\medskip
}
-\prednaska{7}{Stromy}{zapsali Miroslav Øezáè, ©tìpán Masojídek, Barbora Urbancová}
+\prednaska{7}{Vyhledávací stromy}{zapsali M. Øezáè, ©. Masojídek, B. Urbancová}
\h{Pár obrázkù, které by stály za pøesun do~pøedchozí kapitoly:}
\h{Binární}
-V minulé kapitole jsme se zabývali problematikou pøidávání a ubírání prvkù binárního stromu a jeho slo¾itostí a zjistili, ¾e v¹e zále¾í na~hloubce stromu. Víme, ¾e chceme hloubku logaritmickou, ale jak ji mù¾eme udr¾et pøi~operacích? Øe¹ením jsou
+V minulé kapitole jsme se zabývali problematikou pøidávání a ubírání prvkù binárního vyhledávacího stromu a jeho slo¾itostí a zjistili, ¾e v¹e zále¾í na~hloubce stromu. Víme, ¾e chceme hloubku logaritmickou, ale jak ji mù¾eme udr¾et pøi~operacích? Øe¹ením je následující definice:
+\s{Definice:} {\I Dokonalé vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left\vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $
+
+Toto nám jistì zaji¹»uje logaritmickou hloubku, ale je velmi pracné na udr¾ování.
+
\h{AVL stromy}
-tedy stromy, hloubka jejich¾ pravého a levého podstromu se~li¹í maximálnì o~jednotku
-\par
+\s{Definice:} {\I Hloubkové vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, kde platí $ \forall v: \left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $
+
+\>Jsou to tedy stromy, hloubka jejich\v z prav\'eho a lev\'eho podstromu se~li\v s\'\i{} maxim\'aln\v e o~jednotku
+
+\>Stromùm s hloubkovým vyvá¾ením se øíká AVL stromy. A o nich si doká¾eme následující lemma.
+
+\s{Lemma: } AVL strom o $n$ vrcholech má hloubku $ \O(\log{n}) $.
+
+\proof
+Uva¾me $a_k = $ minimální poèet vrcholù stromu o~hloubce $k$.
+
+Lehce spoèteme:
+
+% FIXME neni spravne a chova se divne
+\itemize\ibull
+\next $ a_0 = 0 $
+
+\next $ a_1 = 1 $
+
+\next $ a_2 = 2 $
-\> {\I Operace s AVL stromy:}
+\next $ \vdots $
+\next $ a_k = 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2} $
-\s {FIND}
+\endlist
+
+Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a dva podstromy o hloubce $k - 1$ a $k - 2$.
+
+Indukcí doká¾eme, ¾e $ a_k \geq 2^{k \over 2} $.
+První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí:
+$ a_k = 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2} > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong 2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2} $
-\> se~neli¹í od~operace find v~binárních stromech.\
+Tímto jsme dokázali, ¾e na ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám zaruèuje hloubku $ \O(\log{n})$
+\qed
-Dùraz klademe na operace \it INSERT \rm a \it DELETE \rm , proto¾e pøi~nich musíme o¹etøit udr¾ení struktury AVL~stromù..
+\>{\I Operace s AVL stromy:}
-První nutnou podmí podmínkou je, ¾e si musíme \bf pamatovat stav \rm v~ka¾dém vrcholu tohoto stromu. A~to jednak hladinu alias \bf hloubku\rm , ve~které se vrchol vyskytuje, tedy vzdálenost tohoto vrcholu od~koøene stromu, a~za~druhé \bf vyvá¾ení \rm hloubky jeho podstromù.
-Umluvíme~se napø. na~pravidle, ¾e pokud je levý podstrom hlub¹í, vrchol má hodnotu minus $\ominus$ a pokud je pravý podstrom hlub¹í, vrchol má hodnotu plus $\oplus$.
+\s{Find}
-\>Tím dostáváme tøi typy vrcholù, které se mohou v~AVL~stromu vyskytnout:
+\>se~neli¹í od~operace find v~binárních stromech.\
-\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\oplus$ \rm
-\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\ominus$ \rm a
+Dùraz klademe na operace {\I Insert} a \<Delete>, proto¾e pøi~nich musíme o¹etøit udr¾ení struktury AVL~stromù..
