-\s{Øe¹ení:}
-Mìjme bipartitní graf $G = (V,E)$. V~nìm hledáme nejvìt¹í párování. Sestrojme
-si~sí» takovou, ¾e~vezmeme vrcholy $V$ grafu $G$ a~pøidáme k~nim dva speciální
-vrcholy $z$ (zdroj) a~$s$ (stok) a~ze~zdroje pøidáme hrany do~v¹ech vrcholù
-levé partity a~ze~v¹ech vrcholù pravé partity povedeme hrany do~stoku. V¹echny
-kapacity nastavme na~1. Hrany bipartitního grafu zorientujme z levé partity do
-pravé. Nyní staèí jen na~tuto sí» spustit Fordùv-Fulkersonùv algoritmus (nebo
-libovolný jiný algoritmus, který najde maximální celoèíselný tok) a~a¾~dobìhne,
-tak prohlásit hrany s~tokem 1 za~maximální párování.
-
-\figure{toky04.eps}{Hledání maximálního párování v~bipartitním grafu.}{2in}
-
-Existuje toti¾ bijekce mezi párováním a~celoèíselnými toky, je¾ zachovává
-velikost. Z ka¾dého celoèíselného toku na~vý¹e zmínìném grafu (viz obrázek) lze sestrojit
-párování o~stejné velikosti (velikost toku zde odpovídá poètu hran bipartitního
-grafu, po~kterých poteèe 1) a~naopak. Dùle¾ité je uvìdomit si, ¾e~definice toku
-(omezení toku kapacitou a~Kirchhoffovy zákony) nám zaruèují, ¾e~hrany
-s~nenulovým tokem (tedy jednièkovým) budou tvoøit párování (nestane se, ¾e~by
-dvì hrany zaèínaly nebo konèily ve~stejném vrcholu, nebo» by se~nutnì poru¹ila
-jedna ze~dvou podmínek definice toku). Potom i~maximální tok bude odpovídat
-maximálnímu párování a~naopak.
-
-V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$.
-Fordùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$
-(za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací
-nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou
-omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová
-slo¾itost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
+Chceme-li v~daném bipartitním grafu $(V,E)$ nalézt nejmen¹í párování,
+pøetvoøíme jej nejprve na sí» $(V',E',c,z,s)$ takto:
+
+\itemize\ibull
+\:Nalezneme partity grafu, budeme jim øíkat {\I levá} a {\I pravá.}
+\:Pøidáme zdroj~$z$ a vedeme z~nìj hrany do v¹ech vrcholù levé partity.
+\:Pøidáme spotøebiè~$s$ a vedeme do nìj hrany ze~v¹ech vrcholù pravé partity.
+\:Hrany zadaného grafu zorientujeme zleva doprava.
+\:V¹em hranám nastavíme jednotkovou kapacitu.
+\endlist
+
+\figure{toky04.eps}{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitním grafu.}{2in}
+
+\>Nyní v~této síti najdeme maximální celoèíselný tok. Jeliko¾ v¹echny hrany
+mají kapacitu~1, musí po ka¾dé hranì téci buï~0 nebo~1. Do~výsledného párování
+dáme právì ty hrany pùvodního grafu, po~kterých teèe~1.
+
+Dostaneme opravdu párování? Kdybychom nedostali, znamenalo by to, ¾e nìjaké
+dvì hrany mají spoleèný vrchol. Ov¹em kdyby se setkaly ve~vrcholu v~pravé
+partitì, pøitekly by do tohoto vrcholu alespoò 2 jednotky toku a ty by nemìly
+kam odtéci. Analogicky pokud by se setkaly nalevo, musely by z~vrcholu odtéci
+alespoò 2 jednotky, ale ty se tam nemají kudy dostat.
+
+Zbývá nahlédnout, ¾e párování je nejvìt¹í mo¾né. K~tomu si staèí v¹imnout,
+¾e z~toku vytvoøíme párování o~tolika hranách, kolik je velikost toku, a naopak
+z~ka¾dého párování umíme vytvoøit celoèíselný tok odpovídající velikosti.
+Jinými slovy nalezli jsme bijekci mezi mno¾inou v¹ech celoèíselných tokù
+a mno¾inou v¹ech párování a tato bijekce zachovává velikost. Nejvìt¹í
+tok tedy musí odpovídat nejvìt¹ímu párování.
+
+Snadno tak získáme následující vìtu:
+
+\s{Vìta:} Nejvìt¹í párování v~bipartitním grafu lze nalézt v~èase $\O(mn)$.
+
+\proof
+Pøedvedená konstrukce vytvoøí z~grafu sí» o~$n'=n+2$ vrcholech a~$m'=m+2n$
+hranách a spotøebuje na to èas $\O(m'+n')$. Pak nalezneme maximální celoèíselný
+tok Fordovým-Fulkersonovým algoritmem, co¾ trvá $\O(m'n')$. Nakonec tok v~lineárním
+èase pøelo¾íme na~párování. V¹e dohromady trvá $\O(m'n') = \O(mn)$.
+\qed