\prednaska{8}{Q-Heaps}{zapsal Cyril Strejc}
-V~minulé pøedná¹ce jsme mimo jiné ukázali výpoèetní model RAM a nahlédli jsme,
-¾e pomocí RAMu mù¾eme celkem snadno (v konstantním èase) simulovat vektorový poèítaè.
-Kdy¾ u¾ máme vektorový poèítaè, pojïme si ukázat, jaké datové struktury s~ním mù¾eme
+V~minulé kapitole jsme zavedli výpoèetní model RAM a nahlédli jsme,
+¾e na~nìm mù¾eme snadno simulovat vektorový poèítaè s~vektorovými operacemi pracujícími v~konstantním èase.
+Kdy¾ u¾ máme takový poèítaè, pojïme si ukázat, jaké datové struktury na~nìm mù¾eme
vytváøet.
-\s{Znaèení:} $w$~bude v¾dy znaèit ¹íøku slova RAMu, $n$~velikost vstupu algoritmu,
-v~nìm¾ datovou strukturu vyu¾íváme (tedy speciálnì víme, ¾e $w\ge\log n$).
-
Bez újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e hodnoty, které do~struktur ukládáme,
jsou navzájem rùzné.
-Svým sna¾ením smìrujeme ke strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
+Svým sna¾ením budeme smìøovat ke~strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
v~konstantním èase, pøièem¾ bude omezena buïto velikost èísel nebo maximální velikost
struktury nebo obojí.
+\s{Znaèení:} $w$~bude v¾dy znaèit ¹íøku slova RAMu a $n$~velikost vstupu algoritmu,
+v~nìm¾ datovou strukturu vyu¾íváme (tedy speciálnì víme, ¾e $w\ge\log n$).
+
\h{Word-Encoded B-Tree}
Pùjde o~obyèejný B-strom s daty v~listech, ov¹em kódovaný vektorovì. Do~listù
stromu budeme ukládat $k$-bitové hodnoty, vnitøní vrcholy budou obsahovat pouze
-pomocné klíèe a budou mít nejvý¹e $B$ synù, strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
+pomocné klíèe a budou mít nejvý¹e $B$ synù. Strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
v¹ech klíèù ve~vrcholu si budeme ukládat jako vektor, ukazatele na~jednotlivé
syny jakbysmet.
-Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, ov¹em operace s~vrcholy
+Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, pøitom operace s~vrcholy
provádíme vektorovì: vyhledání pozice prvku ve~vektoru pomocí operace \<Rank>,
rozdìlení a sluèování vrcholù pomocí bitových posuvù a maskování, to v¹e
-v~èase $\O(1)$. Stromové operace tedy stihneme v~èase $\O(h)$.
+v~èase $\O(1)$. Stromové operace (\<Find>, \<FindNext>, \<Insert>, \<Delete>, \dots)
+tedy stihneme v~èase $\O(h)$.
Zbývá si rozmyslet, co~musí splòovat parametry struktury, aby se v¹echny
vektory ve¹ly do~konstantního poètu slov. Kvùli vektorùm klíèù musí platit
$Bk=\O(w)$. Jeliko¾ strom má a¾~$B^h$ listù a nejvý¹e tolik vnitøních vrcholù,
-ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitù, tak¾e pro vektory ukazatelù potøebujeme
-$Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napøíklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, èím¾
+ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitù, tak¾e pro vektory ukazatelù potøebujeme,
+aby bylo $Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napøíklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, èím¾
získáme strukturu obsahující $w^{\O(1)}$ prvkù o~$\sqrt w$ bitech pracující
v~konstantním èase.
Pøedchozí struktura má zajímavé vlastnosti, ale èasto je její pou¾ití
znemo¾nìno omezením na~velikost èísel. Popí¹eme tedy o~nìco slo¾itìj¹í
-strukturu, která doká¾e toté¾, ale lze do~ní ukládat a¾ $w$-bitová èísla.
+konstrukci, která doká¾e toté¾, ale s~a¾ $w$-bitovými èísly.
Tato struktura má spí¹e teoretický význam (konstrukce je znaènì komplikovaná
a skryté konstanty nemalé), ale pøekvapivì mnoho my¹lenek je pou¾itelných
i v~praxi.
\s{Znaèení:}
\itemize\ibull
-\: $k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy.
-\: $r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì.
-\: $X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$.
+\: $k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
+\: $r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì,
+\: $X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
\: $c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, na kterém se li¹í $x_i$ a
-$x_{i+1}$.
-\: $\rank_X(x)$, poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
+$x_{i+1}$,
+\: $\rank_X(x)$ -- poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
(definujeme i~pro $x\not\in X$).
