zmen v umisteni obrazku do textu.
ze~zdroje~$s$ (source) do~spotøebièe~$t$ (target), pøièem¾ tekutina
se nikde mimo tato dvì místa neztrácí ani nevzniká.
-\s{Definice:}
+\ss{Definice:}
\itemize\ibull
\:{\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,s,t,c)$, kde:
analýzy Ford-Fulkersonova algoritmu.
\qed
-\s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾:
-$$\eqalign{
-\sum_v f^\Delta(v) &= f^\Delta(s) + f^\Delta(t) \hbox{~~~(podle Kirchhoffova zákona jsou v¹echna ostatní $f^\Delta(v)=0$), ale také:} \cr
-\sum_v f^\Delta(v) &= \sum_e f(e) - f(e) = 0 \hbox{~~~(ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$),}
-}$$
-tak¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
+\s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾. Platí toti¾:
+$$f^\Delta(s) + f^\Delta(t) = \sum_v f^\Delta(v) = \sum_e f(e) - f(e) = 0$$
+(první rovnost plyne z~Kirchoffova zákona -- v¹echna ostatní $f^\Delta(v)$ jsou nulová; druhá pak z~toho,
+¾e ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$). Proto je $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
Stejnì tak mù¾eme velikost toku zmìøit na~libovolném øezu:
pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok
v~na¹em smìru simulovat odeètením od~toku v~protismìru. Trochu formálnìji:
-\s{Definice:}
+\ss{Definice:}
\itemize\ibull
\:{\I Rezerva} hrany $e=(v,w)$ pøi toku~$f$ se definuje jako $r(e) = (c(e) - f(e)) + f(e^\prime)$, kde $e^\prime=(w,v)$.
\:{\I Zlep¹ující cesta} je orientovaná cesta taková, ¾e v¹echny její hrany mají nenulovou rezervu.
\endlist
-\s{Algoritmus:}
+\ss{Algoritmus:}
\algo
\:$f \leftarrow \<nulový tok>$
nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky:
-\figure{bipartitni.eps}{Bipartitní graf a z~nìj odvozená sí» (v¹echny kapacity jsou jednièky).}{0.4\hsize}
+\fig{bipartitni.eps}{0.4\hsize}
Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme
\input ../sgr.tex
+\hyphenation{mikro-strom mikro-stro-mo-vé}
+
\prednaska{10}{Dekompozice stromù}{}
V~této kapitole uká¾eme nìkolik datových struktur zalo¾ených
stromu spojeny hranou. Analogicky pro~$y$.
\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy cestovì zkomprimovaného stromu.]
\:Le¾í-li $x$ a $y$ v~jednom mikrostromu, zeptáme se struktury pro~mikrostrom.
-\:Je-li $x$ uvnitø mikrostromu, zeptáme se mikrostromové struktury na~spojení s~koøenem mikrostromu.
+\:Je-li $x$ uvnitø mikrostromu, zeptáme se mikrostruktury na~spojení s~koøenem mikrostromu.
Není-li, odpovíme {\sc ne}, stejnì jako kdy¾ není pøítomna pøíslu¹ná spojovací hrana.
Jinak $x$ nahradíme listem makrostromu, do~kterého spojovací hrana vede. Podobnì pro~$y$.
\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy makrostromu.]
\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1} \}$,
èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvìt¹í $k$ takové, ¾e $2^k < j-i$
-a vrátíme $\min( \min\{ a_i, \ldots, a_{i+2^k-1} \}, \min\{ a_{j-2^k}, \ldots, a_{j-1} \} )$.
-Tak zvládneme dotaz v~èase $\O(1)$ za~cenu pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
+a vrátíme:
+$$\min( \min\{ a_i, \ldots, a_{i+2^k-1} \}, \min\{ a_{j-2^k}, \ldots, a_{j-1} \} ).$$
+Tak zvládneme dotazy v~èase $\O(1)$ po~pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
\endlist
My si ov¹em v¹imneme, ¾e ná¹ pøevod z~LCA vytváøí dosti speciální instance problému RMQ,
kartézský strom pro ji¾ zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
prvku v~tomto stromu. Kdy¾ pøidáváme dal¹í prvek, hledáme místo, kam ho
pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imneme si, ¾e vzhledem
-k~potenciálu urèenému hloubkou oznaèeného prvku je èasová slo¾itost pøidání
+k~potenciálu rovnému hloubce oznaèeného prvku je èasová slo¾itost pøidání
prvku amortizovanì konstantní.
