypadajÃ, takže
+ je stále otevřeno, zda lze MST nalézt v~lineárním čase. Nicméně tento algoritmus
+ pracuje i na~Pointer Machine, pročež víme, že pokud je lineární složitosti možné dosáhnout, není k~tomu
+ potřeba výpočetní síla RAMu.\foot{O výpočetních modelech viz příští kapitola.}
+\:$\O(m)$ pro grafy s~celočíselnými vahami (na~RAMu) \cite{fw90trans} -- ukážeme v~jedné
+ z~následujících kapitol.
+\:$\O(m)$, pokud už máme hrany setříděné podle vah: jelikož víme, že záleží jen na~uspořádání,
+ můžeme váhy přečíslovat na~$1\ldots m$ a použít předchozí algoritmus.
+\:$\O(m)$ průměrně: randomizovaný algoritmus, který pro libovolný vstupní graf doběhne v~očekávaném
+ lineárním čase~\cite{karger:randomized}.
+\:Na~zjištění, zda je zadaná kostra minimální, stačí $\O(m)$ porovnání \cite{komlos:verify} a dokonce
+ lze v~lineárním čase zjistit, která to jsou \cite{king:verify}. Z~toho ostatně vychází předchozí
+ randomizovaný algoritmus.
\endlist
\references
\medskip
}
-\prednaska{7}{Výpoèetní modely}{}
+\prednaska{7}{Výpočetní modely}{}
-Kdy¾ jsme v~pøede¹lých kapitolách studovali algoritmy, nezabývali jsme se tím,
-v~jakém pøesnì výpoèetním modelu pracujeme. Konstrukce, které jsme pou¾ívali,
-toti¾ fungovaly ve~v¹ech obvyklých modelech a mìly tam stejnou èasovou
-i prostorovu slo¾itost. Ne~v¾dy tomu tak je, tak¾e se výpoèetním modelùm
-podívejme na~zoubek trochu blí¾e.
+Když jsme v~předešlých kapitolách studovali algoritmy, nezabývali jsme se tím,
+v~jakém přesně výpočetním modelu pracujeme. Konstrukce, které jsme používali,
+totiž fungovaly ve~všech obvyklých modelech a měly tam stejnou časovou
+i prostorovu složitost. Ne~vždy tomu tak je, takže se výpočetním modelům
+podÃvejme na~zoubek trochu blÞe.
-\h{Druhy výpoèetních modelù}
+\h{Druhy výpočetních modelů}
-Obvykle se pou¾ívají následující dva modely, které se li¹í zejména v~tom,
-zda je mo¾né pamì» indexovat v~konstantním èase èi nikoliv.
+Obvykle se používají následující dva modely, které se liší zejména v~tom,
+zda je možné paměť indexovat v~konstantním čase či nikoliv.
-\s{Pointer Machine (PM)} \cite{benamram95what} pracuje se dvìma typy dat: {\I èísly} v~pevnì omezeném
-rozsahu a {\I pointery,} které slou¾í k~odkazování na~data ulo¾ená v~pamìti.
-Pamì» tohoto modelu je slo¾ená z pevného poètu registrù na~èísla a
-na~pointery a z~neomezeného poètu {\I krabièek.} Ka¾dá krabièka má pevný
-poèet polo¾ek na èísla a pointery. Na~krabièku se lze odkázat pouze
+\s{Pointer Machine (PM)} \cite{benamram95what} pracuje se dvěma typy dat: {\I čísly} v~pevně omezeném
+rozsahu a {\I pointery,} které slouží k~odkazování na~data uložená v~paměti.
+Paměť tohoto modelu je složená z pevného počtu registrů na~čísla a
+na~pointery a z~neomezeného počtu {\I krabiček.} Každá krabička má pevný
+počet položek na čísla a pointery. Na~krabičku se lze odkázat pouze
pointerem.
-Aritmetika v~tomto modelu (a¾ na triviální pøípady) nefunguje v~konstantním
-èase, datové struktury popsatelné pomocí pointerù (seznamy, stromy \dots) fungují
-pøímoèaøe, ov¹em pole musíme reprezentovat stromem, tak¾e indexování stojí
+Aritmetika v~tomto modelu (až na triviální případy) nefunguje v~konstantním
+čase, datové struktury popsatelné pomocí pointerů (seznamy, stromy \dots) fungují
+přímočaře, ovšem pole musíme reprezentovat stromem, takže indexování stojí
$\Theta(\log n)$.
-\s{Random Access Machine (RAM)} \cite{demaine} je rodinka modelù, které mají spoleèné to, ¾e
-pracují výhradnì s~(pøirozenými) èísly a ukládají je do~pamìti indexované
-opìt èísly. Instrukce v~programu (podobné assembleru) pracují s~operandy,
-které jsou buï konstanty nebo buòky pamìti adresované pøímo (èíslem buòky),
-pøípadnì nepøímo (index je ulo¾en v~nìjaké buòce adresované pøímo).
-Je~vidìt, ¾e tento model je alespoò tak silný jako PM, proto¾e odkazy
-pomocí pointerù lze v¾dy nahradit indexováním.
+\s{Random Access Machine (RAM)} \cite{demaine} je rodinka modelů, které majà spoleÄ\8dné to, že
+pracují výhradně s~(přirozenými) čísly a ukládají je do~paměti indexované
+opět čísly. Instrukce v~programu (podobné assembleru) pracují s~operandy,
+které jsou buď konstanty nebo buňky paměti adresované přímo (číslem buňky),
+případně nepřímo (index je uložen v~nějaké buňce adresované přímo).
+Je~vidÄ\9bt, že tento model je alespoÅ\88 tak silný jako PM, protože odkazy
+pomocí pointerů lze vždy nahradit indexováním.
-Pokud ov¹em povolíme poèítat s~libovolnì velkými èísly v~konstantním èase,
-dostaneme velice silný paralelní poèítaè, na~nìm¾ spoèítáme témìø v¹e
-v~konstantním èase (modulo kódování vstupu). Proto musíme model nìjak
-omezit, aby byl realistický, a~to lze udìlat více zpùsoby:
+Pokud ovšem povolíme počítat s~libovolně velkými čísly v~konstantním čase,
+dostaneme velice silný paralelní počítač, na~němž spočítáme téměř vše
+v~konstantním čase (modulo kódování vstupu). Proto musíme model nějak
+omezit, aby byl realistický, a~to lze udělat více způsoby:
\itemize\ibull
-\:{\I Zavést logaritmickou cenu instrukcí} -- operace trvá tak dlouho,
-kolik je poèet bitù èísel, s~nimi¾ pracuje, a~to vèetnì adres v~pamìti.
-Elegantnì odstraní absurdity, ale je dost tì¾ké odhadovat èasové slo¾itosti;
-u~vìt¹iny normálních algoritmù nakonec po~dlouhém poèítání vyjde, ¾e mají
-slo¾itost $\Theta(\log n)$-krát vìt¹í ne¾ v~neomezeném RAMu.
-
-\:{\I Omezit velikost èísel} na~nìjaký pevný poèet bitù (budeme mu øíkat
-{\I ¹íøka slova} a znaèit~$w$) a operace ponechat v~èase $\O(1)$.
-Abychom mohli alespoò adresovat vstup, musí být $w\ge\log N$,
-kde $N$ je celková velikost vstupu.
-Jeliko¾ aritmetiku s~$\O(1)$-násobnou pøesností lze simulovat s~konstantním
-zpomalením, mù¾eme pøedpokládat, ¾e $w=\Omega(\log N)$, tedy ¾e lze pøímo pracovat
-s~èísly polynomiálnì velkými vzhledem k~$N$. Je¹tì bychom si mìli ujasnit,
-jakou mno¾inu operací povolíme:
+\:{\I Zavést logaritmickou cenu instrukcí} -- operace trvá tak dlouho,
+kolik je počet bitů čísel, s~nimiž pracuje, a~to včetně adres v~paměti.
+ElegantnÄ\9b odstranà absurdity, ale je dost tÄ\9bžké odhadovat Ä\8dasové složitosti;
+u~většiny normálních algoritmů nakonec po~dlouhém počítání vyjde, že mají
+složitost $\Theta(\log n)$-krát větší než v~neomezeném RAMu.
+
+\:{\I Omezit velikost čísel} na~nějaký pevný počet bitů (budeme mu říkat
+{\I šířka slova} a značit~$w$) a operace ponechat v~čase $\O(1)$.
+Abychom mohli alespoň adresovat vstup, musí být $w\ge\log N$,
+kde $N$ je celková velikost vstupu.
+Jelikož aritmetiku s~$\O(1)$-násobnou přesností lze simulovat s~konstantním
+zpomalením, můžeme předpokládat, že $w=\Omega(\log N)$, tedy že lze přímo pracovat
+s~čísly polynomiálně velkými vzhledem k~$N$. Ještě bychom si měli ujasnit,
+jakou množinu operací povolíme:
\itemize\ibull
-\:{\I Word-RAM} -- \uv{céèkové} operace: $+$, $-$, $*$, $/$, $\bmod$ (aritmetika);
-$\shl$, $\shr$ (bitové posuvy); $\land$, $\lor$, $\oplus$, $\opnot$ (bitový and, or, xor a negace).
-
-\:{\I $AC^0$-RAM} -- libovolné funkce vyèíslitelné hradlovou sítí polynomiální
-velikosti a konstantní hloubky s~hradly o~libovolnì mnoha vstupech.\foot{Pro zvídavé:
-$AC^k$ je tøída v¹ech funkcí spoèítetelných polynomiálnì velkou hradlovou
-sítí hloubky $\O(\log^k n)$ s~libovolnì-vstupovými hradly a $NC^k$ toté¾
-s~omezením na~hradla se dvìma vstupy. V¹imnìte si, ¾e $NC^0\subseteq AC^0 \subseteq NC^1 \subseteq AC^1 \subseteq NC^2 \subseteq \ldots$.}
-To je teoreticky èist¹í, patøí sem v¹e z~pøedchozí skupiny mimo násobení,
-dìlení a modula, a~také spousta dal¹ích operací.
-
-\:{\I Kombinace pøedchozího} -- tj. pouze operace Word-RAMu, které jsou v~$AC^0$.
+\:{\I Word-RAM} -- \uv{céčkové} operace: $+$, $-$, $*$, $/$, $\bmod$ (aritmetika);
+$\shl$, $\shr$ (bitové posuvy); $\land$, $\lor$, $\oplus$, $\opnot$ (bitový and, or, xor a negace).
+
+\:{\I $AC^0$-RAM} -- libovolné funkce vyčíslitelné hradlovou sítí polynomiální
+velikosti a konstantní hloubky s~hradly o~libovolně mnoha vstupech.\foot{Pro zvídavé:
+$AC^k$ je třída všech funkcí spočítetelných polynomiálně velkou hradlovou
+sÃtà hloubky $\O(\log^k n)$ s~libovolnÄ\9b-vstupovými hradly a $NC^k$ totéž
+s~omezenÃm na~hradla se dvÄ\9bma vstupy. VÅ¡imnÄ\9bte si, že $NC^0\subseteq AC^0 \subseteq NC^1 \subseteq AC^1 \subseteq NC^2 \subseteq \ldots$.}
+To je teoreticky čistší, patří sem vše z~předchozí skupiny mimo násobení,
+dělení a modula, a~také spousta dalších operací.
+
+\:{\I Kombinace předchozího} -- tj. pouze operace Word-RAMu, které jsou v~$AC^0$.
\endlist
\endlist
-Ve~zbytku této kapitoly uká¾eme, ¾e na~RAMu lze poèítat mnohé vìci
-efektivnìji ne¾ na~PM. Zamìøíme se na~Word-RAM, ale podobné konstrukce
-jdou provést i na~$AC^0$-RAMu. (Kombinace obou omezení vede ke~slab¹ímu modelu.)
+Ve~zbytku této kapitoly ukážeme, že na~RAMu lze počítat mnohé věci
+efektivněji než na~PM. Zaměříme se na~Word-RAM, ale podobné konstrukce
+jdou provést i na~$AC^0$-RAMu. (Kombinace obou omezení vede ke~slabšímu modelu.)
\h{Van Emde-Boas Trees}
-Van Emde-Boas Trees neboli VEBT \cite{boas77} jsou RAMová struktura, která si pamatuje mno¾inu prvkù $X$ z~nìjakého
-omezeného universa $X \subseteq \{0,\ldots,U-1\}$, a umí s~ní provádìt
-\uv{stromové operace} (vkládání, mazání, nalezení následníka apod.) v~èase
-$\O(\log\log U)$. Pomocí takové struktury pak napøíklad doká¾eme:
+Van Emde-Boas Trees neboli VEBT \cite{boas77} jsou RAMová struktura, která si pamatuje množinu prvků $X$ z~nějakého
+omezeného universa $X \subseteq \{0,\ldots,U-1\}$, a umí s~ní provádět
+\uv{stromové operace} (vkládání, mazání, nalezení následníka apod.) v~čase
+$\O(\log\log U)$. Pomocà takové struktury pak napÅ\99Ãklad dokážeme:
$$\vbox{\halign{
#\hfil\quad &#\hfil\quad &#\hfil\cr
- & pomocí VEBT &nejlep¹í známé pro celá èísla \cr
+ & pomocí VEBT &nejlepší známé pro celá čísla \cr
\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
-tøídìní &$\O(n\log\log U)$ &$\O(n\log\log n)$ \cite{han:sort} \cr
-MST &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m)$ [viz pøí¹tí kapitola]\cr
-Dijkstra &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m+n\log\log n)$ \cite{thorup:pq}, neorientovanì $\O(m)$~\cite{thorup:usssp}\cr
+třídění &$\O(n\log\log U)$ &$\O(n\log\log n)$ \cite{han:sort} \cr
+MST &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m)$ [viz příští kapitola]\cr
+Dijkstra &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m+n\log\log n)$ \cite{thorup:pq}, neorientovaně $\O(m)$~\cite{thorup:usssp}\cr
}}$$
-My se pøidr¾íme ekvivalentní, ale jednodu¹¹í definice podle Erika Demaine~\cite{demaine}.
+My se přidržíme ekvivalentní, ale jednodušší definice podle Erika Demaine~\cite{demaine}.
-\s{Definice:} VEBT($U$) pro universum velikosti $U$ (BÚNO $U=2^k=2^{2^\ell}$)
+\s{Definice:} VEBT($U$) pro universum velikosti $U$ (BÚNO $U=2^k=2^{2^\ell}$)
obsahuje:
\itemize\ibull
-\:\<min>, \<max> reprezentované mno¾iny (mohou být i nedefinovaná, pokud je mno¾ina moc malá),
+\:\<min>, \<max> reprezentované množiny (mohou být i nedefinovaná, pokud je množina moc malá),
-\:{\I pøihrádky} $P_0, \ldots, P_{\sqrt{U}}$ obsahující zbývající
-hodnoty.\foot{Alespoò jedno z~\<min>, \<max> musí být ulo¾eno zvlá¹»,
-aby strom obsahující pouze jednu hodnotu nemìl ¾ádné podstromy.
-My jsme pro eleganci struktury zvolili ulo¾it zvlá¹» obojí.}
+\:{\I přihrádky} $P_0, \ldots, P_{\sqrt{U}}$ obsahující zbývající
+hodnoty.\foot{Alespoň jedno z~\<min>, \<max> musí být uloženo zvlášť,
+aby strom obsahující pouze jednu hodnotu neměl žádné podstromy.
+My jsme pro eleganci struktury zvolili uložit zvlášť obojí.}
Hodnota $x$ padne do~$P_{\lfloor x/\sqrt{U} \rfloor}$.
-Ka¾dá pøihrádka je ulo¾ena jako VEBT($\sqrt{U}$), který obsahuje pøíslu¹ná
-èísla $\bmod\sqrt{U}$. [Bity ka¾dého èísla jsme tedy rozdìlili na~vy¹¹ích $k/2$,
-které indexují pøihrádku, a~ni¾¹ích $k/2$ uvnitø pøihrádky.]
+Každá přihrádka je uložena jako VEBT($\sqrt{U}$), který obsahuje příslušná
+čísla $\bmod\sqrt{U}$. [Bity každého čísla jsme tedy rozdělili na~vyšších $k/2$,
+které indexují přihrádku, a~nižších $k/2$ uvnitř přihrádky.]
-\:Navíc je¹tì {\I \uv{sumární}} VEBT($\sqrt{U}$) obsahující èísla neprázdných pøihrádek.
+\:Navíc ještě {\I \uv{sumární}} VEBT($\sqrt{U}$) obsahující čísla neprázdných přihrádek.
\endlist
-\s{Operace} se~strukturou budeme provádìt následovnì. Budeme si pøitom pøedstavovat,
-¾e v~pøihrádkách jsou ulo¾ena pøímo èísla reprezentované mno¾iny, nikoliv jen èásti
-jejich bitù -- z~èísla pøihrádky a hodnoty uvnitø pøihrádky ostatnì doká¾eme celou
-hodnotu rekonstruovat a naopak hodnotu kdykoliv rozlo¾it na~tyto èásti.
+\s{Operace} se~strukturou budeme provádět následovně. Budeme si přitom představovat,
+že v~přihrádkách jsou uložena přímo čísla reprezentované množiny, nikoliv jen části
+jejich bitů -- z~Ä\8dÃsla pÅ\99ihrádky a hodnoty uvnitÅ\99 pÅ\99ihrádky ostatnÄ\9b dokážeme celou
+hodnotu rekonstruovat a naopak hodnotu kdykoliv rozložit na~tyto části.
-\>\<FindMin> -- minimum nalezneme v~koøeni v~èase $\O(1)$.
+\>\<FindMin> -- minimum nalezneme v~kořeni v~čase $\O(1)$.
