+Pro úèely analýzy struktury budeme uva¾ovat také ranky ostatních vrcholù -- ka¾dý vrchol
+si ponese svùj rank z~doby, kdy byl naposledy koøenem. Struktura se ov¹em
+podle rankù vnitøních vrcholù nijak neøídí a nemusí si je ani pamatovat.
+Stromu s~koøenem ranku~$r$ budeme zkrácenì øíkat {\I strom ranku~$r$.}
+
+\s{Invariant~C:} Na ka¾dé cestì z~vrcholu do~koøene pøíslu¹ného stromu ranky
+ostøe rostou. Jinými slovy rank vrcholu, který není koøen, je men¹í, ne¾ je rank
+jeho otce.
+
+\proof
+Na poèátku (pro jednovrcholové stromy) tvrzení jistì platí.
+Nech» provedeme Union, který pøipojí vrchol~$v$ pod~$w$. Cesty do~koøene z~vrcholù,
+které le¾ely pod~$w$, zùstanou zachovány, pouze se vrcholu~$w$ pøípadnì
+zvý¹í rank. Cesty z~vrcholù pod~$v$ se roz¹íøí o~hranu~$vw$, na které rank
+v~ka¾dém pøípadì roste.
+Komprese cest nahrazuje otce vrcholu jeho vzdálenìj¹ím pøedkem, tak¾e se rank
+otce mù¾e jedinì zvý¹it.
+\qed
+
+\s{Invariant~R:} Strom ranku~$r$ obsahuje alespoò $2^r$ vrcholù.
+
+\proof
+Indukcí podle èasu. Pro jednovrcholové stromy o~nulovém ranku tvrzení platí.
+Nech» pøipojíme vrchol~$v$ pod vrchol~$w$. Je-li $r(v)<r(w)$, rank stromu
+zùstane zachován a strom se je¹tì zvìt¹í. Je-li $r(v)=r(w)$, rank stromu
+se zvìt¹í o~1, ale z~indukce víme, ¾e oba spojované stromy mìly alespoò
+$2^{r(v)}$ vrcholù, tak¾e jejich spojením vznikne strom o~alespoò $2^{r(v)+1}$
+vrcholech. Komprese cest zasahuje pouze do~vnitøní struktury stromu, ranky
+ani velikosti stromù nemìní.
+\qed
+
+\s{Dùsledek:} Rank ka¾dého stromu je $\O(\log n)$, tak¾e rank ka¾dého vnitøního
+vrcholu takté¾. Díky invariantu~C strávíme výstupem z~ka¾dého vrcholu do~koøene
+také èas $\O(\log n)$, tak¾e logaritmická je i slo¾itost operací \<Union> a \<Find>.
+
+K~tomu nám ov¹em staèilo samotné pravidlo Union podle ranku, o~kompresi cest
+jsme zatím dokázali pouze to, ¾e slo¾itost v~nejhor¹ím pøípadì nezhor¹uje.%
+\foot{Mimochodem, Komprese cest samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila \cite{tarjan84setunion}.}
+Kombinace obou metod se ve~skuteènosti chová mnohem lépe: