\itemize\ibull
\s{Definice:}
\itemize\ibull
-\:{\I Abeceda $\Sigma$} je koneèná mno¾ina znakù, ze kterých tvoøíme text, øetìzece, slova jako koneèné posloupnosti znakù ze $\Sigma$. Pøíkladem extrémních abeced je lineární abeceda slo¾ená z~nul a jednièek. Pøíklad s~druhého konce je abeceda, která má jako znaky slova èeského jazyka. V algoritmech nebudeme uva¾ovat velikost abecedy (poèet znakù).
+\:{\I Abeceda $\Sigma$} je koneèná mno¾ina znakù, ze kterých tvoøíme text, øetìzece, slova jako koneèné posloupnosti znakù ze $\Sigma$. Pøíkladem extrémních abeced je binární abeceda slo¾ená z~nul a jednièek. Pøíklad z~druhého konce je abeceda, která má jako znaky slova èeského jazyka. V algoritmech nebudeme uva¾ovat velikost abecedy (poèet znakù).
\:{\I $\Sigma$*} je mno¾ina v¹ech slov nad abecedou $\Sigma$.
\endlist
\s{Znaèení:}
\s{Vyhledávaní:}
\algo
\:$\alpha \leftarrow \varepsilon$.
-\:Pro $C\in\Sigma$ postupnì:
-\:$\indent$Dokud $\neg \exists d(\alpha , C) \wedge \alpha\neq\varepsilon : \alpha \leftarrow z(\alpha)$.
-\:$\indent$Jestli¾e $\exists d(\alpha , C) \Rightarrow \alpha \leftarrow d(\alpha , C)$.
-\:$\indent$Jestli¾e $\alpha = \iota \Rightarrow$ hledané slovo je v~textu.
+\:Pro $C\in\sigma$ postupnì:
+\::Dokud $\neg \exists d(\alpha , C) \wedge \alpha\neq\varepsilon$: $\alpha \leftarrow z(\alpha)$.
+\::Pokud $\exists d(\alpha , C)$: $\alpha \leftarrow d(\alpha , C)$.
+\::Pokud $\alpha = \iota$: vrátíme, ¾e hledané slovo je v~textu.
\endalgo
\s{Alternativa:}
\algo
\:$k \leftarrow 0$.
-\:Pro $C\in\Sigma$ postupnì:
-\:$\indent$Dokud $C\neq \iota[k] \wedge k>0: k \leftarrow z(k)$.
-\:$\indent$Jestli¾e $C=\iota[k] \Rightarrow k++$.
-\:$\indent$Jestli¾e $k = J \Rightarrow$ hledané slovo je v~textu.
+\:Pro $C\in\sigma$ postupnì:
+\::Dokud $C\neq \iota[k] \wedge k>0$: $k \leftarrow z(k)$.
+\::Pokud $C=\iota[k]$: $k \leftarrow k+1$.
+\::Pokud $k = J$: vrátíme, ¾e hledané slovo je v~textu.
\endalgo
-\s{Invariant:} Stav po pøeètení vstupu $\beta$: $\alpha(\beta)$ $=$ nejdel¹í suffix $\beta$, který je prefixem $\iota$.
+\s{Invariant:} Stav po pøeètení vstupu $\beta$: $\alpha(\beta)$ je nejdel¹í suffix $\beta$, který je prefixem $\iota$.
Z~invariantu vyplývá korektnost vyhledávací èásti algoritmu KMP.
\proof
\h{Hledání konvexního obalu}
Ptáte se o co pùjde? Zkusme si to pøiblí¾it na problému ledních medvìdù :)
-{\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovali vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí, tak se rozhodli v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné veliké sítì. A problém, který tady mají, je takovýto: Jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly je¹tì v¹echny rybky?!}
+{\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovali vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí, rozhodli se v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné velké sítì. A problém, který tady mají, je následující: jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly je¹tì v¹echny rybky?!}
Neboli budeme øe¹it, jak nìjakou zadanou mno¾inu bodù v~rovinì obalit co nejkrat¹í uzavøenou køivkou, do které by se je¹tì v¹echny body ve¹ly.
-Intuice nám napovídá ¾e výsledek bude nìjaký konvexní\foot{Mno¾ina bodù v~rovinì je konvexní útvar, pokud platí ¾e pro ka¾dé dva body této mno¾iny je úseèka spojující tyto dva body také celá v~této mno¾inì} mnohouhelník, který bude mít vrcholy v~nìkterých uvedených bodech. Ostatní vrcholy pak budou buï nìkde na hranách mnohouhelníku, nebo uvnitø.
