+\proof
+Rozdìlme si~fáze na~dva druhy: laciné a~drahé podle toho, kolik se~v~nich provede nenasycených pøevedení. Zvolme si~nìjaké nezáporné~$K$. Zatím nebudeme urèovat jeho hodnotu. Uvidíme, ¾e~èasová slo¾itost algoritmu bude závislá na~tomto parametru~$K$. Proto jeho hodnotu zvolíme a¾ pozdìji a~to tak, aby byla slo¾itost co nejni¾¹í.
+
+{\I Laciné fáze} budou ty, bìhem nich¾ se~provede nejvý¹e~$K$ nenasycených pøevedení. {\I Drahé fáze} budou ty ostatní, tedy takové, bìhem nich¾ se~provede více jak~$K$ nenasycených pøevedení.
+
+Teï potøebujeme odhadnout, kolik nás budou stát oba typy fází. Zaènìme s~tìmi jednodu¹¹ími -- s~lacinými. Víme, ¾e~v¹ech fází je~$\O(N^2)$. Tìch laciných bude tedy urèitì také~$O(N^2)$. Nenasycených pøevedení se~bìhem jedné laciné fáze provede nejvíce~$K$. Tedy celkem se~bìhem laciných fází provede~$\O(N^2K)$ nenasycených pøevedení.
+
+Pro~poèet nenasycených pøevedení v~drahých fázích si~zaveïme nový potenciál definovaný následovnì:
+$$\Phi := \sum_{\scriptstyle{v \ne z,s} \atop \scriptstyle{f^{\Delta}(v) = 0}} {p(v) \over K},$$
+kde~$p(v)$ je poèet takových vrcholù~$u$, které nejsou vý¹e ne¾~$v$. Neboli
+$$p(v) = \vert \{ u \in V \mid h(u) \leq h(v) \} \vert.$$
+Tedy platí, ¾e~$p(v)$ je v¾dy nezáporné a~nejvý¹e má hodnotu~$N$. Dále víme, ¾e~$\Phi$ bude v¾dy nezáporné (nebo» je to souèet nezáporných èlenù) a~nejvý¹e bude nabývat hodnoty~$N^2 \over K$. Rozmysleme si, jak nám ovlivní tento potenciál na¹e tøi operace:
+\itemize\ibull
+\:{\bf Zvednutí}: Za~ka¾dý zvednutý vrchol pøibude nejvý¹e~$N \over K$ (tento vrchol mù¾e být nadzvednut nejvý¹e nad~v¹echny ostatní vrcholy) a~mo¾ná nìco ubude (napø. kdy¾ vrchol vyzvedneme na~úroveò k~ostatním).
+\:{\bf Nasycené pøevedení} po~hranì $uv$: Mù¾e vynulovat pøebytek ve~vrcholu~$u$, pak se~$\Phi$ sní¾í. Mù¾e zvý¹it pøebytek ve~$v$ z~nuly, pak se~$\Phi$ zvý¹í. Ale nejvý¹e se~zvý¹í o~$N \over K$, nebo» do~$\Phi$ pøibude jen jeden sèítanec za~vrchol $v$ a~ten pøispìje nejvý¹e hodnotou~$N \over K$ (pod ním mù¾e být nejvíce~$N$ vrcholù).
+\:{\bf Nenasycená pøevedení} po~hranì $uv$ v~drahých fázích: Tato operace vynuluje pøebytek v~$u$, tedy~$\Phi$ klesne alespoò o~$p(u) \over K$. Zároveò mù¾e zvý¹it pøebytek ve~$v$ z~nuly, ale~$\Phi$ stoupne nejvý¹e o~$p(v) \over K$. Celkem tedy~$\Phi$ klesne alespoò o~$p(u) - p(v) \over K$.
+\endlist
+Uvìdomme si, ¾e~pokud pøevádíme po~hranì~$uv$, tak platí, ¾e~$h(u) = h(v) + 1$. Pak~$p(u) - p(v)$ je pøesnì poèet vrcholù na~hladinì~$H$. Tìch je alespoò tolik, kolik je nenasycených pøevedení bìhem jedné fáze (to jsme dokázali ji¾ v~lemmatu N'), a~my jsme si~zadefinovali, ¾e v~drahé fázi je poèet nenasycených pøevedení alespoò~$K$. Tedy~$p(u) - p(v) > K$. Proto bìhem jednoho nenasyceného pøevedení~$\Phi$ klesne alespoò o~${K \over K} = 1$. Nenasycená pøevedení potenciál nezvy¹ují.
+
+Potenciál~$\Phi$ se~mù¾e zvìt¹it pouze pøi~operacích zvednutí a~nasycené pøevý¹ení. Zvednutí se~provede celkem~$(N^2)$ a~ka¾dé zvý¹í potenciál nejvý¹e o~$N \over K$. Nasycených pøevedení se provede celkem~$\O(NM)$ a~ka¾dé zvý¹í potenciál takté¾ nejvý¹e o~$N \over K$. Celkem se~tedy~$\Phi$ zvý¹í nejvý¹e o
+$${N \over K} \O(N^2) + {N \over K} \O(NM) = \O \left({N^3 \over K} + {N^2M \over K}\right).$$
+
+Teï vyu¾ijeme toho, ¾e~$\Phi$ je nezáporný potenciál, tedy kdy¾ ka¾dé nenasycené pøevdení v~drahé fázi sní¾í~$\Phi$ alespoò o~1, tak v¹ech nenasycených pøevdení v~drahých fázích je~$\O({N^3 \over K} + {N^2M \over K})$. U¾ jsme ukázali, ¾e~nenasycených pøevední v~laciných fázích je~$\O(N^2K)$. Proto celkem v¹ech nenasycených pøevedení je
+$$\O \left(N^2K + {N^3 \over K} + {N^2M \over K} \right) = \O \left(N^2K + {N^2M \over K} \right)$$
+(nebo» pro~souvislé grafy platí, ¾e~$M \geq N \Rightarrow N^2M \geq N^3$). A~my chceme, aby jich bylo co nejménì. Tato funkce má minimum tehdy, kdy¾ $N^2K = {N^2M \over K}$, èili $K = \sqrt{M}$.
+
+Proto v¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2\sqrt{M})$.
+\qed