-\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\odot$ (nulou), \rm který má oba syny schodné hloubky.
+První nutnou podmínkou je, ¾e si musíme {\I pamatovat stav} v~ka¾dém vrcholu tohoto stromu. A~to {\I vyvá¾ení} hloubky jeho podstromù.
+
+Umluvíme~se napø. na~tomto oznaèení:
+
+\>Dostaneme tøi typy vrcholù, které se mohou v~AVL~stromu vyskytnout:
+\itemize\ibull
+\:{\I Vrchol typu~$\oplus$}, pokud je pravý podstrom hlub¹í
+\:{\I Vrchol typu~$\ominus$}, pokud je levý podstrom hlub¹í a
+\:{\I Vrchol typu~$\odot$ (nulou)}, který má oba syny schodné hloubky.
+\endlist
-\s {SESTAVENÍ} \rm AVL stromu:
+\s {Sestavení} \rm AVL stromu:
Postupujeme po~struktuøe binárního stromu od~listù ke~koøeni a~kontrolujeme, zda jsou vrcholy v~jednom ze~tøí uvedených stavù. Pokud ne, opravíme ho operací jménem rotace.
\s {Rotace}
-
\treepic{4}
\treepic{5}
Jde o~pøevrácení hrany mezi pùvodním otcem (koøenem podstromu) a nevyvá¾eným vrcholem tak, aby byli i po pøeskupení synové vzhledem k~otcùm správnì uspoøádáni.
-\s {INSERT} \rm - vlo¾ení vrcholu do~AVL~stromu.
+\s {Insert} \rm - vlo¾ení vrcholu do~AVL~stromu.
-Vlo¾íme jej jako list. Nový list má v¾dy "znaménko" nula $\odot$. Pøedpokládáme, ¾e patøí nalevo od posledního otce. Podíváme~se na~znaménko jeho otce:
+Vlo¾íme jej jako list. Nový list má v¾dy \uv{znaménko} nula $\odot$. Pøedpokládáme, ¾e patøí nalevo od posledního otce. Podíváme~se na~znaménko jeho otce:
\itemize\ibull
-\: \bf mìl~$\odot$ (nemìl syna) $\rightarrow$ teï má~$\ominus$ \rm , po struktuøe stromu nahoru posíláme informaci, ¾e se podstrom prohloubil o~1, co¾ mù¾e mít samozøejmì vliv na~znaménka vrcholù na~cestì ke~koøeni.
-\: \bf mìl~$\oplus$ (mìl pravého syna, který je listem) $\rightarrow$ teï má~$\odot$ \rm , hloubka podstromu se~nemìní
-\: \bf mìl $\ominus$ \rm $\leftarrow$ nenastane, proto¾e v binární struktuøe nejmohou být dva leví synové
-\par Pøipadne-li pøidaný list napravo, øe¹íme zrcadlovì.
+\:{\I mìl~$\odot$ (nemìl syna) $\rightarrow$ teï má~$\ominus$}, po struktuøe stromu nahoru posíláme informaci, ¾e se podstrom prohloubil o~1, co¾ mù¾e mít samozøejmì vliv na~znaménka vrcholù na~cestì ke~koøeni.
+\:{\I mìl~$\oplus$ (mìl pravého syna, který je listem) $\rightarrow$ teï má~$\odot$}, hloubka podstromu se~nemìní
+\:{\I mìl $\ominus$} --- nenastane, proto¾e v binární struktuøe nemohou být dva leví synové
\endlist
+\>Pøipadne-li pøidaný list napravo, øe¹íme zrcadlovì.
\treepic{6}
\treepic{7}
-\>\bf Prohloubil-li se strom \rm vlo¾ením nového listu, musíme pracovat s vyvá¾ením:
-\algo
-\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do~vrcholu se~znam.~$\odot$ \rm $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\ominus$ a informace o~prohloubení je tøeba poslat o~úroveò vý¹
-\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do~vrcholu se~znam.~$\oplus$ \rm $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\odot$, hloubka je vyrovnána, dál nic neposíláme
-\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$\rm
-\endalgo
+\>{\I Prohloubil-li se strom} vlo¾ením nového listu, musíme pracovat s vyvá¾ením:
+\itemize\ibull
+\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do~vrcholu typu~$\odot$} $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\ominus$ a informace o~prohloubení je tøeba poslat o~úroveò vý¹.