-\>$\<Find>(x)$ -- pøímoèaøe rekurzí pøes pøihrádky v~èase $\O(k)$.
+\>$\<Find>(x)$ -- přímočaře rekurzí přes přihrádky v~čase $\O(k)$.
\>$\<Insert>(x)$:
\algo
-\:O¹etøíme triviální stromy (prázdný a jednoprvkový)
-\:Je-li tøeba, prohodíme $x$ s \<min>, \<max>.
-\:Prvek $x$ padne do pøihrádky $P_i$, která je buï:
-\::prázdná $\Rightarrow$ \<Insert> hodnoty~$i$ do~sumárního stromu a zalo¾ení
-triviálního stromu pro pøihrádku; nebo
-\::neprázdná $\Rightarrow$ pøevedeme na~\<Insert> v~podstromu.
+\:Ošetříme triviální stromy (prázdný a jednoprvkový)
+\:Je-li třeba, prohodíme $x$ s \<min>, \<max>.
+\:Prvek $x$ padne do přihrádky $P_i$, která je buď:
+\::prázdná $\Rightarrow$ \<Insert> hodnoty~$i$ do~sumárního stromu a založení
+triviálního stromu pro přihrádku; nebo
+\::neprázdná $\Rightarrow$ převedeme na~\<Insert> v~podstromu.
\endalgo
-V~ka¾dém pøípadì buï rovnou skonèíme nebo pøevedeme na~\<Insert> v~jednom stromu
-ni¾¹ího øádu a k~tomu vykonáme konstantní práci. Celkem tedy $\O(k)$.
+V~každém případě buď rovnou skončíme nebo převedeme na~\<Insert> v~jednom stromu
+nižšího řádu a k~tomu vykonáme konstantní práci. Celkem tedy $\O(k)$.
-\>$\<Delete>(x)$ -- smazání prvku bude opìt pracovat v~èase $\O(k)$.
+\>$\<Delete>(x)$ -- smazání prvku bude opět pracovat v~čase $\O(k)$.
\algo
-\:O¹etøíme triviální stromy (jednoprvkový a dvouprvkový).
-\:Pokud ma¾eme \<min> (analogicky \<max>), nahradíme ho minimem
-z~první neprázdné pøihrádky (tu najdeme podle sumárního stromu v~konstantním èase)
-a pøevedeme na~\<Delete> v~této pøihrádce.
-\:Prvek~$x$ padne do~pøihrádky $P_i$, která je buï:
-\::jednoprvková $\Rightarrow$ zru¹ení pøihrádky a \<Delete> ze~sumárního stromu; nebo
-\::vìt¹í $\Rightarrow$ \<Delete> ve~stromu pøihrádky.
+\:Ošetříme triviální stromy (jednoprvkový a dvouprvkový).
+\:Pokud mažeme \<min> (analogicky \<max>), nahradíme ho minimem
+z~první neprázdné přihrádky (tu najdeme podle sumárního stromu v~konstantním čase)
+a převedeme na~\<Delete> v~této přihrádce.
+\:Prvek~$x$ padne do~přihrádky $P_i$, která je buď:
+\::jednoprvková $\Rightarrow$ zrušení přihrádky a \<Delete> ze~sumárního stromu; nebo
+\::větší $\Rightarrow$ \<Delete> ve~stromu přihrádky.
\endalgo
-\>$\<Succ>(x)$ -- nejmen¹í prvek vìt¹í ne¾~$x$, opìt v~èase $\O(k)$:
+\>$\<Succ>(x)$ -- nejmenší prvek větší než~$x$, opět v~čase $\O(k)$:
\algo
-\:Triviální pøípady: pokud $x<\<min>$, vrátíme \<min>; pokud $x\ge\<max>$,
-vrátíme, ¾e následník neexistuje.
-\:Prvek~$x$ padne do~pøihrádky $P_i$ a buïto:
-\::$P_i$ je prázdná nebo $x=\<max>(P_i)$ $\Rightarrow$ pomocí \<Succ>
-v~sumárním stromu najdeme nejbli¾¹í dal¹í neprázdnou pøihrádku $P_j$:
-\:::existuje-li $\Rightarrow$ vrátíme $\<min>(P_j)$,
-\:::neexistuje-li $\Rightarrow$ vrátíme \<max>.
-\::nebo $x<\<max>(P_i)$ $\Rightarrow$ pøevedeme na~\<Succ> v~$P_i$.
+\:Triviální případy: pokud $x<\<min>$, vrátíme \<min>; pokud $x\ge\<max>$,
+vrátíme, že následník neexistuje.
+\:Prvek~$x$ padne do~přihrádky $P_i$ a buďto:
+\::$P_i$ je prázdná nebo $x=\<max>(P_i)$ $\Rightarrow$ pomocí \<Succ>
+v~sumárním stromu najdeme nejbližší další neprázdnou přihrádku $P_j$:
+\:::existuje-li $\Rightarrow$ vrátíme $\<min>(P_j)$,
+\:::neexistuje-li $\Rightarrow$ vrátíme \<max>.
+\::nebo $x<\<max>(P_i)$ $\Rightarrow$ převedeme na~\<Succ> v~$P_i$.
\endalgo
-Slo¾itosti operací jsou pìkné, ale nesmíme zapomenout, ¾e strukturu
-je na~poèátku nutné inicializovat, co¾ trvá $\Omega(\sqrt U)$.\foot{Svádí
-to k~nápadu ponechat pøihrádky neinicializované a nejdøíve se v¾dy zeptat
-sumárního stromu, ale tím bychom si pokazili èasovou slo¾itost.}
-Z~následujících úvah ov¹em vyplyne, ¾e si inicializaci mù¾eme
+Složitosti operacà jsou pÄ\9bkné, ale nesmÃme zapomenout, že strukturu
+je na~počátku nutné inicializovat, což trvá $\Omega(\sqrt U)$.\foot{Svádí
+to k~nápadu ponechat pÅ\99ihrádky neinicializované a nejdÅ\99Ãve se vždy zeptat
+sumárnÃho stromu, ale tÃm bychom si pokazili Ä\8dasovou složitost.}
+Z~následujÃcÃch úvah ovÅ¡em vyplyne, že si inicializaci můžeme
odpustit.
\h{Modely inicializace}
-\>Jak mù¾e být definován obsah pamìti na~poèátku výpoètu:
+\>Jak může být definován obsah paměti na~počátku výpočtu:
-\s{\uv{Pøi odchodu zhasni}:} Zavedeme, ¾e pamì» RAMu je na~poèátku
-inicializována nulami a program ji po~sobì musí uklidit (to je nutné,
-aby programy ¹lo iterovat). To u~VEBT není problém zaøídit.
+\s{\uv{Při odchodu zhasni}:} Zavedeme, že paměť RAMu je na~počátku
+inicializována nulami a program ji po~sobě musí uklidit (to je nutné,
+aby programy šlo iterovat). To u~VEBT není problém zařídit.
-\s{Neinicializovano:} Na~¾ádné konkrétní hodnoty se nemù¾eme spolehnout,
-ale je definováno, ¾e neinicializovanou buòku mù¾eme pøeèíst a dostaneme
-nìjakou korektní, i kdy¾ libovolnou, hodnotu. Tehdy nám pomù¾e:
+\s{Neinicializovano:} Na~žádné konkrétnà hodnoty se nemůžeme spolehnout,
+ale je definováno, že neinicializovanou buňku můžeme přečíst a dostaneme
+nÄ\9bjakou korektnÃ, i když libovolnou, hodnotu. Tehdy nám pomůže:
%{\narrower\medskip
-\s{Vìta:} Buï $P$ program pro Word-RAM s~nulami inicializovanou
-pamìtí, bì¾ící v èase $T(n)$. Pak existuje program~$P'$ pro Word-RAM
-s~neinicializovanou pamìtí poèítající toté¾ v~èase~$\O(T(n))$.
-
-\proof Bìhem výpoètu si budeme pamatovat, do~kterých pamì»ových
-bunìk u¾ bylo nìco zapsáno, a~které tedy mají definovanou hodnotu.
-Prokládanì ulo¾íme do pamìti dvì pole:
-$M$, co¾ bude pamì» pùvodního stroje, a~$L$ -- seznam èísel bunìk
-v~$M$, do~kterých u¾ program zapsal. Pøitom $L[0]$ bude udávat
-délku seznamu~$L$.
-
-Program nyní zaène tím, ¾e vynuluje $L[0]$ a bude simulovat pùvodní
-program, pøièem¾ kdykoliv ten bude chtít pøeèíst nìjakou buòku
-z~$M$, podíváme se do~$L$, zda u¾ je inicializovaná, a~pøípadnì
-vrátíme nulu a buòku pøipí¹eme do~$L$.
-
-To je funkèní, ale pomalé. Redukci tedy vylep¹íme tak, ¾e zalo¾íme dal¹í
-prolo¾ené pole~$R$, jeho¾ hodnota $R[i]$ bude øíkat, kde v~$L$ se vyskytuje
-èíslo $i$-té buòky, nebo bude neinicializována, pokud
-takové místo dosud neexistuje.
-
-Pøed ètením $M[i]$ se teï podíváme na~$R[i]$ a ovìøíme, zda $R[i]$ nele¾í
-mimo seznam~$L$ a zda je $L[R[i]]=i$. Tím v~konstantním èase zjistíme,
-jestli je $M[i]$ ji¾ inicializovaná, a~jsme také schopni tuto informaci
-v~tém¾e èase udr¾ovat.
+\s{Věta:} Buď $P$ program pro Word-RAM s~nulami inicializovanou
+pamětí, běžící v čase $T(n)$. Pak existuje program~$P'$ pro Word-RAM
+s~neinicializovanou pamětí počítající totéž v~čase~$\O(T(n))$.
+
+\proof Během výpočtu si budeme pamatovat, do~kterých paměťových
+buněk už bylo něco zapsáno, a~které tedy mají definovanou hodnotu.
+Prokládaně uložíme do paměti dvě pole:
+$M$, což bude paměť původního stroje, a~$L$ -- seznam čísel buněk
+v~$M$, do~kterých už program zapsal. Přitom $L[0]$ bude udávat
+délku seznamu~$L$.
+
+Program nyní začne tím, že vynuluje $L[0]$ a bude simulovat původní
+program, přičemž kdykoliv ten bude chtít přečíst nějakou buňku
+z~$M$, podíváme se do~$L$, zda už je inicializovaná, a~případně
+vrátíme nulu a buňku připíšeme do~$L$.
+
+To je funkční, ale pomalé. Redukci tedy vylepšíme tak, že založíme další
+proložené pole~$R$, jehož hodnota $R[i]$ bude říkat, kde v~$L$ se vyskytuje
+číslo $i$-té buňky, nebo bude neinicializována, pokud
+takové místo dosud neexistuje.
+
+Před čtením $M[i]$ se teď podíváme na~$R[i]$ a ověříme, zda $R[i]$ neleží
+mimo seznam~$L$ a zda je $L[R[i]]=i$. Tím v~konstantním čase zjistíme,
+jestli je $M[i]$ již inicializovaná, a~jsme také schopni tuto informaci
+v~témže Ä\8dase udržovat.
\qed
%\medskip}
-\s{\uv{Minové pole}:} Neinicializované buòky není ani dovoleno èíst.
-V~tomto pøípadì nejsme schopni deterministické redukce, ale alespoò
-mu¾eme pou¾ít randomizovanou -- ukládat si obsah pamìti do~hashovací
-tabulky, co¾ pøí pou¾ití universálního hashování dá~slo¾itost $\O(1)$
-na~operaci v~prùmìrném pøípadì.
+\s{\uv{Minové pole}:} Neinicializované buňky není ani dovoleno číst.
+V~tomto případě nejsme schopni deterministické redukce, ale alespoň
+mužeme použít randomizovanou -- ukládat si obsah paměti do~hashovací
+tabulky, což pÅ\99à použità universálnÃho hashovánà dá~složitost $\O(1)$
+na~operaci v~průměrném případě.
-\h{Technické triky}
+\h{Technické triky}
-VEBT nedosahují zdaleka nejlep¹ích mo¾ných parametrù -- lze sestrojit
-i struktury pracující v~konstantním èase. To v~následující kapitole také
-udìláme, ale nejdøíve v~této ponìkud technické stati vybudujeme repertoár
-základních operací proveditelných na~Word-RAMu v~konstantním èase.
+VEBT nedosahují zdaleka nejlepších možných parametrů -- lze sestrojit
+i struktury pracující v~konstantním čase. To v~následující kapitole také
+uděláme, ale nejdříve v~této poněkud technické stati vybudujeme repertoár
+základních operací proveditelných na~Word-RAMu v~konstantním čase.
-\>Rozcvièka: {\I nejpravìj¹í jednièka} ve~dvojkovém èísle (hodnota, nikoliv pozice):
+\>Rozcvička: {\I nejpravější jednička} ve~dvojkovém čísle (hodnota, nikoliv pozice):
\alik{
x&=\0\1\9\9\9\0\1\1\0\0\0\0\0\0 \cr
x - 1&=\0\1\9\9\9\0\1\0\1\1\1\1\1\1 \cr
x \land (x - 1)&=\0\1\9\9\9\0\1\0\0\0\0\0\0\0 \cr
x \oplus (x \land (x - 1))&=\0\0\9\9\9\0\0\1\0\0\0\0\0\0 \cr}
-\>Nyní uká¾eme, jak RAM pou¾ívat jako vektorový poèítaè, který umí paralelnì
-poèítat se v¹emi prvky vektoru, pokud se dají zakódovat do~jediného slova.
-Libovolný $n$-slo¾kový vektor, jeho¾ slo¾ky jsou $b$-bitová èísla
-($n(b+1)\le w$), zakódujeme poskládáním jednotlivých slo¾ek vektoru za~sebe,
-prolo¾enì nulovými bity:
+\>Nyní ukážeme, jak RAM používat jako vektorový počítač, který umí paralelně
+počítat se všemi prvky vektoru, pokud se dají zakódovat do~jediného slova.
+Libovolný $n$-složkový vektor, jehož složky jsou $b$-bitová čísla
+($n(b+1)\le w$), zakódujeme poskládánÃm jednotlivých složek vektoru za~sebe,
+proloženě nulovými bity:
\nobreak
\alik{\0 x_{n-1} \0 x_{n-2} \9\9\9 \0 x_1\0 x_0 \cr}
-\>S~vektory budeme provádìt následující operace: (latinkou znaèíme vektory,
-alfabetou èísla, \0 a \1 jsou jednotlivé bity, $(\ldots)^k$ je $k$-násobné
-opakování binárního zápisu)
+\>S~vektory budeme provádět následující operace: (latinkou značíme vektory,
+alfabetou čísla, \0 a \1 jsou jednotlivé bity, $(\ldots)^k$ je $k$-násobné
+opakování binárního zápisu)
\itemize\ibull
-\:$\<Replicate>(\alpha)$ -- vytvoøí vektor $(\alpha,\alpha,\ldots,\alpha)$:
+\:$\<Replicate>(\alpha)$ -- vytvoří vektor $(\alpha,\alpha,\ldots,\alpha)$:
\alik{\alpha*(\0^b\1)^n \cr}
-\:$\<Sum>(x)$ -- seète v¹echny slo¾ky vektoru (pøedpokládáme, ¾e se souèet vejde do~$b$~bitù):
+\:$\<Sum>(x)$ -- sečte všechny složky vektoru (předpokládáme, že se součet vejde do~$b$~bitů):
\numlist\nalpha
-\:vymodulením èíslem $\1^{b+1}$ (proto¾e $\1\0^{b+1}\bmod \1^{b+1}=1$), èi
-\:násobením vhodnou konstantou:
+\:vymodulením číslem $\1^{b+1}$ (protože $\1\0^{b+1}\bmod \1^{b+1}=1$), či
+\:násobením vhodnou konstantou:
\setbox0=\hbox{~$x_{n-1}$}
\slotwd=\wd0
\def\.{\[]}
\rule
\[r_{n-1}] \dd \[r_2] \[r_1] \[s_n] \dd \[s_3] \[s_2] \[s_1] \cr
}
-Zde je výsledkem dokonce vektor v¹ech èásteèných souètù:
+Zde je výsledkem dokonce vektor všech částečných součtů:
$s_k=\sum_{i=0}^{k-1}x_i$, $r_k=\sum_{i=k}^{n-1}x_i$.
\endlist
-\:$\<Cmp>(x,y)$ -- paralelní porovnání dvou vektorù: $i$-tá slo¾ka výsledku je~1, pokud
+\:$\<Cmp>(x,y)$ -- paralelní porovnání dvou vektorů: $i$-tá složka výsledku je~1, pokud
$x_i<y_i$, jinak~0.
\setbox0=\vbox{\hbox{~$x_{n-1}$}\hbox{~$y_{n-1}$}}
-~ \0 \[y_{n-1}] \0 \[y_{n-2}] \[\cdots] \0 \[y_1] \0 \[y_0] \cr
}
-Ve~vektoru $x$ nahradíme prokládací nuly jednièkami a odeèteme vektor~$y$.
-Ve~výsledku se tyto jednièky zmìní na~nuly právì u tìch slo¾ek, kde $x_i < y_i$.
-Pak je ji¾ staèí posunout na~správné místo a okolní bity vynulovat a znegovat.
+Ve~vektoru $x$ nahradíme prokládací nuly jedničkami a odečteme vektor~$y$.
+Ve~výsledku se tyto jedniÄ\8dky zmÄ\9bnà na~nuly právÄ\9b u tÄ\9bch složek, kde $x_i < y_i$.
+Pak je již stačí posunout na~správné místo a okolní bity vynulovat a znegovat.
