--- /dev/null
+\input ../sgr.tex
+
+\prednaska{12}{Pravdìpodobnostní algoritmus na øezy}{}
+
+Nahlédnìme alespoò jednou kapitolou do~svìta pravdìpodobnostních algoritmù.
+Není toti¾ výjimkou, ¾e s~pomocí generátoru náhodných èísel vyøe¹íme nìkteré
+grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji ne¾ deterministicky.
+Tento pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
+pro hledání minimálního øezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Pøipomeòme,
+¾e deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
+pomocí tokù nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.
+
+\h{Náhodné kontrakce}
+
+Uva¾ujme nejdøíve následující algoritmus, který náhodnì vybírá
+hrany a kontrahuje je, dokud poèet vrcholù neklesne na~danou konstantù~$\ell$.
+
+\s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
+\algo
+\:$G \leftarrow G_0$.
+\:Dokud $n>\ell$:
+\::Vybereme hranu $e\in E$ rovnomìrnì náhodnì.
+\::$G \leftarrow G/e$ (kontrahujeme hranu~$e$, smyèky odstraòujeme,
+ paralelní hrany ponecháme).
+\:Vrátíme jako výsledek graf~$G$.
+\endalgo
+
+Jaká je pravdìpodobnost, ¾e výsledný graf~$G$ má stejnì velký minimální øez
+jako zadaný graf~$G_0$? V¹imnìme si nejprve, ¾e ka¾dý øez v~grafu $G/e$ je i øezem
+v~grafu~$G$ (a¾ na pøeznaèení hran pøi kontrakci, ale pøedpokládejme, ¾e hrany
+mají nìjaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobnì je-li v~grafu~$G$
+øez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejnì velký øez v~$G/e$. Velikost
+minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne, mù¾e pouze stoupnout, pokud
+zkontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,
+
+Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu a oznaèíme~$k$ jeho
+velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu le¾ící v~tomto øezu, velikost
+minimálního øezu v~grafu~$G$ bude rovnì¾ rovna~$k$. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e
+se tak stane?
+
+Oznaème $G_i$ stav grafu~$G$ pøed $i$-tým prùchodem cyklem a $n_i$ a $m_i$ poèet jeho
+vrcholù a hran. Zøejmì $n_i=n-i+1$ (ka¾dou kontrakcí pøijdeme o~jeden vrchol).
+Navíc ka¾dý vrchol má stupeò alespoò~$k$, jeliko¾ jinak by triviální øez okolo
+tohoto vrcholu byl men¹í ne¾ minimální øez. Proto platí $m_i \ge kn_i/2$. Hranu
+le¾ící v~øezu~$C$ tedy vybereme s~pravdìpodobností $k/m_i \le k/(kn_i/2) = 2/n_i
+= 2/(n-i+1)$. V¹echny hrany z~øezu~$C$ tedy postoupí do výsledného grafu~$G$
+s~pravdìpodobností
+$$\eqalign{
+p &\ge \prod_{i=1}^{n-\ell} \left( 1 - {2\over n-i+1} \right)
+ = \prod_{i=1}^{n-\ell} {n-i-1 \over n-i+1} = \cr
+ &= {n-2\over n} \cdot {n-3\over n-1} \cdot {n-4\over n-2} \cdot \cdots \cdot {\ell+1\over \ell+3} \cdot {\ell\over \ell+2} \cdot {\ell-1 \over \ell+1}
+ = {\ell\cdot(\ell-1) \over n\cdot(n-1)}. \cr
+}$$
+
+Mù¾eme tedy zvolit pevnì~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
+a ve~vzniklém konstantnì velkém grafu pak nalézt minimální øez hrubou silou
+(to je obzvlá¹tì snadné pro $\ell=2$ -- tehdy staèí vzít v¹echny zbylé hrany).
+Takový algoritmus nalezne minimální øez s~pravdìpodobností alespoò $c/n^2$,
+kde~$c$ je konstanta závislá na~$\ell$.