+\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do~vrcholu typu~$\oplus$} $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\odot$, hloubka je vyrovnána, dál nic neposíláme.
+\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do vrcholu s~$\ominus$} $\rightarrow$
-\> $\rightarrow$ rozebereme na~tøi pøípady podle znaménka vrcholu, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení.
+\>rozebereme na~tøi pøípady podle znaménka vrcholu, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení:
\itemize\ibull
-\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\ominus$\rm $\rightarrow$ provedeme rotaci doprava tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$y$, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení
+\:Informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\ominus$} $\rightarrow$ provedeme rotaci doprava tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$y$, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení.
\treepic{8}
{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholù~$y$ a~$x$ je~$\odot$\
{\I Pozorování 2:} hloubka pøed vkládáním byla $h+1$ a~nyní je také $h+1$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a mù¾eme skonèit
-\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$\rm
-\itemitem{-}uva¾me je¹te vrchol~$z$ jako pravého syna vrcholu~$y$, ze~kterého pri¹la informace o~prohloubení, a~jeho podstromy~$B$ a~$C$
-\itemitem{-} vrcholy~$B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo $h-1$ $\rightarrow$ oznaème~ji tedy $h-$ (to zøejmì proto¾e vrchol~$y$ má znaménko~$\oplus$, tedy jeho pravý podstrom s~koøenem~$z$ má hloubku~$h+1$ )
-\itemitem{-}provedeme dvojrotaci tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$z$
-
+\:Informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\oplus$}
+\itemize\ibull
+\:uva¾me je¹te vrchol~$z$ jako pravého syna vrcholu~$y$, ze~kterého pri¹la informace o~prohloubení, a~jeho podstromy~$B$ a~$C$
+\:vrcholy~$B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo $h-1$ $\rightarrow$ oznaème~ji tedy $h-$ (to zøejmì proto¾e vrchol~$y$ má znaménko~$\oplus$, tedy jeho pravý podstrom s~koøenem~$z$ má hloubku~$h+1$ )
+\:provedeme dvojrotaci tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$z$
+\endlist
\treepic{9}
{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholu~$z$ bude~$\odot$\
{\I Pozorování 3:} rozdíl hloubky pravého a~levého podstromu u~tìchto vrcholù bude~$0$ nebo~$1$\
{\I Pozorování 4:} hloubka pøed vkládáním byla $h+2$ a~nyní je také $h+2$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a~mù¾eme skonèit
-\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\odot$ \rm $\leftarrow$ to nemù¾e nastat, proto¾e v~tom pøípadì by ne¹lo o~prohloubení
+\:informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\odot$} --- to nemù¾e nastat, proto¾e v~tom pøípadì by ne¹lo o~prohloubení
+\endlist
\endlist
-
-\s {DELETE} \rm - odebrání vrcholu z~AVL~stromu
-
-
+\s {Delete} - odebrání vrcholu z~AVL~stromu
\> Buï ma¾eme list nebo ma¾eme vrchol, který mìl nìjaké syny.
\itemize\ibull
-\: pokud ma¾eme list, podíváme~se na~znaménko otce. Pøedpokládáme mazání levého syna.
+\:pokud ma¾eme list, podíváme~se na~typ otce. Pøedpokládáme mazání levého syna.
\itemize\ibull
-\: mìl znaménko $\ominus$ (nemìl pravého syna) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\odot$ (vrchol teï nemá ¾ádné syny)
-\: mìl znaménko $\odot$ (mìl oba syny) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\oplus$
+\:byl typu $\ominus$ (nemìl pravého syna) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\odot$ (vrchol teï nemá ¾ádné syny)
+\:byl typu $\odot$ (mìl oba syny) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\oplus$
\endlist
(ma¾eme-li pravý list, øe¹íme zrcadlovì)
-\: ma¾eme vrchol s~jedním (levým nebo pravým) synem $\rightarrow$ syn nastupuje na~místo otce a~získává zn.~$\odot$\
+\:ma¾eme vrchol s~jedním (levým nebo pravým) synem $\rightarrow$ syn nastupuje na~místo otce a~získává typ~$\odot$\
-\> V~obou pøípadech posílame informaci o~zmìnì hloubky stromu..