\qed
po~okraji bloku touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e
slouèit nìkolik blokù do~jednoho:
-\twofigures{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externì aktivní vrcholy)}{\epsfxsize}
+\figure{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}
+\figure{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externì aktivní vrcholy)}{\epsfxsize}
Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu
hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta.
hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externì aktivní
blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol.
-Jinými slovy
$w$ je externì aktivní pøi zpracovávání vrcholu~$v$, pokud je $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+Jinými slovy
vrchol $w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pakli¾e $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(v)$.
Druhá podmínka funguje díky tomu, ¾e koøen bloku má v~tomto bloku právì jednoho syna
(jinak by existovala pøíèná hrana, co¾ víme, ¾e není pravda), tak¾e minimum z~\<Ancestor>ù
pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich koøeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny koøenù.
Tento seznam udr¾ujeme setøídìný vzestupnì podle $\<LowPoint>$ù synù.
-\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud
je buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
seznamy \<BlockList> lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
\s{Lemma:} Pokud existuje zpìtná hrana, kterou algoritmus nenakreslil, graf na~vstupu
není rovinný.
-\proof Pro spor pøedpokládejme, ¾e pøi zpracování vrcholu~$v$ existuje
+\proof Pro spor pøedpokládejme, ¾e po~zpracování vrcholu~$v$ existuje nìjaká
zpìtná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, èili ¾e pøístup z~$v$ k~$w$
je v~obou smìrech blokován externì aktivními vrcholy. Rozborem pøípadù uká¾eme,
¾e tato situace vede ke~sporu buïto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
nerovinných minorù ($N_1$ a¾ $N_3$ jsou isomorfní s~$K_{3,3}$ a $N_4$ s~$K_5$):
\bigskip
-\centerline{\epsfbox{minor3.eps}\qquad\epsfbox{minor4.eps}\qquad\epsfbox{minor5.eps}\qquad\epsfbox{minor6.eps}}
+\centerline{\epsfbox{minor3.eps}\qquad\epsfbox{minor4.eps}}
+\bigskip
+\centerline{\epsfbox{minor5.eps}\qquad\epsfbox{minor6.eps}}
\bigskip
\>Uva¾me, jak bude $B$ vypadat po~odebrání vrcholu~$v$ a hran z~nìj vedoucích:
\::Zlep¹i $f$ podle $f_B$
\endalgo
-\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do vrstev}{0.3\hsize}
+\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do vrstev}{0.4\hsize}
\s{Slo¾itost algoritmu:}
Oznaèíme $l$ délku nejkrat¹í $st$-cesty, $n$ poèet vrcholù sítì a $m$ poèet hran sítì.
èervené vedou zpìt èi za~spotøebiè èi do~slepých ulièek. Pøi vyti¹tìní na papír není snadné
je barevnì odli¹it od èerných.} se zahodí.
-\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a slepé ulièky.}{0.3\hsize}
+\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a slepé ulièky.}{0.5\hsize}
Nové hrany mohou vznikat výhradnì jako opaèné k~èerným hranám (hrany ostatních barev
padly za obì» proèi¹tìní). Jsou to tedy v¾dy zpìtné hrany vedoucí z~$i$-té vrstvy do~$(i-1)$-ní.
-\figure{dinic-zpetnahrana.eps}{Vznik nové zpìtné hrany}{0.3\hsize}
+\figure{dinic-zpetnahrana.eps}{Vznik nové zpìtné hrany}{0.4\hsize}
Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové $st$-cesty, které pou¾ívají
zpìtné hrany. Jen¾e $st$-cesta, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit zpìt
a nikdy nemù¾e skoèit dopøedu o~více ne¾ jednu vrstvu, a~proto je její délka alespoò $l+2$.
