+\h{Hledání nejbli¾¹ích bodù a Voroného diagramy}
+
+Nyní se pokusíme vyøe¹it i problém druhé strany -- pomù¾eme medvìdùm nalézt Eskymáky.
+
+{\I Eskymáci tráví vìt¹inu èasu doma, ve svém iglù. Takový medvìd je na své toulce zasnì¾enou krajinou, kdy¾ tu se najednou rozhodne nav¹tívit nìjakého
+Eskymáka. Proto se podívá do své medvìdí mapy a nalezne nejbli¾¹í iglù. Má to ale jeden háèek, iglù jsou spousty a medvìd by dávno usnul, ne¾ by
+nejbli¾¹í objevil.}\foot{Zlí jazykové by øekli, ¾e medvìdi jsou moc líní a nebo v mapách ani èíst neumí!}
+
+Popí¹eme si nejprve, jak vypadá medvìdí mapa. Medvìdí mapa obsahuje celou Arktidu a jsou v ní vyznaèena v¹echna iglù. Navíc obsahuje vyznaèené
+oblasti tvoøené body, které jsou nejblí¾e k jednomu danému iglù. Takovému schématu se øíká {\I Voroného diagram}. Ten pro zadané body $x_1, \ldots, x_n$
+obsahuje rozdìlení roviny na oblasti $B_1, \ldots, B_n$, kde $B_i$ je mno¾ina bodù, které jsou blí¾e k $x_i$ ne¾ k ostatním bodùm $x_j$. Formálnì jsou
+tyto oblasti definovány následovnì:
+$$B_i = \left\{y \in {\bb R}^2\ \vert\ \forall j:\rho(x_i,y) \le \rho(x_j,y)\right\},$$
+kde $\rho(x,y)$ znaèí vzdálenost bodù $x$ a $y$.
+
+Uká¾eme si, ¾e Voroného diagram má pøekvapivì jednoduchou strukturu. Nejprve uva¾me, jak budou vypadat oblasti $B_a$ a $B_b$ pouze pro dva body
+$a$ a $b$, jak je naznaèeno na obrázku. V¹echny body stejnì vzdálené od $a$ i $b$ le¾í na pøímce $p$ -- ose úseèky $ab$. Oblasti $B_a$ a $B_b$
+jsou tedy tvoøeny polorovinami ohranièenými osou $p$. Tedy obecnì tvoøí mno¾ina v¹ech bodù bli¾¹ích k $x_i$ ne¾ k $x_j$ nìjakou polorovinu. Oblast
+$B_i$ obsahuje v¹echny body, které jsou souèasnì bli¾¹í k $x_i$ ne¾ ke v¹em ostatním bodùm $x_j$ -- tedy le¾í ve v¹ech polorovinách souèasnì.
+Ka¾dá z oblastí $B_i$ je tvoøena prùnikem $n-1$ polorovin, tedy je to (mo¾ná neomezený) mnohoúhelník.\foot{Sly¹eli jste u¾ o lineárním programování?
+Jak název vùbec nenapoví, {\I lineární programování} je teorii zabývající se øe¹ením a vlastnostmi soustav lineárních nerovnic. Lineární program je
+popsaný lineární funkcí, kterou chceme maximalizovat za podmínek popsaných soustavou lineárních nerovnic. Ka¾dá nerovnice urèuje poloprostor, ve
+kterém se pøípustná øe¹ení nachází. Proto¾e pøípustné øe¹ení splòuje v¹echny nerovnice zároveò, je mno¾ina v¹ech pøípustných øe¹ení (mo¾ná neomezený)
+mnohostìn, obecnì ve veliké dimenzi ${\bb R}^d$, kde $d$ je poèet promìnných. Mno¾iny $B_i$ lze snadno popsat jako mno¾iny v¹ech pøípustných øe¹ení
+lineárních programù pomocí vý¹e ukázaných polorovin. Na závìr poznamenejme, ¾e dlouho otevøená otázka, zda lze nalézt optimální øe¹ení lineárního
+programu v polynomiálním èase, byla pozitivnì vyøe¹ena -- je znám polynomiální algoritmus, kterému se øíká {\I metoda vnitøního bodu}. Na druhou
+stranu, pokud chceme najít pøípustné celoèíselné øe¹ení, je úloha NP-úplná a je jednoduché na ni pøevést spoustu optimalizaèních problémù. Dokázat
+NP-tì¾kost není pøíli¹ tì¾ké. Na druhou stranu ukázat, ¾e tento problém le¾í v NP, není vùbec jednoduché.}
+Pøíklad Voroného diagram je naznaèen na obrázku. Zadané body jsou oznaèeny prázdnými krou¾ky a hranice oblastí $B_i$ jsou vyznaèené èernými èárami.
