polynomialita docela dobøe vystihuje praktickou pou¾itelnost algoritmu.%
\foot{Jistì vás napadne spousta protipøíkladù, jako tøeba algoritmus se
slo¾itostí $\O(1.001^n)$, který nejspí¹ je pou¾itelný, aèkoliv není polynomiální,
-a~jiný se slo¾itostí $\O(n^{100})$, u~kterého je tomu naopak. V¹ak jsme
-øíkali, ¾e nám jde o~první pøiblí¾ení, které navíc u~vìt¹iny problémù
-funguje pøekvapivì dobøe.}
+a~jiný se slo¾itostí $\O(n^{100})$, u~kterého je tomu naopak. Ukazuje se,
+¾e tyto pøípady jsou velmi øídké, tak¾e u~vìt¹iny problémù ná¹ zjednodu¹ený
+pohled funguje pøekvapivì dobøe.}
Existují tedy polynomiální algoritmy pro v¹echny úlohy? Zajisté ne,
jsou dokonce i takové úlohy, je¾ ¾ádným algoritmem vyøe¹it nelze.
dokázat, ¾e neexistuje). Takové úlohy jsou pøekvapivì èasté, proto se
na této pøedná¹ce podíváme na nìkolik typických pøíkladù.
-Navíc uvidíme, ¾e aèkoliv tyto úlohy neumíme efektivnì øe¹it, lze mezi
+Navíc uvidíme, ¾e aèkoliv tyto úlohy neumíme efektivnì øe¹it, jde mezi
nimi nalézt zajímavé vztahy a pomocí tìchto vztahù obtí¾nost problémù
vzájemnì porovnávat. Z~tìchto úvah vyrùstá i skuteèná teorie slo¾itosti
se svými hierarchiemi slo¾itostních tøíd. Mù¾ete tedy následující kapitolu
mno¾inu $A\subseteq \{0,1\}^*$ vstupù, na nì¾ je odpovìï~1. Tento pøístup
mají rádi v~teorii automatù.}
-\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$ (respektive nìjaké
-jejich kódování øetìzci bitù). Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$
-hran? (Také bychom se mohli ptát, zda existuje párování o~právì~$k$ hranách,
-co¾ je toté¾, nebo» pøebyteèné hrany mù¾eme prostì odstranit.)
+\s{Pøíklad problému:} {\I Bipartitní párování} -- je dán bipartitní graf
+a èíslo $k \in {\bb N}$. Zapí¹eme je pomocí øetìzce bitù: graf tøeba maticí
+sousednosti, èíslo dvojkovì (detaily kódování budeme nadále vynechávat). Máme
+odpovìdìt, zda v~zadaném grafu existuje párování, které obsahuje alespoò $k$
+hran.
-\s{Odboèka:} Ve~vìt¹inì pøípadù bychom chtìli nejen zjistit, jestli takové
-párování existuje, ale také nìjaké konkrétní najít. Obvykle ale bývá snadné
-pomocí rozhodovací verze problému hledaný objekt sestrojit. Uka¾me si, jak
-to udìlat u~párování.
+(Otázka, zda existuje párování o~právì~$k$ hranách, je ekvivalentní,
+proto¾e mù¾eme libovolnou hranu z~párování vypustit a bude to stále párování.)
+
+\s{Odboèka:} Èasto nás samozøejmì nejen zajímá, zda párování existuje, ale také
+chceme nìjaké konkrétní najít. I~to jde pomocí rozhodovací verze problému snadno
+zaøídit. Podobný postup funguje pro mnoho dal¹ích problémù.
Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný
graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu
mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.%
\foot{Zde se skrývá hlavní dùvod, proè informatici mají tak rádi polynomiální
algoritmy. Tøída v¹ech polynomù je toti¾ nejmen¹í tøídou funkcí, která obsahuje
-v¹echny \uv{základní} funkce (konstanty, $n$, $n^2$) a je uzavøená na sèítání,
+v¹echny \uv{základní} funkce (konstanty, $n$, $n^2$, \dots) a je uzavøená na sèítání,
odèítání, násobení i skládání funkcí.}
\s{Zpìt z~odboèky:} Jak párovací problém vyøe¹it? Vìrni matfyzáckým vtipùm,
\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
pøevést} (neboli {\I redukovat}) na~$B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
-kdy¾ existuje funkce $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$, spoèitatelná v~polynomiálním
-èase, taková, ¾e pro $\forall x\in \{0,1\}^*: A(x) = B(f(x))$.