Tím je vìta dokázána. \qed
-\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta u¾ívající novou zpìtnou hranu}{0.3\hsize}
+\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta u¾ívající novou zpìtnou hranu}{0.4\hsize}
\h{Implementaèní poznámky}
\foot{Poslední cifrou myslíme nejménì významnou cifru.}
cifry, poté podle pøedposlední, pøedpøedposlední a tak dále.
-\figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného tøídìní podle øádù}{0.2\hsize}
+\figure{dinic-sort.eps}{Kroky postupného tøídìní podle øádù}{0.4\hsize}
V na¹em pøípadì budeme postupnì budovat sítì a v nich poèítat toky, a¾ nakonec získáme tok pro celou sí».
Pøitom po~ka¾dém posunu zavoláme Dinicùv algoritmus. Pomocí pøedchozího odhadu uká¾eme, ¾e jedno
volání Dinice nebude pøíli¹ drahé.
-\figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.2\hsize}
+\figure{dinic-scaling-original.eps}{Pùvodní sí», na hranách jsou jejich kapacity v binárním zápisu}{0.4\hsize}
Oznaème $k$ poèet bitù v zápisu nejvìt¹í kapacity z celé sítì. $k = \lfloor \log_2C \rfloor$.
Postupnì budeme budovat sítì $G_i$ s~kapacitami $c_i(e) = \lfloor {c(e) / 2^{k-i}} \rfloor$.
\right.
$$
-\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítì $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro sí» z~pøedchozího obrázku}{0.8\hsize}
+\figure{dinic-scaling-g.eps}{Sítì $G_0$, $G_1$ a $G_2$, jak vyjdou pro sí» z~pøedchozího obrázku}{0.9\hsize}
Na spoètení maximálního toku $f_i$ v síti $G_i$ zavoláme Dinicùv algoritmus,
ov¹em do zaèátku nepou¾ijeme nulový tok, nýbr¾ tok $2f_{i-1}$. Rozdíl toku z inicializace
Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
-
$$\eqalign{
-\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
-&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
+\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \cr
+&\geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
+&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = \cr
+&=d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
}$$
\qed
\proof Nejprve si doká¾eme jedno drobné
{\advance\leftskip by 2em\advance\rightskip by 2em
-\s{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e $r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z))$.
+\s{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e:
+$$r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z)).$$
\proof Buï $W$ minimální $xz$-øez.
-\fig{4-ght-rez.eps}{5cm}
+\fig{4-ght-rez.eps}{\epsfxsize}
\noindent Vrchol $y$ musí být v~jedné z~komponent, BÚNO v~komponentì s~$x$. Pak ale $r(y,z) \le c(W)$,
proto¾e $\d(W)$ je také $yz$-øez. Tedy $\min(r(x,y),r(y,z)) \le r(x,z)$.\qed
Nyní se nauèíme \GHT{} konstruovat, èím¾ také rozptýlíme obavy o~jejich existenci.
Nejprve v¹ak budeme potøebovat jedno u¾iteèné lemma s~hnusnì technickým dùkazem:
-\vbox to 0pt{\vskip-\baselineskip\rightline{\epsfysize=2cm\epsfbox{4-ght-htl.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-{
-\advance\rightskip by 17em
\s{Hnusnì technické lemma (HTL):} Buïte¾ $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-øez a $u\ne v$ dva rùzné
vrcholy z~$U$. Pak existuje mno¾ina vrcholù $W \subseteq U$ taková, ¾e $\d(W)$ je minimální $uv$-øez.
[To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.]
+\fig{4-ght-htl.eps}{\epsfxsize}
+
\proof Nech» je $\d(X)$ minimální $uv$-øez.
BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e $s\in U$ a $t\not\in U$, $u\in X$ a $v\not\in X$ a $s\in X$.
Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme vrcholy pøeznaèit nebo nìkterou z~mno¾in nahradit jejím doplòkem.
