Preklepy--.

diff --git a/4-goldberg/4-goldberg.tex b/4-goldberg/4-goldberg.tex
old mode 100755 (executable)
new mode 100644 (file)
index 469984c..3dcdfac
--- a/4-goldberg/4-goldberg.tex
+++ b/4-goldberg/4-goldberg.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-%version 1.5
+%version 1.6
 
 \input lecnotes.tex
 
@@ -21,7 +21,7 @@ Ka
 Algoritmus pou¾ívá sít rezerv, kterou jsme nadefinovali ji¾ v~pøedchozí kapitole vìnované Dinicovi.
 
 \noindent
-Dále budeme provádìt dvì operace na~vrcholech sítì. K~tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em vrcholùm vý¹ku pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.
+Dále budeme provádìt následující dvì operace na~vrcholech sítì. K~tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em vrcholùm vý¹ku pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.
 
 \s{Operace:} Pro~hranu~$uv \in E$ definujme {\I pøevedení pøebytku}:
 
@@ -58,7 +58,7 @@ Pokud b
 \endalgo
 
 \noindent
-Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ doká¾eme správnost a èasovou slo¾itost vý¹e popsaného algoritmu.
+Nyní bude následovat nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ doká¾eme správnost a èasovou slo¾itost vý¹e popsaného algoritmu.
 
 \s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ je v~ka¾dém kroku algoritmu vlna, $h(v)$ nikdy neklesá, $h(z)=N$ a $h(s)=0$.
 
@@ -77,8 +77,8 @@ Pod
 \proof
 Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z~toho, ¾e $f$ je vlna a algoritmus se mù¾e zastavit jen pokud nastanou oba následující pøípady souèasnì:
 \itemize\ibull
-\:Ve~vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky (mimo~*$z$ a $s$). Potom ale $f$ je zároveò tok. %todo check ? mimo~ ?
-\:Neexistuje nenasycená cesta $P$ ze~zdroje do stoku. O~té víme, ¾e má maximálnì $N-1$ hran, zároveò by v¹ak musela mít spád $N$. Ale to znamená, ¾e existuje hrana $uv$, pro~kterou platí $h(uv) \ge 2$, co¾ je spor s~Invariantem~S.
+\:Ve~vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky (mimo~$z$ a $s$), proto¾e jinak by se algoritmus nezastavil a pokraèoval dále ve~výpoètu. Tudí¾ $f$ je tok. %todo check ? mimo~ ?
+\:Neexistuje nenasycená cesta ze~zdroje do~stoku, èím¾ {\I z~Ford-Fulkersonovy vìty} okam¾itì vyplývá, ¾e $f$ je tok maximální. A jak tuto neexistenci nahlédneme? Pro~spor pøedpokládejme, ¾e nìjaká nenasycená cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje. Tato cesta mù¾e mít maximálnì $N-1$ hran. O~nich víme, ¾e v¹echny mají kladnou rezervu, a dále víme, ¾e po~celou dobu výpoètu je vý¹ka zdroje $N$ a vý¹ka stoku $0$. Tak¾e celkový spád cesty $P$ je $N$, co¾ ale znamená, ¾e na cestì $P$ existuje hrana s~kladnou rezervou, která má spád alespoò $2$. To je v¹ak v~rozporu s~Invariantem~S.
 \qeditem
 \endlist