-Uvìdomme si, ¾e~pokud pøevádíme po~hranì~$uv$, tak platí, ¾e~$h(u) = h(v) + 1$.
-Pak~$p(u) - p(v)$ je pøesnì poèet vrcholù na~hladinì~$H$. Tìch je alespoò
-tolik, kolik je nenasycených pøevedení bìhem jedné fáze (to jsme dokázali ji¾
-v~lemmatu N'), a~my jsme si~nadefinovali, ¾e v~drahé fázi je poèet nenasycených
-pøevedení alespoò~$k$. Tedy~$p(u) - p(v) > k$. Proto bìhem jednoho nenasyceného
-pøevedení~$\Phi$ klesne alespoò o~${k / k} = 1$. Nenasycená pøevedení
-potenciál nezvy¹ují.
-
-Potenciál~$\Phi$ se~mù¾e zvìt¹it pouze pøi~operacích zvednutí a~nasycené
-pøevedení. Zvednutí se~provede celkem~$\O(n^2)$ a~ka¾dé zvý¹í potenciál nejvý¹e
-o~$n / k$. Nasycených pøevedení se provede celkem~$\O(nm)$ a~ka¾dé zvý¹í
-potenciál takté¾ nejvý¹e o~$n / k$. Celkem se~tedy~$\Phi$ zvý¹í nejvý¹e
-o $${n \over k} \cdot \O(n^2) + {n \over k} \cdot \O(nm) = \O \left({n^3 \over k} + {n^2m
-\over k}\right).$$
-
-Teï vyu¾ijeme toho, ¾e~$\Phi$ je nezáporný potenciál, tedy kdy¾ ka¾dé
-nenasycené pøevdení v~drahé fázi sní¾í~$\Phi$ alespoò o~1, tak v¹ech
-nenasycených pøevdení v~drahých fázích je~$\O({n^3 / k} + {n^2m / k})$.
-U¾ jsme ukázali, ¾e~nenasycených pøevední v~laciných fázích je~$\O(n^2k)$.
-Proto celkem v¹ech nenasycených pøevedení je $$\O \left(n^2k + {n^3 \over k}
-+ {n^2m \over k} \right) = \O \left(n^2k + {n^2m \over k} \right)$$ (nebo»
-pro~souvislé grafy platí, ¾e~$m \geq n \Rightarrow n^2m \geq n^3$). A~my
-chceme, aby jich bylo co nejménì. Tato funkce má minimum tehdy, kdy¾ $n^2k
-= {n^2m \over k}$, èili $k = \sqrt{m}$.
-
-Proto v¹ech nenasycených pøevedení je $\O(n^2\sqrt{m})$.
+Potenciál~$\Psi$ se~tedy mù¾e zvìt¹it pouze pøi~operacích inicializace, zvednutí a~nasyceného
+pøevedení. Inicializace pøispìje~$n^2$. V¹ech zvednutí se~provede celkem~$\O(n^2)$ a~ka¾dé zvý¹í potenciál nejvý¹e
+o~$n$. Nasycených pøevedení se provede celkem~$\O(nm)$ a~ka¾dé zvý¹í
+potenciál takté¾ nejvý¹e o~$n$. Celkem se~tedy~$\Psi$ zvý¹í nejvý¹e
+o $$n^2 + n \cdot \O(n^2) + n \cdot \O(nm) = \O(n^3 + n^2m).$$
+
+Teï vyu¾ijeme toho, ¾e~$\Psi$ je nezáporný potenciál, tedy kdy¾ ho ka¾dé
+nenasycené pøevedení v~drahé fázi sní¾í~$\Psi$ alespoò o~$k$, mù¾e takových
+pøevedení nastat nejvý¹e $\O(n^3/k + n^2m/k)$. To nyní seèteme s~odhadem
+pro laciné fáze a dostaneme, ¾e v¹ech nenasycených pøevedení probìhne
+$$\O \left(n^2k + {n^3 \over k} + {n^2m \over k} \right) = \O \left(n^2k + {n^2m \over k} \right)$$
+(vyu¾ili jsme toho, ¾e v~souvislých grafech je $m\ge n$, a~tedy $n^2m \ge n^3$).
+
+Tento odhad ov¹em platí pro libovolnou volbu~$k$. Proto zvolíme takové~$k$,
+aby byl co nejni¾¹í. Jeliko¾ první èlen s~rostoucím~$k$ roste a druhý klesá,
+asymptotické minimum nastane tam, kde se tyto èleny vyrovnají, tedy kdy¾
+$n^2k = n^2m / k$.
+
+Nastavíme tedy $k=\sqrt{m}$ a získáme ký¾ený odhad $\O(n^2\sqrt{m})$.