-\: mazaný vrchol mìl oba syny (listy) $\rightarrow$ vybereme jednoho ze~synù na~místo smazaného otce. Hloubka se nemìní.
-\: mazaný vrchol mìl syny podstromy $\rightarrow$ na~jeho místo vezmeme nejvìt¹í prvek levého podstromu (nebo nejmen¹í prvek pravého podstromu) a od~odebraného (nahrazujícího) listu kontrolujeme vyvá¾ení podstromu.
+\>V~obou pøípadech posílame informaci o~zmìnì hloubky stromu...
+\:mazaný vrchol mìl oba syny (listy) $\rightarrow$ vybereme jednoho ze~synù na~místo smazaného otce. Hloubka se nemìní.
+\:mazaný vrchol mìl syny podstromy $\rightarrow$ na~jeho místo vezmeme nejvìt¹í prvek levého podstromu (nebo nejmen¹í prvek pravého podstromu) a od~odebraného (nahrazujícího) listu kontrolujeme vyvá¾ení podstromu.
\endlist
-\bf Úprava vyvá¾ení \rm stromu po~odebrání listu z~podstromu
-\algo
-\: informace o~zmìnì hloubky pøi¹la z~levého podstromu do~vrcholu se~znaménkem $\odot$ $\rightarrow$ vrchol se~zmìní na~$\oplus$ a~dál se hloubka nemìní
+\>{\I Úprava vyvá¾ení} stromu po~odebrání listu z~podstromu
+\itemize\ibull
+\:informace o~zmìnì hloubky pøi¹la z~levého podstromu do~vrcholu typu~$\odot$ $\rightarrow$ vrchol se~zmìní na~$\oplus$ a~dál se hloubka nemìní
-\: informace pøi¹la zleva do~vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$ mìní~se na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky.
+\:informace pøi¹la zleva do~vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$ mìní~se na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky.
\treepic{10}
\treepic{11}
-\: problémová situace nastává, kdy¾ informace o~zmìnì pøi¹la zleva do~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$~$\rightarrow$
-\endalgo
-\> $\rightarrow$ rozebereme na~tøi~pøípady podle znaménka pravého syna nevyvá¾eného vrcholu
+\:problémová situace nastává, kdy¾ informace o~zmìnì pøi¹la zleva do~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$
+\endlist
+\>rozebereme na~tøi~pøípady podle znaménka pravého syna nevyvá¾eného vrcholu
\itemize\ibull
-\: pravý syn má znaménko~$\oplus$ $\rightarrow$ provedeme rotaci vlevo, novým koøenem se~stává~$y$ (pravý syn), oba vrcholy zmìní znaménko na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky
+\:{\I pravý syn je typu~$\oplus$} $\rightarrow$ provedeme rotaci vlevo, novým koøenem se~stává~$y$ (pravý syn), oba vrcholy zmìní typ na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky
\treepic{12}
-\: pravý syn má znaménko~$\odot$ $\rightarrow$ provedeme opìt rotaci vlevo, koøenem se~stává~$y$, následnì se u~$y$ zmìní znaménko na~$\ominus$ , u~vrcholu~$x$ se znaménko nemìní. Hloubka stromu se~nemìní, tudí¾ není tøeba posílat informaci..
+\:{\I pravý syn je typu~$\odot$} $\rightarrow$ provedeme opìt rotaci vlevo, koøenem se~stává~$y$, následnì se u~$y$ zmìní typ na~$\ominus$ , u~vrcholu~$x$ se typ nemìní. Hloubka stromu se~nemìní, tudí¾ není tøeba posílat informaci..
\treepic{12y}
-\: pravý syn má znaménko $\ominus$
-v~tomto pøípadì uva¾ujeme je¹tì vrchol~$z$ jako levého syna vrcholu~$y$, s~podstromy $B$ a~$C$, podstromy $B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo~$h-1$. Provedeme dvojrotaci, napøed vpravo rotujeme vrcholy $z$ a~$y$, potom vlevo vrcholy~$x$ a~$z$ tak, ¾e se $z$ stane novým koøenem, znaménko vecholu~$x$ bude potom~$\ominus$ nebo~$\odot$, znaménko~$y$~$\oplus$ nebo~$\odot$ (podle toho, jaké znaménko mìl pùvodnì vrchol~$z$), znaméko~$z$ bude~$\odot$ a~opìt posíláme informaci o~zmìnì hloubky stromu.