+kdy¾ existuje funkce $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ taková, ¾e pro v¹echna
+$x\in \{0,1\}^*$ platí $A(x) = B(f(x))$, a~navíc lze funkci~$f$ spoèítat v~polynomiálním
+èase.
\s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký
-jako problém~$A$. Tím myslíme, ¾e kdykoliv umíme øe¹it~$B$, je vyøe¹it~$A$ nejvý¹e
+jako problém~$A$. Tím myslíme, ¾e kdykoliv umíme vyøe¹it~$B$, je vyøe¹it~$A$ nejvý¹e
polynomiálnì obtí¾nìj¹í. Speciálnì platí:
\s{Lemma:} Pokud $A\rightarrow B$ a $B$~lze øe¹it v~polynomiálním èase,
délka vstupu tohoto problému a $k$~konstanta. Mìjme dále funkci~$f$ pøevádìjící
$A$ na~$B$ v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Chceme-li nyní spoèítat
$A(x)$ pro nìjaký vstup~$x$ délky~$a$, spoèítáme nejprve $f(x)$. To bude trvat
-$\O(a^\ell)$ a vyjde výstup délky takté¾ $\O(a^\ell)$ -- del¹í v~daném èase
-funkce~$f$ nestihne vypsat. Tento vstup pak pøedáme algoritmu pro problém~$B$,
-který nad ním stráví èas $\O((a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je polynom
-v~délce pùvodního vstupu.
+$\O(a^\ell)$ a vyjde výstup délky takté¾ $\O(a^\ell)$ -- del¹í bychom v~daném èase
+ani nestihli vypsat. Tento vstup pak pøedáme algoritmu pro problém~$B$,
+který nad ním stráví èas $\O((a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$. Celkový èas výpoètu
+tedy èiní $\O(a^\ell + a^{k\ell})$, co¾ je polynom v~délce pùvodního vstupu.
\qed
-\s{Pozorování:} O~relaci pøevoditelnosti na mno¾inì v¹ech problémù platí:
+Relace pøevoditelnosti jistým zpùsobem porovnává problémy podle obtí¾nosti.
+Nabízí se pøedstava, ¾e se jedná o~uspoøádání na mno¾inì v¹ech problémù. Je tomu
+doopravdy tak?
+
+\s{Pozorování:} O~relaci \uv{$\rightarrow$} platí:
\itemize\ibull
\:{\I Je reflexivní} ($A\rightarrow A$) -- úlohu mù¾eme pøevést na tuté¾ identickým zobrazením.
\:{\I Je tranzitivní} ($A\rightarrow B \land B\rightarrow C \Rightarrow A\rightarrow C$) --
vyèíslitelná funkce, jak u¾ jsme zpozorovali v~dùkazu pøedchozího lemmatu.
\:{\I Není antisymetrická} -- napøíklad problémy \uv{na vstupu je øetìzec zaèínající nulou}
a \uv{na vstupu je øetìzec konèící nulou} lze mezi sebou pøevádìt obìma smìry.
-\:Existují {\I navzájem nepøevoditelné problémy} -- tøeba pro problémy $A(x)=0$ a $B(y)=1$
-nemù¾e existovat pøevod ani jedním smìrem.
+\:Existují {\I navzájem nepøevoditelné problémy} -- tøeba mezi problémy \uv{na ka¾dý vstup
+odpovìz~0} a \uv{na ka¾dý vstup odpovìz~1} nemù¾e existovat pøevod ani jedním smìrem.
\endlist
\>Relacím, které jsou reflexivní a tranzitivní, ale obecnì nesplòují antisymetrii,
se øíká {\I kvaziuspoøádání}. Pøevoditelnost je tedy èásteèné kvaziuspoøádání na mno¾inì
v¹ech problémù.\foot{Kdybychom z~nìj chtìli vyrobit opravdové (by» èásteèné) uspoøádání,
mohli bychom definovat ekvivalenci $A\sim B \equiv A\rightarrow B \land B\rightarrow A$
-a relaci pøevoditelnosti zavést jen na tøídách této ekvivalence. Taková pøevoditelnosti
+a relaci pøevoditelnosti zavést jen na tøídách této ekvivalence. Taková pøevoditelnost
by u¾ byla slabì antisymetrická. To je v~matematice dost bì¾ný trik, øíká se mu {\I faktorizace} kvaziuspoøádání.}
Nyní se ji¾ podíváme na pøíklady nìkolika problémù, které se obecnì pova¾ují
za tì¾ké. Uvidíme, ¾e ka¾dý z~nich je mo¾né pøevést na v¹echny ostatní, tak¾e
z~na¹eho \uv{polynomiálního} pohledu jsou stejnì obtí¾né.