+
+Nabízí se otázka, k~èemu je dobrý algoritmus, který vydá správný výsledek
+s~pravdìpodobností na~øádu $1/n^2$. To opravdu není mnoho, ale stejnì jako
+mnoho jiných randomizovaných algoritmù i tento mù¾eme iterovat: výpoèet
+zopakujeme $K$-krát a pou¾ijeme nejmen¹í z~nalezených øezù. Ten u¾ bude
+minimální s~pravdìpodobností
+$$
+P_K \ge 1 - (1-c/n^2)^K \ge 1 - e^{-cK/n^2} = 1 - e^{-cK/n^2}.
+$$
+(Druhá nerovnost platí díky tomu, ¾e $e^{-x} \ge 1-x$ pro v¹echna $x\ge 0$.)
+Pokud tedy nastavíme poèet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, mù¾eme tím pravdìpodobnost
+chyby stlaèit pod libovolnou konstantu, pro $K=\Omega(n^2\log n)$ pod pøevrácenou
+hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ u¾ bude exponenciálnì malá.
+
+\h{Implementace}
+
+Odboème na chvíli k~implementaèním zále¾itostem. Jak reprezentovat graf, abychom
+stihli rychle provádìt kontrakce? Bude nám staèit obyèejná matice sousednosti,
+v~ní¾ pro ka¾dou dvojici vrcholù budeme udr¾ovat, kolik paralelních hran mezi nimi
+vede. Pokud chceme kontrahovat hranu~$uv$, staèí projít v¹echny hrany vedoucí
+(øeknìme) z~vrcholu~$u$ a zaøadit je k~vrcholu~$v$. To zvládneme v~èase $\O(n)$
+na jednu kontrakci.
+
+Pro náhodný výbìr hrany budeme udr¾ovat pole stupòù vrcholù, vybereme náhodnì
+vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou stupni a poté projitím pøíslu¹ného øádku
+matice sousednosti druhý vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou poètu hran
+mezi~$uv$. To opìt trvá èas $\O(n)$.
+
+Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~èase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
+$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~inverznì
+polynomiální pravdìpodobností chyby, nalezneme minimální øez v~èase $\O(n^4\log n)$.
+
+\h{Kargerùv-Steinùv algoritmus}
+
+V¹imnìme si, ¾e bìhem kontrahování hran pravdìpodobnost toho, ¾e vybereme \uv{¹patnou}
+hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n^2$ a¾ po obrovské
+$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Mù¾eme tedy algoritmus vylep¹it tím, ¾e
+se zastavíme døíve a pak pøejdeme na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.
+
+Pokud zvolíme $\ell=\lceil n/\sqrt2 +1\rceil$, pak øez~$C$ pøe¾ije kontrahování
+s~pravdìpodobností alespoò
+$$
+{\ell\cdot (\ell-1) \over n\cdot (n-1)}
+\ge {(n/\sqrt2+1)\cdot n/\sqrt2 \over n\cdot (n-1)}
+= {n/\sqrt2+1 \over \sqrt2 \cdot (n-1)}
+= {n+\sqrt 2 \over 2\cdot (n-1)}
+\ge {1\over 2}.
+$$
+
+Jako onen spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu pak zavoláme tentý¾ algoritmus
+rekurzivnì, pøièem¾ jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~výsledkù
+vybereme ten men¹í, èím¾ pravdìpodobnost chyby sní¾íme.
+
+Hotový algoritmus bude vypadat následovnì:
+
+\s{Algoritmus} $\hbox{\sc MinCut}(G)$:
+\algo
+\:Pokud $n<7$, najdeme minimální øez hrubou silou.
+\:$\ell\leftarrow \lceil \sqrt n + 1 \rceil$.\foot{To je ménì ne¾~$n$, kdykoliv $n\ge 7$.}
+\:$C_1 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
+\:$C_2 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
+\:Vrátíme men¹í z~øezù $C_1$, $C_2$.