+
+\twofigures{8-geom2_2_polorovina.eps}{Body bli¾¹í k $a$ ne¾ $b$.}{1.25in}
+ {8-geom2_3_voroneho_diagram.eps}{Voroného diagram.}{2.5in}
+
+Není náhoda, pokud vám hranice oblastí pøipomíná rovinný graf. Jeho vrcholy jsou body, které jsou stejnì vzdálené od alespoò tøí zadaných bodù. Jeho
+stìny jsou oblasti $B_i$. Jeho hrany jsou tvoøeny èástí hranice mezi dvìma oblastmi -- body, které mají dvì oblasti spoleèné. Obecnì prùnik dvou
+oblastí mù¾e být, v závislosti na jejich sousedìní, prázdný, bod, úseèka, polopøímka nebo dokonce celá pøímka. V dal¹ím textu si pøedstavme, ¾e celý
+Voroného diagram uzavøeme do dostateènì velkého obdélníka,\foot{Pøeci jenom i celá Arktida je omezenì velká.} èím¾ dostaneme omezený rovinný graf.
+
+Poznamenejme, ¾e pøeru¹ované èáry tvoøí hrany duálního rovinného grafu s vrcholy v zadaných bodech. Hrany spojují sousední body na kru¾nicích, které
+obsahují alespoò tøi ze zadaných bodù. Napøíklad na obrázku dostáváme skoro samé trojúhelníky, proto¾e vìt¹ina kru¾nic obsahuje pøesnì tøi zadané
+body. Av¹ak nalezneme i jeden ètyøúhelník, jeho¾ vrcholy le¾í na jedné kru¾nici.
+
+Zkusíme nyní odhadnout, jak velký je rovinný graf popisující Voroného diagram. Podle slavné Eulerovy formule má ka¾dý rovinný graf nejvý¹e lineárnì
+mnoho vrcholù, hran a stìn -- pro $v$ vrcholù, $e$ hran a $f$ stìn je $e \le 3v-6$ a navíc $v+f = e+2$. Tedy slo¾itost diagramu je lineární vzhledem k
+poètu zadaných bodù $n=f$, $\O(n)$. Navíc Voroného diagram lze zkonstruovat v èase $\O(n \log n)$, napøíklad pomocí zametání roviny nebo metodou
+rozdìl a panuj. Tím se v¹ak zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno: Detaily naleznete v zápiscích z pøedloòského
+ADSka.} místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychlé hledat nejbli¾¹í body.
+
+\h{Lokalizace bodu uvnitø mnohoúhelníkové sítì}
+
+Problém medvìdù je najít v medvìdí mapì co nejrychleji nejbli¾¹í iglù. Máme v rovinì sí» tvoøenou mnohoúhelníky. Chceme pro jednotlivé body rychle
+rozhodovat, do kterého mnohoúhelníku patøí. Na¹e øe¹ení budeme optimalizovat pro jeden pevný rozklad a obrovské mno¾ství rùzných dotazù, které chceme
+co nejrychleji zodpovìdìt.\foot{Pøedstavujme si to tøeba tak, ¾e medvìdùm zprovozníme server. Ten jednou schroustá celou mapu a potom co nejrychleji
+odpovídá na jejich dotazy. Medvìdi tak nemusí v mapách nic hledat, staèí se pøipojit na server a poèkat na odpovìï.} Nejprve pøedzpracujeme zadané
+mnohoúhelníky a vytvoøíme strukturu, která nám umo¾ní rychlé dotazy na jednotlivé body.
+
+Uka¾me si pro zaèátek øe¹ení bez pøedzpracování. Rovinu budeme zametat pøímkou shora dolù. Podobnì jako pøi hledání prùseèíkù úseèek, udr¾ujeme si prùøez
+pøímkou. V¹imnìte si, ¾e tento prùøez se mìní jenom ve vrcholech mnohoúhelníkù. Ve chvíli, kdy narazíme na hledaný bod, podíváme se, do kterého
+intervalu v prùøezu patøí. To nám dá mnohoúhelník, který nahlásíme. Prùøez budeme uchovávat ve vyhledávacím stromì. Takové øe¹ení má slo¾itost $\O(n
+\log n)$ na dotaz, co¾ je hroznì pomalé.
+
+Pøedzpracování bude fungovat následovnì. Jak je naznaèeno na obrázku pøeru¹ovanými èárami, rozøe¾eme si celou rovinu na pásy, bìhem kterých se prùøez
+pøímkou nemìní. Pro ka¾dý z nich pamatujeme stav stromu popisující, jak vypadal prùøez pøi procházení tímto pásem. Kdy¾ chceme lokalizovat nìjaký bod,
+nejprve pùlením nalezneme pás, v kterém se nachází. Poté polo¾íme dotaz na pøíslu¹ný strom. Strom procházíme a po cestì si dopoèítáme souøadnice
+prùøezu, a¾ lokalizujeme správný interval v prùøezu. Dotaz doká¾eme zodpovìdìt v èase $\O(\log n)$. Hledaný bod je na obrázku naznaèen prázdným
+koleèkem a nalezený interval v prùøezu je vyta¾ený tuènì.
+
+\figure{8-geom2_4_pasy_mnohouhelniku.eps}{Mnohoúhelníky rozøezané na pásy.}{2.5in}