-\prob{SAT -- Splnitelnost logických formulí v~CNF}
+\prob{SAT -- splnitelnost (satisfiability) logických formulí v~CNF}
-Splnitelnost (satisfiability) spoèívá v~tom, ¾e dostaneme logickou formuli
-s~promìnnými a logickými spojkami a ptáme se, zda lze za promìnné dosadit
-0 a~1 tak, aby formule dala výsledek 1 (byla splnìna).
+Mìjme nìjakou logickou formuli s~promìnnými a logickými spojkami. Zajímá
+nás, je-li tato formule {\I splnitelná,} tedy zda lze za promìnné dosadit
+0 a~1 tak, aby formule dala výsledek~1 (byla {\I splnìna}).
-Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí, takzvanou {\I konjunktivní normální
+Zamìøíme se na formule ve~speciálním tvaru, v~takzvané {\I konjunktivní normální
formu (CNF):}
\itemize\ibull
\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
\endlist
-\>Formule mají tedy tvar
-$$\psi = (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$
\inp Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.
\outp Existuje-li dosazení 0 a~1 za promìnné tak, aby $\psi(\ldots) = 1$.
+\s{Pøíklad:} Formule $(x\lor y\lor z) \land (\lnot x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor z) \land (x \lor y \lor \lnot z)$
+je splnitelná, staèí nastavit napøíklad $x=y=z=1$ (jaká jsou ostatní splòující
+ohodnocení?). Naproti tomu formule $(x\lor y) \land (x\lor \lnot y)
+\land \lnot x$ splnitelná není, co¾ snadno ovìøíme tøeba vyzkou¹ením v¹ech
+ètyø mo¾ných ohodnocení.
+
\s{Poznámka:} Co kdybychom chtìli zjistit, zda je splnitelná nìjaká formule,
která není v~CNF? V~logice se dokazuje, ¾e ke~ka¾dé formuli lze najít ekvivalentní
formuli v~CNF, ale pøi tom se bohu¾el formule mù¾e a¾ exponenciálnì prodlou¾it.
která je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je $\chi$ splnitelná. Formule $\chi'$ pøitom
bude dlouhá $\O(\vert\chi\vert)$, ale budou v~ní nìjaké nové promìnné.
-\prob{3-SAT -- Splnitelnost formulí s~krátkými klauzulemi}
+\prob{3-SAT -- splnitelnost formulí s~krátkými klauzulemi}
+
+Pro SAT zatím není známý ¾ádný polynomiální algoritmus. Co kdybychom zkusili
+problém trochu zjednodu¹it a uva¾ovat pouze formule ve~speciálním tvaru?
-Uva¾ujme variantu SATu, ve~které mno¾inu mo¾ných formulí je¹tì omezíme.
-Povolíme na vstupu pouze takové formule v~CNF, jejich¾ ka¾dá klauzule obsahuje
+Povolíme tedy na vstupu pouze takové formule v~CNF, jejich¾ ka¾dá klauzule obsahuje
nejvý¹e tøi literály. Uká¾eme, ¾e tento problém je stejnì tì¾ký jako pùvodní SAT.
\s{Pøevod 3-SATu na SAT:}
Mù¾eme ji zapsat ve~tvaru $(\alpha\lor\beta)$, kde $\alpha$ obsahuje 2~literály
a $\beta$ $k-2$ literálù. Poøídíme si novou promìnnou~$x$ a klauzuli nahradíme
dvìma novými $(\alpha\lor x)$ a $(\beta\lor\lnot x)$. První z~nich obsahuje 3~literály,
-tedy je dobrá. Druhá má $k-1$ literálù, tak¾e sice mù¾e být ¹patná, ale aspoò je
+tedy je dobrá. Druhá má $k-1$ literálù, tak¾e mù¾e být stále ¹patná, ale aspoò je
krat¹í, tak¾e mù¾eme postup opakovat.