-\:$\<Rank>(\alpha,x)$ -- spoèítá, kolik slo¾ek vektoru~$x$ je men¹ích ne¾~$\alpha$:
+\:$\<Rank>(\alpha,x)$ -- spoÄ\8dÃtá, kolik složek vektoru~$x$ je menÅ¡Ãch než~$\alpha$:
$$\<Rank>(\alpha,x) = \<Sum>(\<Cmp>(\<Replicate>(\alpha),x)).$$
-\:$\<Insert>(\alpha,x)$ -- zatøídí hodnotu $\alpha$ do~setøídìného vektoru~$x$:
+\:$\<Insert>(\alpha,x)$ -- zatřídí hodnotu $\alpha$ do~setříděného vektoru~$x$:
-Zde staèí pomocí operace \<Rank> zjistit, na~jaké místo novou hodnotu
-zatøídit, a~pak to pomocí bitových operací provést (\uv{roz¹oupnout}
-existující hodnoty).
+Zde stačí pomocí operace \<Rank> zjistit, na~jaké místo novou hodnotu
+zatřídit, a~pak to pomocí bitových operací provést (\uv{rozšoupnout}
+existující hodnoty).
-\:$\<Unpack>(\alpha)$ -- vytvoøí vektor, jeho¾ slo¾ky jsou bity zadaného èísla
-(jinými slovy prolo¾í bity bloky $b$~nul).
+\:$\<Unpack>(\alpha)$ -- vytvoří vektor, jehož složky jsou bity zadaného čísla
+(jinými slovy proloží bity bloky $b$~nul).
-Nejdøíve èíslo~$\alpha$ replikujeme, pak andujeme vhodnou bitovou maskou,
-aby v~$i$-té slo¾ce zùstal pouze $i$-tý bit a ostatní se vynulovaly,
-a pak provedeme $\<Cmp>$ s~vektorem samých nul.
+Nejdříve číslo~$\alpha$ replikujeme, pak andujeme vhodnou bitovou maskou,
+aby v~$i$-té složce zůstal pouze $i$-tý bit a ostatní se vynulovaly,
+a pak provedeme $\<Cmp>$ s~vektorem samých nul.
-\:$\<Unpack>_\varphi(\alpha)$ -- podobnì jako pøedchozí operace, ale bity je¹tì
-prohází podle nìjaké pevné funkce $\varphi$:
+\:$\<Unpack>_\varphi(\alpha)$ -- podobně jako předchozí operace, ale bity ještě
+prohází podle nějaké pevné funkce $\varphi$:
-Staèí zvolit bitovou masku, která v~$i$-té slo¾ce ponechá právì $\varphi(i)$-tý bit.
+Stačí zvolit bitovou masku, která v~$i$-té složce ponechá právě $\varphi(i)$-tý bit.
\finalfix{\goodbreak}
-\:$\<Pack>(x)$ -- dostane vektor nul a jednièek a vytvoøí èíslo, jeho¾ bity
-jsou právì slo¾ky vektoru (jinými slovy ¹krtne nuly mezi bity):
+\:$\<Pack>(x)$ -- dostane vektor nul a jedniÄ\8dek a vytvoÅ\99à Ä\8dÃslo, jehož bity
+jsou právě složky vektoru (jinými slovy škrtne nuly mezi bity):
-Pøedstavíme si, ¾e slo¾ky èísla jsou o~jeden bit krat¹í a provedeme \<Sum>.
-Napøíklad pro $n=4$ a $b=4$:
+Představíme si, že složky čísla jsou o~jeden bit kratší a provedeme \<Sum>.
+Například pro $n=4$ a $b=4$:
\setbox0=\hbox{$x_3$}
\slotwd=\wd0
\|\z\.\z\.\z\.\z\|\[x_3]\.\z\.\z\.\z\|\z\.\[x_2]\.\z\.\z\|\z\.\z\[x_1]\.\z\|\z\.\z\.\z\.\[x_0]\|\cr
}
-Jen si musíme dát pozor na~to, ¾e vytvoøený vektor s~krat¹ími slo¾kami
-není korektnì prostrkán nulami. Konstrukce \<Sum> pomocí modula proto
-nebude správnì fungovat a místo $\1^b$ vygeneruje $\0^b$. To mù¾eme
-buï o¹etøit zvlá¹», nebo pou¾ít konstrukci pøes násobení, které
-to nevadí.
+Jen si musÃme dát pozor na~to, že vytvoÅ\99ený vektor s~kratÅ¡Ãmi složkami
+není korektně prostrkán nulami. Konstrukce \<Sum> pomocí modula proto
+nebude správnÄ\9b fungovat a mÃsto $\1^b$ vygeneruje $\0^b$. To můžeme
+buď ošetřit zvlášť, nebo použít konstrukci přes násobení, které
+to nevadí.
\endlist
-\>Nyní je¹tì nìkolik operací s~normálními èísly. Chvíli pøedpokládejme,
-¾e pro~$b$-bitová èísla na~vstupu budeme mít k~dispozici $b^2$-bitový
-pracovní prostor, tak¾e budeme moci pou¾ívat vektory s~$b$ slo¾kami
+\>Nyní ještě několik operací s~normálními čísly. Chvíli předpokládejme,
+že pro~$b$-bitová čísla na~vstupu budeme mít k~dispozici $b^2$-bitový
+pracovnà prostor, takže budeme moci použÃvat vektory s~$b$ složkami
po~$b$ bitech.
\itemize\ibull
-\:$\#1(\alpha)$ -- spoèítá jednièkové bity v~zadaném èísle.
+\:$\#1(\alpha)$ -- spočítá jedničkové bity v~zadaném čísle.
-Staèí provést \<Unpack> a následnì \<Sum>.
+Stačí provést \<Unpack> a následně \<Sum>.
-\:$\<Permute>_\pi(\alpha)$ -- pøehází bity podle zadané fixní permutace.
+\:$\<Permute>_\pi(\alpha)$ -- přehází bity podle zadané fixní permutace.
-Provedeme $\<Unpack>_\pi$ a \<Pack> zpìt.
+Provedeme $\<Unpack>_\pi$ a \<Pack> zpět.
-\:$\<LSB>(\alpha)$ -- Least Significant Bit (pozice nejni¾¹í jednièky):
+\:$\<LSB>(\alpha)$ -- Least Significant Bit (pozice nejnižší jedničky):
-Podobnì jako v~rozcvièce nejdøíve vytvoøíme èíslo, které obsahuje
-nejni¾¹í jednièku a vpravo od~ní dal¹í jednièky, a~pak tyto jednièky
-posèítáme pomocí $\#1$:
+Podobně jako v~rozcvičce nejdříve vytvoříme číslo, které obsahuje
+nejnižší jedničku a vpravo od~ní další jedničky, a~pak tyto jedničky
+posčítáme pomocí $\#1$:
\alik{
\alpha&= \9\9\9\9\9\1\0\0\0\0\cr
\alpha\oplus(\alpha-1)&= \0\9\9\9\0\1\1\1\1\1\cr
}
-\:$\<MSB>(\alpha)$ -- Most Significant Bit (pozice nejvy¹¹í jednièky):
+\:$\<MSB>(\alpha)$ -- Most Significant Bit (pozice nejvyšší jedničky):
-Z~\<LSB> pomoc
í zrcadlení (operací \<Permute>).
+Z~\<LSB> pomoc
í zrcadlení (operací \<Permute>).
\endlist
-\>Poslední dvì operace doká¾eme spoèítat i v~lineárním prostoru, napøíklad
-pro \<MSB> takto: Rozdìlíme èíslo na bloky velikosti $\lfloor\sqrt{w}\rfloor$.
-Pak pro ka¾dý blok zjistíme, zda v~nìm je aspoò jedna jednièka, zavoláním
-$\<Cmp>(0,x)$. Pomocí \<Pack> z~toho dostaneme slovo~$y$ odmocninové
-délky, jeho¾ bity indikují neprázdné bloky. Na~toto èíslo zavoláme pøedchozí
-kvadratické \<MSB> a zjistíme index nejvy¹¹ího neprázdného bloku.
-Ten pak izolujeme a druhým voláním kvadratického algoritmu najdeme nejlevìj¹í
-jednièku uvnitø nìj.\foot{Dopou¹tíme se drobného podvùdku -- vektorové operace
-pøedpokládaly prostrkané nuly a ty tu nemáme. Mù¾eme si je ale snadno poøídit
-a bity, které jsme nulami pøepsali, prostì zpracovat zvlá¹».}
+\>Poslední dvě operace dokážeme spočítat i v~lineárním prostoru, například
+pro \<MSB> takto: Rozdělíme číslo na bloky velikosti $\lfloor\sqrt{w}\rfloor$.
+Pak pro každý blok zjistíme, zda v~něm je aspoň jedna jednička, zavoláním
+$\<Cmp>(0,x)$. Pomocí \<Pack> z~toho dostaneme slovo~$y$ odmocninové
+délky, jehož bity indikují neprázdné bloky. Na~toto číslo zavoláme předchozí
+kvadratické \<MSB> a zjistíme index nejvyššího neprázdného bloku.
+Ten pak izolujeme a druhým voláním kvadratického algoritmu najdeme nejlevější
+jedničku uvnitř něj.\foot{Dopouštíme se drobného podvůdku -- vektorové operace
+předpokládaly prostrkané nuly a ty tu nemáme. Můžeme si je ale snadno pořídit
+a bity, které jsme nulami přepsali, prostě zpracovat zvlášť.}
\references
\bye
\prednaska{8}{Q-Heaps}{}
-V~minulé kapitole jsme zavedli výpoèetní model RAM a nahlédli jsme,
-¾e na~nìm mù¾eme snadno simulovat vektorový poèítaè s~vektorovými operacemi pracujícími v~konstantním èase.
-Kdy¾ u¾ máme takový poèítaè, pojïme si ukázat, jaké datové struktury na~nìm mù¾eme
-vytváøet.
+V~minulé kapitole jsme zavedli výpočetní model RAM a nahlédli jsme,
+že na~něm můžeme snadno simulovat vektorový počítač s~vektorovými operacemi pracujícími v~konstantním čase.
+Když už máme takový poÄ\8dÃtaÄ\8d, pojÄ\8fme si ukázat, jaké datové struktury na~nÄ\9bm můžeme
+vytvářet.
-Svým sna¾ením budeme smìøovat ke~strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
-v~konstantním èase, pøièem¾ bude omezena buïto velikost èísel nebo maximální velikost
-struktury nebo obojí. Bez újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e hodnoty, které do~struktur
-ukládáme, jsou navzájem rùzné.
+Svým snažením budeme směřovat ke~strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
+v~konstantním čase, přičemž bude omezena buďto velikost čísel nebo maximální velikost
+struktury nebo obojí. Bez újmy na~obecnosti budeme předpokládat, že hodnoty, které do~struktur
+ukládáme, jsou navzájem různé.
-\s{Znaèení:} $w$~bude v¾dy znaèit ¹íøku slova RAMu a $n$~velikost vstupu algoritmu,
-v~nìm¾ datovou strukturu vyu¾íváme (speciálnì tedy víme, ¾e $w\ge\log n$).
+\s{Značení:} $w$~bude vždy značit šířku slova RAMu a $n$~velikost vstupu algoritmu,
+v~nÄ\9bmž datovou strukturu využÃváme (speciálnÄ\9b tedy vÃme, že $w\ge\log n$).
\h{Word-Encoded B-Tree}
-První strukturou, kterou popí¹eme, bude vektorová varianta B-stromu. Nemá je¹tì
-tak zajímavé parametry, ale odvozuje se snadno a jsou na~ní dobøe vidìt mnohé
-my¹lenky pou¾ívané ve~strukturách slo¾itìj¹ích.
+První strukturou, kterou popíšeme, bude vektorová varianta B-stromu. Nemá ještě
+tak zajímavé parametry, ale odvozuje se snadno a jsou na~ní dobře vidět mnohé
+myšlenky používané ve~strukturách složitějších.
-Pùjde o~obyèejný B-strom s daty v~listech, ov¹em kódovaný vektorovì. Do~listù
-stromu budeme ukládat $k$-bitové hodnoty, vnitøní vrcholy budou obsahovat pouze
-pomocné klíèe a budou mít nejvý¹e $B$ synù. Strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
-v¹ech klíèù ve~vrcholu si budeme ukládat jako vektor, ukazatele na~jednotlivé
+Půjde o~obyčejný B-strom s daty v~listech, ovšem kódovaný vektorově. Do~listů
+stromu budeme ukládat $k$-bitové hodnoty, vnitřní vrcholy budou obsahovat pouze
+pomocné klíče a budou mít nejvýše $B$ synů. Strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
+všech klíčů ve~vrcholu si budeme ukládat jako vektor, ukazatele na~jednotlivé
syny jakbysmet.
-Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, pøitom operace s~vrcholy
-provádíme vektorovì: vyhledání pozice prvku ve~vektoru pomocí operace \<Rank>,
-rozdìlení a sluèování vrcholù pomocí bitových posuvù a maskování, to v¹e
-v~èase $\O(1)$. Stromové operace (\<Find>, \<FindNext>, \<Insert>, \<Delete>, \dots)
-tedy stihneme v~èase $\O(h)$.
+Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, přitom operace s~vrcholy
+provádíme vektorově: vyhledání pozice prvku ve~vektoru pomocí operace \<Rank>,
+rozdělení a slučování vrcholů pomocí bitových posuvů a maskování, to vše
+v~čase $\O(1)$. Stromové operace (\<Find>, \<FindNext>, \<Insert>, \<Delete>, \dots)
+tedy stihneme v~čase $\O(h)$.
-Zbývá si rozmyslet, co~musí splòovat parametry struktury, aby se v¹echny
-vektory ve¹ly do~konstantního poètu slov. Kvùli vektorùm klíèù musí platit
-$Bk=\O(w)$. Jeliko¾ strom má a¾~$B^h$ listù a nejvý¹e tolik vnitøních vrcholù,
-ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitù, tak¾e pro vektory ukazatelù potøebujeme,
-aby bylo $Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napøíklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, èím¾
-získáme strukturu obsahující $w^{\O(1)}$ prvkù o~$\sqrt w$ bitech, která
-pracuje v~konstantním èase.
+Zbývá si rozmyslet, co~musí splňovat parametry struktury, aby se všechny
+vektory vešly do~konstantního počtu slov. Kvůli vektorům klíčů musí platit
+$Bk=\O(w)$. Jelikož strom má až~$B^h$ listů a nejvýše tolik vnitřních vrcholů,
+ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitů, takže pro vektory ukazatelů potřebujeme,
+aby bylo $Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napÅ\99Ãklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, Ä\8dÃmž
+získáme strukturu obsahující $w^{\O(1)}$ prvků o~$\sqrt w$ bitech, která
+pracuje v~konstantním čase.
\h{Q-Heap}
-Pøedchozí struktura má zajímavé vlastnosti, ale èasto je její pou¾ití
-znemo¾nìno omezením na~velikost èísel. Popí¹eme tedy o~nìco slo¾itìj¹í
-konstrukci od~Fredmana a Willarda \cite{fw90trans}, která doká¾e toté¾, ale s~a¾ $w$-bitovými èísly.
-Tato struktura má spí¹e teoretický význam (konstrukce je znaènì komplikovaná
-a skryté konstanty nemalé), ale pøekvapivì mnoho my¹lenek je pou¾itelných
+Předchozí struktura má zajímavé vlastnosti, ale často je její použití
+znemožněno omezením na~velikost čísel. Popíšeme tedy o~něco složitější
+konstrukci od~Fredmana a Willarda \cite{fw90trans}, která dokáže totéž, ale s~až $w$-bitovými čísly.
+Tato struktura má spíše teoretický význam (konstrukce je značně komplikovaná
+a skryté konstanty nemalé), ale překvapivě mnoho myšlenek je použitelných
i prakticky.
-\s{Znaèení:}
+\s{Značení:}
\itemize\ibull
-\:$k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
-\:$r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì,
-\:$X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
-\:$c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, ve~kterém se li¹í $x_i$ a
+\:$k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
+\:$r\le k$ -- aktuální počet prvků v~haldě,
+\:$X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- uložené $w$-bitové prvky, očíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
+\:$c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvyšší bit, ve~kterém se liší $x_i$ a
$x_{i+1}$,
-\:$\rank_X(x)$ -- poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
-(pøièem¾ $x$ mù¾e le¾et i mimo~$X$).
+\:$\rank_X(x)$ -- poÄ\8det prvků množiny~$X$, které jsou menÅ¡Ã než $x$
+(pÅ\99iÄ\8demž $x$ může ležet i mimo~$X$).
\endlist
-\s{Pøedvýpoèet:} Budeme ochotni obìtovat èas $\O(2^{k^4})$ na~pøedvýpoèet.
-To mù¾e znít hrozivì, ale ve~vìt¹inì aplikací bude $k=\log^{1/4} n$, tak¾e
-pøedvýpoèet stihneme v~èase $\O(n)$. V~takovém èase mimo jiné stihneme
-pøedpoèítat tabulku pro libovolnou funkci, která má vstup dlouhý $\O(k^3)$
-bitù a kterou pro ka¾dý vstup dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním èase.
-Nadále tedy mù¾eme bezpeènì pøedpokládat, ¾e v¹echny takové funkce
-umíme spoèítat v~konstantním èase.
-
-\s{Iterování:} V¹imnìte si, ¾e jakmile doká¾eme sestrojit haldu s~$k$ prvky
-pracující v~konstantním èase, mù¾eme s~konstantním zpomalením sestrojit
-i haldu s~$k^{\O(1)}$ prvky. Staèí si hodnoty ulo¾it do~listù stromu
-s~vìtvením $k$ a konstantním poètem hladin a v~ka¾dém vnitøním vrcholu
-si pamatovat minimum podstromu a Q-Heap s~hodnotami jeho synù. Tak doká¾eme
-ka¾dé vlo¾ení i odebrání prvku pøevést na~konstantnì mnoho operací s~Q-Heapy.