-}
-
Nyní mohou nastat dva pøípady:\numlist\nalpha
-\vbox to 0pt{\vskip -1cm\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
+\vbox to 0pt{\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
{\advance\hsize by -14em
-\:$t\not\in X$.\par
-Doká¾eme dvì nerovnosti. Nerovnost $$\eqalignno{c(U \cup X) &\ge c(U)&(1)}$$
-platí proto, ¾e $U \cup X$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez. Dal¹í
-$$\eqalignno{c(U \cap X) + c(U \cup X) &\le c(U) + c(X)&(2)}$$
-doká¾eme \uv{rozborem pøípadù}.
+\:$t\not\in X$. Tehdy si v¹imneme, ¾e platí:
+$$\eqalignno{
+c(U \cup X) &\ge c(U),&(1) \cr
+c(U \cap X) + c(U \cup X) &\le c(U) + c(X)&(2)}$$
+První nerovnost plyne z toho, ¾e $U \cup X$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez.
+Druhou doká¾eme rozborem pøípadù.
}
a navíc hrany mezi $U\setminus X$ a $X \setminus U$ poèítáme jenom vpravo. Nerovnost
$(2)$ tedy platí.
-Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme $$c(U \cap X) \le c(X),$$
+Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme: $$c(U \cap X) \le c(X),$$
co¾ spolu s~obrázkem dokazuje, ¾e $\d(U \cap X)$ je také minimální $uv$-øez.
\vbox to 0pt{\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-b.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
{\advance\hsize by -14em\itemcount=1
-\:$t\in X$.\par
-Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Nerovnost $$\eqalignno{c(X \setminus U) &\ge c(U)&(3)}$$
-platí proto, ¾e $X \setminus U$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez. Dal¹í
-$$\eqalignno{c(U \setminus X) + c(X \setminus U) &\le c(U) + c(X)&(4)}$$
+\:$t\in X$. Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Tentokrát se budou
+hodit nerovnosti:
+$$\eqalignno{c(X \setminus U) &\ge c(U)&(3)\cr
+c(U \setminus X) + c(X \setminus U) &\le c(U) + c(X)&(4)}$$
+První platí proto, ¾e $X \setminus U$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez, druhou
doká¾eme opìt \uv{rozborem pøípadù}.
}
\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
}$$
-Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme
+Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme:
$$c(U \setminus X) \le c(X),$$
z~èeho¾ opìt dostaneme, ¾e $\d(U \setminus X)$ je také minimální $uv$-øez.
\qeditem
nám øíká, k~jakým vrcholùm \PGHT{} máme pøilepit které vrcholy pùvodního grafu.
Navíc musí platit, ¾e:\numlist\ndotted
\:$\forall r: r\in C(r)$, neboli ka¾dý vrchol \PGHT{} je pøilepen sám k~sobì,
-\:$\forall st \in F: \d\left(\bigcup_{r\in K_1} C(r)\right)=\d\left(\bigcup_{r\in K_2} C(r)\right)
-\hbox{ je minimální \st-øez, kde $K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $(R,F) \setminus st$}.$
+\:$\forall st \in F: \d\left(\bigcup_{r\in K_1} C(r)\right)=\d\left(\bigcup_{r\in K_2} C(r)\right)$
+je minimální \st-øez, kde $K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $(R,F) \setminus st$.
\endlist
do $v_1$ \<nejlevnìj¹í> hrana, která z~nìj vedla do mno¾iny $V\setminus W$, pøípadnì ¾ádná, pokud
do této mno¾iny ¾ádná hrana nevedla.}
-\fig{4-ght-g1g2.eps}{0.9\hsize}
+\fig{4-ght-g1g2-before.eps}{0.45\hsize}
+\fig{4-ght-g1g2-after.eps}{0.9\hsize}
Dále vytvoøíme mno¾iny vrcholù $R_1=R \cap \overline W$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukèního
pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
\def\alik#1{%
\medskip
-\halign{\hskip 0.3\hsize\hfil $ ##$&\hbox to 0.4\hsize{${}##$ \hss}\cr
+\halign{\hskip 0.2\hsize\hfil $ ##$&\hbox to 0.6\hsize{${}##$ \hss}\cr
#1}
\medskip
}
\prednaska{7}{Výpoèetní modely}{}
-\h{Druhy výpoèetních modelù}
-
Kdy¾ jsme v~pøede¹lých kapitolách studovali algoritmy, nezabývali jsme se tím,
v~jakém pøesnì výpoèetním modelu pracujeme. Konstrukce, které jsme pou¾ívali,
toti¾ fungovaly ve~v¹ech obvyklých modelech a mìly tam stejnou èasovou
i prostorovu slo¾itost. Ne~v¾dy tomu tak je, tak¾e se výpoèetním modelùm
podívejme na~zoubek trochu blí¾e.