Takto postupnì nahradíme v¹echny ¹patné klauzule dobrými, co¾ bude trvat nejvý¹e
-polynomiálnì dlouho: klauzuli délky~$k$ rozbijeme po $k-3$ krocích, ¹patných
-klauzulí je jistì polynomiálnì s~délkou formule. Staèí ukázat, ¾e ka¾dý jednotlivý
-krok zachovává splnitelnost formule.
+polynomiálnì dlouho: klauzuli délky~$k$ rozebereme po $k-3$ krocích, ¹patných
+klauzulí je lineárnì s~délkou formule.
+
+Zbývá ukázat, ¾e nová formule je splnitelná právì tehdy, byla-li splnitelná
+formule pùvodní. K~tomu staèí ukázat, ¾e ka¾dý jednotlivý krok pøevodu splnitelnost
+zachovává.
Pokud pùvodní formule byla splnitelná, uva¾me nìjaké splòující ohodnocení promìnných.
Uká¾eme, ¾e v¾dy mù¾eme novou promìnnou~$x$ nastavit tak, aby vzniklo splòující
ohodnocení nové formule. Víme, ¾e klauzule $(\alpha\lor\beta)$ byla splnìna. Proto
v~daném ohodnocení:
\itemize\ibull
-\:Buïto $\alpha=1$. Pak polo¾íme $x=0$, tak¾e $(\alpha\lor x)$ bude splnìno díky~$\alpha$
+\:Buïto $\alpha=1$. Pak polo¾íme $x=0$, tak¾e $(\alpha\lor x)$ bude splnìna díky~$\alpha$
a $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$x$.
-\:Anebo $\alpha=0$. Pak polo¾íme $x=1$, tak¾e $(\alpha\lor x)$ bude splnìno díky~$x$,
+\:Anebo $\alpha=0$, a~tedy $\beta=1$. Pak polo¾íme $x=1$, èím¾ bude $(\alpha\lor x)$ splnìna díky~$x$,
zatímco $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$\beta$.
\endlist
-\>Splnìnost ostatních klauzulí na¹e transformace nijak neovlivnila.
+\>Ostatní klauzule budou stále splnìny.
-A~naopak: pokud dostaneme splòující ohodnocení nové formule, umíme z~nìj získat
+V~opaèném smìru: pokud dostaneme splòující ohodnocení nové formule, umíme z~nìj získat
splòující ohodnocení formule pùvodní. Uká¾eme, ¾e staèí zapomenout promìnnou~$x$.
V¹echny klauzule, kterých se na¹e transformace netýká, jsou nadále splnìné.
Co klauzule $(\alpha\lor\beta)$?
\>Tím je pøevod hotov, SAT a 3-SAT jsou tedy ekvivalentní.
-\prob{NzMna -- Nezávislá mno¾ina vrcholù v~grafu}
+\prob{NzMna -- nezávislá mno¾ina vrcholù v~grafu}
\s{Definice:} Mno¾ina vrcholù grafu je {\I nezávislá,} pokud ¾ádné dva
-vrcholy le¾ící v~této mno¾inì nejsou spojeny hranou. (Jinými slovy pokud
-tato mno¾ina indukuje podgraf bez hran.)
+vrcholy le¾ící v~této mno¾inì nejsou spojeny hranou. (Jinými slovy nezávislá
+mno¾ina indukuje podgraf bez hran.)
\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{0.7in}
\>Na samotnou existenci nezávislé mno¾iny se nemá smysl ptát -- prázdná mno¾ina
-èi libovolný jeden vrchol jsou v¾dy nezávislé. Zajímavé ale je, jestli má graf
+èi libovolný jeden vrchol jsou v¾dy nezávislé. Zajímavé ale je, jestli graf obsahuje
dostateènì velkou nezávislou mno¾inu.
\inp Neorientovaný graf $G$ a èíslo $k \in {\bb N}$.
\outp Zda existuje nezávislá mno¾ina $A \subseteq V(G)$ velikosti alespoò~$k$.
\s{Pøevod 3-SAT $\rightarrow$ NzMna:}
+Dostaneme formuli a máme vytvoøit graf, v~nìm¾ se bude nezávislá mno¾ina
+urèené velikosti nacházet právì tehdy, je-li formule splnitelná.