+\endalgo
+
+Jakou bude mít tento algoritmus èasovou slo¾itost? Nejprve odhadnìme hloubku
+rekurze: v~ka¾dém kroku se velikost vstupu zmen¹í $\sqrt 2$-krát, tak¾e strom
+rekurze bude mít hloubku $\O(\log n)$. Na~$i$-té hladinì zpracováváme $2^i$
+podproblémù velikosti $n/2^{i/2}$. Pøi výpoètu ka¾dého podproblému voláme
+dvakrát proceduru {\sc Contract}, která spotøebuje èas $\O((n/2^{i/2})^2)
+= \O(n^2/2^i)$. Souèet pøes v¹echny hladiny tedy èíní $\O(n^2)$, stejnì jako
+u~pùvodního kontrakèního algoritmu.
+
+Zbývá spoèítat, s~jakou pravdìpodobností algoritmus nalezne skuteènì minimální øez.
+Oznaème $p_i$ pravdìpodobnost, ¾e algoritmus na~$i$-té hladinì stromu
+rekurze (poèítáno od~nejni¾¹í, nulté hladiny) vydá správný výsledek
+pøíslu¹ného podproblému. Jistì je $p_0=1$ a platí rekurence
+$p_i \ge 1 - (1 - 1/2 \cdot p_{i-1})^2$. Uva¾ujme posloupnost $g_i$, pro kterou
+jsou tyto nerovnosti splnìny jako rovnosti, a~v¹imnìme si, ¾e $p_i\ge g_i$.
+Víme tedy, ¾e $g_0=1$ a $g_i = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.
+
+Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, èili $g_i=4/(z_i+1)$, získáme
+novou rekurenci pro~$z_i$:
+$$
+{4 \over z_i+1} = {4\over z_{i-1}+1} - {4\over (z_{i-1}+1)^2},
+$$
+kterou u¾ mù¾eme snadno upravit:
+$$\eqalign{
+{1\over z_i+1} &= {z_{i-1} \over (z_{i-1}+1)^2}, \cr
+z_i+1 &= {z_{i-1}^2 + 2z_{i-1} + 1 \over z_{i-1}}, \cr
+z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + (1/z_{i-1}). \cr
+}$$
+Z~poslední rovnosti plyne, ¾e $z_i \le z_{i-1} + 2$, co¾ spoleènì s~poèáteèní
+podmínkou $z_0=4$ implikuje $z_i \le 2i+4$. Zpìtnou substitucí získáme $g_i \ge 4/(2i+5)$,
+tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
+
+Nyní si staèí vzpomenout, ¾e hloubka rekurze èiní $\O(\log n)$, a ihned získáme
+odhad pro pravdìpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Ná¹ algoritmus
+tedy staèí ziterovat $\O(\log^2 n)$-krát, abychom pravdìpodobnost chyby stlaèili
+pod pøevrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme tím následující vìtu:
+
+\s{Vìta:} Iterováním algoritmu {\sc MinCut} nalezneme minimální øez v~neohodnoceném
+neorientovaném grafu v~èase $\O(n^2\log^2 n)$ s~pravdìpodobností chyby $\O(1/n^c)$
+pro libovolnou konstantu $c>0$.
+
+\h{Cvièení}
+
+\numlist\ndotted
+\:Zvolte lep¹í reprezentaci grafu, abyste prostorovou slo¾itost sní¾ili z~$\Theta(n^2)$ na~$\O(m)$.
+ Mù¾e se tím zmen¹it èasová slo¾itost?
+\:Doka¾te, ¾e z~na¹eho rozboru pravdìpodobnosti chyby plyne, ¾e v~ka¾dém grafu je nejvý¹e $\O(n^2)$
+ minimálních øezù.
+\:Uka¾te, jak algoritmus upravit pro grafy s~ohodnocenými hranami.
+\endlist
+
+\references
+\bye
projects / ga.git / commitdiff