-
-\s{Náèrt} fungování Q-Heapu:
-Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme trii~$T$ a nevìtvící se cesty zkomprimujeme
-(nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitøní vrchol,
-který le¾í mezi $x_i$ a $x_{i+1}$, bude testovat $c_i$-tý bit èísla.
-Pokud budeme hledat nìkteré z~$x_i$, tyto vnitøní vrcholy (budeme jim
-øíkat {\I znaèky}\foot{tøeba turistické pro~orientaci v~lese}) nás správnì dovedou do~pøíslu¹ného listu. Pokud ale
-budeme hledat nìjaké jiné~$x$, zavedou nás do~nìjakého na~první pohled
-nesouvisejícího listu a teprve tam zjistíme, ¾e jsme zabloudili. K~na¹emu
-pøekvapení v¹ak to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítání ranku
-prvku a z~rankù u¾ odvodíme i ostatní operace.
-
-\s{Pøíklad:} Trie pro zadanou mno¾inu èísel. Ohodnocení hran je pouze pro názornost, není
-souèástí struktury.
+\s{Předvýpočet:} Budeme ochotni obětovat čas $\O(2^{k^4})$ na~předvýpočet.
+To může znÃt hrozivÄ\9b, ale ve~vÄ\9btÅ¡inÄ\9b aplikacà bude $k=\log^{1/4} n$, takže
+předvýpočet stihneme v~čase $\O(n)$. V~takovém čase mimo jiné stihneme
+předpočítat tabulku pro libovolnou funkci, která má vstup dlouhý $\O(k^3)$
+bitů a kterou pro každý vstup dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním čase.
+Nadále tedy můžeme bezpečně předpokládat, že všechny takové funkce
+umíme spočítat v~konstantním čase.
+
+\s{IterovánÃ:} VÅ¡imnÄ\9bte si, že jakmile dokážeme sestrojit haldu s~$k$ prvky
+pracující v~konstantním čase, můžeme s~konstantním zpomalením sestrojit
+i haldu s~$k^{\O(1)}$ prvky. Stačí si hodnoty uložit do~listů stromu
+s~větvením $k$ a konstantním počtem hladin a v~každém vnitřním vrcholu
+si pamatovat minimum podstromu a Q-Heap s~hodnotami jeho synů. Tak dokážeme
+každé vložení i odebrání prvku převést na~konstantně mnoho operací s~Q-Heapy.
+
+\s{Náčrt} fungování Q-Heapu:
+Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme trii~$T$ a nevětvící se cesty zkomprimujeme
+(nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitřní vrchol,
+který leží mezi $x_i$ a $x_{i+1}$, bude testovat $c_i$-tý bit čísla.
+Pokud budeme hledat některé z~$x_i$, tyto vnitřní vrcholy (budeme jim
+říkat {\I značky}\foot{třeba turistické pro~orientaci v~lese}) nás správně dovedou do~příslušného listu. Pokud ale
+budeme hledat nějaké jiné~$x$, zavedou nás do~nějakého na~první pohled
+nesouvisejícího listu a teprve tam zjistíme, že jsme zabloudili. K~našemu
+překvapení však to, kam jsme se dostali, bude stačit ke~spočítání ranku
+prvku a z~ranků už odvodíme i ostatní operace.
+
+\s{Příklad:} Trie pro zadanou množinu čísel. Ohodnocení hran je pouze pro názornost, není
+součástí struktury.
\fig{trie.eps}{\hsize}
-\s{Lemma R:} $\rank_X(x)$ je urèen jednoznaènì kombinací:
+\s{Lemma R:} $\rank_X(x)$ je určen jednoznačně kombinací:
\numlist\pnromanp
\:tvaru stromu $T$,
-\:indexu $i$ listu $x_i$, do~kterého nás zavede hledání hodnoty~$x$ ve~stromu,
+\:indexu $i$ listu $x_i$, do~kterého nás zavede hledání hodnoty~$x$ ve~stromu,
\:vztahu mezi $x$ a $x_i$ ($x<x_i$, $x>x_i$ nebo $x=x_i$) a
\:pozice $b=\msb(x \oplus x_i)$.
\endlist
-\proof Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
-Hodnoty znaèek klesají ve~smìru od koøene k~listùm a na cestì od koøene k~$x_i$ se
-v¹echny bity v $x_i$ na~pozicích urèených znaèkami shodují s bity v $x$. Pøitom
-a¾ do~pozice $b$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
-od~koøene a¾ po~$b$: pokud cesta odboèuje doprava, jsou v¹echny hodnoty
-v~levém podstromu men¹í ne¾~$x$, a~tedy se do~ranku zapoèítají. Pokud odboèuje
-doleva, jsou hodnoty v~pravém podstromu zaruèenì vìt¹í a nezapoèítají se.
-Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $b$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
-je jednièkový), jsou v¹echny hodnoty pod touto hranou vìt¹í; pøi opaèné nerovnosti
-jsou men¹í.
+\proof Pokud $x=x_i$, je zjevně $\rank_X(x) = i$. Předpokládejme tedy $x\ne x_i$.
+Hodnoty značek klesají ve~směru od kořene k~listům a na cestě od kořene k~$x_i$ se
+všechny bity v $x_i$ na~pozicích určených značkami shodují s bity v $x$. Přitom
+až do~pozice $b$ se shodují i bity značkami netestované. Sledujme tuto cestu
+od~kořene až po~$b$: pokud cesta odbočuje doprava, jsou všechny hodnoty
+v~levém podstromu menší než~$x$, a~tedy se do~ranku započítají. Pokud odbočuje
+doleva, jsou hodnoty v~pravém podstromu zaručeně větší a nezapočítají se.
+Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $b$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
+je jedničkový), jsou všechny hodnoty pod touto hranou větší; při opačné nerovnosti
+jsou menší.
\qed
-\s{Pøíklad:} Vezmìme mno¾inu $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_6\}$ z pøedchozího pøíkladu
-a poèítejme $\rank_X(011001)$. Místo první neshody je oznaèeno puntíkem.
-Platí $x>x_i$, tedy celý podstrom je men¹í ne¾ $x$, a~tak je $\rank_X(011001)=4$.
+\s{Příklad:} Vezměme množinu $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_6\}$ z předchozího příkladu
+a počítejme $\rank_X(011001)$. Místo první neshody je označeno puntíkem.
+Platà $x>x_i$, tedy celý podstrom je menšà než $x$, a~tak je $\rank_X(011001)=4$.
-Rádi bychom pøedchozí lemma vyu¾ili k~sestrojení tabulek, které podle uvedených
-hodnot vrátí rank prvku~$x$. K~tomu potøebujeme pøedev¹ím umìt indexovat tvarem
+Rádi bychom předchozí lemma využili k~sestrojení tabulek, které podle uvedených
+hodnot vrátí rank prvku~$x$. K~tomu potřebujeme především umět indexovat tvarem
stromu.
-\s{Pozorování:} Tvar trie je jednoznaènì urèen hodnotami $c_1,\ldots,c_{r-1}$
-(je to toti¾ kartézský strom nad tìmito hodnotami -- blí¾e viz kapitola o~dekompozicích
-stromù), hodnoty v~listech jsou $x_1,\ldots,x_r$ v~poøadí zleva doprava.
+\s{Pozorování:} Tvar trie je jednoznačně určen hodnotami $c_1,\ldots,c_{r-1}$
+(je to totiž kartézský strom nad těmito hodnotami -- blíže viz kapitola o~dekompozicích
+stromů), hodnoty v~listech jsou $x_1,\ldots,x_r$ v~pořadí zleva doprava.
-Kdykoliv chceme indexovat tvarem stromu, mù¾eme místo toho pou¾ít pøimo vektor
-$(c_1,\ldots,c_r-1)$, který má $k\log w$ bitù. To se sice u¾ vejde do vektoru,
-ale pro indexování tabulek je to stále pøíli¹ (v¹imnìte si, ¾e $\log w$ smí být
-vùèi~$k$ libovolnì vysoký -- pro~$w$ známe pouze dolní mez). Proto reprezentaci
-je¹tì rozdìlíme na dvì èásti:
+Kdykoliv chceme indexovat tvarem stromu, můžeme místo toho použít přimo vektor
+$(c_1,\ldots,c_r-1)$, který má $k\log w$ bitů. To se sice už vejde do vektoru,
+ale pro indexování tabulek je to stále příliš (všimněte si, že $\log w$ smí být
+vůči~$k$ libovolně vysoký -- pro~$w$ známe pouze dolní mez). Proto reprezentaci
+ještě rozdělíme na dvě části:
\itemize\ibull
-\:$B := \{c_1,\ldots,c_r\}$ (mno¾ina v¹ech pozic bitù, které trie testuje, ulo¾ená ve~vektoru setøídìnì),
-\:$C: \{1,\ldots,r\} \to B$ taková, ¾e $B[C(i)]=c_i$.
+\:$B := \{c_1,\ldots,c_r\}$ (množina všech pozic bitů, které trie testuje, uložená ve~vektoru setříděně),
+\:$C: \{1,\ldots,r\} \to B$ taková, že $B[C(i)]=c_i$.
\endlist
-\s{Lemma R':} $\rank_X(x)$ lze spoèítat v~konstantním èase~z:
+\s{Lemma R':} $\rank_X(x)$ lze spočítat v~konstantním čase~z:
\numlist\pnromanap
\:funkce $C$,
\:hodnot $x_1,\ldots,x_r$,
-\:$x[B]$ -- hodnot bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$.
+\:$x[B]$ -- hodnot bitů na~\uv{zajímavých} pozicích v~čísle~$x$.
\endlist
-\proof Z~pøedchozího lemmatu:
+\proof Z~předchozího lemmatu:
\numlist\pnromanp
-\:Tvar stromu závisí jen na~nerovnostech mezi polohami znaèek,
- tak¾e je jednoznaènì urèený funkcí~$C$.
-\:Z~tvaru stromu a $x[B]$ jednoznaènì plyne list $x_i$ a tyto vstupy
- jsou dostateènì krátké na~to, abychom mohli pøedpoèítat tabulku
- pro prùchod stromem.
-\:Relaci zjistíme prostým porovnáním, jakmile známe~$x_i$.
-\:MSB umíme na~RAMu poèítat v~konstantním èase.
+\:Tvar stromu závisí jen na~nerovnostech mezi polohami značek,
+ takže je jednoznačně určený funkcí~$C$.
+\:Z~tvaru stromu a $x[B]$ jednoznačně plyne list $x_i$ a tyto vstupy
+ jsou dostatečně krátké na~to, abychom mohli předpočítat tabulku
+ pro průchod stromem.
+\:Relaci zjistíme prostým porovnáním, jakmile známe~$x_i$.
+\:MSB umíme na~RAMu počítat v~konstantním čase.
\endlist
-Mezivýsledky (i)--(iv) jsou opìt dost krátké na~to, abychom jimi mohli
+Mezivýsledky (i)--(iv) jsou opět dost krátké na~to, abychom jimi mohli
indexovat tabulku.
\qed
-\>Poèítání rankù je témìø v¹e, co potøebujeme k~implementaci operací
-\<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jedinou dal¹í pøeká¾ku tvoøí zatøiïování
-do~seznamu $x_1,\ldots,x_r$, který je moc velký na~to, aby se ve¹el
-do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlá¹» hodnoty v~libovolném
-poøadí a zvlá¹» permutaci, která je setøídí -- ta se ji¾ do~vektoru vejde.
-Øeknìme tedy poøádnì, co~v¹e si bude struktura pamatovat:
+\>Počítání ranků je téměř vše, co potřebujeme k~implementaci operací
+\<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jedinou další překážku tvoří zatřiďování
+do~seznamu $x_1,\ldots,x_r$, který je moc velký na~to, aby se vešel
+do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlášť hodnoty v~libovolném
+poÅ\99adà a zvlášť permutaci, která je setÅ\99Ãdà -- ta se již do~vektoru vejde.
+Řekněme tedy pořádně, co~vše si bude struktura pamatovat:
\s{Stav struktury:}
\itemize\ibull
-\:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální poèet prvkù (èísla),
-\:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvkù v libovolném poøadí (pole èísel),
-\:$\varrho$ -- permutace na~$\{1,\ldots,r\}$ taková, ¾e $x_i=X[\varrho(i)]$
+\:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální počet prvků (čísla),
+\:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvků v libovolném pořadí (pole čísel),
+\:$\varrho$ -- permutace na~$\{1,\ldots,r\}$ taková, že $x_i=X[\varrho(i)]$
a $x_1<x_2<\ldots<x_r$ (vektor o~$r\cdot\log k$ bitech),
-\:$B$ -- mno¾ina \uv{zajímavých} bitových pozic (setøídìný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech),
-\:$C$ -- funkce popisující znaèky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot\log k$ bitech),
-\:pøedpoèítané tabulky pro rùzné funkce.
+\:$B$ -- množina \uv{zajímavých} bitových pozic (setříděný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech),
+\:$C$ -- funkce popisující značky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot\log k$ bitech),
+\:předpočítané tabulky pro různé funkce.
\endlist
-\>Nyní ji¾ uká¾eme, jak provádìt jednotlivé operace:
+\>Nyní již ukážeme, jak provádět jednotlivé operace:
\>$\<Find>(x):$
\algo
\:$i \leftarrow \rank_X(x)$.
-\:Pokud $x_i=x$, odpovíme {\sc ano,} jinak {\sc ne.}
+\:Pokud $x_i=x$, odpovíme {\sc ano,} jinak {\sc ne.}
\endalgo
\>$\<Insert>(x):$
\algo
\:$i \leftarrow \rank_X(x)$.
-\:Pokud $x=x_i$, hodnota u¾ je pøítomna.
-\:Ulo¾íme $x$ do~$X[\mathop{{+}{+}}r]$ a vlo¾íme $r$ na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
-\:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$. Pro ka¾dou zmìnu $c_j$:
-\::Pokud je¹tì nová hodnota není v~$B$, pøidáme ji tam.
-\::Upravíme $C(j)$, aby ukazovalo na~tuto hodnotu.
-\::Upravíme ostatní prvky~$C$, ukazující na hodnoty v~$B$, které se vlo¾ením posunuly.
-\::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje ¾ádné jiné $C(\cdot)$, sma¾eme ji z~$B$.
+\:Pokud $x=x_i$, hodnota už je přítomna.
+\:Uložíme $x$ do~$X[\mathop{{+}{+}}r]$ a vložíme $r$ na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
+\:Přepočítáme $c_{i-1}$ a $c_i$. Pro každou změnu $c_j$:
+\::Pokud ještě nová hodnota není v~$B$, přidáme ji tam.
+\::Upravíme $C(j)$, aby ukazovalo na~tuto hodnotu.
+\::Upravíme ostatní prvky~$C$, ukazující na hodnoty v~$B$, které se vložením posunuly.
+\::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje žádné jiné $C(\cdot)$, smažeme ji z~$B$.
\endalgo
\>$\<Delete>(x):$
\algo
-\:$i \leftarrow \rank_X(x)$ (víme, ¾e $x_i=x$).
-\:Sma¾eme $x_i$ z~pole~$X$ (napøíklad prohozením s~posledním prvkem) a pøíslu¹nì upravíme~$\varrho$.
-\:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$ a upravíme $B$ a $C$ jako pøi Insertu.
+\:$i \leftarrow \rank_X(x)$ (vÃme, že $x_i=x$).
+\:Smažeme $x_i$ z~pole~$X$ (například prohozením s~posledním prvkem) a příslušně upravíme~$\varrho$.
+\:Přepočítáme $c_{i-1}$ a $c_i$ a upravíme $B$ a $C$ jako při Insertu.
\endalgo
-\s{Èasová slo¾itost:} V¹echny kroky operací po~výpoètu ranku trvají konstantní èas, rank
-samotný zvládneme spoèítat v~$\O(1)$ pomocí tabulek, pokud známe $x[B]$. Zde je ov¹em
-nalíèen háèek -- tuto operaci nelze na~Word-RAMu konstantním poètem instrukcí spoèítat.
-Pomoci si mù¾eme dvìma zpùsoby:
+\s{Časová složitost:} Všechny kroky operací po~výpočtu ranku trvají konstantní čas, rank
+samotný zvládneme spočítat v~$\O(1)$ pomocí tabulek, pokud známe $x[B]$. Zde je ovšem
+nalíčen háček -- tuto operaci nelze na~Word-RAMu konstantním počtem instrukcí spočítat.
+Pomoci si můžeme dvěma způsoby:
\numlist\nalpha
-\:Vyu¾ijeme toho, ¾e operace $x[B]$ je v~${\rm AC}^0$, a vystaèíme si se strukturou pro ${\rm AC}^0$-RAM.
-Zde dokonce mù¾eme vytváøet haldy velikosti a¾ $w\log w$. Také pøi praktické implementaci mù¾eme vyu¾ít
-toho, ¾e souèasné procesory mají instrukce na~spoustu zajímavých ${\rm AC}^0$-operací, viz napø. pìkný
+\:Využijeme toho, že operace $x[B]$ je v~${\rm AC}^0$, a vystačíme si se strukturou pro ${\rm AC}^0$-RAM.
+Zde dokonce můžeme vytvářet haldy velikosti až $w\log w$. Také při praktické implementaci můžeme využít
+toho, že současné procesory mají instrukce na~spoustu zajímavých ${\rm AC}^0$-operací, viz např. pěkný
rozbor v \cite{thorup:ac0}.
-\:Jeliko¾ $B$ se pøi jedné Q-Heapové operaci mìní pouze o~konstantní poèet prvkù, mù¾eme
-si udr¾ovat pomocné struktury, které budeme umìt pøi lokální zmìnì~$B$ v~lineárním èase
-pøepoèítat a pak pomocí nich indexovat. To pomocí Word-RAMu lze zaøídit, ale je to technicky
-dosti nároèné, tak¾e ètenáøe zvìdavého na~detaily odkazujeme na~èlánek \cite{fw90trans}.