+\h{Druhy výpoèetních modelù}
+
Obvykle se pou¾ívají následující dva modely, které se li¹í zejména v~tom,
zda je mo¾né pamì» indexovat v~konstantním èase èi nikoliv.
\h{Van Emde-Boas Trees}
-VEBT \cite{boas77} jsou RAMová struktura, která si pamatuje mno¾inu prvkù $X$ z nìjakého
+Van Emde-Boas Trees neboli VEBT \cite{boas77} jsou RAMová struktura, která si pamatuje mno¾inu prvkù $X$ z~nìjakého
omezeného universa $X \subseteq \{0,\ldots,U-1\}$, a umí s~ní provádìt
\uv{stromové operace} (vkládání, mazání, nalezení následníka apod.) v~èase
$\O(\log\log U)$. Pomocí takové struktury pak napøíklad doká¾eme:
-
$$\vbox{\halign{
#\hfil\quad &#\hfil\quad &#\hfil\cr
& pomocí VEBT &nejlep¹í známé pro celá èísla \cr
MST &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m)$ \cr
Dijkstra &$\O(m\log\log U)$ &$\O(m+n\log\log n)$, neorientovanì $\O(m)$\cr
}}$$
+My se pøidr¾íme ekvivalentní, ale jednodu¹¹í definice podle Erika Demaine~\cite{demaine}.
\s{Definice:} VEBT($U$) pro universum velikosti $U$ (BÚNO $U=2^{2^k}$)
-obsahuje: (ekvivalentní formulace podle \cite{demaine})
+obsahuje:
\itemize\ibull
\:$\<Sum>(x)$ -- seète v¹echny slo¾ky vektoru (pøedpokládáme, ¾e se vejdou do~$b$~bitù):
\numlist\nalpha
-\:vymodulením èíslem $\1^{b+1}$ (to funguje, proto¾e $\1\0^{b+1}\bmod \1^{b+1}=1$), nebo
+\:vymodulením èíslem $\1^{b+1}$ (proto¾e $\1\0^{b+1}\bmod \1^{b+1}=1$), èi
\:násobením vhodnou konstantou:
\setbox0=\hbox{~$x_{n-1}$}
\slotwd=\wd0
\s{Znaèení:}
\itemize\ibull
-\: $k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
-\: $r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì,
-\: $X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
-\: $c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, na kterém se li¹í $x_i$ a
+\:$k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
+\:$r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì,
+\:$X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
+\:$c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, na kterém se li¹í $x_i$ a
$x_{i+1}$,
-\: $\rank_X(x)$ -- poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
+\:$\rank_X(x)$ -- poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
(definujeme i~pro $x\not\in X$).
\endlist
pøekvapení v¹ak to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítání ranku
prvku a z~rankù u¾ odvodíme i ostatní operace.
-\s{Pøíklad:}
+\ss{Pøíklad:}
\figure{trie.eps}{Trie. Ohodnocení hran je pouze pro názornost -- není
-souèástí trie.}{\epsfxsize}
+souèástí trie.}{\hsize}
\s{Lemma 1:} $\rank_X(x)$ je urèen jednoznaènì:
\numlist\pnromanp
Jak si pomù¾eme:
\itemize\ibull
-\:Vyu¾ijeme toho, ¾e operace $x[B]$ je v~${\rm AC}^0$ a vystaèíme si se strukturou pro ${\rm AC}^0$-RAM.
