Drobne opravy okolo DFS a artikulaci.

diff --git a/11-planar/11-planar.tex b/11-planar/11-planar.tex
index 8e6f9627eb17393c9a78ea4c137f2d0bdfaa8707..1bff6cc4c243e4f2458233b03a4924d696fe5a71 100644 (file)
--- a/11-planar/11-planar.tex
+++ b/11-planar/11-planar.tex
@@ -26,16 +26,18 @@ Tak s~chut
 Pøipomeòme si nejprve nìkteré vlastnosti prohledávání do~hloubky (DFS) a jeho pou¾ití
 k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (blokù).}
 
-\s{Definice:} Prohledávání do~hloubky rozdìlí $E$ na~ètyøi druhy hran: {\I stromové} (po~nich¾
-DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene),
-{\I zpìtné} (vedou do~vrcholu na~cestì mezi prohledávaným vrcholem a koøenem,
+\s{Definice:} Prohledávání grafu (orientovaného nebo neorientovaného) do~hloubky rozdìlí $E$
+na~ètyøi druhy hran: {\I stromové} (po~nich¾ DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany
+vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene), {\I zpìtné} (vedou do~vrcholu na~cestì mezi prohledávaným vrcholem a koøenem,
 èili do~takového, který se právì nachází na~zásobníku, a~v~tomto smìru si je zorientujeme),
 {\I dopøedné} (vedou do~ji¾ zpracovaného vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem)
 a zbývající {\I pøíèné} (z~tohoto vrcholu do~jiného podstromu).
 
 \s{Lemma:} Prohledáváme-li do~hloubky neorientovaný graf, nevzniknou ¾ádné dopøedné ani
-pøíèné hrany.\foot{Pro úplnost: v~orientovaném grafu mohou existovat dopøedné
-a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy do~døíve nav¹tíveného podstromu.}
+pøíèné hrany. V~orientovaném grafu mohou existovat dopøedné
+a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy do~døíve nav¹tíveného podstromu.
+
+Nyní u¾ se zamìøíme pouze na~neorientované grafy~\dots
 
 \s{Lemma:} Relace \uv{Hrany $e$ a $f$ le¾í na~spoleèné kru¾nici} (znaèíme $e\sim f$) je ekvivalence. Její
 tøídy tvoøí maximální 2-souvislé podgrafy (bloky). Vrchol $v$ je artikulace právì tehdy,
@@ -60,7 +62,8 @@ Nyn
 \s{Definice:} Je-li $v$ vrchol grafu, pak:
 \itemize\ibull
 \:$\<Enter>(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ DFS do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
-\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmen¹í z~\<Enter>ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana.
+\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmen¹í z~\<Enter>ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana,
+nebo $+\infty$, pokud z~$v$ ¾ádná zpìtná hrana nevede.
 \:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$, vèetnì $v$ samého.
 \endlist
 
@@ -69,10 +72,11 @@ b
 
 Rozpoznávání blokù a artikulací mù¾eme shrnout do~následujícího lemmatu:
 
-\s{Lemma:}
-Stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku ($uv\sim vw$) právì
-tehdy, kdy¾ $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$. Vrchol~$v$ je artikulace právì
-tehdy, kdy¾ nìkterý z~jeho synù $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
+\s{Lemma:} Pokud $v$ je vrchol grafu, $u$ jeho otec a $w$ jeho syn v~DFS stromu,
+pak stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku ($uv\sim vw$) právì
+tehdy, kdy¾ $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$, a~$v$ je artikulace právì kdy¾
+nìkterý z~jeho synù $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
+Koøen DFS stromu je artikulace právì kdy¾ má více ne¾ jednoho syna.
 
 \h{Postup kreslení}