\endlist
\s{Pøedvýpoèet:} Budeme ochotni obìtovat èas $\O(2^{k^4})$ na~pøedvýpoèet.
-To mù¾e znít hroznì, ale ve~vìt¹inì aplikací bude $k=\log^{1/4} n$, tak¾e
+To mù¾e znít hrozivì, ale ve~vìt¹inì aplikací bude $k=\log^{1/4} n$, tak¾e
pøedvýpoèet stihneme v~èase $\O(n)$. V~tomto èase mimo jiné stihneme
pøedpoèítat tabulku pro libovolnou funkci, která má vstup dlouhý $\O(k^3)$
-bitù a pro ka¾dý vstup ji dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním èase.
+bitù a kterou pro ka¾dý vstup dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním èase.
Nadále tedy mù¾eme bezpeènì pøedpokládat, ¾e v¹echny takové funkce
umíme spoèítat v~konstantním èase.
ka¾dé vlo¾ení i odebrání prvku pøevést na~konstantnì mnoho operací s~Q-Heapy.
\s{Náèrt} fungování Q-Heapu:
-Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme komprimovanou trii~$T$ (nevìtvící se cesty
-nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitøní vrchol,
+Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme trii~$T$ a nevìtvící se cesty zkomprimujeme
+(nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitøní vrchol,
který le¾í mezi $x_i$ a $x_{i+1}$, bude testovat $c_i$-tý bit èísla.
Pokud budeme hledat nìkteré z~$x_i$, tyto vnitøní vrcholy (budeme jim
øíkat {\I znaèky}) nás správnì dovedou do~pøíslu¹ného listu. Pokud ale
budeme hledat nìjaké jiné~$x$, zavedou nás do~nìjakého na~první pohled
nesouvisejícího listu a teprve tam zjistíme, ¾e jsme zabloudili. K~na¹emu
-pøekvapení ale to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítáním ranku
-prvku, a~tím pádem i k~jeho vlo¾ení do~struktury.
+pøekvapení v¹ak to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítání ranku
+prvku a z~rankù u¾ odvodíme i ostatní operace.
\s{Pøíklad:}
\nosizefigure{trie.eps}{Trie. Ohodnocení hran je pouze pro názornost -- není
\s{Lemma 1:} $\rank_X(x)$ je urèen jednoznaènì:
\numlist\pnromanp
-\:tvarem stromu $T$
+\:tvarem stromu $T$,
\:indexem $i$ listu $x_i$, do~kterého nás zavede hledání hodnoty~$x$ ve~stromu,
-\:vztahem mezi $x$ a $x_i$ ($x<x_i$, $x>x_i$ nebo $x=x_i$)
-\:$\msb(x \oplus x_i)$
+\:vztahem mezi $x$ a $x_i$ ($x<x_i$, $x>x_i$ nebo $x=x_i$),
+\:pozicí $b=\msb(x \oplus x_i)$.
\endlist
\s{Dùkaz:} Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
Hodnoty znaèek klesají ve~smìru od koøene k~listùm a na cestì od koøene k~$x_i$ se
v¹echny bity v $x_i$ na~pozicích urèených znaèkami shodují s bity v $x$, pøièem¾
-a¾ do~pozice $c_i$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
-od~koøene a¾ po~$c_i$: pokud cesta odboèuje doprava, jsou v¹echny hodnoty
+a¾ do~pozice $b$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
+od~koøene a¾ po~$b$: pokud cesta odboèuje doprava, jsou v¹echny hodnoty
v~levém podstromu men¹í ne¾~$x$, a~tedy se do~ranku zapoèítají. Pokud odboèuje
doleva, jsou hodnoty v~pravém podstromu zaruèenì vìt¹í a nezapoèítají se.
-Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $c_i$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
+Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $b$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
je jednièkový), jsou v¹echny hodnoty pod touto hranou vìt¹í; pøi opaèné nerovnosti
jsou men¹í.
\qed
stromù), hodnoty v~listech jsou $x_1,\ldots,x_n$ v~poøadí zleva doprava.
Vektor $(c_1,\ldots,c_n)$ má pouze $k\log w=\O(k^2)$ bitù, tak¾e jím mù¾eme
-indexovat. Pro zjednodu¹ení ostatních operací zvolíme trochu jinou, ale
+indexovat. Pro zjednodu¹ení ostatních operací ale zvolíme trochu jinou,
ekvivalentní reprezentaci:
\s{Znaèení:}
\itemize\ibull
\:$B := \{c_1,\ldots,c_r\}$ (mno¾ina v¹ech pozic bitù, které trie testuje, ulo¾ená ve~vektoru setøídìnì)
-\:$C: \{1,\ldots,r\} \to B: B[C(i)]:=c_i$.