+\:Vyu¾ijeme toho, ¾e operace $x[B]$ je v~${\rm AC}^0$, a vystaèíme si se strukturou pro ${\rm AC}^0$-RAM.
Zde dokonce mù¾eme vytváøet haldy velikosti a¾ $w\log w$. Také pøi praktické implementaci mù¾eme vyu¾ít
toho, ¾e souèasné procesory mají instrukce na~spoustu zajímavých ${\rm AC}^0$-operací, viz napø. pìkný
rozbor v \cite{thorup:ac0}.
\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
-\s{Definice:}
+\ss{Definice:}
\nointerlineskip
\halign{\qquad#\dotfill&~#\hfil\cr
-\hbox to 0.3\hsize{}\cr
-$\Sigma$ & koneèná abeceda (mno¾ina znakù, budeme je znaèit latinskými písmeny)\cr
-$\Sigma^*$ & mno¾ina v¹ech slov nad $\Sigma$ (slova budeme znaèit øeckými písmeny)\cr
+\hbox to 0.35\hsize{}\cr
+$\Sigma$ & koneèná abeceda -- mno¾ina znakù \cr
+\omit & (znaky budeme znaèit latinskými písmeny)\cr
+$\Sigma^*$ & mno¾ina v¹ech slov nad $\Sigma$ \cr
+\omit & (slova budeme znaèit øeckými písmeny)\cr
$\varepsilon$ & prázdné slovo\cr
$\vert\alpha\vert$ & délka slova $\alpha$\cr
$\alpha\beta$ & zøetìzení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ zaèíná na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$ & $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ konèí na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$ & $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (znaèíme $\alpha \subset \beta$)\cr
-$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$ & je prefixem a $\alpha\ne\beta$ (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
+$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$ & je prefixem a $\alpha\ne\beta$ \cr
+\omit & (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
}
\s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem ka¾dého slova vèetnì sebe sama.
\s{Definice:} {\I Longest Common Prefix Array} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
v~ní¾ $L_\sigma[i]:={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.
-\s{Vìta:} Suffixový strom s~dolarem pro slovo $\sigma$ je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
-[Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mù¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé a naopak.]
+\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma\$$ je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
+[Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mù¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé, a naopak.]
\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
pro~$L_\sigma$ (to jsou vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy a pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
+\qed
\h{Rekurzivní konstrukce}
$$\eqalign{
\sigma_0[i:{}] < \sigma_1[j:{}] &\equiv A_{01}^{-1}[i] < A_{01}^{-1}[\vert\sigma_0\vert+j]\cr
\sigma_0[i:{}] < \sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma_0[k+1:{}]\cr
-&\Leftrightarrow (\sigma[3i] < \sigma[3k+2]) \vee (\sigma[3i] = \sigma[3k+2] \wedge \sigma_1[i:{}] < \sigma_0[k+1:{}])\cr
-\sigma_1[j:{}]<\sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3j+1]\,\sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma[3k+3]\,\sigma_1[k+1:{}]