+\:Jelikož $B$ se pÅ\99i jedné Q-Heapové operaci mÄ\9bnà pouze o~konstantnà poÄ\8det prvků, můžeme
+si udržovat pomocné struktury, které budeme umět při lokální změně~$B$ v~lineárním čase
+přepočítat a pak pomocí nich indexovat. To pomocí Word-RAMu lze zařídit, ale je to technicky
+dosti náročné, takže čtenáře zvědavého na~detaily odkazujeme na~článek \cite{fw90trans}.
\endlist
-\h{Aplikace Q-Heapù}
+\h{Aplikace Q-Heapů}
-Jedním velice pìkným dùsledkem existence Q-Heapù je lineární algoritmus na~nalezení
-minimální kostry grafu ohodnoceného celými èísly. Získáme ho z~Fredmanovy a Tarjanovy
-varianty Jarníkova algoritmu (viz kapitoly o~kostrách) tak, ¾e v~první iteraci pou¾ijeme
-jako haldu Q-Heap velikosti $\log^{1/4} n$ a pak budeme pokraèovat s~pùvodní Fibonacciho
-haldou. Tak provedeme tolik prùchodù, kolikrát je potøeba zlogaritmovat $n$,
-aby výsledek klesl pod~$\log^{1/4} n$, a~to je konstanta. V¹imnìte si, ¾e by nám
-dokonce staèila halda velikosti $\Omega(\log^{(k)} n)$ s~operacemi v~konstantním èase
-pro nìjaké libovolné~$k$.
+Jedním velice pěkným důsledkem existence Q-Heapů je lineární algoritmus na~nalezení
+minimální kostry grafu ohodnoceného celými čísly. Získáme ho z~Fredmanovy a Tarjanovy
+varianty JarnÃkova algoritmu (viz kapitoly o~kostrách) tak, že v~prvnà iteraci použijeme
+jako haldu Q-Heap velikosti $\log^{1/4} n$ a pak budeme pokračovat s~původní Fibonacciho
+haldou. Tak provedeme tolik průchodů, kolikrát je potřeba zlogaritmovat $n$,
+aby výsledek klesl pod~$\log^{1/4} n$, a~to je konstanta. Všimněte si, že by nám
+dokonce stačila halda velikosti $\Omega(\log^{(k)} n)$ s~operacemi v~konstantním čase
+pro nějaké libovolné~$k$.
\references
\bye
\input ../sgr.tex
-\hyphenation{mikro-strom mikro-stro-mo-vé}
+\hyphenation{mikro-strom mikro-stro-mo-vé}
-\prednaska{9}{Dekompozice stromù}{}
+\prednaska{9}{Dekompozice stromů}{}
-V~této kapitole uká¾eme nìkolik datových struktur zalo¾ených
-na~my¹lence dekompozice problému na~dostateènì malé podproblémy,
-které u¾ umíme (obvykle vhodným kódováním èísly) øe¹it v~konstantním
-èase.
+V~této kapitole ukážeme několik datových struktur založených
+na~myšlence dekompozice problému na~dostatečně malé podproblémy,
+které už umíme (obvykle vhodným kódováním čísly) řešit v~konstantním
+čase.
\h{Union-Find Problem}
-\s{Problém:} Udr¾ování tøíd ekvivalence: na~poèátku máme $N$ jednoprvkových ekvivalenèních
-tøíd, provádíme operace \<Find> (zji¹tìní, zda dva prvky jsou ekvivalentní) a \<Union>
-(slouèení dvou tøíd do~jedné). Také na~to lze pohlí¾et jako na~inkrementální udr¾ování
-komponent souvislosti neorientovaného grafu: \<Union> je pøidání hrany, \<Find> test,
-zda dva vrcholy le¾í v~té¾e komponentì. To se hodí v~mnoha algoritmech, kupøíkladu
-v~Kruskalovì algoritmu pro hledání minimální kostry.
-
-\s{Triviální øe¹ení:} Prvky ka¾dé tøídy obarvíme unikátní barvou (identifikátorem
-tøídy). Operace \<Find> porovnává barvy, \<Union> prvky jedné ze~sjednocovaných
-tøíd pøebarvuje.
-
-Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární èas. Mù¾eme si
-pomoci tím, ¾e v¾dy pøebarvíme {\I men¹í} ze~sluèovaných ekvivalenèních tøíd (budeme
-si pro ka¾dou tøídu pamatovat seznam jejích prvkù a velikost). Tehdy mù¾e být ka¾dý
-prvek pøebarven jen $\O(\log n)$-krát, jeliko¾ ka¾dým pøebarvením se alespoò zdvojnásobí
-velikost tøídy, ve~které prvek le¾í. Posloupnost operací \<Union>, kterou vznikla tøída
-velikosti~$k$, tak trvá $\O(k\log k)$, tak¾e mù¾eme bezpeènì prohlásit, ¾e amortizovaná
-slo¾itost operace \<Union> je $\O(\log n)$.
-
-\s{Chytøej¹í øe¹ení:} Ka¾dou tøídu budeme reprezentovat zakoøenìným stromem s~hranami
-orientovanými smìrem ke~koøeni (jinými slovy pro ka¾dý prvek si pamatujeme jeho otce
-nebo ¾e je to koøen). \<Find> nalezne koøeny stromù a porovná je, \<Union> pøipojí koøen
-jedné tøídy pod koøen druhé. Aby stromy nedegenerovaly, pøidáme dvì pravidla:
+\s{Problém:} Udržování tříd ekvivalence: na~počátku máme $N$ jednoprvkových ekvivalenčních
+tříd, provádíme operace \<Find> (zjištění, zda dva prvky jsou ekvivalentní) a \<Union>
+(sloučení dvou tříd do~jedné). Také na~to lze pohlížet jako na~inkrementální udržování
+komponent souvislosti neorientovaného grafu: \<Union> je přidání hrany, \<Find> test,
+zda dva vrcholy leží v~téže komponentě. To se hodí v~mnoha algoritmech, kupříkladu
+v~Kruskalově algoritmu pro hledání minimální kostry.
+
+\s{Triviální řešení:} Prvky každé třídy obarvíme unikátní barvou (identifikátorem
+třídy). Operace \<Find> porovnává barvy, \<Union> prvky jedné ze~sjednocovaných
+tříd přebarvuje.
+
+Operace \<Find> tak pracuje v~konstantnÃm Ä\8dase, \<Union> může zabrat až lineárnà Ä\8das. Můžeme si
+pomoci tím, že vždy přebarvíme {\I menší} ze~slučovaných ekvivalenčních tříd (budeme
+si pro každou třídu pamatovat seznam jejích prvků a velikost). Tehdy může být každý
+prvek přebarven jen $\O(\log n)$-krát, jelikož každým přebarvením se alespoň zdvojnásobí
+velikost třídy, ve~které prvek leží. Posloupnost operací \<Union>, kterou vznikla třída
+velikosti~$k$, tak trvá $\O(k\log k)$, takže můžeme bezpečně prohlásit, že amortizovaná
+složitost operace \<Union> je $\O(\log n)$.
+
+\s{Chytřejší řešení:} Každou třídu budeme reprezentovat zakořeněným stromem s~hranami
+orientovanými směrem ke~kořeni (jinými slovy pro každý prvek si pamatujeme jeho otce
+nebo že je to kořen). \<Find> nalezne kořeny stromů a porovná je, \<Union> připojí kořen
+jedné třídy pod kořen druhé. Aby stromy nedegenerovaly, přidáme dvě pravidla:
\itemize\ibull
-\:{\I Union dle ranku:} ka¾dý koøen $v$ si bude pamatuje svùj rank $r(v)$, co¾ je nìjaké
-pøirozené èíslo. Na~poèátku jsou v¹echny ranky nulové. Pokud spojujeme
-dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
-Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
-\foot{Stejnì by fungovalo pravidlo {\I Union dle velikosti,} které pøipojuje men¹í
-strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í a snáze se analyzují.}
-
-\:{\I Komprese cest:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
-bìhem operace \<Find>), pøepojíme v¹echny vrcholy na~cestì, po~které jsme pro¹li,
-rovnou pod koøen.
+\:{\I Union dle ranku:} každý kořen $v$ si bude pamatuje svůj rank $r(v)$, což je nějaké
+přirozené číslo. Na~počátku jsou všechny ranky nulové. Pokud spojujeme
+dva stromy s~kořeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, připojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
+Pokud $r(v)=r(w)$, připojíme libovolně a nový kořen bude mít rank $r(v)+1$.%
+\foot{Stejně by fungovalo pravidlo {\I Union dle velikosti,} které připojuje menší
+strom pod větší, ale ranky máme raději, neb jsou skladnější a snáze se analyzují.}
+
+\:{\I Komprese cest:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~kořene (například
+během operace \<Find>), přepojíme všechny vrcholy na~cestě, po~které jsme prošli,
+rovnou pod kořen.
\endlist
-Pro úèely analýzy struktury budeme uva¾ovat také ranky ostatních vrcholù -- ka¾dý vrchol
-si ponese svùj rank z~doby, kdy byl naposledy koøenem. Struktura se ov¹em
-podle rankù vnitøních vrcholù nijak neøídí a nemusí si je ani pamatovat.
-Stromu s~koøenem ranku~$r$ budeme zkrácenì øíkat {\I strom ranku~$r$.}
+Pro účely analýzy struktury budeme uvažovat také ranky ostatních vrcholů -- každý vrchol
+si ponese svůj rank z~doby, kdy byl naposledy kořenem. Struktura se ovšem
+podle ranků vnitřních vrcholů nijak neřídí a nemusí si je ani pamatovat.
+Stromu s~kořenem ranku~$r$ budeme zkráceně říkat {\I strom ranku~$r$.}
-\s{Invariant~C:} Na ka¾dé cestì z~vrcholu do~koøene pøíslu¹ného stromu ranky
-ostøe rostou. Jinými slovy rank vrcholu, který není koøen, je men¹í, ne¾ je rank
+\s{Invariant~C:} Na každé cestě z~vrcholu do~kořene příslušného stromu ranky
+ostÅ\99e rostou. Jinými slovy rank vrcholu, který nenà koÅ\99en, je menÅ¡Ã, než je rank
jeho otce.
\proof
-Na poèátku (pro jednovrcholové stromy) tvrzení jistì platí.
-Nech» provedeme Union, který pøipojí vrchol~$v$ pod~$w$. Cesty do~koøene z~vrcholù,
-které le¾ely pod~$w$, zùstanou zachovány, pouze se vrcholu~$w$ pøípadnì
-zvý¹í rank. Cesty z~vrcholù pod~$v$ se roz¹íøí o~hranu~$vw$, na které rank
-v~ka¾dém pøípadì roste.
-Komprese cest nahrazuje otce vrcholu jeho vzdálenìj¹ím pøedkem, tak¾e se rank
-otce mù¾e jedinì zvý¹it.
+Na počátku (pro jednovrcholové stromy) tvrzení jistě platí.
+Nechť provedeme Union, který připojí vrchol~$v$ pod~$w$. Cesty do~kořene z~vrcholů,
+které ležely pod~$w$, zůstanou zachovány, pouze se vrcholu~$w$ případně
+zvýší rank. Cesty z~vrcholů pod~$v$ se rozšíří o~hranu~$vw$, na které rank
+v~každém případě roste.
+Komprese cest nahrazuje otce vrcholu jeho vzdálenÄ\9bjÅ¡Ãm pÅ\99edkem, takže se rank
+otce může jedině zvýšit.
\qed
-\s{Invariant~R:} Strom ranku~$r$ obsahuje alespoò $2^r$ vrcholù.
+\s{Invariant~R:} Strom ranku~$r$ obsahuje alespoň $2^r$ vrcholů.
\proof
-Indukcí podle èasu. Pro jednovrcholové stromy o~nulovém ranku tvrzení platí.
-Nech» pøipojíme vrchol~$v$ pod vrchol~$w$. Je-li $r(v)<r(w)$, rank stromu
-zùstane zachován a strom se je¹tì zvìt¹í. Je-li $r(v)=r(w)$, rank stromu
-se zvìt¹í o~1, ale z~indukce víme, ¾e oba spojované stromy mìly alespoò
-$2^{r(v)}$ vrcholù, tak¾e jejich spojením vznikne strom o~alespoò $2^{r(v)+1}$
-vrcholech. Komprese cest zasahuje pouze do~vnitøní struktury stromu, ranky
-ani velikosti stromù nemìní.
+Indukcí podle času. Pro jednovrcholové stromy o~nulovém ranku tvrzení platí.
+Nechť připojíme vrchol~$v$ pod vrchol~$w$. Je-li $r(v)<r(w)$, rank stromu
+zůstane zachován a strom se ještě zvětší. Je-li $r(v)=r(w)$, rank stromu
+se zvětší o~1, ale z~indukce víme, že oba spojované stromy měly alespoň
+$2^{r(v)}$ vrcholů, takže jejich spojením vznikne strom o~alespoň $2^{r(v)+1}$
+vrcholech. Komprese cest zasahuje pouze do~vnitřní struktury stromu, ranky
+ani velikosti stromů nemění.
\qed
-\s{Dùsledek:} Rank ka¾dého stromu je $\O(\log n)$, tak¾e rank ka¾dého vnitøního
-vrcholu takté¾. Díky invariantu~C strávíme výstupem z~ka¾dého vrcholu do~koøene
-také èas $\O(\log n)$, tak¾e logaritmická je i slo¾itost operací \<Union> a \<Find>.
+\s{Důsledek:} Rank každého stromu je $\O(\log n)$, takže rank každého vnitřního
+vrcholu taktéž. Díky invariantu~C strávíme výstupem z~každého vrcholu do~kořene
+také čas $\O(\log n)$, takže logaritmická je i složitost operací \<Union> a \<Find>.
-K~tomu nám ov¹em staèilo samotné pravidlo Union podle ranku, o~kompresi cest
-jsme zatím dokázali pouze to, ¾e slo¾itost v~nejhor¹ím pøípadì nezhor¹uje.%
-\foot{Mimochodem, Komprese cest samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila \cite{tarjan84setunion}.}
-Kombinace obou metod se ve~skuteènosti chová mnohem lépe:
+K~tomu nám ovšem stačilo samotné pravidlo Union podle ranku, o~kompresi cest
+jsme zatím dokázali pouze to, že složitost v~nejhorším případě nezhoršuje.%
+\foot{Mimochodem, Komprese cest samotná by také na~složitost $\O(\log n)$ amortizovaně stačila \cite{tarjan84setunion}.}
+Kombinace obou metod se ve~skutečnosti chová mnohem lépe:
-\s{Vìta:} (Tarjan, van Leeuwen \cite{tarjan84setunion})
-Posloupnost $m$~operací \<Union> a \<Find> provedená na~prázdné struktuøe s~$n$ vrcholy
-trvá $\O(n + m\alpha(m,n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
-\foot{Je známo \cite{fredman:cellprobe}, ¾e asymptoticky lep¹í slo¾itosti nelze dosáhnout,
-a~to ani v~modelu silnìj¹ím ne¾ RAM. Námi uvádìný algoritmus si témìø vystaèí
-s~Pointer Machine, jen porovnávání rankù z~tohoto modelu vyboèuje. Slo¾itost
-operací v~nejhor¹ím pøípadì je obecnì hor¹í, je znám dolní odhad $\Omega(\log n/\log\log n)$;
-více viz Alstrup \cite{alstrup:worstuf}.}
+\s{Věta:} (Tarjan, van Leeuwen \cite{tarjan84setunion})
+Posloupnost $m$~operací \<Union> a \<Find> provedená na~prázdné struktuře s~$n$ vrcholy
+trvá $\O(n + m\alpha(m,n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
+\foot{Je známo \cite{fredman:cellprobe}, že asymptoticky lepší složitosti nelze dosáhnout,
+a~to ani v~modelu silnějším než RAM. Námi uváděný algoritmus si téměř vystačí
+s~Pointer Machine, jen porovnávánà ranků z~tohoto modelu vyboÄ\8duje. Složitost
+operací v~nejhorším případě je obecně horší, je znám dolní odhad $\Omega(\log n/\log\log n)$;
+více viz Alstrup \cite{alstrup:worstuf}.}
-Dùkaz této vìty neuvádíme, jeliko¾ je technicky dosti nároèný. Místo toho podobnou
-metodou uká¾eme trochu slab¹í výsledek s~iterovaným logaritmem:
+Důkaz této věty neuvádíme, jelikož je technicky dosti náročný. Místo toho podobnou
+metodou ukážeme trochu slabší výsledek s~iterovaným logaritmem:
-\s{Vìta':} Ve~struktuøe s~$n$ prvky trvá provedení posloupnosti $m$~operací
+\s{Věta':} Ve~struktuře s~$n$ prvky trvá provedení posloupnosti $m$~operací
\<Union> a \<Find> $\O((n+m)\cdot\log^* n)$.
\def\up{\mathop{\uparrow}}
-\s{Definice:} {\I Vì¾ovou funkci} $2\up k$ definujeme následovnì: $2\up 0=1$,
+\s{Definice:} {\I Věžovou funkci} $2\up k$ definujeme následovně: $2\up 0=1$,
$2\up (k+1)=2^{2\up k}$.
-Funkce $2\up k$ je tedy $k$-krát iterovaná mocnina dvojky a $\log^*$ je funkce
-k~této funkci inverzní.
+Funkce $2\up k$ je tedy $k$-krát iterovaná mocnina dvojky a $\log^*$ je funkce
+k~této funkci inverzní.
