+\h{Druhý spôsob: Aproximácia}
+
+\>V predchádzajúcich problémoch sme sa zamerali na ¹peciálne prípady. Obèas v¹ak také ¹tastie nemáme a~musíme vyrie¹i» NP-úplný problém. Mo¾eme ustúpi» tak, ¾e nebudeme rie¹i» nieèo, èo je úplne optimálne, ale je to nejaky pomer optimalnosti ({\I aproximácia}), t.j. vieme o~koµko maximálne je na¹e rie¹enie hor¹ie ako optimálne.
+
+\s{Problém: Obchodný cestujuci}
+
+\>{\I Vstup:} neorientovaný graf $G$, popisujúci nejaku krajinu a~ka¾dá hrana je ohodnotená funkciou $w: E(G)\rightarrow R^+_0$
+\>{\I Vystup:} Hamiltonovská kru¾nica (v¹etky vrcholy grafu), a~to tá najkrat¹ia (podµa ohodnotenia).
+
+\>Tento problém je hneï na~prvý pohµad nároèný - u¾ problém, èi existuje Hamiltonovská kru¾nica je NP-úplný. BUNV nech graf~$G$ je úplný (doplnime zvy¹né hrany ohodnotené $max(w)+1$ alebo viac, nie v¹ak nekoneènom, lebo by neplatila trojuholníková nerovnos»). Vyrie¹me tento problém najprv za~predpokladu, ¾e vrcholy grafu spåòajú trojuholníkovú nerovnos», potom bez nej.
+
+\>{\I a) trojuholníková nerovnos»:} $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le w(xy)+w(yz)$
+
+\>Existuje pekný algoritmus, ktory nájde Hamiltonovsku kru¾nicu, èo je
+maximálne dvakrát tak veµká ako najoptimálnej¹ia.
+
+\>Nájdeme najmen¹iu kostru a~obchodnému cestujúcemu poradíme, nech ide po~nej (staèí zakoreni» a~prejs» do~håbky). Problémom v¹ak je, ¾e daný sled obsahuje ka¾dý vrchol viackrát a~preto musíme nahradi» nepovolené vracania sa, t.j.~pre ka¾dý vrchol nájs» e¹te nenav¹tívený vrchol v~na¹om slede a~ís» priamo naò. Keï¾e platí trojuholníková nerovnos», tak si týmito skratkami neu¹kodíme. Nech minimálna kostra má váhu~$T$. Váha obídeného sledu tak bude~$2T$. Skrátenia urèite nezväè¹ujú, tak¾e váha nájdene Hamiltonovskej kru¾nice bude nanajvý¹~$2T$.
+
+\>Ak máme Hamiltonovskú kru¾nicu~$C$ a~z~nej vy¹krtneme hranu, tak máme kostru grafu~$G$ s~váhou najviac~$w(C)$, teda to aspoò takú, aká je váha minimálnej kostry - $T$. To je optimálny prípad Hamiltonovskej kru¾nice. Ak to teda zlo¾íme dohromady, algoritmus nám vráti Hamiltonovskú kru¾nicu s~váhou najviac dvojnásobnou od~optimálnej Hamiltonovskej kru¾nice. Takéto algoritmy sa nazývajú {\I 2-aproximaèné}, keï¾e rie¹enie je maximálne dvojnásobné od~optimálneho.
+
+\>{\I b) bez~trojuholníkovej nerovnosti}
+\>Tu sa budeme naopak sna¾i» ukáza», ¾e ¾iaden polynomiálny aproximaèný algoritmus neexistuje.
+
+\s{Veta:} Ak existuje polynomiálny $(1+\varepsilon)$-aproximaèný algoritmus pre~algoritmus obchodného cestujúceho bez~trojuholníkovej nerovnosti pre~µubovoµné $\varepsilon>0$, potom $P~=~NP$.
+\>Dôkaz: Uká¾eme, ¾e v~tom prípade doká¾eme v~polynomiálnom èase nájs» Hamiltonovskú kru¾nicu.
+
+\>Dostali sme graf $G$, v~ktorom hµadáme Hamiltonovskú kru¾nicu. Doplníme $G$ na~uplný graf~$G'$ a~váhy hrán~$G'$
+\itemize\ibull
+\: $w(e) = 1$, ak $e \in E(G)$
+\: $w(e) = c \ll 1$, ak $e \in E(G)$
+\endlist
+\>Ak existuje Hamiltonovská kru¾nica v~$G'$ zlo¾ená iba z~hrán, ktoré boli pôvodne v~$G$, tak optimálné rie¹enie bude ma» váhu $n$, inak bude urèite minimálne $n-1+c$. Ak máme aproximaèný algoritmus s~pomerom $1+\varepsilon$, musí by»
+$$
+\eqalign{
+(1+\varepsilon)\cdot n < n-1+c
+c > \varepsilon\cdot n+1
+}
+$$
+\>Ak by taký algoritmus existoval, tak na~neho máme polynomiálny algoritmus
+na~Hamiltonovsku kru¾nicu. Inak neexistuje ani pseudo-polynomialny algoritmus.
+