-\:Pro $k\neq j,\ 0\leq k<j<n$ je $\omega^k \neq \omega^j$, nebo» $\omega^j /
-\omega^k = \omega^{j-k}\neq 1$, proto¾e $j-k < n$ a~$\omega$ je $n$-tá
-primitivní (a~tedy $\omega^0, \ldots, \omega^{n-1}$ jsou rùzné).
-\:$\overline{\omega} = \omega^{-1}$, nebo» $\omega^{-1} = \omega^{-2\pi i/n}$
-a~tedy èísla $\omega,\omega^{-1}$ svírají vùèi reálné ose opaèný úhel a~jsou
- komplexnì sdru¾ená.
-\:mocniny $\omega$ jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$
- (staèí si uvìdomit, ¾e $\omega^{n/2} = -1$ pro $n$ sudé)
-\:umocníme-li v¹echny $\omega^{0},\ldots, \omega^{n-1}$ na~druhou, vzniknou nám
- odmnocniny z~$1$ které budou i~nadále spárované: $\omega^n$ je toti¾
- $1$ a~exponenty lze tedy poèítat$\mod n$, $n$ je sudé $\imply$
- dostaneme pùvodní posloupnost ze které zmizí liché mocniny $\omega$, ale $n$
- je mocnina dvojky a~tedy i~$n/2$ je sudé (pro $n=2$ ne, ale tam je to
- triviální), tak¾e sudé mocniny jsou spárované navzájem..
-\:$\omega^2$ je $n/2$-tá primitivní odmocnina z 1 -- je toti¾ $(\omega^{-2\pi
- i/n})^2 = \omega^{-2\pi i/(n/2)}$ a~$n$ je mocnina dvojky.
+\def\i{i} % ???; taky: ? sit, -> it
+{\parskip12pt
+\hfill{\bf Základní operace}
+\:Definice: ${\bb C} = \{a + b\i \mid a,b \in {\bb R}\}$
+
+\:Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$.
+\vglue-8pt
+\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.
+
+\:Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$.
+\vglue-8pt
+\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm
+\overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x
+\cdot \overline x \in {\bb R}$.
+
+\:Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert
+a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
+
+\vglue-8pt
+\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
+
+\:Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
+
+\hfill{\bf Gau{\scharfs}ova rovina a goniometrický tvar}
+
+\:Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.
+
+\:$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
+
+\:$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\it komplexní
+jednotky\/}).
+
+\vglue-8pt
+\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[
+0,2\pi \right)$.
+
+\:Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) +
+\i\sin\varphi(x))$.
+
+\vglue-8pt
+\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\it argument\/}
+èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.
+
+\:Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
+
+\hfill{\bf Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
+
+\:Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.
+
+\:Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot
+\varphi(x)}$.
+
+\:Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot
+ \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) = \vert x\vert
+ \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
+
+\vglue-8pt
+\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)
+
+\:Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^
+ \alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$.
+
+\:Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot
+\varphi(x)/n}$.
+
+\vglue-8pt
+\qquad pozor -- odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
+
+\hfill{\bf Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
+
+\:Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
+\vglue-8pt
+\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
+\vglue-8pt
+\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾
+$\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.
+
+\:Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$
+\vglue-8pt
+\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).
+
+\:Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi
+ (x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.
+
+\:Je-li $x$ odmocninou z 1, pak $\overline{x} = x^{-1}$ -- je toti¾ $1 = \vert
+x\cdot
+ \overline{x}\vert = x\cdot \overline{x}$.
+
+\vglue0pt minus4pt % hazel underfull vboxy
+\: $x$ je $k$-tá {\it primitivní} odmocnina z 1 $\equiv (\forall j<k)x^j
+\neq 1$, a $x^k = 1$
+
+\hfill{\bf Komplexní èísla: Primitivní odmocniny}
+
+\:Buï $\omega=e^{2\pi \i / k},\ k$ je sudé. Pak:
+\vglue-8pt
+\leftskip4em \parindent-1em
+$\star$ $\omega$ je $k$-tá primitivní odmocnina z 1 -- $j\cdot 2\pi \i / k = 1
+ \Leftrightarrow j=k$.
+\vglue-8pt
+$\star$ pro $0\leq j<l<k$ je $\omega^j \neq \omega^l$, nebo» $\omega^l /
+\omega^j = \omega^{l-j} \neq 1$, proto¾e $l-j < k$ a $\omega$ je $k$-tá
+primitivní.
+\vglue-8pt
+$\star$ $\omega^{k/2} = -1$, proto¾e $(\omega^{k/2})^2 = 1$, a tedy
+$\omega^{k/2}$ je druhá odmocnina z 1 -- samotná 1 to ale být nemù¾e, $\omega$
+ je primitivní.
+\vglue-8pt
+$\star$ $\omega^j = - \omega^{k/2 + j}$ -- pøímý dùsledek pøedchozího bodu, pro
+nás ale velice zajímavý; $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{k-1}$ jsou po dvou
+spárované.
+\vglue-8pt
+$\star$ $\omega^2$ je $k/2$-tá primitivní odmocnina z 1 -- dosazením.
+\vglue-8pt
+
+}