-Vrcholy ve~struktuøe si nyní rozdìlíme podle jejich rankù:
-$k$-tá skupina bude tvoøena tìmi vrcholy, jejich¾ rank je od~$2\up (k-1)+1$ do~$2\up k$. Vrcholy jsou
-tedy rozdìleny do~$1+\log^*\log n$ skupin. Odhadnìme nyní shora poèet vrcholù v~$k$-té
-skupinì.
+Vrcholy ve~struktuře si nyní rozdělíme podle jejich ranků:
+$k$-tá skupina bude tvoÅ\99ena tÄ\9bmi vrcholy, jejichž rank je od~$2\up (k-1)+1$ do~$2\up k$. Vrcholy jsou
+tedy rozděleny do~$1+\log^*\log n$ skupin. Odhadněme nyní shora počet vrcholů v~$k$-té
+skupině.
-\s{Invariant~S:} V~$k$-té skupinì le¾í nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù.
+\s{Invariant~S:} V~$k$-té skupině leží nejvýše $n/(2\up k)$ vrcholů.
\proof
-Nejprve uká¾eme, ¾e vrcholù s~rankem~$r$ je nejvý¹e $n/2^r$. Kdybychom nekomprimovali
-cesty, snadno to plyne z~invariantù~C a~R: ka¾dému vrcholu ranku~$r$ pøiøadíme v¹ech
-jeho alespoò $2^r$ potomkù. Jeliko¾ ranky na cestách smìrem ke~koøeni rostou, ¾ádného
-potomka jsme nemohli pøiøadit více vrcholùm. Komprese cest ov¹em nemù¾e invariant
-poru¹it, proto¾e nemìní ranky ani rozhodnutí, jak probìhne který \<Union>.
+Nejprve ukážeme, že vrcholů s~rankem~$r$ je nejvýše $n/2^r$. Kdybychom nekomprimovali
+cesty, snadno to plyne z~invariantů~C a~R: každému vrcholu ranku~$r$ přiřadíme všech
+jeho alespoň $2^r$ potomků. Jelikož ranky na cestách směrem ke~kořeni rostou, žádného
+potomka jsme nemohli pÅ\99iÅ\99adit vÃce vrcholům. Komprese cest ovÅ¡em nemůže invariant
+porušit, protože nemění ranky ani rozhodnutí, jak proběhne který \<Union>.
-Teï u¾ staèí odhad $n/2^r$ seèíst pøes v¹echny ranky ve~skupinì:
+Teď už stačí odhad $n/2^r$ sečíst přes všechny ranky ve~skupině:
$$
{n \over 2^{2\up(k-1)+1}} + {n \over 2^{2\up(k-1)+2}} + \cdots + {n \over 2^{2\up k}} \le
{n \over 2^{2\up(k-1)}} \cdot \sum_{i=1}^\infty {1 \over 2^i} =
$$
\qed
-\>{\sl Dùkaz vìty:}
-Operace \<Union> a \<Find> potøebují nekonstantní èas pouze na~vystoupání
-po~cestì ze~zadaného vrcholu~$v$ do~koøene stromu. Èas strávený na~této cestì
-je pøímo úmìrný poètu hran cesty. Celá cesta je pøitom rozpojena a v¹echny
-vrcholy le¾ící na~ní jsou pøepojeny pøímo pod~koøen stromu.
-
-Hrany cesty, které spojují vrcholy z~rùzných skupin (takových je $\O(\log^* n)$),
-naúètujeme právì provádìné operaci. Celkem jimi tedy strávíme èas $\O(m\log^*n)$.
-Zbylé hrany budeme poèítat pøes celou dobu bìhu algoritmu a úètovat je vrcholùm.
-
-Uva¾me vrchol~$v$ v~$k$-té skupinì, jeho¾ rodiè le¾í také v~$k$-té skupinì.
-Jeliko¾ hrany na cestách do~koøene ostøe rostou, ka¾dým pøepojením vrcholu~$v$ rank jeho
-rodièe vzroste. Proto po nejvý¹e $2\up k$ pøepojeních se bude rodiè vrcholu~$v$ nacházet
-v~nìkteré z~vy¹¹ích skupin. Jeliko¾ rank vrcholu~$v$ se u¾ nikdy nezmìní, bude hrana z~$v$
-do~jeho otce ji¾ nav¾dy hranou mezi skupinami. Ka¾dému vrcholu v~$k$-té skupinì tedy naúètujeme
-nejvý¹e $2\up k$ pøepojení a jeliko¾, jak u¾ víme, jeho skupina obsahuje nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù,
-naúètujeme celé skupinì èas $\O(n)$ a v¹em skupinám dohromady $\O(n\log^* n)$.
+\>{\sl Důkaz věty:}
+Operace \<Union> a \<Find> potřebují nekonstantní čas pouze na~vystoupání
+po~cestě ze~zadaného vrcholu~$v$ do~kořene stromu. Čas strávený na~této cestě
+je přímo úměrný počtu hran cesty. Celá cesta je přitom rozpojena a všechny
+vrcholy ležící na~ní jsou přepojeny přímo pod~kořen stromu.
+
+Hrany cesty, které spojují vrcholy z~různých skupin (takových je $\O(\log^* n)$),
+naúčtujeme právě prováděné operaci. Celkem jimi tedy strávíme čas $\O(m\log^*n)$.
+Zbylé hrany budeme počítat přes celou dobu běhu algoritmu a účtovat je vrcholům.
+
+Uvažme vrchol~$v$ v~$k$-té skupině, jehož rodič leží také v~$k$-té skupině.
+Jelikož hrany na cestách do~kořene ostře rostou, každým přepojením vrcholu~$v$ rank jeho
+rodiče vzroste. Proto po nejvýše $2\up k$ přepojeních se bude rodič vrcholu~$v$ nacházet
+v~některé z~vyšších skupin. Jelikož rank vrcholu~$v$ se už nikdy nezmění, bude hrana z~$v$
+do~jeho otce již navždy hranou mezi skupinami. Každému vrcholu v~$k$-té skupině tedy naúčtujeme
+nejvýše $2\up k$ přepojení a jelikož, jak už víme, jeho skupina obsahuje nejvýše $n/(2\up k)$ vrcholů,
+naúčtujeme celé skupině čas $\O(n)$ a všem skupinám dohromady $\O(n\log^* n)$.
\qed
-\h{Union-Find s~pøedem známými Uniony}
+\h{Union-Find s~předem známými Uniony}
-Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problému, v~ní¾ dopøedu známe
-posloupnost Unionù, èili strom, který spojováním komponent vznikne.\foot{Kdy se to hodí?
-Tøeba v~Thorupovì lineárním algoritmu \cite{thorup:usssp} na~nejkrat¹í cesty nebo
-ve~Weiheho takté¾ lineárním algoritmu \cite{weihe:paths} na~hledání hranovì disjunktních
-cest v~rovinných grafech.}
-Jiná interpretace tého¾ (jen pozpátku) je dekrementální udr¾ování komponent
-souvislosti lesa: na~poèátku je dán les, umíme smazat hranu a otestovat, zda jsou
-dva vrcholy v~tém¾e stromu.
+Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problému, v~níž dopředu známe
+posloupnost Unionů, čili strom, který spojováním komponent vznikne.\foot{Kdy se to hodí?
+Třeba v~Thorupově lineárním algoritmu \cite{thorup:usssp} na~nejkratší cesty nebo
+ve~Weiheho taktéž lineárním algoritmu \cite{weihe:paths} na~hledání hranově disjunktních
+cest v~rovinných grafech.}
+Jiná interpretace téhož (jen pozpátku) je dekrementální udržování komponent
+souvislosti lesa: na~počátku je dán les, umíme smazat hranu a otestovat, zda jsou
+dva vrcholy v~témže stromu.
-Popí¹eme algoritmus,
-který po~poèáteèním pøedzpracování v~èase $\O(n)$ zvládne \<Union> i \<Find> v~amortizovanì
-konstantním èase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných Alstrupem \cite{alstrup97optimal,alstrup98marked}.
+Popíšeme algoritmus,
+který po~počátečním předzpracování v~čase $\O(n)$ zvládne \<Union> i \<Find> v~amortizovaně
+konstantním čase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných Alstrupem \cite{alstrup97optimal,alstrup98marked}.
-\s{Definice:} {\I (Microtree/Macrotree dekompozice)} Pro zakoøenìný strom $T$ o~$n$ vrcholech
+\s{Definice:} {\I (Microtree/Macrotree dekompozice)} Pro zakořeněný strom $T$ o~$n$ vrcholech
definujeme:
\itemize\ibull
-\:{\I Koøeny mikrostromù} budou nejvy¹¹í vrcholy v~$T$, pod~nimi¾ je nejvý¹e $\log n$ listù
-a které nejsou koøenem celého~$T$.
-\:{\I Mikrostromy} le¾í v~$T$ od~tìchto koøenù ní¾e.
-\:{\I Spojovací hrany} vedou z~koøenù mikrostromù do~jejich otcù.
-\:{\I Makrostrom} je tvoøen zbývajícími vrcholy a hranami stromu~$T$.
+\:{\I Kořeny mikrostromů} budou nejvyšší vrcholy v~$T$, pod~nimiž je nejvýše $\log n$ listů
+a které nejsou kořenem celého~$T$.
+\:{\I Mikrostromy} ležà v~$T$ od~tÄ\9bchto koÅ\99enů nÞe.
+\:{\I Spojovací hrany} vedou z~kořenů mikrostromů do~jejich otců.
+\:{\I Makrostrom} je tvořen zbývajícími vrcholy a hranami stromu~$T$.
\endlist
-\s{Pozorování:} Ka¾dý mikrostrom má nejvý¹e $\log n$ listù. Pod ka¾dým listem makrostromu le¾í
-alespoò jeden mikrostrom (mù¾e jich být i více, viz dekompozice hvìzdy na~obrázku), tak¾e
-listù makrostromu je nejvý¹e $n/\log n$.
+\s{Pozorování:} Každý mikrostrom má nejvýše $\log n$ listů. Pod každým listem makrostromu leží
+alespoÅ\88 jeden mikrostrom (může jich být i vÃce, viz dekompozice hvÄ\9bzdy na~obrázku), takže
+listů makrostromu je nejvýše $n/\log n$.
-Vnitøních vrcholù makro- i mikrostromù ale mù¾e být ne¹ikovnì mnoho, proto¾e se ve~stromech mohou
-vyskytovat dlouhé cesty. Pomù¾eme si snadno: ka¾dou cestu si budeme pamatovat zvlá¹» a ve~stromu
-ji nahradíme hranou, která bude vlo¾ena právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
+VnitÅ\99nÃch vrcholů makro- i mikrostromů ale může být neÅ¡ikovnÄ\9b mnoho, protože se ve~stromech mohou
+vyskytovat dlouhé cesty. Pomůžeme si snadno: každou cestu si budeme pamatovat zvlášť a ve~stromu
+ji nahradíme hranou, která bude vložena právě tehdy, když budou přítomny všechny hrany cesty.
-\s{Pøíklad:} Následující obrázek ukazuje dekompozici nìkolika stromù za~pøedpokladu,
-¾e $\log n=4$. Vrcholy mikrostromù jsou èerné, makrostromu bílé. Spojovací hrany kreslíme teèkovanì,
-hrany komprimovaných cest tuènì.
+\s{Příklad:} Následující obrázek ukazuje dekompozici několika stromů za~předpokladu,
+že $\log n=4$. Vrcholy mikrostromů jsou černé, makrostromu bílé. Spojovací hrany kreslíme tečkovaně,
+hrany komprimovaných cest tučně.
\medskip
\fig{mima.eps}{\epsfxsize}
-\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si ulo¾íme
-mno¾iny ji¾ pøítomných hran (po~bitech jako èísla). Pak si je¹tì pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
-odpovídají úsekùm a jsou pøítomny právì tehdy, jsou-li pøítomny v¹echny hrany pøíslu¹ného úseku)
-délky $l/\log n$ a pro ni \uv{pøebarvovací} strukturu pro Union-Find.
+\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdělíme na~úseky délky $\log n$, pro něž si uložíme
+množiny již přítomných hran (po~bitech jako čísla). Pak si ještě pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
+odpovídají úsekům a jsou přítomny právě tehdy, jsou-li přítomny všechny hrany příslušného úseku)
+délky $l/\log n$ a pro ni \uv{přebarvovací} strukturu pro Union-Find.
-\>$\<Union>(x,y)$ (pøidání hrany $e=xy$ do~cesty):
+\>$\<Union>(x,y)$ (přidání hrany $e=xy$ do~cesty):
\algo
-\:Pøidáme $e$ do mno¾iny hran pøítomných v~pøíslu¹ném úseku.
-\:Pokud se tím úsek naplnil, pøidáme odpovídající hranu do~zkomprimované cesty.
+\:Přidáme $e$ do množiny hran přítomných v~příslušném úseku.
+\:Pokud se tím úsek naplnil, přidáme odpovídající hranu do~zkomprimované cesty.
\endalgo
\>$\<Find>(x,y):$
\algo
-\:Pokud $x$ a $y$ jsou v~tém¾e úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
- jsou v¹echny hrany mezi $x$ a $y$ pøítomny.
-\:Pokud jsou v~rùzných úsecích, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
- na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních èásteèných úsecích.
+\:Pokud $x$ a $y$ jsou v~témže úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
+ jsou všechny hrany mezi $x$ a $y$ přítomny.
+\:Pokud jsou v~různých úsecích, rozdělíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úseků,
+ na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních částečných úsecích.
\endalgo
-Operace uvnitø úsekù pracují v~èase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestì v~$\O(\log l)$
-amortizovanì, ale za~dobu ¾ivota struktury je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, tak¾e celkovì zaberou lineární èas.
+Operace uvnitř úseků pracují v~čase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestě v~$\O(\log l)$
+amortizovaně, ale za~dobu života struktury je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, takže celkově zaberou lineární čas.
-\s{Komprese cest:} Operace na~mikro/makro-stromech budeme následujícím zpùsobem
-pøevádìt na~operace s~jejich cestovì komprimovanými podobami a na~operace s~cestovými strukturami:
+\s{Komprese cest:} Operace na~mikro/makro-stromech budeme následujícím způsobem
+převádět na~operace s~jejich cestově komprimovanými podobami a na~operace s~cestovými strukturami:
\>$\<Union>(x,y)$:
\algo
-\:Pokud $e=xy$ le¾í uvnitø nìjaké cesty, pøidáme ji do~cesty, co¾ buïto zpùsobí
- pøidávání jiné hrany, a~nebo u¾ jsme hotovi.
-\:Provedeme \<Union> v~komprimovaném stromu.
+\:Pokud $e=xy$ leží uvnitř nějaké cesty, přidáme ji do~cesty, což buďto způsobí
+ pÅ\99idávánà jiné hrany, a~nebo už jsme hotovi.
+\:Provedeme \<Union> v~komprimovaném stromu.
\endalgo
\>$\<Find>(x,y)$:
\algo
-\:Pokud $x$ a $y$ le¾í uvnitø jedné cesty, zeptáme se cestové struktury a konèíme.
-\:Pokud $x$ le¾í uvnitø nìjaké cesty, zjistíme dotazem na~cestovou strukturu,
- ke~kterému krajnímu vrcholu cesty je pøipojen, a~$x$ nahradíme tímto vrcholem.
- Není-li pøipojen k~¾ádnému, je~evidentnì odpovìï na~celý \<Find> negativní;
- pokud k~obìma, vybereme si libovolný, proto¾e jsou stejnì v~cestovì komprimovaném
+\:Pokud $x$ a $y$ leží uvnitř jedné cesty, zeptáme se cestové struktury a končíme.
+\:Pokud $x$ leží uvnitř nějaké cesty, zjistíme dotazem na~cestovou strukturu,
+ ke~kterému krajnímu vrcholu cesty je připojen, a~$x$ nahradíme tímto vrcholem.
+ Není-li připojen k~žádnému, je~evidentně odpověď na~celý \<Find> negativní;
+ pokud k~oběma, vybereme si libovolný, protože jsou stejně v~cestově komprimovaném
stromu spojeny hranou. Analogicky pro~$y$.
-\:Zeptáme se struktury pro komprimovaný strom.
+\:Zeptáme se struktury pro komprimovaný strom.
\endalgo
-\s{Algoritmus pro mikrostromy:} Po~kompresi cest má ka¾dý mikrostrom nejvý¹e $2\log n$
-vrcholù, èili také nejvý¹e tolik hran. Hrany si oèíslujeme pøirozenými èísly, ka¾dou
-mno¾inu hran pak mù¾eme reprezentovat $(2\log n)$-bitovým èíslem a mno¾inové operace
-provádìt pomocí bitových v~konstantním èase.
+\s{Algoritmus pro mikrostromy:} Po~kompresi cest má každý mikrostrom nejvýše $2\log n$
+vrcholů, Ä\8dili také nejvýše tolik hran. Hrany si oÄ\8dÃslujeme pÅ\99irozenými Ä\8dÃsly, každou
+množinu hran pak můžeme reprezentovat $(2\log n)$-bitovým číslem a množinové operace
+provádět pomocí bitových v~konstantním čase.
-Pro ka¾dý mikrostrom si pøedpoèítáme pro v¹echny jeho vrcholy~$v$ mno¾iny~$P_v$ hran le¾ících
-na~cestì z~koøene mikrostromu do~$v$. Navíc si budeme pro celý mikrostrom pamatovat mno¾inu
-pøítomných hran~$F$.
+Pro každý mikrostrom si předpočítáme pro všechny jeho vrcholy~$v$ množiny~$P_v$ hran ležících
+na~cestÄ\9b z~koÅ\99ene mikrostromu do~$v$. NavÃc si budeme pro celý mikrostrom pamatovat množinu
+přítomných hran~$F$.