+Intuice nám napovídá ¾e výsledek bude nìjaký konvexní\foot{Mno¾ina bodù v~rovinì je konvexní útvar, pokud platí ¾e pro ka¾dé dva body této mno¾iny je úseèka spojující tyto dva body také celá v~této mno¾inì} mnohoúhelník, který bude mít vrcholy v~nìkterých uvedených bodech. Ostatní vrcholy pak budou buï nìkde na hranách mnohoúhelníku, nebo uvnitø.
\>Mo¾ná by se teï hodilo pøedvést názornì jak vypadají nejmen¹í konvexní obaly:
\:konvexní obal prázdné mno¾iny je prázdná mno¾ina
\:konvexní obal 1 bodu je bod samotný
\:konvexní obal 2 bodù je úseèka spojující tyto body
-\:konvexní obal 3 bodù je trojuhleník s vrcholy v~tìchto bodech
+\:konvexní obal 3 bodù je trojúhleník s vrcholy v~tìchto bodech
\:konvexní obal 4 bodù \dots to u¾ je slo¾itìj¹í
\endlist
-Konvexní obaly 4 a více bodù, jak si mù¾em v¹imnout, u¾ nejsou jednoznaèné. Pro $N$-prvkovou mno¾inu bude konvexní obal mnohouhelník se tøema a¾ $N$ vrcholy.
+Konvexní obaly 4 a více bodù, jak si mù¾em v¹imnout, u¾ nejsou jednoznaèné. Pro $N$-prvkovou mno¾inu bude konvexní obal mnohoúhelník se tøemi a¾ $N$ vrcholy.
Jeden dobrý zpùsob jak tento konvexní obal sestrojit se nazývá {\I Zametání roviny.}
Budeme takto potkávat body které le¾í v~na¹í mno¾inì.
v~ka¾dém okam¾iku budeme chtít, aby v~té èásti kterou jsme ji¾ zametli, jsme u¾ mìli spoèítaný konvexní obal. V¾dycky kdy¾ pak zametací pøímkou narazíme na nový bod, tak si u¾ jen rozmyslíme jak ho do toho konvexního obalu pøidat.
-BÚNO tady v¹ude bereme body v~obecné poloze, tedy takové, ¾e ¾ádné tøi nele¾í na jedné pøímce. Dál taky budem pøedpokládat ¾e budeme zametat ve smìru $X$-ové osy a ¾e v¹echny body mají rùznou $X$-ovou souøadnici.
+BÚNO tady v¹ude bereme body v~obecné poloze, tedy takové, ¾e ¾ádné tøi nele¾í na~jedné pøímce. Dál taky budem pøedpokládat ¾e budeme zametat ve smìru $X$-ové osy a ¾e v¹echny body mají rùznou $X$-ovou souøadnici.
Jde také vidìt ¾e bod s nejmen¹í a nejvìt¹í $X$-ovou souøadnicí bude le¾et v~konvexním obalu.
\s{Algoritmus:}
\algo
\:Setøídíme body podle jejich $X$-ové souøadnice.
-\:Vezmem první tøi body a sestojíme jejich konvexní obal.
+\:Vezmem první tøi body a sestrojíme jejich konvexní obal.
\:Opakuj: Najdeme dal¹í bod a podíváme se jestli ho mù¾eme do konvexního obalu rovnou pøidat:
\::Pokud jej mù¾eme rovnou pøidat, tak jej pøidáme.
\::Pokud jej pøidat rovnou nemù¾eme, pak je potøeba nejdøív~nìjaké body odzadu odebrat a pak teprv~pøipojit ná¹ nový bod .
\h{Voroného diagramy}
-Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co si pod tímto, na první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek $T$ rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì "sousední" teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.
+Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co jsi pod tímto, na první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek $T$ rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì "sousední" teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.
\s{Definice:} Voronoi diagram pro koneènou mno¾inu $M = \{m_1, \dots, m_n\} \in {\bb R}^2$ míst je systém mno¾in $1..M_n$ takových, ¾e pro v¹echny $i$ a $j$ a pro v¹echny $x \in M_i$ je vzdálenost $x$ a $m_i$ men¹í nebo rovna vzdálenosti $x$ a $m_j$ a zároveò sjednocení $M_i$ pøes v¹echna $i$ je celý prostor ${\bb R}^2$, neboli:
\s{Pozorování:}
\itemize\ibull
-\:Pro v¹echny $i$ je $M_i$ ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekoneèna.
+\:Pro v¹echny $i$ je $M_i$ ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou otevøené do nekoneèna.
\:Pro ka¾dou hranu $h$ ve Voroného diagramu existuje $i$ a $j$ takové, ¾e kdy¾ $x \in H$, pak vzdálenost $d(x,m_i) = d(x,m_j)$.
Øekneme, ¾e vrchol je takové místo, kde se potkávají alespoò dvì hrany.
projects / ads2.git / commitdiff