+\:{\I pravý syn je typu~$\ominus$} $rightarrow$ v~tomto pøípadì uva¾ujeme je¹tì vrchol~$z$ jako levého syna vrcholu~$y$, s~podstromy $B$ a~$C$, podstromy $B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo~$h-1$. Provedeme dvojrotaci, napøed vpravo rotujeme vrcholy $z$ a~$y$, potom vlevo vrcholy~$x$ a~$z$ tak, ¾e se $z$ stane novým koøenem, typ vecholu~$x$ bude potom~$\ominus$ nebo~$\odot$, typ~$y$~$\oplus$ nebo~$\odot$ (podle toho, jaké znaménko mìl pùvodnì vrchol~$z$), typ~$z$ bude~$\odot$ a~opìt posíláme informaci o~zmìnì hloubky stromu.
\treepic{13}
\endlist
\h{Obecné stromy}
-
(Stromy s více vìtvemi)
-\>\it Proè se tímto zabývat? \rm
-\par
-Pøi ulo¾ení dat na~disku se~sna¾íme, aby~se ètení z~disku provádìlo pokud mo¾no co nejménìkrát a~nezále¾í nám tolik na~tom, kolik operací se~vykoná v~jednom uzlu. (Èasovì je operace porovnávání zanedbatelná oproti ètení z~disku)
-
-
-\s {Def:} \bf (a,b) strom \rm pro parametry $a,b$, $a \geq 2$, $b\geq 2a - 1$ je zakoøenìný strom s~uspoøádanými syny a~vnìj¹ími vrcholy, pro který platí:
-\par
-\> (pozn.: kdekoli~by mohl být syn a~není, pøipojíme vrchol, kterému øíkáme vnìj¹í vrchol)
+\>{\I Proè se tímto zabývat?}
+Pøi ulo¾ení dat na~disku se~sna¾íme, aby~se ètení z~disku provádìlo pokud mo¾no co nejménìkrát a~nezále¾í nám tolik na~tom, kolik operací se~vykoná v~jednom uzlu. (Èasovì je operace porovnávání zanedbatelná oproti ètení z~disku)
-\item{Ax 1)} data jsou ulo¾ena ve~vnitøních vrcholech a~ka¾dý vrchol obsahuje o~1 ménì klíèù ne¾ má synù
-\item{Ax 2)} platí stromové uspoøádání
-\item{Ax 3)} koøen má $2$ a¾~$b$ synù, ostatní vnitøní vrcholy $a$ a¾ $b$ synù
-\item{Ax 4)} v¹echny vnìj¹í vrcholy jsou ve~stejné hloubce (vnìj¹í vrchol$=$list)
+\s{Definice:}{\I (a,b)-strom} pro parametry $a,b$, $a \geq 2$, $b\geq 2a - 1$ je zakoøenìný strom s~uspoøádanými syny a~vnìj¹ími vrcholy, pro který platí:
+\itemize\ibull
+\:{Ax 1)}data jsou ulo¾ena ve~vnitøních vrcholech a~ka¾dý vrchol obsahuje o~1 ménì klíèù ne¾ má synù
+\:{Ax 2)}platí stromové uspoøádání, tedy ¾e $ A < x_1 < B < x_2 < C < x_3 < D $
+\:{Ax 3)}koøen má $2$ a¾~$b$ synù, ostatní vnitøní vrcholy $a$ a¾ $b$ synù
+\:{Ax 4)}v¹echny vnìj¹í vrcholy jsou ve~stejné hloubce (vnìj¹í vrchol$=$list)
+\endlist
+\>{\I Poznámka:} kdekoli~by mohl být syn a~není, pøipojíme vrchol, kterému øíkáme vnìj¹í vrchol)
\vglue 2 in
\centerline {Prosím vlo¾it obrázek "ab strom11.gif"}
-$$ A < x_1 < B < x_2 < C < x_3 < D $$
-
-\s {Lemma:} $(a,b)$ strom na~$n$~vrcholech má hloubku~$O(\log_a n)$.