\>$\<Union>(x,y):$
\algo
-\:Najdeme poøadové èíslo $i$ hrany $xy$ (máme pøedpoèítané).
+\:Najdeme pořadové číslo $i$ hrany $xy$ (máme předpočítané).
\:$F \leftarrow F \cup \{i\}$.
\endalgo
\>$\<Find>(x,y):$
\algo
-\:$P \leftarrow P_x \mathop{\Delta} P_y$ (mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$).
-\:Pokud $P\setminus F=\emptyset$, le¾í $x$ a $y$ ve~stejnì komponentì, jinak ne.
+\:$P \leftarrow P_x \mathop{\Delta} P_y$ (množina hran ležících na~cestě z~$x$ do~$y$).
+\:Pokud $P\setminus F=\emptyset$, leží $x$ a $y$ ve~stejně komponentě, jinak ne.
\endalgo
-\s{Algoritmus pro celý problém:} Strom rozlo¾íme na~mikrostromy, makrostrom a spojovací
-hrany. V~mikrostromech i makrostromu zkomprimujeme cesty. Pro cesty a mikrostromy pou¾ijeme
-vý¹e popsané struktury, pro ka¾dou spojovací hranu si budeme pamatovat jen znaèku,
-zda je pøítomna, a pro makrostrom pøebarvovací strukturu.
+\s{Algoritmus pro celý problém:} Strom rozložíme na~mikrostromy, makrostrom a spojovací
+hrany. V~mikrostromech i makrostromu zkomprimujeme cesty. Pro cesty a mikrostromy použijeme
+výše popsané struktury, pro každou spojovací hranu si budeme pamatovat jen značku,
+zda je přítomna, a pro makrostrom přebarvovací strukturu.
\>$\<Union>(x,y)$:
\algo
-\:Pokud $e=xy$ je spojovací, poznamenáme si, ¾e je pøítomna, a~konèíme.
-\:Nyní víme, ¾e $e$ le¾í uvnitø mikrostromu nebo makrostromu, a~tak provedeme \<Union>
- na~pøíslu¹né struktuøe.
+\:Pokud $e=xy$ je spojovací, poznamenáme si, že je přítomna, a~končíme.
+\:Nyní víme, že $e$ leží uvnitř mikrostromu nebo makrostromu, a~tak provedeme \<Union>
+ na~příslušné struktuře.
\endlist
\>$\<Find>(x,y)$:
\algo
-\:Le¾í-li $x$ a $y$ v~jednom mikrostromu, zeptáme se struktury pro~mikrostrom.
-\:Je-li $x$ uvnitø mikrostromu, zeptáme se mikrostruktury na~spojení s~koøenem mikrostromu.
- Není-li, odpovíme {\sc ne}, stejnì jako kdy¾ není pøítomna pøíslu¹ná spojovací hrana.
- Jinak $x$ nahradíme listem makrostromu, do~kterého spojovací hrana vede. Podobnì pro~$y$.
-\:Odpovíme podle struktury pro makrostrom.
+\:Leží-li $x$ a $y$ v~jednom mikrostromu, zeptáme se struktury pro~mikrostrom.
+\:Je-li $x$ uvnitř mikrostromu, zeptáme se mikrostruktury na~spojení s~kořenem mikrostromu.
+ Není-li, odpovíme {\sc ne}, stejně jako když není přítomna příslušná spojovací hrana.
+ Jinak $x$ nahradíme listem makrostromu, do~kterého spojovací hrana vede. Podobně pro~$y$.
+\:Odpovíme podle struktury pro makrostrom.
\endalgo
-\s{Analýza:} Operace \<Find> trvá konstantní èas, proto¾e se rozlo¾í na~$\O(1)$ \<Find>ù
-v~dílèích strukturách a ka¾dý z~nich trvá konstantnì dlouho. V¹ech $n$ operací \<Union>
-trvá $\O(n)$, jeliko¾ zpùsobí $\O(n)$ amortizovanì konstantních operací s~mikrostromy, spojovacími
-hranami a cestami a $\O(n/\log n)$ operací s~makrostromem, které trvají $\O(\log n)$ amortizovanì
-ka¾dá.%
-\foot{To je v~prùmìru $\O(1)$ na~operaci a dokonce i amortizovanì, pokud necháme inicializaci
-struktury, která je lineární, naspoøit potenciál $\O(n)$, ze~kterého budeme prùbì¾nì platit
-sluèování v~makrostromu.}
+\s{Analýza:} Operace \<Find> trvá konstantní čas, protože se rozloží na~$\O(1)$ \<Find>ů
+v~dílčích strukturách a každý z~nich trvá konstantně dlouho. Všech $n$ operací \<Union>
+trvá $\O(n)$, jelikož způsobí $\O(n)$ amortizovaně konstantních operací s~mikrostromy, spojovacími
+hranami a cestami a $\O(n/\log n)$ operací s~makrostromem, které trvají $\O(\log n)$ amortizovaně
+každá.%
+\foot{To je v~průměru $\O(1)$ na~operaci a dokonce i amortizovaně, pokud necháme inicializaci
+struktury, která je lineární, naspořit potenciál $\O(n)$, ze~kterého budeme průběžně platit
+slučování v~makrostromu.}
-\s{Cvièení:} Zkuste pomocí dekompozice vyøe¹it následující problém: je dán strom,
-jeho¾ ka¾dý vrchol mù¾e být oznaèený. Navrhnìte datovou strukturu, která bude umìt
-v~èase $\O(\log\log n)$ oznaèit nebo odznaèit vrchol a v~èase $\O(\log n/\log\log n)$ najít
-nejbli¾¹ího oznaèeného pøedchùdce.
+\s{Cvičení:} Zkuste pomocí dekompozice vyřešit následující problém: je dán strom,
+jehož každý vrchol může být označený. Navrhněte datovou strukturu, která bude umět
+v~čase $\O(\log\log n)$ označit nebo odznačit vrchol a v~čase $\O(\log n/\log\log n)$ najít
+nejbližšího označeného předchůdce.
\h{Fredericksonova clusterizace}
-Mikro/makro-stromová dekompozice není jediný zpùsob, jak stromy rozkládat. Nìkdy
-se více hodí následující my¹lenka:
+Mikro/makro-stromová dekompozice není jediný způsob, jak stromy rozkládat. Někdy
+se více hodí následující myšlenka:
-\s{Definice:} {\I (Fredericksonova clusterizace)} Nech» $k\ge 1$ je pøirozené èíslo
-a $T$~strom s~maximálním stupnìm nejvý¹e~3. Pak $k$-clusterizací stromu~$T$
-nazveme libovolný rozklad $V_1\cup\ldots\cup V_t$ mno¾iny~$V(T)$, pro který platí:
+\s{Definice:} {\I (Fredericksonova clusterizace)} Nechť $k\ge 1$ je přirozené číslo
+a $T$~strom s~maximálním stupněm nejvýše~3. Pak $k$-clusterizací stromu~$T$
+nazveme libovolný rozklad $V_1\cup\ldots\cup V_t$ množiny~$V(T)$, pro který platí:
\itemize\ibull
-\:Podgrafy stromu~$T$ indukované jednotlivými~$V_i$ jsou souvislé.
-Tìmto podgrafùm budeme øíkat {\I clustery} a znaèit je~$C_i$.
-\:Z~ka¾dého clusteru vedou nejvý¹e 3~hrany do sousedních clusterù.
-Takovým hranám øíkáme {\I vnìj¹í,} jejich poèet je {\I vnìj¹í stupeò} clusteru $\<ed>(C_i)$.
-Hrany uvnitø clusterù nazveme {\I vnitøní.}
-\:Nech» $\vert C_i\vert$ znaèí poèet vrcholù clusteru~$C_i$.
-Pak pro v¹echny clustery platí $\vert C_i\vert \le k$
-a pro clustery vnìj¹ího stupnì~3 dokonce $\vert C_i\vert = 1$.
-\:®ádné dva sousední clustery není mo¾né slouèit.
+\:Podgrafy stromu~$T$ indukované jednotlivými~$V_i$ jsou souvislé.
+Těmto podgrafům budeme říkat {\I clustery} a značit je~$C_i$.
+\:Z~každého clusteru vedou nejvýše 3~hrany do sousedních clusterů.
+Takovým hranám říkáme {\I vnější,} jejich počet je {\I vnější stupeň} clusteru $\<ed>(C_i)$.
+Hrany uvnitř clusterů nazveme {\I vnitřní.}
+\:Nechť $\vert C_i\vert$ značí počet vrcholů clusteru~$C_i$.
+Pak pro všechny clustery platí $\vert C_i\vert \le k$
+a pro clustery vnějšího stupně~3 dokonce $\vert C_i\vert = 1$.
+\:Žádné dva sousední clustery není možné sloučit.
\endlist
-\s{Úmluva:}
-Clustery vnìj¹ího stupnì~0 se nazývají {\I izolované,}
-stupnì~1 {\I listové,}
-stupnì~2 {\I cestové} a
-stupnì~3 {\I vìtvicí.}
+\s{Úmluva:}
+Clustery vnějšího stupně~0 se nazývají {\I izolované,}
+stupně~1 {\I listové,}
+stupně~2 {\I cestové} a
+stupně~3 {\I větvicí.}
-\s{Pozorování:} Nech» $C$ a~$D$ jsou sousední clustery (bez újmy na obecnosti $\<ed>(C) \ge \<ed>(D)$).
-Kdy je lze slouèit? Pøedev¹ím $\vert C\vert + \vert D\vert$ musí být nejvý¹e rovno~$k$. Pak mohou
-nastat následující pøípady:
+\s{Pozorování:} Nechť $C$ a~$D$ jsou sousední clustery (bez újmy na obecnosti $\<ed>(C) \ge \<ed>(D)$).
+Kdy je lze sloučit? Především $\vert C\vert + \vert D\vert$ musí být nejvýše rovno~$k$. Pak mohou
+nastat následující případy:
\itemize\ibull
-\:Pokud~$C$ i~$D$ jsou listové, lze je slouèit do jednoho izolovaného clusteru.
-\:Pokud~$C$ je cestový a $D$~listový, lze je slouèit do listového clusteru.
-\:Pokud~$C$ i~$D$ jsou cestové, lze je slouèit do cestového clusteru.
-\:Pokud~$C$ je vìtvicí a $D$~listový, lze je slouèit do cestového clusteru.
-\:V~ostatních pøípadech sluèovat nelze, nebo» by vznikl cluster vnìj¹ího stupnì~4
- nebo stupnì~3 s~více ne¾ jedním vrcholem.
+\:Pokud~$C$ i~$D$ jsou listové, lze je sloučit do jednoho izolovaného clusteru.
+\:Pokud~$C$ je cestový a $D$~listový, lze je sloučit do listového clusteru.
+\:Pokud~$C$ i~$D$ jsou cestové, lze je sloučit do cestového clusteru.
+\:Pokud~$C$ je větvicí a $D$~listový, lze je sloučit do cestového clusteru.
+\:V~ostatních případech slučovat nelze, neboť by vznikl cluster vnějšího stupně~4
+ nebo stupně~3 s~více než jedním vrcholem.
\endlist
-\s{Vìta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Ka¾dá $k$-clusterizace stromu~$T$
-na $n$~vrcholech obsahuje $\O(n/k)$ clusterù.
+\s{Věta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Každá $k$-clusterizace stromu~$T$
+na $n$~vrcholech obsahuje $\O(n/k)$ clusterů.
\proof
-Pokud clusterizace obsahuje pouze izolované nebo listové clustery, pak je konstantnì
-velká a tvrzení triviálnì platí.
-
-Pokud navíc obsahuje cestové clustery, musí být clustery propojeny do jedné cesty,
-která zaèíná a konèí listovými clustery a ostatní clustery jsou cestové. Cestové
-clustery rozdìlíme na velké (alespoò $k/2$ vrcholù) a malé (ostatní). V¹imneme si,
-¾e malé spolu nemohou sousedit. Velkých je pøitom nejvý¹e $n/k$, tak¾e malých
-nejvý¹e $n/k+1$.
-
-Zbývá obecný pøípad, v~nìm¾ jsou i vìtvicí clustery. Uva¾me clusterizaèní strom~$S$:
-jeho vrcholy odpovídají clusterùm, hrany externím hranám mezi nimi. Tento strom zakoøeòme
-v~libovolném vìtvicím clusteru.
-
-Pokud ve~stromu~$S$ nahradíme ka¾dou nevìtvící se cestu hranou, vznikne nìjaký
-komprimovaný strom~$S'$. V~nìm u¾ jsou pouze listové clustery (coby listy) a
-vìtvicí clustery (jako vnitøní vrcholy).
-
-Nyní si v¹imneme, ¾e pro ka¾dý list~$\ell$ stromu~$S$ platí, ¾e tento cluster
-spolu s~cestovými clustery nad ním (které se schovaly do hrany mezi~$\ell$ a jeho
-otcem) musí mít velikost alespoò~$k$. V~opaèném pøípadì by toti¾ bylo mo¾né
-tyto clustery spoleènì s~vìtvicím clusterem nad nimi slouèit do jediného clusteru,
-co¾ by poru¹ilo poslední podmínku z~definice clusterizace.
-
-Proto strom~$S'$ obsahuje nejvý¹e $n/k$ listù. A~jeliko¾ v¹echny jeho vnitøní
-vrcholy mají alespoò~2 syny, musí být vnitøních vrcholù také nanejvý¹ $n/k$.
-
-Zbývá zapoèítat cestové clustery. Uva¾me hranu~$e$ stromu~$S'$ a cestové clustery,
-které se do ní zkomprimovaly. U¾ víme, ¾e je-li celková velikost tìchto clusterù~$r$,
-mù¾e jich být nanejvý¹ $2r/k + 1$. A~jeliko¾ clustery jsou disjunktní, v~souètu
-pøes v¹echny hrany~$e$ dostaneme $2n/k + \hbox{poèet hran stromu~$S'$} = \O(n/k)$.
-
-Clusterù v¹ech typù je tedy dohromady $\O(n/k)$.
+Pokud clusterizace obsahuje pouze izolované nebo listové clustery, pak je konstantně
+velká a tvrzení triviálně platí.
+
+Pokud navíc obsahuje cestové clustery, musí být clustery propojeny do jedné cesty,
+která začíná a končí listovými clustery a ostatní clustery jsou cestové. Cestové
+clustery rozdělíme na velké (alespoň $k/2$ vrcholů) a malé (ostatní). Všimneme si,
+že malé spolu nemohou sousedit. Velkých je přitom nejvýše $n/k$, takže malých
+nejvýše $n/k+1$.
+
+Zbývá obecný případ, v~němž jsou i větvicí clustery. Uvažme clusterizační strom~$S$:
+jeho vrcholy odpovídají clusterům, hrany externím hranám mezi nimi. Tento strom zakořeňme
+v~libovolném větvicím clusteru.
+
+Pokud ve~stromu~$S$ nahradíme každou nevětvící se cestu hranou, vznikne nějaký
+komprimovaný strom~$S'$. V~něm už jsou pouze listové clustery (coby listy) a
+větvicí clustery (jako vnitřní vrcholy).
+
+Nynà si vÅ¡imneme, že pro každý list~$\ell$ stromu~$S$ platÃ, že tento cluster
+spolu s~cestovými clustery nad ním (které se schovaly do hrany mezi~$\ell$ a jeho
+otcem) musí mít velikost alespoň~$k$. V~opačném případě by totiž bylo možné
+tyto clustery společně s~větvicím clusterem nad nimi sloučit do jediného clusteru,
+což by porušilo poslední podmínku z~definice clusterizace.
+
+Proto strom~$S'$ obsahuje nejvýše $n/k$ listů. A~jelikož všechny jeho vnitřní
+vrcholy mají alespoň~2 syny, musí být vnitřních vrcholů také nanejvýš $n/k$.
+
+Zbývá započítat cestové clustery. Uvažme hranu~$e$ stromu~$S'$ a cestové clustery,
+které se do ní zkomprimovaly. Už víme, že je-li celková velikost těchto clusterů~$r$,
+může jich být nanejvýš $2r/k + 1$. A~jelikož clustery jsou disjunktní, v~součtu
+přes všechny hrany~$e$ dostaneme $2n/k + \hbox{počet hran stromu~$S'$} = \O(n/k)$.
+
+Clusterů všech typů je tedy dohromady $\O(n/k)$.
\qed
-\s{Vìta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Pro ka¾dé~$k$ lze $k$-clusterizaci
-stromu o~$n$~vrcholech najít v~èase $\O(n)$.
+\s{Věta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Pro každé~$k$ lze $k$-clusterizaci
+stromu o~$n$~vrcholech najít v~čase $\O(n)$.
\proof
-Clusterizaci lze najít upraveným hledáním do hloubky, ale pøi tom je nutné øe¹it
-mnoho rùzných pøípadù sluèování clusterù. Místo toho pou¾ijeme následující
-hladový algoritmus.
-
-Nejprve vytvoøíme z~ka¾dého vrcholu triviální cluster. Taková clusterizace
-splòuje v¹echny podmínky kromì poslední. Budeme tedy clustery hladovì sluèovat.
-
-Poøídíme si frontu clusterù, u~nich¾ jsme je¹tì nezkontrolovali sluèitelnost.
-Na poèátku do ní umístíme v¹echny clustery. Pak v¾dy odebereme cluster, prozkoumáme
-jeho sousedy a pokud mezi nimi je nìjaký, s~ním¾ lze sluèovat, tak to provedeme.
-Nový cluster ulo¾íme do fronty, oba staré z~fronty odstraníme.