My¹lenka pøevodu bude jednoduchá: z~ka¾dé klauzule budeme chtít vybrat jeden
literál, jeho¾ nastavením klauzuli splníme. Samozøejmì si musíme dát pozor, abychom
v~rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. jednou~$x$ a podruhé~$\lnot x$.
Jak to pøesnì zaøídit:
-pro ka¾dou z~$k$~klauzulí zadané formule vytvoøíme trojúhelník a ka¾dému z~jeho
-vrcholù pøiøadíme jeden z~literálù pøíslu¹né klauzule. (Pokud by klauzule obsahovala
-ménì literálù, prostì nìkteré vrcholy trojúhelníka vynecháme.) Navíc spojíme
-hranami v¹echny dvojice konfliktních literálù ($x$ a~$\lnot x$).
+pro ka¾dou z~$k$~klauzulí zadané formule vytvoøíme trojúhelník a jeho vrcholùm
+pøiøadíme literály klauzule. (Pokud by klauzule obsahovala ménì literálù,
+prostì nìkteré vrcholy trojúhelníka sma¾eme.) Navíc spojíme hranami v¹echny
+dvojice konfliktních literálù ($x$ a~$\lnot x$) z~rùzných trojúhelníkù.
V~tomto grafu se budeme ptát po nezávislé mno¾inì velikosti alespoò~$k$.
Jeliko¾ z~ka¾dého trojúhelníka mù¾eme do~nezávislé mno¾iny vybrat nejvý¹e jeden vrchol,
-jediná mo¾nost, jak splnit po¾adovanou velikost, je vybrat z~ka¾dého právì jeden
+jediná mo¾nost, jak dosáhnout po¾adované velikosti, je vybrat z~ka¾dého právì jeden
vrchol. Uká¾eme, ¾e taková nezávislá mno¾ina existuje právì tehdy, je-li formule splnitelná.
Máme-li splòující ohodnocení formule, mù¾eme z~ka¾dé klauzule vybrat jeden splnìný
A~opaènì: Kdykoliv dostaneme nezávislou mno¾inu velikosti~$k$, vybereme literály
odpovídající vybraným vrcholùm a pøíslu¹né promìnné nastavíme tak, abychom tyto
literály splnili. Díky hranám mezi konfliktními literály se nikdy nestane, ¾e bychom
-potøebovali souèasnì splnit literál a jeho negaci. Zbývající promìnné nastavíme
+potøebovali promìnnou nastavit souèasnì na~0 a na~1. Zbývající promìnné ohodnotíme
libovolnì. Jeliko¾ jsme v~ka¾dé klauzuli splnili alespoò jeden literál, jsou
splnìny v¹echny klauzule, a~tedy i celá formule.
Pøevod je tedy korektní, zbývá rozmyslet, ¾e bì¾í v~polynomiálním èase:
Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli, poèet hran je maximálnì
-kvadratický, tak¾e celý pøevod je polynomiální.
+kvadratický. Ka¾dý vrchol i hranu pøitom sestrojíme v~polynomiálním èase, tak¾e
+celý pøevod je také polynomiální.
\figure{nezmna_graf.eps}{Graf pro formuli $(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p)$}{3in}
\s{Pøevod NzMna $\rightarrow$ SAT:}
+Dostaneme graf a èíslo~$k$, chceme vytvoøit formuli, která je splnitelná právì
+tehdy, pokud se v~grafu nachází nezávislá mno¾ina o~alespoò~$k$ vrcholech.
+Tuto formuli sestrojíme následovnì.
Vrcholy grafu oèíslujeme od~1 do~$n$ a poøídíme si pro nì promìnné $v_1, \ldots, v_n$,
které budou indikovat, zda byl pøíslu¹ný vrchol vybrán do nezávislé mno¾iny
$(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$.
Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e mno¾ina je dostateènì velká. To neumíme provést
-pøímo, ale pou¾ijeme lest: vyrobíme matici $X$ tvaru~$k\times n$, která bude popisovat
+pøímo, ale pou¾ijeme lest: vyrobíme matici promìnných~$X$ tvaru~$k\times n$, která bude popisovat
oèíslování vrcholù nezávislé mno¾iny èísly od~1 do~$k$. Konkrétnì $x_{ij}$ bude øíkat,
¾e v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$j$. K~tomu potøebujeme zaøídit:
\itemize\ibull
\:Aby v~ka¾dém sloupci byla nejvý¹e jedna jednièka. Na to si poøídíme klauzule
- $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i',j})$ pro $1\le i<i'\le k$, $1\le j\le n$.