+\s{Lemma:} $(a,b)$-strom na~$n$~vrcholech má hloubku~$O(\log_a n)$.
\proof
Zjistíme jeho minimální poèet listù (oznaème jej $m$): ka¾dý vrchol a¾ na~koøen má alespoò $a$ synù $\rightarrow$\
$$m\geq~a^{(hloubka -1)}$$
$$\log_a m \geq hloubka -1$$
$$hloubka \leq 1+ \log_a m$$
-\centerline{co¾ je øádovì $O(\log_a n)$, kde n je poèet vrcholù.}\
+\centerline{co¾ je øádovì $O(\log_a n)$, kde $n$ je poèet vrcholù.}\
-\> \it Operace s (a,b) stromy:\
+\s{Operace s (a,b) stromy:}
-
-\s {FIND}\rm
+\s{Find}
\item{-}V¾dy zjistíme, mezi které 2 klíèe hledaný vrchol patøí a potom se zanoøíme hloubìji.\
-\> Èasová slo¾itost:
-$$O(\log b \cdot \log_a n)$$
-$\log b$ je èas strávený na~jednom vrcholu pro zji¹tení, mezi které 2 vrcholy hledaný patøí, $\log_a n$ je hloubka stromu.\
-
+\>Èasová slo¾itost nalezení prvku v $(a,b)$-stromu je $O(\log b \cdot \log_a n)$, kde $\log b$ je èas strávený na~jednom vrcholu pro zji¹tení, mezi které 2 vrcholy hledaný patøí, $\log_a n$ je hloubka stromu.
-\s {INSERT}
+\s{Insert}
-\> Jako Find, pøièem¾ jestli¾e nena¹el, skonèí na~posledním patøe a~pøidáme klíè
+\>Jako Find, pøièem¾ jestli¾e nena¹el, skonèí na~posledním patøe a~pøidáme klíè
\itemize\ibull
-\: pokud pøidáním nepøesáhneme maximální poèet klíèù mù¾eme skonèit
+\:pokud pøidáním nepøesáhneme maximální poèet klíèù mù¾eme skonèit
\vglue 2 in
\centerline {Prosím vlo¾it obrázek "insert1.gif"}
-\: pokud pøidáním pøesáhneme maximální poèet klíèù
+\:pokud pøidáním pøesáhneme maximální poèet klíèù
\endlist
-\itemitem{*}rozdìlíme vrchol na~3 èásti: L,x,P
-\itemitem{*}L a P jsou nové vrcholy
-\itemitem{*}x je hodnota mezi L a P, kterou vlo¾íme o patro vý¹ jako klíè oddìlující novì vzniklé vrcholy L a P
-\itemitem{*}tím jsme pøevedli problém o patro vý¹ a opakujeme algoritmus
+\algo
+\:rozdìlíme vrchol na~3 èásti: $L$,$x$,$P$
+\:$L$ a $P$ jsou nové vrcholy
+\:$x$ je hodnota mezi $L$ a $P$, kterou vlo¾íme o patro vý¹ jako klíè oddìlující novì vzniklé vrcholy $L$ a $P$
+\:tím jsme pøevedli problém o patro vý¹ a opakujeme algoritmus
+\endalgo
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek "b klicu1.gif" a "b klicu2.gif"}
-\> pozn.: jestli¾e se dostaneme a¾ do koøene, rozdìlí se koøen na 2 èásti, vznikne nám nový koøen se 2ma syny (co¾ je povoleno) a celému stromu vzroste hloubka o 1
-\par
-\s {Korektnost:}
+\s{Poznámka:} Jestli¾e se dostaneme a¾ do koøene, rozdìlí se koøen na dvì èásti, vznikne nám nový koøen se dvìma syny (co¾ je povoleno) a celému stromu vzroste hloubka o jedna.
