Cesty: Korektury od Karla

diff --git a/5-cesty/5-cesty.tex b/5-cesty/5-cesty.tex
index 0575879f2c35c5219021096da664ba7eff15a624..36cb1850f054f67a3b671566eb6cec22d65e07d6 100644 (file)
--- a/5-cesty/5-cesty.tex
+++ b/5-cesty/5-cesty.tex
@@ -27,8 +27,8 @@ spln
 V~grafu bez záporných cyklù existuje ke~ka¾dému nejkrat¹ímu sledu z~$u$ do~$v$ stejnì dlouhá $uv$-cesta.
 
 \proof Máme-li nejkrat¹í $uv$-sled, který není cestou, opakuje se v~nìm nìjaký vrchol
-$w \in V(G)$. Délka cyklu  $l(c) \geq  0 \Rightarrow l(u\dots v\dots w) \leq l(pùvodní
-sled)$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu, tedy
+$w \in V(G)$. Délka cyklu  $\ell(c) \geq  0 \Rightarrow \ell(u\dots v\dots w) \leq \ell(\hbox{pùvodní
+sled})$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu, tedy
 platí trojúhelníková nerovnost. \qed
 
 \s{Jednoduché pøípady}
@@ -36,56 +36,59 @@ plat
 
 \itemize\ibull
 \:Pokud $l$ je konstantní funkce, pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost bude $\Theta(m+n)$.
-\:Délky hran jsou malá pøirozená èísla $l(x, y) \in\{1, \dots, L\}$ podrozdìlíme hrany
+\:Délky hran jsou malá pøirozená èísla $\ell(x, y) \in\{1, \dots, L\}$ podrozdìlíme hrany
 a pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost $\Theta(Lm+n)$.
 \:DAG (orientovaný acyklický graf) indukcí pøes topologické uspoøádání v èase
 $\Theta(m+n)$.
 \endlist
 
-\s{Definice:} $D_k(v):=$ minimální délka ze sledù z $v_0$ do $v$ o právì k hranách.
+\s{Definice:} $D_k(v):=$ minimální délka ze v¹ech sledù z $v_0$ do $v$ o právì $k$ hranách.
 $D_0(v)=0$ pokud $v=v_0$, jinak $D_0(v)=\infty$.
-$d(v_0, v)=\min D_k(v)$
+$d(v_0, v)=\min D_k(v)$ kde $1 \leq k  \leq n-1$.
 
-Kdy¾ známe $D_0 \dots D_{k-1}$ spoèteme $D_k=\min D_{k-1}(u)+l(u, v)$.
+Kdy¾ známe $D_0 \dots D_{k-1}$ spoèteme $D_k=\min D_{k-1}(u)+\ell(u, v)$ pro taková $u$
+¾e $(u, v)\in E(G)$.
 
-Naivní implementace pobì¾í $n(\sum_v deg^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
-konec $n$ za izolované vrcholy), úpravíme $\sum_v deg^+(v)=m$. Bohu¾el
+Naivní implementace pobì¾í $n(\sum_v {\rm deg}^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
+konec $n$ za izolované vrcholy), upravíme $\sum_v {\rm deg}^+(v)=m$. Bohu¾el
 spotøebujeme $\Theta(n^2)$ pamìti.
 
 Nevýhodou této implementace je pøistupování k hranám pozpátku.
 
-\s{Bellman-Fordùv algoritmus}
+\s{Bellmanùv-Fordùv algoritmus}
 \algo
 \:$D(*) \leftarrow \infty, D(s) \leftarrow 0$
 \:Pro $k=1, \dots, n-1$:
 \::$D_k(*) \leftarrow \infty$
 \::Pro $\forall v\in V(G)$:
 \:::Pro $\forall w (v, w)\in E(G)$:
-\::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D_{k-1}(v)+l(v, w))$
+\::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D_{k-1}(v)+\ell(v, w))$
 \endalgo
 
 Pokud by i v $n$-tém kroku nìco vykonal, graf obsahuje záporný cyklus.
 
-\s{Vìta:} Bellman--Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
+\s{Vìta:} Bellmanùv--Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
 pro $\forall v\in V(G)$.
 