+ $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i',j})$ pro $i'\ne i$.
(Jsou to implikace, ale mù¾eme je zapsat i jako disjunkce, proto¾e $a\Rightarrow b$
je toté¾ jako $\lnot a \lor b$.)
\:Aby v~ka¾dém øádku le¾ela právì jedna jednièka. Nejprve zajistíme nejvý¹e jednu
- klauzulemi $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i,j'})$ pro $1\le i\le k$, $1\le j<j'\le n$.
- Pak pøidáme klauzule $(x_{i,1}\lor x_{i,2}\lor \ldots \lor x_{i,n})$ pro $1\le i\le k$,
+ klauzulemi $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i,j'})$ pro $j'\ne j$.
+ Pak pøidáme klauzule $(x_{i,1}\lor x_{i,2}\lor \ldots \lor x_{i,n})$,
které po¾adují alespoò jednu jednièku v~øádku.
-\:Vztah mezi oèíslováním a nezávislou mno¾inou: pøidáme klauzule $x_{i,j} \Rightarrow v_j$
- pro $1\le i\le k$, $1\le j\le n$. (V¹imnìte si, ¾e nezávislá mno¾ina mù¾e obsahovat
- i neoèíslované prvky, ale to nám nevadí. Dùle¾ité je, aby mìla $k$~oèíslovaných.)
+\:Vztah mezi oèíslováním a nezávislou mno¾inou: pøidáme klauzule $x_{i,j} \Rightarrow v_j$.
+ (V¹imnìte si, ¾e nezávislá mno¾ina mù¾e obsahovat
+ i neoèíslované prvky, ale to nám nevadí. Dùle¾ité je, aby jich mìla $k$~oèíslovaných.)
\endlist
-Tím jsme vytvoøili polynomiálnì velkou formuli, která je splnitelná právì tehdy,
-kdy¾ v~zadaném grafu existuje nezávislá mno¾ina o~alespoò~$k$ prvcích.
+Správnost pøevodu je zøejmá, ovìøme je¹tì, ¾e probíhá v~polynomiálním èase.
+To plyne z~toho, ¾e vytvoøíme polynomiálnì mnoho klauzulí a ka¾dou z~nich
+stihneme vypsat v~lineárním èase.
+
+Dokázali jsme tedy, ¾e testování existence nezávislé mno¾iny je stejnì tì¾ké
+jako testování splnitelnosti formule. Pojïme se podívat na dal¹í problémy.
\prob{Klika -- úplný podgraf}
\prob{3,3-SAT -- splnitelnost s~malým poètem výskytù}
+Ne¾ se pustíme do~dal¹ího kombinatorického problému, pøedvedeme je¹tì jednu
+speciální variantu SATu, se kterou se nám bude pracovat pøíjemnìji.
+
Ji¾ jsme ukázali, ¾e SAT zùstane stejnì tì¾ký, omezíme-li se na formule
-s~klauzulemi délky nejvý¹e~3. Mù¾eme ho dokonce omezit je¹tì více: budeme
-navíc po¾adovat, aby se ka¾dá promìnná vyskytovala v~maximálnì tøech literálech.
-Tomuto problému se øíká 3,3-SAT.
+s~klauzulemi délky nejvý¹e~3. Teï budeme navíc po¾adovat, aby se ka¾dá promìnná
+vyskytovala v~maximálnì tøech literálech. Tomuto problému se øíká 3,3-SAT.
\s{Pøevod 3-SATu na 3,3-SAT:}
Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, nahradíme její výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$
(tedy ¾e ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì).
Pokud by se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni
také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude
-vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì.
+vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì (opìt pøipomínáme, ¾e $a\Rightarrow b$
+je jen zkratka za $\lnot a\lor b$).
\prob{3D-párování}
mno¾ina~$T$ kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou),
tedy $T \subseteq K\times H\times Z$.
-\outp Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, která v~ní¾ se ka¾dý
+\outp Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, v~ní¾ se ka¾dý
prvek mno¾in $K$, $H$ a~$Z$ vyskytuje právì jednou.
\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D-párování}{3in}
projects / ads2.git / commitdiff