+\:$C: \{1,\ldots,r\} \to B: B[C(i)]=c_i$.
\endlist
\s{Lemma 1':} $\rank_X(x)$ lze spoèítat v~konstantním èase~z:
\numlist\pnromanap
-\:funkce $C$
-\:$x_1,\ldots,x_r$
-\:$x[B]$ -- hodnoty bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$,
+\:funkce $C$,
+\:hodnot $x_1,\ldots,x_r$,
+\:$x[B]$ -- hodnot bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$.
\endlist
\s{Dùkaz:} Z~pøedchozího lemmatu:
\numlist\pnromanp
-\:Tvar stromu závisí jen na~vzájemných vztazích mezi polohami znaèek,
+\:Tvar stromu závisí jen na~nerovnostech mezi polohami znaèek,
tak¾e je jednoznaènì urèený funkcí~$C$.
\:Z~tvaru stromu a $x[B]$ jednoznaènì plyne list $x_i$ a tyto vstupy
- jsou dostateènì krátké na~to, abychom mohli pøedpoèítat tabulku.
+ jsou dostateènì krátké na~to, abychom mohli pøedpoèítat tabulku
+ pro prùchod stromem.
\:Zjistíme prostým porovnáním.
\:$x_i$ známe a MSB umíme na~RAMu poèítat v~konstantním èase.
\endlist
\qed
\>Poèítání rankù je témìø v¹e, co potøebujeme k~implementaci operací
-\<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jediná dal¹í pøeká¾ka u¾ je zatøiïování
+\<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jedinou dal¹í pøeká¾ku tvoøí zatøiïování
do~seznamu $x_1,\ldots,x_r$, který je moc velký na~to, aby se ve¹el
-do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlṻ tyto hodnoty v~libovolném
+do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlá¹» hodnoty v~libovolném
poøadí a zvlá¹» permutaci, která je setøídí -- ta se ji¾ do~vektoru vejde.
Øeknìme tedy poøádnì, co~v¹e si bude struktura pamatovat:
\s{Stav struktury:}
\itemize\ibull
-\:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální poèet prvkù (èísla)
-\:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvkù v libovolném poøadí (pole èísel)
+\:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální poèet prvkù (èísla),
+\:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvkù v libovolném poøadí (pole èísel),
\:$\varrho$ -- permutace na~$\{1,\ldots,r\}$ taková, ¾e $x_i=X[\varrho(i)]$
- a $x_1<x_2<\ldots<x_r$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech)
-\:$B$ -- mno¾ina \uv{zajímavých} bitových pozic (setøídìný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech)
-\:$C$ -- funkce popisující znaèky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot r$ bitech)
+ a $x_1<x_2<\ldots<x_r$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech),
+\:$B$ -- mno¾ina \uv{zajímavých} bitových pozic (setøídìný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech),
+\:$C$ -- funkce popisující znaèky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech),
+\:pøedpoèítané tabulky pro rùzné funkce.
\endlist
\>Nyní ji¾ uká¾eme, jak provádìt jednotlivé operace:
-\s{Find(x)}
+\>$\<Find>(x):$
\algo
-\:$i := \rank_X(x)$
+\:$i := \rank_X(x)$.
\:Pokud $x_i=x$, odpovíme {\sc ano,} jinak {\sc ne.}
\endalgo
-\s{Insert(x)}
+\>$\<Insert>(x):$
\algo
\:$i := \rank_X(x)$
\:Pokud $x=x_i$, hodnota u¾ je pøítomna.
-\:Ulo¾íme $x$ do~pole~$X$ a vlo¾íme jeho pozici na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
+\:Ulo¾íme $x$ do~$X[\mathop{{+}{+}}r]$ a vlo¾íme $r$ na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
\:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$. Pro ka¾dou zmìnu $c_j$:
\::Pokud je¹tì nová hodnota není v~$B$, pøidáme ji tam.
\::Upravíme $C(j)$, aby ukazovalo na~tuto hodnotu.
-\::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje ¾ádné jiné $C(k)$, sma¾eme ji z~$B$.
+\::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje ¾ádné jiné $C(\cdot)$, sma¾eme ji z~$B$.
\endalgo
-\s{Delete(x)}
+\>$\<Delete>(x):$
\algo
\:$i := \rank_X(x)$ (víme, ¾e $x_i=x$).
\todo{Popsat, jak se poèítá $x[B]$.}
+\todo{Na $AC^0$-RAMu staèí $k=\O(w/\log w)$.}
+
\todo{Aplikace na~kostry.}
\bye
projects / ga.git / commitdiff