 \proof
 Invarianty:
 \itemize\ibull
 \:Koneèné $D(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0 \rightarrow w$
-\:Na konci k-tého prùchodu vnìj¹m cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0
+\:Na konci $k$-tého prùchodu vnìj¹m cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0
 \rightarrow v$ o ménì ne¾ $k$ hranách z toho plyne ¾e na konci $D(w)\leq d(v_0, v)$
 
 Nech» nejkrat¹í sled $v_0\rightarrow w$ o ménì ne¾ $k$ hranách konèí hranou $(v, w)$,
 zastavme algoritmus v okam¾iku kdy v $k$-tém prùchodu zpravovává hranu $(v, w)$ tehdy
-$D(w)\leq D(v)+l(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovný
+$D(w)\leq D(v)+\ell(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovný
 minimální délce sledu $v_0\rightarrow v$ o $\leq k$ hránách.
 \endlist
 \qed
 
-\s{"Prùzkumnický algoritmus"}
-Stav: $D(v)$ je ohodnoceníí, $S(v)$ stav (vidìn, otevøen -- od posledního prozkoumání
-se $D(v)$ zmìnilo, zavøen není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo).
+\s{\uv{Prùzkumnický algoritmus}}
+Stav: $D(v)$ je délka zatím nejkrat¹í nalezené cesty do vrcholu $v$, $S(v)$ stav
+vrcholu ($N$ nevidìn -- vrchol jsme je¹tì nepotkali, $O$ otevøen -- od posledního prozkoumání
+se $D(v)$ zmìnilo, $Z$ zavøen -- není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo). $P(v)$ je
+pøedchùdce $v$.
 
 \algo
 \:$D(*)\leftarrow \infty, D(v_0)=0, S(*)\leftarrow N, S(v_0)\leftarrow O,
@@ -93,17 +96,19 @@ P(*)\leftarrow ?$
 \:Dokud $\exists u$: $S(u)=O$ opakuj:
 \::$S(u)\leftarrow Z$
 \::Pro $\forall v: (u, v)\in E(G)$:
-\:::Je-li $D(u)+l(u, v)<D(v)$
-\::::$D(v)\leftarrow D(u)+l(u, v)$
+\:::Je-li $D(u)+\ell(u, v)<D(v)$
+\::::$D(v)\leftarrow D(u)+\ell(u, v)$
 \::::$S(v)\leftarrow O$
 \endalgo
 
 \s{Invariant} $D(v)$ neroste a odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$.
 
-\s{Lemma} algoritmus se v¾dy zastaví, èas pøi nevhodném zavírání mù¾e být a¾
-exponenciální. Toto lemma bude bez zanecháno bez dùkazu.
+\s{Lemma} Algoritmus se zastaví pøi jakémkoliv poøadí zavíraných vrcholù. Èas pøi
+nevhodném zavírání mù¾e být a¾ exponenciální.
 
-Pokud se zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a $S(v)=Z$ pak platí
+\>Toto lemma bude zanecháno bez dùkazu.
+
+\s{Lemma} Pokud se zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a $S(v)=Z$ pak platí
 $D(v)=d(v_0, v)$.
 
 \proof
@@ -114,7 +119,7 @@ proj
 Vezmìme minimání protipøíklad co do poètu hran. Nech» $v$ je nejbli¾¹í vrchol takový
 ¾e $D(v)\neq d(v_0, v)$, tudí¾ musí být vìt¹í (odpovídá délce nìjakého sledu). $u:=$
 pøedchùdce $v$ na nejkrat¹í cestì tedy $D(u)$ je správnì. Algoritmus zkoumal u na
-nastavil finální $D(u)$, tedy zpracoval hranu $(u, v)$ a $D(v)\leq D(u)+l(u, v)$, co¾
+nastavil finální $D(u)$, tedy zpracoval hranu $(u, v)$ a $D(v)\leq D(u)+\ell(u, v)$, co¾
 je opravdová vzdálenost. Dostali jsme spor s tím, ¾e $D(x)$ neroste.
 \qed