Randcut: Uvaha o smyckach

diff --git a/12-randcut/12-randcut.tex b/12-randcut/12-randcut.tex
index feb2c918a1ebc3444e2290b976cece1a22e0de3a..f6f53ced38eff1c822408afee2fe272e81daee41 100644 (file)
--- a/12-randcut/12-randcut.tex
+++ b/12-randcut/12-randcut.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ pomocí toků nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.
 \h{Náhodné kontrakce}
 
 Uvažujme nejdříve následující algoritmus, který náhodně vybírá
 \h{Náhodné kontrakce}
 
 Uvažujme nejdříve následující algoritmus, který náhodně vybírá

-hrany a kontrahuje je, dokud počet vrcholů neklesne na~danou hodnotu~$\ell$.
+hrany a kontrahuje je, dokud počet vrcholů neklesne na~$\ell$.
+(Konkrétní hodnotu~$\ell$ zvolíme později.)

 
 \s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
 \algo
 
 \s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
 \algo


@@ -52,6 +53,12 @@ p     &\ge \prod_{i=1}^{n-\ell} \left( 1 - {2\over n-i+1} \right)
        = {\ell\cdot(\ell-1) \over n\cdot(n-1)}. \cr
 }$$
 
        = {\ell\cdot(\ell-1) \over n\cdot(n-1)}. \cr
 }$$
 

+Ještě musíme ošetřit případ, kdy bychom hranu řezu smazali, protože se mezitím
+stala smyčkou. Ovšem smyčky vznikají pouze z~hran paralelních s~právě kontrahovanou
+hranou. Jelikož v~libovolném svazku paralelních hran buďto všechny leží v~$C$,
+nebo ani jedna neleží, museli jsme v~takovém případě řez~$C$ rozbít už dříve.
+Odhad pravděpodobnosti to tedy neovlivní.
+

 Můžeme tedy zvolit pevně~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
 a ve~vzniklém konstantně velkém grafu pak nalézt minimální řez hrubou silou
 (to je obzvláště snadné pro $\ell=2$ -- tehdy stačí vzít všechny zbylé hrany).
 Můžeme tedy zvolit pevně~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
 a ve~vzniklém konstantně velkém grafu pak nalézt minimální řez hrubou silou
 (to je obzvláště snadné pro $\ell=2$ -- tehdy stačí vzít všechny zbylé hrany).