+&\Leftrightarrow (\sigma[3i] < \sigma[3k+2]) \vee {} \cr&\hphantom{{}\Leftrightarrow{}} (\sigma[3i] = \sigma[3k+2] \wedge \sigma_1[i:{}] < \sigma_0[k+1:{}])\cr
+\sigma_1[j:{}]<\sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3j+1]\,\sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}] < \cr&\hphantom{{}\equiv{}} \sigma[3k+2]\,\sigma[3k+3]\,\sigma_1[k+1:{}]
}$$
\:Dopoèítáme $L$ -- pokud sousedí suffix ze~$\sigma_{0,1}$ se suffixem ze~$\sigma_{0,1}$,
%.dvi: %.tex ../sgr.tex ../ga.bib
csplain $< && if grep -q citation $*.aux ; then bibtex $* && csplain $< && csplain $< ; fi
-%.pdf: %.tex ../sgr.tex
+%.pdf: %.tex ../sgr.tex ../ga.bib
pdfcsplain $<
-%-700.tex: %.tex
- ( echo '\magnification=700' ; cat $< ) >$@
-
%.ps: %.dvi
- dvips -D600 -o $@ -O-0.5in,-0.5in -t a4 $<
-
-%-a5.ps: %-700.dvi
- dvips -D600 -o $@ -O-1in,-1in -T148mm,210mm $<
+ dvips -D600 -o $@ -O-15.4mm,-15.4mm -t a5 $<
-%-booklet.ps: %-a5.ps
- psbook <$< | pstops '2:0L(210mm,0)+1L(210mm,148mm)' | sed 's/^%%BoundingBox: .*/%%BoundingBox: 0 0 595 842/' >$@
+%-booklet.ps: %.ps
+ psbook <$< | pstops '2:0L(210mm,0)+1L(210mm,148mm)' | sed 's/^%%BoundingBox: .*/%%BoundingBox: 0 0 595 842/;s/^%%DocumentPaperSizes:.*/%%DocumentPaperSizes: a4\n%%Orientation: Landscape/' >$@
-%-2in1.ps: %-a5.ps
- pstops '2:0L(212mm,0mm)+1L(212mm,150mm)' <$< | sed 's/^%%BoundingBox: .*/%%BoundingBox: 0 0 595 842/' >$@
+%-2in1.ps: %.ps
+ pstops '2:0L(210mm,0mm)+1L(210mm,148mm)' <$< | sed 's/^%%BoundingBox: .*/%%BoundingBox: 0 0 595 842/;s/^%%DocumentPaperSizes:.*/%%DocumentPaperSizes: a4\n%%Orientation: Landscape/' >$@
mostlyclean:
- rm -f *.dvi *.log *~ core *.o *-700.tex *-a5.ps *.aux *.bbl *.blg
+ rm -f *.dvi *.log *~ core *.o *.aux *.bbl *.blg
clean:: mostlyclean
rm -f *.ps *.pdf
\input body.tex
-\references
+\prednaska{L}{Literatura}{}
+
+\dumprefs
\bye
\language=\czech
\chyph
+\lefthyphenmin=2
+\righthyphenmin=2
% A4 s 0.5in okraji
-\hsize=184.6mm
-\vsize=271.6mm
+%\hsize=184.6mm
+%\vsize=271.6mm
+%\parindent=0.25in
-\parindent=0.25in
+% A5 s 1cm okraji, dolni rozsiren o 10pt, aby se tam veslo cislo stranky
+\hsize=128mm
+\vsize=190mm
+\advance\vsize by -10pt
+\parindent=0.8cm
% Zacatek prednasky {cislo prednasky}{jmeno prednasky}{jmeno zapisovatele}
\def\prednaska#1#2#3{%
% Zvyrazneny zacatek odstavce coby podnadpis (napr. vety apod.)
\def\s#1{\noindent {\bo #1}}
+% A kdyz stoji samostatne (aby se naodlamoval)
+\def\ss#1{\noindent {\bo #1}\par\nobreak}
+
% Dùkaz
\def\proof{\noindent {\sl Dùkaz:} }
% Ctverecek na konci dukazu
%\def\qed{{\parfillskip=0pt\quad\hfil\hbox{\I QED} \par}}
-\def\qed{\hfill\allowbreak\hfill\nobreak $\heartsuit$\par}
+\def\qed{{\parfillskip=0pt\allowbreak\hfill\nobreak $\heartsuit$\par}}
% pokud je v seznamu:
-\def\qeditem{\hfill\rlap{\hskip\rightskip\llap{$\heartsuit$}}\par}
+\def\qeditem{{\parfillskip=0pt\hfill\rlap{\hskip\rightskip\llap{$\heartsuit$}}\par}}
% Poznamky pod carou
\newcount\footcnt
% Reference na konci kapitoly
\bibliographystyle{abbrv}
-\def\references{
-\h{Literatura}
+\def\references{\h{Literatura}\dumprefs}
+\def\dumprefs{
\def\bblhook{\parskip=2pt plus 1pt minus 0.5pt}
\bibliography{../ga}
}
projects / ga.git / commitdiff