+
+\s{Korektnost:}
Potøebujeme, aby
-$$|L|\geq a-1$$
-$$|P|\geq a-1$$
+$$\vert L\vert \geq a-1$$
+$$\vert P\vert \geq a-1$$
po seètení obou nerovností a~priètení 1 na~obì strany rovnice:
-$$|L|+|P|+1\geq 2a-2+1=2a-1$$
+$$\vert L\vert +\vert P\vert +1\geq 2a-2+1=2a-1$$
pravá strana je rovna $b$ a~to podle definice $\geq 2a-1$. \par
-\s {Èasová slo¾itost:}
-$$O(b\cdot \log_a n)$$
+\s{Èasová slo¾itost:} vkládání prvku do $(a,b)$-stromu je $O(b\cdot \log_a n)$.
-\s {DELETE}
+\s{Delete}
\item{-} pøevedeme na~delete z~listu (stejný postup jako u~stromu: jestli¾e to není list, prohodíme tuto hodnotu s~nejmen¹í hodnotou podstromu jeho pravého syna) --- v tomto pøípadì na~klíè posledního vnitøního vrcholu, proto¾e listy jsou vnìj¹í vrcholy bez dat.
\itemize\ibull
-\: pokud má vrchol, ze~kterého odebíráme stále $a-1$ klíèù, mù¾eme skonèit
-\: pokud má vrchol(V), ze~kterého odebíráme $a-2$ klíèù a~jeho levý sousední vrchol(L) alespoò $a$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
+\:pokud má vrchol, ze~kterého odebíráme stále $a-1$ klíèù, mù¾eme skonèit
+\:pokud má vrchol($V$), ze~kterého odebíráme $a-2$ klíèù a~jeho levý sousední vrchol($L$) alespoò $a$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
\endlist
\algo
-\: sma¾eme nejvìt¹í klíè levého sousedního vrvholu(L) a~nahradíme tím klíè otce obou vrcholù (nahradíme $x$ za~tuto hodnotu)
-\: pùvodní klíè otce($x$) pøidáme jako nejmen¹í klíè odebíranému vrcholu(V)
-\: tím mají oba tyto vrcholy $a-1$ klíèù a mù¾eme skonèit
+\:sma¾eme nejvìt¹í klíè levého sousedního vrvholu($L$) a~nahradíme tím klíè otce obou vrcholù (nahradíme $x$ za~tuto hodnotu)
+\:pùvodní klíè otce($x$) pøidáme jako nejmen¹í klíè odebíranému vrcholu($V$)
+\:tím mají oba tyto vrcholy $a-1$ klíèù a mù¾eme skonèit
\endalgo
\vglue 2 in
-\centerline{Prosm vlo¾it obrzek "delete21.gif" a "delete22.gif"}
+\centerline{Prosím vlo¾it obrázek "delete21.gif" a "delete22.gif"}
\itemize\ibull
-\: pokud má vhchol, z kterého odebíráme(V) $a-2$ klíèù a jeho levý sousední vrchol(L) $a-1$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
+\:pokud má vrchol, z kterého odebíráme($V$) $a-2$ klíèù a jeho levý sousední vrchol($L$) $a-1$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
\endlist
\algo
-\: slouèíme $V,x,L$ do jednoho vrcholu
-\: tím jsme problém pøevedli o patro vý¹ a opakujeme algoritmus \par
+\:slouèíme $V$,$x$,$L$ do jednoho vrcholu
+\:tím jsme problém pøevedli o patro vý¹ a opakujeme algoritmus \par
\endalgo
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek "delete31.gif" a "delete32.gif"}
-\> pozn. Dojdeme-li takto a¾ do koøene, na místo klíèe odebraného z koøene lze pou¾ít nejmen¹í nebo nejvìt¹í klíè novì slouèeného podstromu. Ten odebrat lze, proto¾e po slouèení (které bylo pøíèinou této situace), je v nejni¾¹ím vrcholu $2a-2$ klíèù.
+\>{\I Poznámka:} Dojdeme-li takto a¾ do koøene, na místo klíèe odebraného z koøene lze pou¾ít nejmen¹í nebo nejvìt¹í klíè novì slouèeného podstromu. Ten odebrat lze, proto¾e po slouèení (které bylo pøíèinou této situace), je v nejni¾¹ím vrcholu $2a-2$ klíèù.
-\> \bf Èasová slo¾itost: $$O(b\cdot \log_a n)$$
+\>{\I Èasová slo¾itost:} $$O(b\cdot \log_a n)$$
\bye
projects / ads1.git / commitdiff