-
-V¹imneme si, ¾e pøi ka¾dé kontrole poklesne velikost fronty o~1 -- buïto jsme
-nesluèovali a zmizel pouze kontrolovaný cluster, anebo sluèovali, ale pak zmizely
-dva clustery a pøibyl jeden. Jeliko¾ kontrolu i slouèení zvládneme v~konstantním
-èase, celý algoritmus dobìhne v~èase $\O(n)$.
+Clusterizaci lze najít upraveným hledáním do hloubky, ale při tom je nutné řešit
+mnoho různých případů slučování clusterů. Místo toho použijeme následující
+hladový algoritmus.
+
+Nejprve vytvoříme z~každého vrcholu triviální cluster. Taková clusterizace
+splňuje všechny podmínky kromě poslední. Budeme tedy clustery hladově slučovat.
+
+Pořídíme si frontu clusterů, u~nichž jsme ještě nezkontrolovali slučitelnost.
+Na počátku do ní umístíme všechny clustery. Pak vždy odebereme cluster, prozkoumáme
+jeho sousedy a pokud mezi nimi je nějaký, s~nímž lze slučovat, tak to provedeme.
+Nový cluster uložíme do fronty, oba staré z~fronty odstraníme.
+
+Všimneme si, že při každé kontrole poklesne velikost fronty o~1 -- buďto jsme
+neslučovali a zmizel pouze kontrolovaný cluster, anebo slučovali, ale pak zmizely
+dva clustery a přibyl jeden. Jelikož kontrolu i sloučení zvládneme v~konstantním
+čase, celý algoritmus doběhne v~čase $\O(n)$.
\qed
-\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problému bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
-vrcholù stupnì vìt¹ího ne¾~3 \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany},
-nalezením $(\log n)$-clusterizace, pou¾itím bitové reprezentace mno¾in uvnitø clusterù
-a pøebarvovací struktury na~hrany mezi clustery.
+\s{Použití:} Předchozí variantu Union-Find problému bychom také mohli vyřešit nahrazením
+vrcholů stupně většího než~3 \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany},
+nalezením $(\log n)$-clusterizace, použitím bitové reprezentace množin uvnitř clusterů
+a přebarvovací struktury na~hrany mezi clustery.
-\h{Stromoví pøedchùdci}
+\h{Stromoví předchůdci}
-\s{Problém:} {\I (Least Common Ancestor alias LCA)} Chceme si pøedzpracovat zakoøenìný strom~$T$
-tak, abychom dokázali pro libovolné dva vrcholy $x,y$ najít co~nejrychleji jejich nejbli¾¹ího
-spoleèného pøedchùdce.
+\s{Problém:} {\I (Least Common Ancestor alias LCA)} Chceme si předzpracovat zakořeněný strom~$T$
+tak, abychom dokázali pro libovolné dva vrcholy $x,y$ najít co~nejrychleji jejich nejbližšího
+společného předchůdce.
-\s{Triviální øe¹ení LCA:}
+\s{Triviální řešení LCA:}
\itemize\ibull
-\:Vystoupáme z~$x$ i $y$ do~koøene, oznaèíme vrcholy na~cestách a kde se poprvé
- potkají, tam je hledaný pøedchùdce. To je lineární s~hloubkou a nepotøebuje
- pøedzpracování.
-\:Vylep¹ení: Budeme stoupat z~$x$ a $y$ støídavì. Tak potøebujeme jen lineárnì mnoho
- krokù vzhledem ke~vzdálenosti spoleèného pøedchùdce.
-\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾nosti: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
-\:\dots\ co dál?
+\:Vystoupáme z~$x$ i $y$ do~kořene, označíme vrcholy na~cestách a kde se poprvé
+ potkají, tam je hledaný předchůdce. To je lineární s~hloubkou a nepotřebuje
+ předzpracování.
+\:Vylepšení: Budeme stoupat z~$x$ a $y$ střídavě. Tak potřebujeme jen lineárně mnoho
+ kroků vzhledem ke~vzdálenosti společného předchůdce.
+\:Předpočítáme všechny možnosti: předzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
+\:\dots\ co dál?
\endlist
-\>Vìrni vtipùm o~matfyzácích a èlánku \cite{bender00lca} pøevedeme radìji tento problém na~jiný.
+\>Věrni vtipům o~matfyzácích a článku \cite{bender00lca} převedeme raději tento problém na~jiný.
-\s{Problém:} {\I (Range Minimum Query alias RMQ)} Chceme pøedzpracovat posloupnost èísel
-$a_1,\ldots a_n$ tak, abychom umìli rychle poèítat $\min_{x\le i\le y} a_i$.%
-\foot{V¹imnìte si, ¾e pro sumu místo minima je tento problém velmi snadný.}
+\s{Problém:} {\I (Range Minimum Query alias RMQ)} Chceme předzpracovat posloupnost čísel
+$a_1,\ldots a_n$ tak, abychom uměli rychle počítat $\min_{x\le i\le y} a_i$.%
+\foot{Všimněte si, že pro sumu místo minima je tento problém velmi snadný.}
-\s{Lemma:} LCA lze pøevést na~RMQ s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
-èasem na~pøevod dotazu.
+\s{Lemma:} LCA lze převést na~RMQ s~lineárním časem na~předzpracování a konstantním
+časem na~převod dotazu.
-\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~vrcholu (a» ji¾ poprvé nebo se do~nìj vrátíme),
-zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejvy¹¹í vrchol mezi libovolnou
-náv¹tìvou~$x$ a libovolnou náv¹tìvou~$y$.
+\proof Strom projdeme do~hloubky a pokaždé, když vstoupíme do~vrcholu (ať již poprvé nebo se do~něj vrátíme),
+zapíšeme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejvyšší vrchol mezi libovolnou
+návštěvou~$x$ a libovolnou návštěvou~$y$.
\qed
-\s{Triviální øe¹ení RMQ:}
+\s{Triviální řešení RMQ:}
\itemize\ibull
-\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾né dotazy: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
-\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1} \}$,
-èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
-na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvìt¹í~$k$ takové, ¾e $2^k < j-i$
-a vrátíme:
+\:Předpočítáme všechny možné dotazy: předzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
+\:Pro každé $i$ a $j\le \log n$ předpočítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1} \}$,
+čili minima všech bloků velkých jako nějaká mocnina dvojky. Když se poté někdo zeptá
+na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvÄ\9btÅ¡Ã~$k$ takové, že $2^k < j-i$
+a vrátíme:
$$\min( \min\{ a_i, \ldots, a_{i+2^k-1} \}, \min\{ a_{j-2^k}, \ldots, a_{j-1} \} ).$$
-Tak zvládneme dotazy v~èase $\O(1)$ po~pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
+Tak zvládneme dotazy v~čase $\O(1)$ po~předzpracování v~čase $\O(n\log n)$.
\endlist
-My si ov¹em v¹imneme, ¾e ná¹ pøevod z~LCA vytváøí dosti speciální instance problému RMQ,
-toti¾ takové, v~nich¾ je $\vert a_i - a_{i+1} \vert = 1$. Takovým instancím budeme
-øíkat RMQ${\pm}1$ a budeme je umìt øe¹it ¹ikovnou dekompozicí.
+My si ovšem všimneme, že náš převod z~LCA vytváří dosti speciální instance problému RMQ,
+totiž takové, v~nichž je $\vert a_i - a_{i+1} \vert = 1$. Takovým instancím budeme
+říkat RMQ${\pm}1$ a budeme je umět řešit šikovnou dekompozicí.
-\s{Dekompozice} pro RMQ${\pm}1$: Vstupní posloupnost rozdìlíme na~bloky velikosti $b=1/2\cdot \log n$,
-ka¾dý dotaz umíme rozdìlit na~èást týkající se celých blokù a maximálnì dva dotazy na~èásti blokù.
+\s{Dekompozice} pro RMQ${\pm}1$: Vstupní posloupnost rozdělíme na~bloky velikosti $b=1/2\cdot \log n$,
+každý dotaz umíme rozdělit na~část týkající se celých bloků a maximálně dva dotazy na~části bloků.
-V¹imneme si, ¾e aèkoliv blokù je mnoho, jejich mo¾ných typù (tj. posloupností klesání
-a stoupání) je pouze $2^{b-1}\le\sqrt n$ a bloky tého¾ typu se li¹í pouze posunutím
-o~konstantu. Vybudujeme proto kvadratickou strukturu pro jednotlivé typy a pro ka¾dý
-blok si zapamatujeme, jakého je typu a jaké má posunutí. Celkem strávíme èas
-$\O(n + \sqrt n \cdot \log^2 n) = \O(n)$ pøedzpracováním a $\O(1)$ dotazem.
+Všimneme si, že ačkoliv bloků je mnoho, jejich možných typů (tj. posloupností klesání
+a stoupání) je pouze $2^{b-1}\le\sqrt n$ a bloky téhož typu se liší pouze posunutím
+o~konstantu. Vybudujeme proto kvadratickou strukturu pro jednotlivé typy a pro každý
+blok si zapamatujeme, jakého je typu a jaké má posunutí. Celkem strávíme čas
+$\O(n + \sqrt n \cdot \log^2 n) = \O(n)$ předzpracováním a $\O(1)$ dotazem.
-Mimo to je¹tì vytvoøíme komprimovanou posloupnost, v~ní¾ ka¾dý blok nahradíme
-jeho minimem. Tuto posloupnost délky $n/b$ budeme pou¾ívat pro èásti dotazù
-týkající se celých blokù a pøipravíme si pro ni \uv{logaritmickou} variantu
-triviální struktury. To nás bude stát $\O(n/b\cdot\log (n/b))=\O(n/\log n\cdot\log n)=\O(n)$ na~pøedzpracování
+Mimo to ještě vytvoříme komprimovanou posloupnost, v~níž každý blok nahradíme
+jeho minimem. Tuto posloupnost délky $n/b$ budeme používat pro části dotazů
+týkající se celých bloků a připravíme si pro ni \uv{logaritmickou} variantu
+triviální struktury. To nás bude stát $\O(n/b\cdot\log (n/b))=\O(n/\log n\cdot\log n)=\O(n)$ na~předzpracování
a $\O(1)$ na~dotaz.
-Tak jsme získali algoritmus pro RMQ${\pm}1$ s~konstantním èasem na~dotaz po~lineárním
-pøedzpracování a vý¹e zmínìným pøevodem i algoritmus na~LCA se stejnými parametry.
-Je¹tì uká¾eme, ¾e pøevod mù¾e fungovat i v~opaèném smìru, a~tak mù¾eme získat
-i konstantní/lineární algoritmus pro obecné RMQ.
+Tak jsme získali algoritmus pro RMQ${\pm}1$ s~konstantním časem na~dotaz po~lineárním
+předzpracování a výše zmíněným převodem i algoritmus na~LCA se stejnými parametry.
+Ještě ukážeme, že převod může fungovat i v~opačném směru, a~tak můžeme získat
+i konstantní/lineární algoritmus pro obecné RMQ.
-\s{Definice:} {\I Kartézský strom} pro posloupnost $a_1,\ldots,a_n$ je strom,
-jeho¾ koøenem je minimum posloupnosti, tj. nìjaké $a_j=\min_i a_i$, jeho levý podstrom je
-kartézský strom pro $a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý podstrom kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
+\s{Definice:} {\I Kartézský strom} pro posloupnost $a_1,\ldots,a_n$ je strom,
+jehož kořenem je minimum posloupnosti, tj. nějaké $a_j=\min_i a_i$, jeho levý podstrom je
+kartézský strom pro $a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý podstrom kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
-\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
+\s{Lemma:} Kartézský strom je možné zkonstruovat v~lineárním čase.
-\proof Pou¾ijeme inkrementální algoritmus. V¾dy si budeme pamatovat
-kartézský strom pro ji¾ zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
-prvku v~tomto stromu. Kdy¾ pøidáváme dal¹í prvek, hledáme místo, kam ho
-pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imnìme si, ¾e vzhledem
-k~potenciálu rovnému hloubce oznaèeného prvku je èasová slo¾itost pøidání
-prvku amortizovanì konstantní.
+\proof Použijeme inkrementálnà algoritmus. Vždy si budeme pamatovat
+kartézský strom pro již zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
+prvku v~tomto stromu. Když přidáváme další prvek, hledáme místo, kam ho
+pÅ\99ipojit, od~tohoto oznaÄ\8deného prvku nahoru. PovÅ¡imnÄ\9bme si, že vzhledem
+k~potenciálu rovnému hloubce označeného prvku je časová složitost přidání
+prvku amortizovaně konstantní.
\qed
-\s{Lemma:} RMQ lze pøevést na~LCA s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
-èasem na~pøevod dotazu.
+\s{Lemma:} RMQ lze převést na~LCA s~lineárním časem na~předzpracování a konstantním
+časem na~převod dotazu.
-\proof Sestrojíme kartézský strom a RMQ pøevedeme na~LCA v~tomto stromu.
+\proof Sestrojíme kartézský strom a RMQ převedeme na~LCA v~tomto stromu.
\qed
-Výsledky této podkapitoly mù¾eme shrnout do~následující vìty:
+Výsledky této podkapitoly můžeme shrnout do~následující věty:
-\s{Vìta:} Problémy LCA i RMQ je mo¾né øe¹it v~konstantním èase na~dotaz
-po~pøedzpracování v~lineárním èase.
+\s{Věta:} Problémy LCA i RMQ je možné řešit v~konstantním čase na~dotaz
+po~předzpracování v~lineárním čase.
-\s{Cvièení:} Vymyslete jednodu¹¹í strukturu pro RMQ, víte-li, ¾e v¹echny dotazy budou na~intervaly stejné délky.
+\s{Cvičení:} Vymyslete jednodušší strukturu pro RMQ, víte-li, že všechny dotazy budou na~intervaly stejné délky.
\references
\bye
{\nopagenumbers
\vglue 1cm
-\centerline{\big Martin Mare¹}
+\centerline{\big Martin Mareš}
\bigskip
\bigskip
-\centerline{\Big Krajinou grafových algoritmù}
+\centerline{\Big Krajinou grafových algoritmů}
\bigskip
\bigskip
-\centerline{\large prùvodce pro støednì pokroèilé}
+\centerline{\large průvodce pro středně pokročilé}
\vfill
\centerline{\epsfxsize=0.7\hsize\epsfbox{krajina.eps}}
\centerline{\large ITI \the\year}
\vskip 0.3cm
-\centerline{\large Pracovní verze}
+\centerline{\large Pracovní verze}
\vskip 0.5cm
\eject
\vglue 0pt plus 1fill
-\leftline{\copyright~2007--\the\year~Martin Mare¹}
+\leftline{\copyright~2007--\the\year~Martin Mareš}
\bigskip
-% ISBN má být 2--3cm od spodního okraje stránky
+% ISBN má být 2--3cm od spodního okraje stránky
%\leftline{\bo ISBN 978-80-239-9049-2}
%\vskip 0.5cm
\eject
{\obeylines\parskip=0pt\parindent=0pt
\vglue 0pt plus 1fill
-{\large Mgr. Martin Mare¹, Ph.D.}
+{\large Mgr. Martin Mareš, Ph.D.}
\medskip
-{\Large Krajinou grafových algoritmù}
+{\Large Krajinou grafových algoritmů}
\bigskip
-Vydal Institut Teoretické Informatiky
+Vydal Institut Teoretické Informatiky
~~~Univerzita Karlova v Praze
-~~~Matematicko-Fyzikální Fakulta
-~~~Malostranské nám.~25
+~~~Matematicko-Fyzikální Fakulta
+~~~Malostranské nám.~25
~~~118 00 Praha 1
~~~jako ZZZ. publikaci v~ITI Series.
\bigskip
-Sazbu písmem Computer Modern v~programu \TeX\ provedl autor.
-Obrázek na titulní stranì nakreslil Jakub Èerný.
+Sazbu písmem Computer Modern v~programu \TeX\ provedl autor.
+Obrázek na titulní straně nakreslil Jakub Černý.
% \medskip
-% Vytisklo Reprostøedisko UK MFF.
+% Vytisklo Reprostředisko UK MFF.
\bigskip
-% Vydání první
+% Vydání první
% 72 stran
-% Náklad 100 výtiskù
+% Náklad 100 výtisků
% Praha 2007
-Vydání jedenapùlté (pracovní verze)
+Vydání jedenapůlté (pracovní verze)
Praha \the\year
\bigskip
% {\bo ISBN 978-80-239-9049-2}
-% \vskip 0.5cm %% ISBN budi¾ 2--3cm od spodního okraje
+% \vskip 0.5cm %% ISBN budiž 2--3cm od spodního okraje
}
\eject\end
\twelvepoint
\def\err{
-\>Do kní¾ky se pøes v¹echno sna¾ení autorovo vetøel tiskaøský
-¹otek a s~ním i nìkolik chyb. Podívejte se prosím na {\I http:/$\!$/mj.ucw.cz/vyuka/ga/,}
-kde se nachází jak online verze kní¾ky, tak seznam známých chyb s~opravami.
+\>Do knížky se přes všechno snažení autorovo vetřel tiskařský
+šotek a s~ním i několik chyb. Podívejte se prosím na {\I http:/$\!$/mj.ucw.cz/vyuka/ga/,}
+kde se nachází jak online verze knížky, tak seznam známých chyb s~opravami.
\bigskip
-\rightline{Pøíjemné ètení pøeje autor\qquad}
+\rightline{Příjemné čtení přeje autor\qquad}
\bigskip
\bigskip
% A kdyz stoji samostatne (aby se naodlamoval)
\def\ss#1{\noindent {\bo #1}\par\nobreak}
-% Dùkaz
-\def\proof{\noindent {\sl Dùkaz:} }
+% Důkaz
+\def\proof{\noindent {\sl Důkaz:} }
% Ctverecek na konci dukazu
%\def\qed{{\parfillskip=0pt\quad\hfil\hbox{\I QED} \par}}
projects / ga.git / commitdiff